排列組合專項練習(xí)-2025屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

2024-2025學(xué)年度高三一輪復(fù)習(xí)35-排列組合專項練習(xí)

一、單選題

1.（2024高三?全國?專題練習(xí)）甲、乙、丙、丁、戊、己六人站成一排合影留念，則甲、乙

兩人中間恰好有兩人的站法有（）

A.36種B.72種C.144種D.288種

2.（2024高三?全國?專題練習(xí)）若一組數(shù)據(jù)5,7,6,3,9,4,8,10的第30百分位數(shù)是〃，則C；=（）

A.10B.15C.21D.28

3.（24-25高三上?江蘇常州?期中）有甲、乙等5名同學(xué)咨詢數(shù)學(xué)史知識競賽分數(shù).教師說：

甲不是5人中分數(shù)最高的，乙不是5人中分數(shù)最低的，而且5人的分數(shù)互不相同.則這5名

同學(xué)的可能排名有（）

A.42種B.72種C.78種D.120種

4.（24-25高三上?河北?期中）如圖，在兩行三列的網(wǎng)格中放入標有數(shù)字1,2,3,4,5,6的六張卡

片，每格只放一張卡片，貝『‘只有中間一列兩個數(shù)字之和為7”的不同的排法有（）

A.16種B.32種C.64種D.96種

5.（24-25高三上?廣西?期中）為促進城鄉(xiāng)教育均衡發(fā)展，某地區(qū)教育局安排包括甲、乙在

內(nèi)的5名城區(qū)教師前往四所鄉(xiāng)鎮(zhèn)學(xué)校支教，若每所學(xué)校至少安排1名教師，每名教師只能去

一所學(xué)校，則甲、乙不安排在同一所學(xué)校的方法數(shù)有（）

A.1440種B.240種C.216種D.120種

6.（2024?湖北.模擬預(yù)測）不等式芯+%+%<12,其中占,々,三是非負整數(shù)，則使不等式成

立的三元數(shù)組（%,9,毛）有多少組（）

A.560B.455C.91D.55

7.（2024.江西新余.模擬預(yù)測）小梁同學(xué)將5個完全相同的球放入3個不同的盒子中有“種

放法，小郅同學(xué)將5個完全不同的球放入3個相同的盒子中有加種放法.若每個盒子中至少有

一個球,則眼-制=（）.

