冪的運算壓軸題四種模型全攻略（解析版）

專題02塞的運算壓軸題四種模型全攻略

【類型一混合運算問題】

例1.計算：

(1)(-X2)54-X+2x6-X3;

⑵(9壯3一27//)十(3肛)2.

【答案】⑴，

(2)y-3x

【解析】

【分析】

(1)先計算乘方，再計算除法，最后合并，即可求解；

(2)先算乘方，再算除法，即可求解.

(1)

解：原式=一一7+

=-x9+2x9

=X9;

⑵

原式=(9x2y3-27x3y2)+9xzy2

=9x2y3<9x2y2-27Fy1+9//

=y-3x.

【點睛】

本題主要考查了累的混合運算，多項式除以單項式，熟練掌握幕的混合運算法則，多項式除以單項式法則

是解題的關(guān)鍵.

【變式訓練1】計算

(1)2'-(兀-3)°+1]-(-2廠.

(2)(15^y-10x4/-20xV)-(5xy).

35

【答案1(1)-;(2)39-2xy^—4

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)有理數(shù)的乘方，零次暴，負整指數(shù)幕，進行計算即可;

(2)根據(jù)多項式除以單項式進行計算即可.

【詳解】

⑴2;(兀一3)。+［；］一(-2廠

=8-1+2--

4

_35

一彳

(2)(15x3_y5-10x4y4-20x3y2^^5x3y2^

=5x3y2(3y3-2xy2-4)4-5x3y2

=3/-2xy2-4

【點睛】

本題考查了有理數(shù)的乘方，零次幕，負整指數(shù)幕，多項式除以單項式，掌握以上運算法則是解題的關(guān)鍵.

【變式訓練2】計算：

⑴d+(-叫3；

⑵(打R)L(_4；

⑶5-4)4-(4-0)"-4)2?

【答案】⑴0

⑵--

⑶-(P-4

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)同底數(shù)賽的乘法和哥的乘方以及合并同類項的計算法則求解即可;

(2)根據(jù)幕的乘方和同底數(shù)幕的除法計算法則求解即可；

(3)根據(jù)同底數(shù)募的乘除法計算法則求解即可.

(1)

解：a2-a4+(-a2)3

=/+(一(/)

=a6—a6

=0；

⑵

⑶

解：(p-q)4Xq-pY,(p-qY

=(q-p)=(q-pY<q-p￥

=(q-。)3

=_(,一4.

【點睛】

本題主要考查了嘉的混合運算，熟知相關(guān)計算法則是解題的關(guān)鍵.

【變式訓練3】計算：

4

(1)(ab)^ab；(2)-產(chǎn)、尸；(3)[-%]:(-0.25可；

(4)[(-5加〃)6+(-5加")']；(5)(x-y)8x)4-(x-y).

【答案】(1)a3b3;(2)—y3m~"~4?(3)——x6；(4)625加案1(5)(x—j)5.

64

【解析】

【分析】

(1)先計算同底數(shù)累的除法，然后計算積的乘方即可；

(2)利用同底數(shù)幕的除法計算法則求解即可；

(3)先得到1-92[+(_0.25/)2=1￡|.”一24,然后利用同底數(shù)幕的除法計算法則求解即可;

(4)先計算同底數(shù)幕的除法，然后計算積的乘方即可；

(5)直接根據(jù)同底數(shù)幕的乘除法計算法則求解即可.

【詳解】

解：⑴(ab)44-ab

=(。叱

=a3b3;

(2)一/%3+/+1

,3m-3-n-l

=-y

3m—n—4

=-y

(4)[(-5刃〃)6+(-5機“A]

=[(-5加]

=(25m2n2)

=625m4w4;

(5)(x-y)8+(y-x)4-(x-y)

=(x-y)4-(x-y)

=(x-y)5.

【點睛】

本題主要考查了同底數(shù)幕的乘除法，積的乘方，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)計算法則.

【類型二塞的運算逆用問題】

例2.(1)已知3x9〃?x27加=3”,求加的值.

(2)已知2。=3,4(=5,Sc—5,求8a*c-26的值.

