江蘇省常州市2024-2025學(xué)年高三年級上冊期中質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試題（含答案）

常州市2024-2025學(xué)年第一學(xué)期高三期中質(zhì)量調(diào)研

數(shù)學(xué)

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動,

用橡皮擦干冷后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷

上無效.

3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.已知集合/={x，<6},3={-3,—1,0,2,3},則ZA5=（）

A.{-1,0}B.{0,2}c.{-3,-1,0}D.{-1,0,2}

2.已知a,beR,則“6=e"”是"a=lnb”的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

3.已知復(fù)數(shù)z滿足z2—2iz-1=0,則Z—5=（）

A.-2iB.2iC.0D.2

4.有甲、乙等5名同學(xué)咨詢數(shù)學(xué)史知識競賽分數(shù).教師說：甲不是5人中分數(shù)最高的，乙不是5人中分數(shù)最

低的，而且5人的分數(shù)互不相同.則這5名同學(xué)的可能排名有（）

A.42種B.72種C.78種D.120種

5.已知a,"是兩個不同的平面，a,6是兩條不同的直線，下列條件中，一定得到直線/I.a的是（）

A.aV/3,1//（3B.ILa,a//aC.I//a,a±aD./_La,/J_uua

「3兀）

6.已知函數(shù)/（同=（305。%（0>0）的最小正周期為7.若2兀<7<4兀，且曲線V=/（x）關(guān)于點—-0中

I4

心對稱，則/（兀）=（）

1rV3D百

A.B.----

2222

coso=^^，sin(a+夕)=^^，貝(]cos/?=(

T.已知a,廣￡（0,兀）,且)

5v710

VTon麗「9廂n9廂

A.D.---------Vy?-----------------\-)?----------------------

To-105050

8.已知函數(shù)/（x）=log“（2-?）（a>0,且awl）.3xe[l,2],使得成立，則實數(shù)。的取值范

圍是（)

「23「2'「21

A.-JB.-91U（l,2]C.（1,2]D.-?2

_37L3Jl_3_

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知平面內(nèi)兩個單位向量的夾角為6,則下列結(jié)論正確的有（）

A.（5+6）l（5-fe）B.卜+4的取值范圍為[0,2]

C.若忖-k則0=1D.N在讓的投影向量為四

10.甲、乙兩選手進行象棋比賽，有3局2勝制、5局3勝制兩種方案.設(shè)每局比賽甲獲勝的概率為P（0＜夕＜1）,

且每局比賽的結(jié)果互不影響，則下列結(jié)論正確的有（）

A.若采用3局2勝制，則甲獲勝的概率是22（3—22）

B.若采用5局3勝制，則甲以3：1獲勝的概率是523（1一2）

C.若。=0.6,甲在5局3勝制中比在3局2勝制中獲勝的概率大

D.若。=0.6,采用5局3勝制，在甲獲勝的條件下比賽局數(shù)的數(shù)學(xué)期望是3

11.已知函數(shù)/（x）=（x——2為/（x）的極大值點，則下列結(jié)論正確的有（）

A.a=2

B.若4為函數(shù)/（X）的極小值點，則6=4

C.若/（X）在刀,6內(nèi)有最小值，則6的取值范圍是

D.若/（x）+4=0有三個互不相等的實數(shù)解，則6的取值范圍是（5,48）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知正數(shù)x,y滿足2孫=x+4y,則成的最小值為.

13.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點尸（cosa,sini）,將線段。尸繞原點。按順時針方向旋轉(zhuǎn)至線段

OP'.若cosa=；,則點p的縱坐標(biāo)為.

14.已知一個母線長為1,底面半徑為r的圓錐形密閉容器（容器壁厚度忽略不計），能夠被整體放入該容器

的球的體積最大時，『=.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）

某研究性學(xué)習(xí)小組為研究兩個變量x和丁之間的關(guān)系，測量了對應(yīng)的五組數(shù)據(jù)如下表：

X23456

y47121314

(1)求歹關(guān)于X的經(jīng)驗回歸方程；

(2)請估計x=3.5時，對應(yīng)的y值.

附：在經(jīng)驗回歸方程?=&+左中，----------,a=y-bx,其中歹茂為樣本平均值.

(可2

1=1

16.(15分)

在銳角△4SC中，a,b,。分別是角4,B,C所對的邊，已知l—cos2N=4sin4sin3sinC.

(1)求上+—1—點的值；

tanBtanC

(2)若a=2,求△4BC的面積.