A.4B.19C.125D.144

8.（24-25高三上?江蘇南通?開學(xué)考試）今年暑期檔，全國各大院線推出多部精彩影片，其

中比較熱門的有《異形：奪命艦》，《名偵探柯南》，《抓娃娃》，《逆行人生》，《姥姥的外孫》

這5部，小明和小華兩位同學(xué)準備從這5部影片中各選2部觀看，若兩人所選的影片至多有

一部相同，且小明一定選看《名偵探柯南》，則兩位同學(xué)不同的觀影方案種數(shù)為（）

A.12B.24C.28D.36

二、多選題

9.（2024.湖南?模擬預(yù)測）傳承紅色文化，宣揚愛國精神，東湖中學(xué)國旗隊在高一年級招收

新成員，現(xiàn)有小明、小紅、小華等6名同學(xué)新入方陣參加隊列訓(xùn)練，則下列說法正確的是（）

A.6名同學(xué)站成一排，小明、小紅、小華必須按從左到右的順序站位，則不同的站法種

數(shù)為120種

B.6名同學(xué)站成一排，小明、小紅兩人相鄰，則不同的排法種數(shù)為240種

C.6名同學(xué)站成一排，小明、小紅兩人不相鄰，則不同的排法種數(shù)為480種

D.6名同學(xué)平均分成三組到進行三種不同的隊列訓(xùn)練（每種訓(xùn)練必須有人參加），則有

540種不同的安排方法

10.（2024?遼寧錦州?模擬預(yù)測）現(xiàn)有分別標有2024,2021,2028,2023,2020,2022數(shù)字

的6張卡片，下列說法正確的是（）

A.卡片數(shù)字的第80百分位數(shù)為2024

B.從中隨機抽取兩張，共有30種不同的組合

C.從中隨機抽取一張，抽到偶數(shù)的概率比奇數(shù)大

D.從中隨機抽取一張，抽到質(zhì)數(shù)是等可能事件

11.（2025?全國?模擬預(yù)測）將123,4,5,6,7這七個數(shù)隨機地排成一個數(shù)列，記第i項為

%?=1,2,,7）,則下列說法正確的是（）

A.若q=7,al+a2+a3<a5+a6+a7,則這樣的數(shù)列共有360個

B.若該數(shù)列恰好先增后減，則這樣的數(shù)列共有64個

C.若所有的奇數(shù)不相鄰，所有的偶數(shù)也不相鄰，則這樣的數(shù)列共有144個

D.若%%,%<%<%，a5>a6>a7,則這樣的數(shù)列共有71個

三、填空題

12.（2023?河南周口?模擬預(yù)測）十四屆全國人大一次會議于2023年3月5日在北京召開.會

議期間,會議籌備組將包含甲、乙在內(nèi)的5名工作人員分配到3個會議廳負責進場引導(dǎo)工作，

每個會議廳至少1人.每人只負責一個會議廳，則甲、乙兩人不分配到同一個會議廳的不同

安排方法共有種.（用數(shù)字作答）

13.（2024?陜西西安.模擬預(yù)測）產(chǎn)公司的甲部門有3男2女五名職工，乙部門有2男3女

五名職工.公司通知每個部門任選2名職工，且所選的4名職工必須是2男2女，公司再將

A,民C,。四個不同新型項目隨機分配給每人分管一項，則不同的分配方案種數(shù)為（用數(shù)字

作答）.

14.（2024?廣東佛山?一模）現(xiàn)有甲、乙、丙等7位同學(xué)，各自寫了一封信，然后都投到同一

個郵箱里.若甲、乙、丙3位同學(xué)分別從郵箱里隨機抽取一封信，則這3位同學(xué)抽到的都不

是自己寫的信的不同取法種數(shù)是（用數(shù)字作答）.

四、解答題

15.（2024高三.全國?專題練習(xí)）7種不同的花種在排成一列的花盆里，若兩種葵花不種在

中間，也不種在兩端的花盆里，問有多少不同的種法？

16.（2024高三?全國?專題練習(xí)）（1）證明：（n+l）!-n!=n-n!；

（2）化簡：2.2!+3-3!+4.4!++2023-2023!.

17.（2024高三?全國?專題練習(xí)）馬路上有編號為1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路燈，現(xiàn)

要關(guān)掉其中的3盞，但不能關(guān)掉相鄰的2盞或3盞，也不能關(guān)掉兩端的2盞，求滿足條件的

關(guān)燈方法有多少種？

18.（25-26高三上?上海?單元測試）在班級活動中,4名男生和3名女生站成一排表演節(jié)目.（寫

出必要的數(shù)學(xué)式，結(jié)果用數(shù)字作答）

（1）三名女生不能相鄰，有多少種不同的站法？

（2）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少種不同的排法？

（3）從中選出2名男生和2名女生分四個不同角色表演朗誦，有多少種選派方法？

19.（2024?湖北荊州?模擬預(yù)測）如圖所示數(shù)陣，第加（機之1）行共有根+1個數(shù)，第機行的第1

個數(shù)為C%,第2個數(shù)為C：,第〃（此3）個數(shù)為規(guī)定：C：=L

C：C：

0°02—00

C；cyc-c；

「2「0廠3z~i4z-i2

c；C；y-y-c6c7-c7

c2C314253

C：C；—c°~7—C~7~C8—ycc~9—~c9

C2—c°c3—C1C4—C2C5—c3C6—c4

或Jq~7~8?9~9Jo~1051

(i)試判斷每一行的最后兩個數(shù)的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(2)求證：每一行的所有數(shù)之和等于下一行的最后一個數(shù)；

(3)從第1行起，每一行最后一個數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列｛%｝,設(shè)數(shù)列｛"/的前〃項和為S”是否存

在正整數(shù)公使得對任意正整數(shù)小碼，W4"T恒成立？如存在，請求出發(fā)的最大值，如不存

在，請說明理由.

參考答案:

1.C

【分析】由排列數(shù)的計算公式，結(jié)合分步乘法計數(shù)原理代入計算，即可得到結(jié)果.