27

【答案】(1)加=2.(2)—

【解析】

【分析】

(1)直接運用同底數(shù)幕的乘法法則以及暴的乘方法則計算即可；

(2)利用同底數(shù)幕的乘除法則以及幕的乘方法則將原式變形即可.

【詳解】

(1)?.-3x9mx27ffl=3x32mx33m=31+5m=3U,

1+5/n=11,解得m=2；

(2)V2-3,4〃=5,8°=5,

3c2i333

...8"+c?=22+。3)=23?X2-(2)=3x5-i-5=||.

【點睛】

本題主要考查同底數(shù)暴的乘除法法則和暴的乘方的運算法則，熟練地掌握相關(guān)的運算法則是解題的關(guān)鍵.

【變式訓練1](1)已知3x+5y=4,求8工-25,的值.

(2)已知3x9"x27"'=3?i,求加的值.

【答案】(1)16；(2)m=4

【解析】

【分析】

(1)逆運用幕的乘方和同底數(shù)幕的乘法變形后，將3x+5y=4代入求解即可；

(2)等式的左邊逆運用幕的乘方和同底數(shù)幕的乘法變形后，根據(jù)底數(shù)相同指數(shù)相同的兩個數(shù)相同可得加的

方程求解即可.

【詳解】

解：⑴3x+5j=4,

8125y=23X?2”=23x+5y=24=16；

(2)■.-3x9mx27m=321,

.■.3x32mx33m=321,即35"=321,

.■.5m+\-21,解得機=4.

【點睛】

本題考查塞的乘方運算和同底數(shù)幕的乘法.熟練掌握公式，并能逆運用是解題關(guān)鍵.

【變式訓練2](1)己知4根=°,8"=6,用含a,6的式子表示下列代數(shù)式：

①求：22m+3n的值

②求：2,加-6”的值

(2)已知2X8XX16=223,求x的值.

2

【答案】⑴①仍，②會(2)x=6

【解析】

【分析】

(1)①根據(jù)題意分別將4加，8〃化為底數(shù)為2的形式，然后代入求解；②根據(jù)題意分別將4加，8〃化為底

數(shù)為2的形式，然后代入求解

(2)由題意將8x化為23方將16化為2%列出方程求出x的值.

【詳解】

解：(1)v4m=tz,Sn=b,

23

?'-2m=af2n=bf

①22加+3〃=22加嗎?〃=〃/7；

2

②2%-6幾=24加+26〃=(22m)2+(23〃)2=~^?

(2)v2x8xxl6=223,

???2x⑵)XX24=223,

.--2X23XX24=223,

.*.1+3X+4=23,

解得：x=6.

【點睛】

本題考查同底數(shù)塞的除法以及塞的乘方和積的乘方，熟練掌握相關(guān)的運算法則是解答本題的關(guān)鍵.

【變式訓練3](1)己知"=工a=3,求亡3”的值.

(2)已知:”=3,求—+(2x")(-5/)的值.

(3)已知3x+5y=4,求8，?25?"的值.

(4)已知3x9，x27"=3巴求加的值.

4

【答案】(1)—；(2)-261：(3)16；(4)加=4

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)幕的除法運算法則再逆用幕的乘方即可求解；

(2)利用幕的運算法則都化成底數(shù)為N”的形式，即可求解；

(3)把8x化成底數(shù)為2的幕的形式，再利用同底數(shù)幕的乘法法則計算即可；

(4)都化成底數(shù)為3的幕的形式，再利用同底數(shù)基的乘法法則計算得到關(guān)于加的一元一次方程，再解即

可.

【詳解】

解：(1)(1)vam=2,an=3,

22"_(??)2_22_4

...a=-：—=----=-7-=—；

?3"(叫33327

(2)'-'x2n=3,

.-.x4,,+(2x")(-5x5n)

=(x2")2-10(x2f1)3

=32-10x33

=-261.

(3)3x+5y=4,

8-v-25y=23X-25y=23x+5y=24=16：

(4)?.?3x9mx27ra=321,

.■.3x32mx33m=321,即3一+1=3%,

5w+1=21,解得m=4.

【點睛】

本題考查了同底數(shù)稚的乘法、塞的乘方的計算方法，根據(jù)式子的特點，靈活變形解決問題.

