2021-2022學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)442換底公式學(xué)案北師大版必修1

換底公式換底公式(1)形式：logbN＝eq\f(logaN,logab)．(2)適用條件：a，b＞0，a，b≠1，N＞0.(3)變形：logba＝eq\f(1,logab).logab·logba＝1.(1)換底公式的結(jié)構(gòu)特點是什么？提示：換底公式的結(jié)構(gòu)特點：右邊分子、分母所換的底必須是同一底，且為真數(shù)的對數(shù)除以底數(shù)的對數(shù)．(2)你能用對數(shù)定義證明對數(shù)換底公式嗎？提示：設(shè)logbN＝x，則bx＝N.兩邊取以a為底的對數(shù)，得logabx＝logaN，得xlogab＝logaN，所以x＝eq\f(logaN,logab)，即logbN＝eq\f(logaN,logab).即換底公式：logbN＝eq\f(logaN,logab)(a>0且a≠1，b>0且b≠1，N>0).1．辨析記憶(對的打“√”，錯的打“×”)(1)logab＝eq\f(lgb,lga)＝eq\f(lnb,lna).(√)提示：底數(shù)可以是10或e.(2)log52＝eq\f(log（－3）2,log（－3）5).(×)提示：底數(shù)不能是負(fù)數(shù)．(3)logab·logbc＝logac.(√)提示：logab·logbc＝eq\f(lgb,lga)·eq\f(lgc,lgb)＝eq\f(lgc,lga)＝logac．2．計算：log25·log32·log59＝________．【解析】原式＝eq\f(lg5,lg2)·eq\f(lg2,lg3)·eq\f(lg9,lg5)＝eq\f(lg5,lg2)·eq\f(lg2,lg3)·eq\f(2lg3,lg5)＝2.答案：23．(教材例題改編)log279＝________．【解析】log279＝eq\f(log39,log327)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)

類型一利用換底公式化簡求值(邏輯推理、數(shù)學(xué)運算)1．式子log916·log881的值為()A．18B．eq\f(1,18)C．eq\f(8,3)D．eq\f(3,8)【解析】選C.原式＝log3224·log2334＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,2)log32))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)log23))＝eq\f(8,3).2.eq\f(1,log\f(1,4)\f(1,9))＋eq\f(1,log\f(1,5)\f(1,3))等于()A．lg3B．－lg3C．eq\f(1,lg3)D．－eq\f(1,lg3)【解析】選C.eq\f(1,log\f(1,4)\f(1,9))＋eq\f(1,log\f(1,5)\f(1,3))＝eq\f(lg\f(1,4),lg\f(1,9))＋eq\f(lg\f(1,5),lg\f(1,3))＝eq\f(－2lg2,－2lg3)＋eq\f(－lg5,－lg3)＝eq\f(lg2,lg3)＋eq\f(lg5,lg3)＝eq\f(lg10,lg3)＝eq\f(1,lg3).3．(1)化簡：log23·log35·log516；(2)已知log189＝a，18b＝5，求log3645(用a，b表示).【解析】(1)原式＝eq\f(lg3,lg2)·eq\f(lg5,lg3)·eq\f(lg16,lg5)＝eq\f(lg16,lg2)＝eq\f(4lg2,lg2)＝4.(2)因為18b＝5，所以b＝log185.又log189＝a，所以log3645＝eq\f(log1845,log1836)＝eq\f(log185＋log189,1＋log182)＝eq\f(a＋b,2－log189)＝eq\f(a＋b,2－a).利用換底公式進(jìn)行化簡求值的原則和技巧(1)原則：化異底為同底．(2)技巧：①借助運算性質(zhì)，先利用對數(shù)的運算法則及性質(zhì)進(jìn)行部分運算，最后再換成同一底；②借助換底公式一次性統(tǒng)一換為常用對數(shù)(或自然對數(shù))，再化簡、通分、求值；③利用對數(shù)恒等式或常見結(jié)論，有時可熟記一些常見結(jié)論，這樣能夠提高解題效率．提醒：熟練應(yīng)用換底公式的結(jié)論(1)logab＝eq\f(1,logba).(2)logambn＝eq\f(n,m)logab可達(dá)到事半功倍的效果．類型二換底公式的應(yīng)用(數(shù)學(xué)運算、邏輯推理)角度1由對數(shù)式表示其他數(shù)【典例】已知log189＝a，18b＝5，用a，b表示log3645.【思路導(dǎo)引】利用換底公式和對數(shù)性質(zhì)進(jìn)行目標(biāo)轉(zhuǎn)化．【解析】方法一：因為log189＝a，所以9＝18a，又5＝18b，所以log3645＝log2×18(5×9)＝log2×1818a＋b＝(a＋b)log2×1818.又因為log2×1818＝eq\f(1,log18（18×2）)＝eq\f(1,1＋log182)＝eq\f(1,1＋log18\f(18,9))＝eq\f(1,1＋1－log189)＝eq\f(1,2－a)，所以原式＝eq\f(a＋b,2－a).方法二：因為18b＝5，所以log185＝b，所以log3645＝eq\f(log1845,log1836)＝eq\f(log18（5×9）,log18（4×9）)＝eq\f(log185＋log189,2log182＋log189)＝eq\f(a＋b,2log18\f(18,9)＋log189)＝eq\f(a＋b,2－2log189＋log189)＝eq\f(a＋b,2－a).方法三：因為log189＝a，18b＝5，所以lg9＝alg18，lg5＝blg18，所以log3645＝eq\f(lg（9×5）,lg\f(182,9))＝eq\f(lg9＋lg5,2lg18－lg9)＝eq\f(alg18＋blg18,2lg18－alg18)＝eq\f(a＋b,2－a).已知log142＝a，試用a表示logeq\r(2)7.【解析】方法一：因為log142＝a，所以log214＝eq\f(1,a)，所以1＋log27＝eq\f(1,a)，所以log27＝eq\f(1,a)－1.由對數(shù)換底公式得log27＝eq\f(log\r(2)7,log\r(2)2)＝eq\f(log\r(2)7,2).