17.(15分)

某校由5名教師組成校本課程講師團，其中2人有校本課程開設(shè)經(jīng)驗，3人沒有校本課程開設(shè)經(jīng)驗.先從這5

名教師中隨機抽選2名教師開設(shè)校本課程，該期校本課程結(jié)束后，再從這5名教師中隨機抽選2名教師開設(shè)下

一期校本課程.

(1)在第一次抽選的2名教師中，有校本課程開設(shè)經(jīng)驗的教師人數(shù)記為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)求“在第二次抽選的2名教師中，有校本課程開設(shè)經(jīng)驗的教師人數(shù)是1”的概率.

18.(17分)

己知函數(shù)/(x)是定義域為R的奇函數(shù)，當(dāng)x<0時，/(x)=eT(x+2).

⑴求的解析式；

(2)求曲線y=/(x)在x=2處的切線方程；

(3)若也,馬wR,都有—/(%)歸加，求實數(shù)加的最小值.

19.(17分)

如圖，在四棱柱/5Q)—44G4中，已知8_L底面/BCD,AB//CD,AB±AD,AB=2AD=2CD=2,

?4=石，點后是線段班上的動點.

B

（1）求證：〃平面Bcq；

（2）求直線N3與期所成角的余弦值的最大值；

/7

（3）在線段班上是否存在與2不重合的點E,使得二面角5-/￡-C的正弦值為9學(xué)區(qū)？若存在，求線段

5

的長；若不存在，請說明理由.

常州市2024-2025學(xué)年第一學(xué)期高三期中質(zhì)量調(diào)研

數(shù)學(xué)2024年11月

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動,

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，1各答案寫在答題卡上，寫在本試卷

上無效.

3.考試結(jié)束后,將答題卡交回.

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.已知集合力={x|f<6},B={-3,-l,0,2,3}，則=

A.{-1,0}B.{0,2}C.{-3-1,0}D.{-1,0,2)

【答案】D

【解析】A={x\-^<x<^6],^05={-1,0,2},選D.

2.已知，則"bW是"a=lnb"的

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】ea=b,^a=\nb，充分；a=lnb，則e"=6，必要，選A.

3.已知復(fù)數(shù)二滿足，一2上—1=0,則z—Z=

A.-2iB.2iC.0D.2

【答案】B

【解析】令N=4+bi,a,bGR，則z?=a2+2ab\-b2,

a2-b2+2ab-\=0

a2+-Z)2-2i(?+Z)i)-1=0

2ab-2a=0

a2+2a-2=0

z-z=2bi=2i,選B.

b=\

4.有甲、乙等5名同學(xué)咨詢數(shù)學(xué)史知識競賽分數(shù)教師說：甲不是5人中分數(shù)最高的，乙不是5

人中分數(shù)最低的，而且5人的分數(shù)互不相同.則這5名同學(xué)的可能排名有

A.42種B.72種C.78種D.120種

【答案】C

【解析】1°乙最高，有A：個結(jié)果.

2。乙不是最高，則最高有C；個結(jié)果，有3個結(jié)果，剩下3個全排列，此時共有C；C；A；個結(jié)

果，A：+C；C；A；=78，選C

5.已知是兩個不同的平面，。力是兩條不同的直線，下列條件中，一定得到直線/1a的

是

A.a_LHpB.ILa,aHa

C.I//a,a±aD./±a,/-Lb,acza,bca

【答案】C

【解析】IIIa,ala一定有/_La，選C.

6.已知函數(shù)/(幻=(^*(。＞0)的最小正周期為7\若2乃＜7＜4乃,且曲線歹二/(x)關(guān)

(3乃、

于點多,0中心又痢，則/(〃)=

I4)

11

A.一B.--且DT

22c22

【答案】B

【解析】7=‘￡(2凡4萬)，，/⑶的對稱中心=肛0

①U)[4

3兀7t2乙、2乙、2〃1、*e

則ntl丁0二5,ty=-,/(x)=cos-x,/(^)=cos--=,選B.