【類型三新定義型問題】

例3.如果ac=6,那么我們規(guī)定(a,b)=c.例如；因為23=8,所以(2,8)=3.

(1)根據(jù)上述規(guī)定填空：(3,27)=，(4,1)—,(2,0.25)=；

(2)記(3,5)—a,(3,6)—b,(3,30)—c.判斷a,6,c之間的等量關(guān)系，并說明理由.

【答案】(1)3,0,-2；(2)a+b=c,理由見解析.

【解析】

【分析】

(1)直接根據(jù)新定義求解即可；

(2)先根據(jù)新定義得出關(guān)于a,b,c的等式，然后根據(jù)嘉的運算法則求解即可.

【詳解】

(1)V33=27,

???(3,27)=3,

???40=1,

:.(4,1)=0,

.22=；,

???(2,0.25)=-2.

故答案為：3,0,-2；

(2)a+b=c.

理由：???(3,5)—a,(3,6)=b,(3,30)=c,

???3〃=5,36=6,3。=30,

???3ax36=5x6=3c=30,

???3ax3b=3c,

??a^b=c.

【點睛】

本題考查了新定義運算，明確新定義的運算方法是解答本題的關(guān)鍵，本題也考查了有理數(shù)的乘方、同底數(shù)

哥的乘法運算.

【變式訓練1】規(guī)定兩正數(shù)。，6之同的一種運算，記作E(a,b),如果不=6,那么￡(a,b)=c.例如23=

8,所以E(2,8)=3

(1)填空：團3,27)=,￡(；，［］=

(2)小明在研究這和運算時發(fā)現(xiàn)一個現(xiàn)象：E(3",4〃)=E(3,4)小明給出了如下的證明：設(shè)￡(3",4〃)=無，

即(3"戶=4",即(3",4")=4",所以y=4,E(3,4)=x,所以E(3",4")=E(3,4),請你嘗試運用這種方法說

明下面這個等式成立：￡(3,4)+￡(3,5)=￡(3,20)

【答案】(1)3；4；(2)證明見解析.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)規(guī)定的兩數(shù)之間的運算法則：知33=27,［：)=，，從而可得答案；

(2)設(shè)E(3,4)=x,E(3,5)=y,根據(jù)定義得：3、=4,3,=5,利用同底數(shù)累的乘法可得答案.

【詳解】

解：⑴???33=27,

-.E(3,27)=3；

故答案為：3；4；

(2)設(shè)￡(3,4)=x,E(3,5)=y,

則3才=43'=5,

.-.3x+>=3'?3>=4x5=20,

-■E(3,20)=x+y,

:.E(3,4)+E(3,5)=E(3,20).

【點睛】

本題是利用新定義考查嘉的運算的逆運算，掌握塞的運算，同底數(shù)幕的乘法運算是解題的關(guān)鍵.

【變式訓練2】一般地，若a"=b(。>0且。工1,6>0),則〃叫做以。為底6的對數(shù)，記為1。&6,即

logab=n.譬如：3,=81,則4叫做以3為底81的對數(shù)，記為logsgl(gplog381=4).

(1)計算以下各對數(shù)的值：log?4=,log216=,log264=.

(2)由(1)中三數(shù)4、16、64之間滿足的等量關(guān)系式，直接寫出log?4、bg216、k)gz64滿足的等量關(guān)系

式；

(3)由(2)猜想一般性的結(jié)論：log”初+log,N=.(。>0且awl,M>0,N>0),并根據(jù)累的運

算法則：aM-aN^aM+N以及對數(shù)的含義證明你的猜想.

【答案】(1)2,4,6；(2)log24+log216=log264；(3)猜想：logaAf+logoNulog/ACV),證明見解

析.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)材料中給出的運算，數(shù)值就是乘方運算的指數(shù)；

(2)由(1)可以得出；

(3)根據(jù)(2)可以寫出，根據(jù)材料中的定義證明即可.

【詳解】

(1)log,4=2,log216=4,log264=6

(2)log24+log216=log264

(3)猜想：log,M+log,Nnlog,GW)

b2

證明：設(shè)log“M=4，logaN=b2,則a=N,

故可得=/?盧=i,4+d=log.(ACV),

即log.M+log.N=log.(MN).