所以logeq\r(2)7＝2log27＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)－1))＝eq\f(2（1－a）,a).方法二：由對數(shù)換底公式，得log142＝eq\f(log\r(2)2,log\r(2)14)＝eq\f(2,log\r(2)7＋2)＝a.所以2＝a(logeq\r(2)7＋2)，即logeq\r(2)7＝eq\f(2（1－a）,a).角度2由指數(shù)式表示其他數(shù)【典例】若3x＝4y＝36，求eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)的值．【思路導(dǎo)引】指數(shù)式寫成對數(shù)式后轉(zhuǎn)化．【解析】因為3x＝4y＝36，所以x＝log336，y＝log436，所以eq\f(2,x)＝eq\f(2,log336)＝eq\f(2,\f(log3636,log363))＝2log363＝log369，eq\f(1,y)＝eq\f(1,log436)＝eq\f(1,\f(log3636,log364))＝log364.所以eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝log369＋log364＝log3636＝1.換底公式應(yīng)用的注意事項(1)增強目標(biāo)意識，合理地把所求向已知條件靠攏，巧妙代換．(2)巧用換底公式，靈活“換底”是解決這種類型問題的關(guān)鍵．(3)注意一些派生公式的使用．1．若lg5＝a，lg7＝b，用a，b表示log75＝________．【解析】log75＝eq\f(lg5,lg7)＝eq\f(a,b).答案：eq\f(a,b)2．已知3a＝7b＝M，且eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝2，求M的值．【解析】因為3a＝7b＝M，所以a＝log3M，b＝log7M，所以eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(2,log3M)＋eq\f(1,log7M)＝2logM3＋logM7＝logM9＋logM7＝logM63＝2，所以M2＝63，因為M>0，所以M＝eq\r(63)＝3eq\r(7).類型三對數(shù)的實際應(yīng)用(數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模)【典例】截止到2010年底，我國人口約14億，如果今后能將人口年平均增長率控制在1%，那么大約經(jīng)過多少年，我國人口數(shù)翻一番(精確到個位)？(lg2≈0.3010，lg1.01≈0.0043，lg14≈1.1461，lg15≈1.1761)【思路導(dǎo)引】分析題意，列出時間x與人口數(shù)y的函數(shù)關(guān)系式，利用換底公式求解．【解析】設(shè)經(jīng)過x年后，我國人口數(shù)為y億，則y＝14(1＋1%)x，由于人口數(shù)翻一番是原來的2倍，依題意，得(1＋1%)x＝2，1．01x＝2，x＝log1.012，由換底公式，得x＝eq\f(lg2,lg1.01)≈eq\f(0.3010,0.0043)＝70(年)，答：大約經(jīng)過70年，我國人口數(shù)翻一番．解答實際問題的步驟1．光線每通過一塊玻璃板，其強度要損失10%，把幾塊這樣的玻璃板重疊起來，設(shè)光線原來的強度為a，通過x塊玻璃板以后的強度值為y，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是________，通過________塊玻璃板以后，光線強度減弱到原來強度的eq\f(1,2)以下．【解析】依題意得y＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,10)))eq\s\up12(x)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10)))eq\s\up12(x)，其中x≥1，x∈N.因為aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10)))eq\s\up12(x)≤a×eq\f(1,2)?eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10)))eq\s\up12(x)≤eq\f(1,2)，所以x(2lg3－1)≤－lg2，所以x≥eq\f(0.3010,1－2×0.4771)≈6.572，所以xmin＝7.答案：y＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10)))eq\s\up12(x)(x≥1，x∈N)72．分貝是計量聲音強度相對大小的單位．物理學(xué)家引入了聲壓級(SPL)來描述聲音的大?。喊岩缓苄〉穆晧簆0＝2×10－5帕作為參考聲壓，把所要測量的聲壓p與參考聲壓p0的比值取常用對數(shù)后乘以20得到的數(shù)值稱為聲壓級．聲壓級是聽力學(xué)中最重要的參數(shù)之一，單位是分貝(dB).分貝值在60以下為無害區(qū)，60～110為過渡區(qū)，110以上為有害區(qū)．(1)根據(jù)上述材料，列出聲壓級y與聲壓p的函數(shù)關(guān)系式．(2)某地聲壓p＝0.002帕，試問該地為以上所說的什么區(qū)，聲音環(huán)境是否優(yōu)良？【解析】(1)由已知得y＝20lgeq\f(p,p0)(其中p0＝2×10－5帕).(2)當(dāng)p＝0.002帕?xí)r，y＝20lgeq\f(0.002,2×10－5)＝20lg102＝40(dB).由已知條件知40dB小于60dB，所以此地為無害區(qū)，聲音環(huán)境優(yōu)良．1．(log29)·(log34)＝()A．eq\f(1,4)B．eq\f(1,2)C．2D．4【解析】選D.(log29)·(log34)＝eq\f(lg9,lg2)×eq\f(lg4,lg3)＝eq\f(2lg3,lg2)×eq\f(2lg2,lg3)＝4.2.eq\f(log849,log27)的值是()A．2B．eq\f(3,2)C．1D．eq\f(2,3)【解析】選D.eq\f(log849,log27)＝eq\f(log272,log223)÷log27＝eq\f(2,3).3．比值eq\f(logaN,logaMN)應(yīng)等于()A．logaMa B．