飛JJJ

7.已知￡(0,乃)，且cosa=@

,sin(a+/?)=—，貝!Jcos/?=

5

c9V109M

AVioVioc.----D.----

10105050

【答案】B

【解析】。￡(0,乃)，cosa二手，貝!Isina=乎

..c\y/225/5.zn\r\tn\

sin(ez+A)=-jy<-y-,則cos(a+/?)<0,cos(a+/?)=---

cosp=cos[a+/3-a]=cos(a+/^)cosa+sin(a+￡)sina

逑速+名述二一回

10510510

8.已知函數(shù)/(x)=log，2—6)(。>0,且。).3XG[1,2],使得/(x)21成立,則實

數(shù)〃的取值范圍是

A.目)B.即U.2]C.(1,2]D.1,2

【答案】A

【解析】歹=2—辦在[1,2]單調(diào)遞減，.”=2時，2-2a>0，即。<1,選A.

"1時，/=log/單調(diào)遞減，.■J(x)在[1,2]單調(diào)遞增，

yr

???/?max=/(2)=Ioga(2-2^)>l,:.2-2a<a,:.a>-.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知平面內(nèi)兩個單位向量的夾角為e，則下列結(jié)論正確的有

A.G+5)_LQ-6B.B+q的取值范圍為［oa

C.若—，則<9=3D.￡在書上的投影向量為昨

【答案】AB

-^~-*2—?2—?—?

【解析】(4+6)3—b)=a—b=0一?.(o+b)_L(a—b),A對.

Z3同向共線時Z+書取最大值2,反向共線時￡+5=0,B對.

min

a-b=y/3,則=；,則cos(a6=-g,(a,b^=^~,C錯.

Z在辦上的投影向量學(xué)否二(￡,靖力,D錯.

W，

10.甲、乙兩選手進行象棋比賽，有3局2勝制、5局3勝制兩種方案,設(shè)每局比賽甲獲勝的概

率為。(0<p<1),且每局比賽的結(jié)果互不影響，則下列結(jié)論正確的有

A.若采用3局2勝制，則甲獲勝的率是02(3-2。)

B.若采用5局3勝制，則甲以3:1獲勝的概率是5P3(1-p)

C.若p=0.6,甲在5局3勝制中比在3局2勝制中獲勝的概率大

D.若夕=0.6,采用5局3勝制，在甲獲勝的條件下比賽局數(shù)的數(shù)學(xué)期望是3

【答案】AC

【解析】對于人，甲獲勝，概率為02+「(1一夕)0+(1-。)。9=/(3—2。)，人對.

對于B,甲3:1獲勝概率3P2(l—p)p=3/(1—⑼，B錯.

對于C,p=0.6,3局2勝制中，甲獲勝概率p2(3-2p)=0.648

5局3勝制中，甲獲勝概率p3+3p3(l—p)+C%2?！?2。

=0.63+3x0.63x0.4+6x0.63x0.42=0.63x3.16=0.68256>0,648,C又寸.

0.631

對于D,比賽局數(shù)X可取3,4,5,P(X=3)=

0.63X3.16116

3+4.8+4.8

EX=3,D錯，選AC.

116

11.已知函數(shù)/(x)=(x-a)2(x-b)("b),2為/(x)的極大值點,則下列結(jié)論正確的有

A.a=2

B.若4為函數(shù)/(x)的極小值點，則6=4

(2b、，8、

C.若/(x)在一力內(nèi)有最小值，則方的取值范圍是1+8

\3)\3)

D.若/(x)+4=0有三個互不相等的實數(shù)解，則6的取值范圍是(5,物)

【答案】AD

【解析】/'(X)=2(x-a)(x-b)+(x-a)2=(x-a^lx-2b+x-a)

=(x-a)(3x-a-2b)，令/'(x)=0，則x=a或^^，而，則。

/(x)在(-8⑷單調(diào)遞增Ja,交咨]單調(diào)遞減，(土產(chǎn),+小單調(diào)遞增

\3JI3)

/./(X)的極大值點為a(二.a=2,A對

4為極小值點，貝!]^^=4，貝IJ6=5,B錯.

(2b、一處取/,2+26、e-2丫

/(x)在gb內(nèi)有最小值，則最小值在—4

13J、3,

(2b\，2+2公Q

/彳2/I,c錯.

\J3)3

6-2Y

/(x)=-4有三個互不相等的實數(shù)解，則-4<-4,:.b>5,D又寸，選AD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知正數(shù)X/滿足2肛=x+4?，則9的最小值為.

【答案】4

2

【解析】2xy=x+4y>2y/4xy,.\4(xy)>16xy,:.xy>4,(Ay)mjn=4.

13.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知點P(cosa,sina),將線段。尸繞原點。按順時針方向

TT1

旋轉(zhuǎn)彳至線段0P.若cosa=；,則點P的縱坐標(biāo)為

23

【答案】

，乃、1

【解析】y-=sina--=-cosa=--.