【點睛】

本題考查對閱讀材料的理解，類似于定義新運算，需要根據(jù)已知的材料尋找規(guī)律.

【變式訓練3】規(guī)定兩數(shù)°,6之間的一種運算，記作(見6),如果則(a,6)=c.我們叫(見為為"雅

對”.例如因為2,=8,所以(2,8)=3.我們還可以利用“雅對”定義說明等式(3,3)+(3,5)=(3,15)成立.證明

如下：

設(shè)(3,3)=〃?,(3,5)=〃，則3"=3,3"=5,

故3"‘3=3"""=3x5=15,

則(3,15)=m+n,

即(3,3)+(3,5)=(3,15).

(1)根據(jù)上述規(guī)定，填空：(2,0.25)=；(5,1)=；(—,16)=4.

(2)計算(5,2)+(5,7)=,并說明理由.

(3)利用“雅對”定義證明：(2",3")=(2,3),對于任意自然數(shù)〃都成立.

【答案】(1)-2,0,2；(2)(5,14)；(3)見解析

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)上述規(guī)定即可得到結(jié)論；

(2)設(shè)(5,2)=x,(5,7)可，根據(jù)同底數(shù)嘉的乘法法則即可求解；

(3)設(shè)(2/7,3〃)=x,于是得到(2?)x=3〃，即(2x)〃=3〃根據(jù)"雅對"定義即可得到結(jié)論.

【詳解】

解:(1)?.?2-2=0.25,

???(2,0.25)=-2；

(5,1)=0；

???24=16,

(2,16)=4,

故答案為：-2,0,2；

(2)設(shè)(5,2)=x,(5,7)=y,

則5x-2,5y=7,

:5x+y=5x?5y=14,

???(5,14)=x+y,

(5,2)+(5,7)=(5,14),

故答案為：(5,14)；

(3)設(shè)(2〃，3")=x,則(2M)x-3n,即(2x)n-3n,

所以2x=3,即(2,3)-x,

所以(2〃，3”)=(2,3).

【點睛】

此題考查了有理數(shù)的運算，幕的乘方，同底數(shù)幕的乘法，弄清題中的新運算是解本題的關(guān)鍵.

【類型四比較大小問題】

例題4.比較下列各題中塞的大小：

(1)己知a=8P,6=27*4=961,比較a、b、c的大小關(guān)系;

(2)比較255,3〃,533,622這4個數(shù)的大小關(guān)系；

OO91I9

(3)已知尸=4,0=爐，比較P,。的大小關(guān)系；

ss

【答案】(1)a>b>c；(2)2<6-<3**<5?；(3)P=Q

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)幕的乘方公式，化為底數(shù)是3的形式進行比較；

(2)根據(jù)幕的乘方公式，化為指數(shù)是11的形式進行比較；

(3)利用作商法，結(jié)合積的乘方法則計算，根據(jù)結(jié)果判斷.

【詳解】

解：(1)-.-?=8131=(34)31=3124,

（2）255=（25）"=3211,

344=（34）'1=81n,

533=（53）"=125",

622=（6?）"=36",

V32"<36"<81"<125",

/.255<622<344<533；

、P99911999999099xll9990,

"Q~9"'9909"ll9-9"—，

■■P=Q.

【點睛】

本題考查了幕的乘方和積的乘方，靈活運用運算法則是解題的關(guān)鍵.

【變式訓練1】將哥的運算逆向思維可以得到4""=八優(yōu)，*=(優(yōu)')"，優(yōu)"=(")"',在

解題過程中，根據(jù)算式的結(jié)構(gòu)特征，逆向運用幕的運算法則，?？苫睘楹?，化難為易，使問題巧妙獲

解.

門儼1

⑴52021x1=；

(2)若3x9"'x27叫=3”,求加的值；

(3)比較大小：a=255,6=344,。=5%]=6?2,則0,的大小關(guān)系是什么？

(提示：如果a>b>0,"為正整數(shù)，那么a">6")

【答案】(1)1；(2)m=2；(3)a<d<b<c.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)積的乘方公式，進行逆運算，即可解答；

(2)轉(zhuǎn)化為同底數(shù)累進行計算，即可解答；

(3)轉(zhuǎn)化為指數(shù)相同，再比較底數(shù)的大小，即可解答.