【詳解】第一步從6個位置中選擇2個位置，滿足條件的選位可以是(1,4),(2,5),(3,6),

共有3種不同的方法；

第二步將甲、乙排到所選擇的2個位置，共有A；種不同的方法；

第三步將丙、丁、戊、己排到剩余的4個位置，共有A：種不同的方法；

由分步計數(shù)原理可知，共有3、&*"=144種.

故選：C

2.A

【分析】根據(jù)條件，先求出第30百分位數(shù)，再利用組合數(shù)計算公式，即可求解.

【詳解】將這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列得3,4,5,6,7,8,9,10,因為8x30%=2.4,

所以這組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)力=5,所以媛=言=10.

故選：A.

3.C

【分析】先計算A；,然后減去不符合題意的情況，由此求得正確答案.

【詳解】不符合題意的情況是：甲是最高分或乙是最低分，

所以這5名同學(xué)的可能排名有人：-8-8+8=78種.

故選：C

4.D

【分析】根據(jù)題意按照分步計數(shù)原理對表格中的數(shù)據(jù)分步填寫并保證符合題意即可得出結(jié)

果.

【詳解】根據(jù)題意，分三步進行；

第一步，要求“只有中間一列兩個數(shù)字之和為7"，則中間的數(shù)字為三組數(shù)1,6或2,5或3,

4中的一組，共有3A；=6種排法；

第二步，排第一步中剩余的兩組數(shù)，且這兩數(shù)字之和不為7,共有A；A；=8種排法；

第三步，排剩下的兩個數(shù)字，共有A；=2種排法.

由分步計數(shù)原理知，共有不同的排法種數(shù)為6x8x2=96.

故選：D.

5.C

【分析】根據(jù)分組分配計算所有的安排方法數(shù)，再計算甲、乙安排在同一個學(xué)校的方法總數(shù),

相減得符合的方法數(shù).

【詳解】根據(jù)題意，若每所學(xué)校至少安排1名教師，每名教師只去一所學(xué)校，則有

C；A：=10x24=240種不同安排方法，

若甲、乙安排在同一個學(xué)校，則有A：=24種不同安排方法，

甲、乙不安排在同一所學(xué)校的方法數(shù)有240-24=216種.

故選：C.

6.B

【分析】在工，Z，w都加上1，把問題轉(zhuǎn)化成方程有正整數(shù)解的問題解決.

【詳解】設(shè)X；=國+1,x2'=x2+l,x3'=x3+l,

則不等式為+%+無3<12有多少組非負整數(shù)解的問題，轉(zhuǎn)化為：3Vx；+X2+無；<15的正整數(shù)

解的組數(shù).

因為方程：玉'+馬+三=3的解的組數(shù)為：C；；

x；+芯+石=4的解的組數(shù)為：C；；

x；+X2+無；=15的解的組數(shù)為：C；.

所以原不等式解的組數(shù)為：C；+C；+C：++C；=C；+C；+C；++C；=C：5=455.

故選：B

【點睛】結(jié)論點睛：方程占+々++Xm=〃(S〃eN+且正整數(shù)解的組數(shù)為

7.B

【分析】先利用隔板法求出“，再根據(jù)部分平均分組法計算出相，即可求解.

【詳解】根據(jù)題意將5個完全相同的球放入3個不同的盒子中，每個盒子中至少有一個球,

利用隔板法共有C：=6種放法，所以M=6；

將5個完全不同的球放入3個相同的盒子中，每個盒子中至少有一個球，

可以將5個球分成3組，有(1,1,3)和(1,2,2)兩種分組方法，

按(1,1,3)分組時，有卑或=10種放法，按(1,2,2)分組時，有年殳=15種放法，

所以加=10+15=25,所以|Af-n\=|6-25|=19.

故選：B

8.D

【分析】分三種情況，兩人所選影片均不同，兩人所選影片中，《名偵探柯南》相同，不是

《名偵探柯南》相同，分別計算出相應(yīng)的方案數(shù)，相加即可.

【詳解】若兩人所選影片均不同，此時小明先從除《名偵探柯南》中選擇一部，

小華從剩余的3部中選擇兩部，此時共有C；C；=12種方案，

若兩人所選影片中，《名偵探柯南》相同，則兩人從剩余4部中各選1部，有A；=12種方案，

若兩人所選影片中，不是《名偵探柯南》相同，相同的影片為4部中1部，有C；種選擇，

再給小華從剩余3部中選擇一部，有C；種選擇，故共有C；C；=12種方案，

綜上，共有12+12+12=36種方案.