Pk2J3

14.已知一個母線長為1,底面半徑為r的圓錐形密閉容器(容器壁厚度忽略不計)，能夠被整

體放入該容器的球的體積最大時，r=.

0L

r2(l-r)-2r(r2+r-l)

")二,re(0,l)，/'⑺==0

r+1(「+1)2

5/5—1..—5/5—1

尸=0舍或或舍，/⑺在0,V5-C單調(diào)遞增，,1單調(diào)遞減

222J

7

s/s—1

.?"⑺在廠二時取最大值.

2

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)某研究性學(xué)習(xí)小組為研究兩個變量x和歹之間的關(guān)系，測量了對應(yīng)的五組數(shù)據(jù)如

F表：

X23456

y47121314

(1)求y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程;

(2)請估計x=3.5時，對應(yīng)的力直.

Y.x^-nxy___

附：在經(jīng)驗回歸方程)=△+炭中，6T-----------，a=y-bx，其中xj為樣本平均

值

【解析】

15151

(I)X=-yx=—x20=4,y=-Xv.=-x5O=io

5乙'55

55

=8+21+48+65+84=226,^x.2=4+9+16+25+36=90

/=1

n

^x^-nxy

226-5x4x10

所以石二與------------=2,6,a=y-bx=\0-2.6x4=-0A,

90-5x42

響2

所以y關(guān)于X的經(jīng)驗回歸方程為y=2.6x-0.4.

(2)由(1)知3=2.6x—0.4,x=3.5時,y=2.6x3.5-0.4=8.7,

以此估計x=3.5時，對應(yīng)的y值為8.7.

16.(15分)在銳角AABC中，a,b,c分別是角A,B,C所對的邊，已知

1-cos2/=4sin/sin3sinC.

(1)求工+二方的值；

tanBtanC

(2)若a=2,求△力3C的面積.

【解析】

(1)銳角△力BC中，sin/>0,

由題知1一cos2/=4sin/sinBsinC,又因為l-cos24=2sin24,

所以2sin?4=4sin/sin8sinC,所以sinZ=2sin8sinC.

1+1_cosBcosCcosBsmC+sinBcosCsin(B+Q

tanBtanCsinBsinCsinBsinCsinBsinC

因為力+B+C=7C,sin(B+C)=sin(K-A)=sinA.

11sinA.

所以---------1---------=---------------=2.

tanBtanCsinBsinC

(2)由(1)知2sin2/=4sin4sin3sinC^Psin24=2sin/sin3sinC,

sir?/2”./sin8

所以———xa=2bcsin4x------x

ab

sin/sinBsinC

又因為正弦定理----=——=-----，所以〃=2bcsin/.

abc

又因為a=2，所以S“8c=!bcsin/=!a2=i

17.(15分)某校由5名教師組成校本課程講師團，其中2人有校本課程開設(shè)經(jīng)驗，3人沒有

校本課程開設(shè)經(jīng)驗.先從這5名教師中隨機抽選2名教師開設(shè)校本課程,該期校本課程結(jié)束后,

再從這5名教師中隨機抽選2名教師開設(shè)下一期校本課程.

(1)在第一次抽選的2名教師中，有校本課程開設(shè)經(jīng)驗的教師人數(shù)記為X,求X的分布列

和數(shù)學(xué)期望；

(2)求"在第二次抽選的2名教師中，有校本課程開設(shè)經(jīng)驗的教師人數(shù)是1"的概率

【解析】

(1)X的可能取值為0』,2,

363C21

^=0)-=-,P(X=l)-=-=-'^=2)-=-

所以隨機變量*的分布列為

X012

331

P

To5To

3314

其數(shù)學(xué)期望為E(X)=0x.+lx1+2x石=彳.

(2)用8表示事件"在第二次抽選的2名教師中，有校本課程開設(shè)經(jīng)驗的教師人數(shù)是1",

用4G=0,1,2)表示事件"第一次抽選的2名教師中，有校本課程開夠驗的教師人數(shù)是廣，

2

4，4，4酮互斥，￡A=Q,

/=0

331

由(1)知P(4)=-,P(4)=：,尸(4)=

2aa「廣1「廣77

由全概率公式得，P(B)=X尸(4)尸(814)=-X*+-X皆+-X安=—.

27

所以"在第二次抽選的2名教師中，有校本課程開設(shè)經(jīng)驗的教師人數(shù)是1”的概率為否.