【詳解】

解：(1)52021X(1)202I=(5X1)202I=1202I=1

故答案為：1

(2)???3x9ff!x27"'=3",

，3X(32『X(337=3U,

???3x32fflx33m=3U,即31+2m+3m=3n,

.■-1+2m+3w=11,解得機=2；

(3)由題可得：a=255=(25)"=32n,/,=344=(34)"=8111,c=533=(53)"=12511,</=622=(62)"=3611,

■,?32<36<81<125,

.'.3211<36"<81"<125",

即a<d<6<c.

【點睛】

本題考查了哥的乘方和積的乘方，解決本題的關(guān)鍵是公式的逆運用.

【變式訓練2】閱讀材料，解決問題.

材料一:比較322和4”的大小.

解：因為4U=Q2)"=222,而3>2,所以322>222,即3??>4”.

小結(jié)：在指數(shù)相同的情況下，可通過比較底數(shù)的大小，來確定兩個累的大小.

材料二：比較28和82的大小.

解：因為82=(巧2=26,而8>6,所以28>2%即28>82.

小結(jié)：在底數(shù)相同的情況下，可以通過比較指數(shù)的大小，來確定兩個累的大小.

⑴比較33433,522的大小:

(2)比較8P,27*,961的大小.

【答案】(1)344>433>522；(2)8131>2741>961

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)幕的乘方法則的逆運算進行變形，再比較大小；

(2)根據(jù)幕的乘方法則的逆運算進行變形，再比較大小.

【詳解】

解：(1)V344=(34)1J813

433二(43)11=64”,

522=(52)1J253

??-81>64>25,

.-.8111>6411>2511,

即344>433>522；

(2)V8131=(3D31424,

2741=(33)保3123,

961=(32)61=3122,

???124>123>122,

,，3124>3123>3122,

即8131>2741>9嗎

【點睛】

本題考查幕的乘方與積的乘方、有理數(shù)大小比較，解答本題的關(guān)鍵是明確有理數(shù)大小的比較方法.

【變式訓練3】在學習了〃幕的運算法則〃后，經(jīng)常遇到比較幕的大小問題，對于此類問題，通常有兩種解決

方法，一種是將新化為底數(shù)相同的形式，另一種是將幕化為指數(shù)相同的形式，請閱讀下列材料：

若/=2,^5=3,則〃，b的大小關(guān)系是〃b(填〃<〃或〃>〃)；

解：?.?儲5=(/)5=25=32,85=僅5)3=33=27,且32>27

?.a15>bi5

：.a>b

類比閱讀材料的方法，解答下列問題：

(1)上述求解過程中，逆用了哪一條幕的運算性質(zhì).

A.同底數(shù)幕的乘法；B.同底數(shù)幕的除法；C幕的乘方；。積的乘方

(2)試比較8產(chǎn)、27如、9"的大小;

【答案】(1)C；(2)8131>2741>961

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)幕的乘方法則判斷即可；

(2)根據(jù)幕的乘方法則的逆運算計算.

【詳解】

解：(1)求解過程中，逆用了幕的乘方運算，

故選C;

.■-8131>2741>961.

【點睛】

本題考查了幕的乘方的運算及逆運算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握幕的乘方的運算法則及逆運算法則.

【課后訓練】

1.計算：|-i|+（5-^）°-（-1r2+（-i）2021.

【答案】-8

【解析】

【分析】

先根據(jù)絕對值的性質(zhì)，零指數(shù)幕，負整指數(shù)幕，負一的奇次幕運算法則進行計算，再根據(jù)有理數(shù)加減法法

則進行計算即可求解.

【詳解】

解：原式=1+1-9-1,

=-8.

【點睛】

本題主要考查絕對值的性質(zhì)，零指數(shù)幕，負整指數(shù)幕，負一的奇次幕運算法則，解決本題的關(guān)鍵是要熟練

掌握對值的性質(zhì)，零指數(shù)幕，負整指數(shù)幕，負一的奇次幕運算法則.

2.計算：（一1產(chǎn)。+（無

【答案】-2

【解析】

【分析】

先算乘方，零指數(shù)哥和負整數(shù)指數(shù)塞，再算加減法即可求解.

【詳解】

原式=1+1-4

=-2.

【點睛】

本題主要考查實數(shù)的混合運算，掌握零指數(shù)幕和負整數(shù)指數(shù)嘉的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.規(guī)定a*6=3"x3J求：

(1)求1*2；

(2)若2*(x+l)=81,求x的值.

【答案】(1)27；(2)x=l

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)規(guī)定即可完成；

(2)根據(jù)規(guī)定及幕的運算，可得關(guān)于x的方程，解方程即可.

【詳解】

(1)-：a*b=rx3b,

.-.1*2=31X32=3X9=27;

(2),.,2*(x+l)=81,

,-.32X3-V+1=34,

3川=34

則x+3=4,

解得：x=l.

【點睛】

本題是新定義運算問題，考查了同底數(shù)塞的運算，解方程等知識，理解新定義運算是解題的關(guān)鍵.

4.規(guī)定a*6=2"x2J求：

(1)求1*3

(2)若2*(2x-l)=32,求x的值.

【答案】(1)16；(2)%=2

【解析】

【分析】

(1)直接利用已知a*6=2"x2J將原式按定義式變形得出答案；

(2)直接利用已知將原式變形得出等式，再利用同底數(shù)幕相等指數(shù)相等列方程求出答案即可.

【詳解】

解：⑴1*3=21x23=16；

(2)v2*(2x-l)=32,

2

???2X22*7=25

.^2x+l_25

2%+1=5

x-2.

【點睛】

本題主要考查了新定義運算以及同底數(shù)基的乘法運算，正確的將原式按照定義式變形是解題的關(guān)鍵.利用

同底數(shù)幕的乘法法則時應(yīng)注意：底數(shù)必須相同；指數(shù)是1時，不要誤以為沒有指數(shù).

5.(1)已知：屋=一2,a"=5,求a"""的值；

(2)已知:x+2y+l=3,求3"x9〉x3的值.

【答案】(1)-10；(2)27

【解析】

【分析】

(1)逆用同底數(shù)募的乘法法則計算即可；

(2)利用哥的乘方法則和同底數(shù)暴的乘法法則變形，然后把x+2方2代入計算

【詳解】

解：(1)■■-am=-2,a"=5,

■-am+"=a'n-a"=-2x5=,

(2)1,?x+2j+1=3,

■'-x+2y=2,

■■Vx9vx3=Yx32yx3=3x+2y+1=寸=27；

【點睛】

本題考查了幕的運算，熟練掌握哥的運算法則是解答本題的關(guān)鍵.同底數(shù)的幕相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加;

幕的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.

6.規(guī)定兩個非零數(shù)。，6之間的一種新運算，如果優(yōu)"=6,那么。A6=加.例如：因為52=25,所以5A25=

2；因為5。=1,所以5A1=0.

(1)根據(jù)上述規(guī)定填空：2人32=；-3A81=.

(2)在運算時，按以上規(guī)定請說明等式8A9+8人10=8八90成立.

【答案】(1)5,4；(2)說明見解析.

【解析】

【分析】

(1)結(jié)合新定義運算及有理數(shù)的乘方運算法則分析計算；

(2)結(jié)合新定義運算及同底數(shù)幕的乘法運算法則進行分析說明.

【詳解】

解：⑴???25=32,

二2八32=5,

(-3)4=81,

???-3A81=4,

故答案為：5；4；

(2)設(shè)8A9=a,8A10=6,8A90=C,

:8。=9,86=10,8c=90

.,.8ax86=8〃6=9x10=90=8c,

■,-a+b=c,

即8A9+8A10=8A90.

【點睛】

本題考查新定義運算，掌握有理數(shù)乘方運算法則，同底數(shù)基的乘方運算法則是解題關(guān)鍵.

7.如果那么我們規(guī)定(。，6)=c.例如：因為2,=8,所以(2,8)=3.

(1)根據(jù)上述規(guī)定，填空：(4,16)=,(2,32)=.

(2)記(3,5)=a,(3,6)=b,(3,30)=c.求證：a+b=c.

【答案】(1)2,5；(2)證明見解析.