18.(17分)已知函數(shù)/(x)是定義域為R的奇函數(shù)，當(dāng)x<0時，f(x)=e\x+2).

(1)求/(、)的解析式；

(2)求曲線y=/(x)在x=2處的切線方程；

(3)若Vx”/GR，都有|/(石)-/(工2)|〈加，求實數(shù)機的最小值.

【解析】

x—2

方法一：(1)當(dāng)X>0時，f(x)=-f(-x)=-e~x(-x+2)=一

e

ex(x+2),x<0

/.f(x)=<0,x=0

x—2八

------,x>0

[ex

(2)x>0時，/'(x)=ej?-2)=3-x，八4二二，切點Q,0)

eee

/(刈在工=2處的切線方程為y=^(x-2)

e

(3)/(x)在(0,3)上單調(diào)遞增；(3,m)上單調(diào)遞減

x>0,xf0時，/(x)f-2,"3)=1，作出/(x)的大致圖象如下,

由圖知加24,叫面二4.

方法二：(1)設(shè)x>0，則—x<0，所以/(—x)=e-、(—x+2),

因為/(x)是奇函數(shù)，所以/(-X)=-f(x),

所以-/(x)=eT(r+2),即/⑶=e-、(x—2),

因為函數(shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以/(0)=0,

eT(x+2),x<0

所以函數(shù)的解析式為/(x)=<0,x=0,

e-A(x-2),x>0

(2)當(dāng)尤>0時，/(x)=e-x(x-2),f'(x)=e~\3-x),八2)=e-,

又因為/(2)=0，所以曲線y=/(x)在x=2處的切線方程為y-0=e-2(x-2),

即歹=e<x—2e<.

(3)當(dāng)x=0時，/(0)=0.

當(dāng)x<0時，"x)=e、(x+3),

所以，當(dāng)x<-3時，/z(x)<0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞減，且〃x)<0.

當(dāng)一3Vx<0時，f\x)>0，函數(shù)/(x)單調(diào)遞增，且當(dāng)x->0,/(x)f2.

所以，當(dāng)x=-3時，函數(shù)/(x)取得最小值-e-3,

所以，當(dāng)x<0時，/(勸的取值范圍是|-e-3,2).

因為函數(shù)/(x)是定義域為R的奇函數(shù)，

所以，當(dāng)x>0時，-x<0,/(x)=-/(-x),可得〃x)的取值范圍是(-Ze、].

所以函數(shù)/(x)的值域為(-2,2).

由題V%,%wR，都有|/(再)一/(%2)歸根，其中|/(司)一/(%)|的取值范圍是。4),

所以實數(shù)機的最小值為4.

19.(17分)如圖，在四棱柱48CO-/附G。1中，已知CR1底面48C。,AB//CD,

AB1AD,AB=2AD=2CD=2,AA]=^5，點E是線段上的動點.

(1)求證：BG〃平面8CQ;

(2)求直線力E與8片所成角的余弦值的最大值；

D/c

(3)在線段BD｝上是否存在與B不重合的點E，使得二面角B-AE-C的正弦值為答?

若存在，求線段BE的長；若不存在，請說明理由.

【解析】

方法一：

(1):AGUBC,51G2平面8CQ,3。＜=平面8。。］,「.與。］〃平面BC。］.

(2)設(shè)*=肛8,0W4W1,過C作于點〃,:.CMLCD，如圖建系

.\^(1,1,0),DD{=45,:.CD}=2,

.*.^(0,0,2),B(-l,l,0),C(0,0,0),C,(-1,0,2),=(-1,1-2),ZD；=(-1-1,2)

/.AE=^+D^=(-1-2,-14-2,2-22),函=宙=(-1,0,2)

設(shè)ZE與所成角為。，

_AE.BBi_陣可_

|I+2+4-42|_3

"C0S°~畫函",2—+2+4-84+442.6―

y/622-82+6-石

y/3t_y/3

令5—34=，2<t<5,:.cos0=

Vi0-V/2-6/+14Vio

當(dāng)且僅當(dāng)4=!時取"=”

9

(3)AB=(-2,0,0),ADX=(-1,-1,2)，設(shè)平面B/q的一個法向量勺=(七,必,臼)

—2x=0

t=>々=(0,2,1)

—X[—y+2Z]=0

^￡=(-1-2-1+2,2-22),C4=(1,1,0)，設(shè)平面力EC的一個法向量a=(/J