【解析】

【分析】

(1)由新定義設(shè)(4』6)=x,可得4,=16,從而可得答案，同理可得(2,32)的結(jié)果;

(2)由新定義可得3"=5,3〃=6,3。=30,從而可得3%3〃=3*=30,從而可得3"〃=3°,從而可得結(jié)

論.

【詳解】

解：⑴Q(a,b)=c,

ac=b,

設(shè)(4,16)=x,

4*=16=42,

..x-2,

.“4,16)=2,

設(shè)(2,32)=%

2y=32=25,

y=5,

.1(2,32)=5.

故答案為：2,5.

(2)證明：根據(jù)題意得：

3"=5,3=6,3。=30

V5x6=30

???3"-36=3°貝1]3"=3°

■■a+b—c.

【點睛】

本題考查的新定義情境下幕的運算，弄懂新定義的含義，掌握同底數(shù)累的乘法，幕的含義是解題的關(guān)鍵.

8.計算：

22

(1)-2+(-)--27°;

(2)X2-X6-(-2/)2+5X134-X5

(3)(a-b)2，S-a)'M-(a算6)1；

⑷先化簡，再求值：[5/./_(3力2+(吟3卜(_2/)2,其中。=一5.

【答案】⑴-1

(2)2左

⑶”)4

(4)-a2,—25.

【解析】

【分析】

(1)先根據(jù)零指數(shù)幕，負整數(shù)指數(shù)稚計算，再合并即可求解；

(2)先算累的乘方，再算乘除，最后計算加減即可求解；

(3)把作為一個整體，從左往右計算，即可求解；

(4)先算括號內(nèi)的，再計算除法，最后再代入求值，即可求解.

(1)

解：原式=-4+4-1

=-1;

⑵

原式=/-4x$+5x'

=(1-4+5)?

=2x8；

⑶

原式=_(?！猙)2(a—b)5-[—(a—b)3]

=(a-b)4.

⑷

原式=(5--獷+叫+4-

=-4。6+4。4

=-a2，

當。=一5時，原式=-25.

【點睛】

本題主要考查了募的混合運算，零指數(shù)累，負整數(shù)指數(shù)幕，熟練掌握累的運算法則，零指數(shù)暴，負整數(shù)指

數(shù)幕法則是解題的關(guān)鍵.

9.若d"=a"且4/1,m、”是正整數(shù))，則加=〃.利用上面結(jié)論解決下面的問題：

(1)如果2+8，?16,=2§,求x的值；

(2)如果2"+2由=24,求x的值；

(3)若x=5"-3,7=4-25"",用含x的代數(shù)式表示y.

【答案】(1)x=4；(2)x=2；(3)y=-x-6x-5

【解析】

【分析】

(1)先,將底數(shù)都化為2,再利用同底數(shù)暴的乘除法法則計算；

(2)利用積的乘方逆運算解答；

(3)利用等式的性質(zhì)及幕的乘方逆運算將式子變形為x+3=5*4-y=25m=52m,即可得到x與y的關(guān)系

式，由此得到答案.

【詳解】

解:(1)?.?2+8*/6*=25,

???24-23X-24X=25，

:1-3x+4x=5,

解得x=4；

(2)2X+2+2A+1=24,

■■2X-22+2X-2=24，

2*(4+2)=24,

2*=4=2?,

x=2；

(3)?.?尤=5'”-3,?=4-25"1

，.x+3=5"',4-y=25m=52m,

4—y=(x+3)~,

*'?jp=4—(x+3)~=一無~-6無~5.

【點睛】

此題考查整式的乘法公式：同底數(shù)累相乘、同底數(shù)暴相除、積的乘方以及累的乘方的計算法則，熟記法則

及其逆運算是解題的關(guān)鍵.

10.閱讀：已知正整數(shù)a、b、c,顯然，當同底數(shù)時，指數(shù)大的累也大，若對于同指數(shù)，不同底數(shù)的兩個塞

/和cJ當時，則有/>cJ根據(jù)上述材料，回答下列問題.

(1)比較大?。?20420(填寫〉、(或=).

(2)比較233與322的大小(寫出比較的具體過程).

(3)計算42021XO.252020-82021X0.1252020.

【答案】(1)>;(2)233<322;(3)-4

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)同指數(shù)的幕底數(shù)越大塞越大，可得答案；

(2)根據(jù)幕的乘方，可得指數(shù)相同的幕，根據(jù)底數(shù)越大累越大，可得答案;

(3)先根據(jù)積的乘方逆運算進行運算，再進行減法運算即可得出答案.

【詳解】

解：(1)-.?5>4,

,?.520>42%

故答案為：>；

3

(2)?.?233=(2)11=8",322=(32)11=911,

又?.?8<9,

233<322.

(3)42021xO.252020-82021xO.1252020

=(4xO.25)2020x4-(8x0,125產(chǎn)°x8

=4-8=-4

【點睛】

本題考查了哥的乘方以及積的乘方，利用同指數(shù)的基底數(shù)越大幕越大是解題關(guān)鍵.

11.根據(jù)同底數(shù)募的乘法法則，我們發(fā)現(xiàn)：(其中加，〃為正整數(shù))，類似地我們規(guī)定

關(guān)于任意正整數(shù)加，〃的一種新運算：〃(加+")=力(加)?/?("),請根據(jù)這種新運算解決以下問題：

⑴若人(1)=一1,則"2)=；〃(2019)=；

⑵若%⑺=128,求“⑵,刀⑻的值；

⑶若右=4,求刈2)的值；

“4)〃(2)〃(4)力(6)h(2n}

⑷若1y=4,直接寫出篇+篇+者+…+"的值.

【答案】⑴1;-1

(2)4；256

(3)4

(4)2'用一2或_0~—

3

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)/（加+"）=〃（加），（"）即可得至l」/7（2）=〃（l>〃（l）=-lx（-l）=l；由〃（2019）=〃（1+2018）

="1）-〃（2018）即可推出力（2019）="1”7（2）皿4,由此即可得到答案；

（2）根據(jù)〃⑺="1）7即可求出〃⑴，再由力（2）=力⑴.秋1）,刈8）=力（1+7）="1），⑺求解即可;

根據(jù)〃（4）=〃（2+2）=〃（2）/（2）,黑=4,求解即可；

（3）

刀（2）

（4）^h[2n）=h[n）-h（n）（〃為正整數(shù),/z（"）wO）,得到=〃（〃）,則

n\nj

得n\\）+得用（2）+得/i（3）+…+竽n[n?）="（vD7+'Ovy7+'OvY7+L"1v7）"'從而推出5="?（1）一:⑴再由（3）可以求

出〃（2）=4,則〃⑴=2或41）=-2,由此求解即可.

（1）

解：機+"）=人（"2>〃（〃），

二.〃（2）=h（1）-h（1）=—1x（―1）=1,

.-.A（2019）=A（l+2018）

=/?（!）-//（2018）

=//（1）■A（2）.（2016）

=A（1）-7Z（2）-7Z（2）-/;（2014）

=A（l）.//（2）1014

=-l.（-l）1014

=-1f

故答案為：1;-1;

⑵

解：???〃⑺=/7（1）47（6）

=/!（1）■//（1）■//（5）

=A（l）./z（l）./z（l）.7z（4）

.?.〃⑴，=128,

/z⑴=2,

.?.力(2)=〃⑴，(1)=4,A(8)=A(1+7)=A(1)?A(7)=256；

(3)

解：???〃(4)=〃(2+2)=〃(2).〃(2),黑=4,

/z(2)=4；

(4)

解：-：h[2n)=h(n)-h{n)(〃為正整數(shù)，〃(〃)片0),

“2)J(4)%⑹A(2?)

<(1)〃(2)力(3)h[n}

=A(l)+A(2)+/i(3)+Lh(n)

=/!(l)+/!(l)2+/;(l)3+L〃⑴"

設(shè)S=//(l)+/z(lf+〃(iy+L4(i)",貝1]$./7(1)=//(1)2+〃(])3+6(])4+1人

+1

.-.S[/)(l)-l]=7z(l)"-/)(l)

人⑴一⑴

MX'

由(3)可知"2)=4,

%(2)=/?(1+1)=〃⑴,〃⑴=4,

.?加1)=2或"1)=-2,

r\n+\_0

+1

當"1)=2