故選：D

9.ABC

可用倍縮法,6名同學(xué)站成一排，小明、小紅、小華必須按從左到右的順序站位，則有率=120

種，故A正確；

B：小明、小紅兩人相鄰共有2種排法，將兩人插空到其余四人全排列中共有2A；=240種,

故B正確；

C：6人站成一排，小明、小紅兩人不相鄰，先將除小明、小紅外的4人進行全排列，有種

A：=24排法，再將小明、小紅兩人插空，有A；=2。種排法，則共有24x20=480種不同的

排法，故C正確；

D：6名同學(xué)平均分成三組到進行三種不同的隊列訓(xùn)練（每種訓(xùn)練必須有人參加），則有

A；=90種,故D錯誤;

故選：ABC

10.AC

【分析】求出第80百分位數(shù)判斷A；利用組合計數(shù)判斷B；求出概率判斷C；確定質(zhì)數(shù)個

數(shù)判斷D.

【詳解】對于A,由6x0.8=4.8,得數(shù)據(jù)2020,2021,2022,2023,2024,2028的第80

百分位數(shù)為2024,A正確；

對于B,從中隨機抽取兩張，共有屐=15種不同的組合，B錯誤；

對于c,從中隨機抽取一張，抽到偶數(shù)的概率4是2，抽到奇數(shù)的概率是1:，C正確；

633

對于D,6張卡片上的數(shù)都是合數(shù)，抽到質(zhì)數(shù)是不可能事件，D錯誤.

故選：AC

11.ACD

【分析】根據(jù)對稱性可得9?A；?A；,即可判斷A；對于B：對1的位置分類討論即可得答

案；對于C：則這樣的數(shù)列只能是“奇、偶、奇、偶、奇、偶、奇”，即可判斷C；對于D,

分%=1、%=2、％=3三種情況討論即可判斷.

【詳解】對于A：由于1+2+3+4+5+6=21為奇數(shù)，根據(jù)對稱性可知這樣的數(shù)列有

爭AiA；=360個，故A正確;

對于B：從2,3,4,5,6,7中選出1個數(shù)排在1的右側(cè)，其余排在1的左側(cè)，

得到先減后增的數(shù)列有C；個；

從2,3,4,5,6,7中選出2個數(shù)排在1的右側(cè)，其余排在1的左側(cè)，

得到先減后增的數(shù)列有C；個；

從2,3,4,5,6,7中選出3個數(shù)排在1的右側(cè)，其余排在1的左側(cè)，

得到先減后增的數(shù)列有C：個；

從2,3,4,5,6,7中選出4個數(shù)排在1的右側(cè)，其余排在1的左側(cè)，

得到先減后增的數(shù)列有C：個；

從2,3,4,5,6,7中選出5個數(shù)排在1的右側(cè)，其余排在1的左側(cè)，

得到先減后增的數(shù)列有《個；

故滿足條件的總個數(shù)為:C"C+C：+-2個,故B錯誤.

對于C：若所有的奇數(shù)不相鄰，所有的偶數(shù)也不相鄰，

則這樣的數(shù)列只能是“奇、偶、奇、偶、奇、偶、奇"，則有A;A；=144個，故C正確;

對于D：若見=1,則先從其余6個數(shù)中任選2個數(shù)作為4，電且q＞出，有C；種方法,

剩余4個數(shù)中最大的為生,剩下的3個數(shù)任取2個作為4，%且%>%，有C；種方法,

則這樣的數(shù)列有C：C；=45個,

若為=2,則先從除去1之外的5個數(shù)中任選2個數(shù)作為％，的且%有C；種方法,

剩余4個數(shù)中最大的為%,%=1，剩下的2個數(shù)任取1個作為&或為即可，有C；種方法,

則這樣的數(shù)列有C；C；=20個,

若。3=3,則先從除去1、2之外的4個數(shù)中任選2個數(shù)作為且%>%，有C：種方法,

剩余4個數(shù)位置固定的一種排法，其中4=2,%=1，則這樣的數(shù)列有C：=6個，

所以滿足條件的這樣的數(shù)列共有45+20+6=71個，故D正確；

故選：ACD.

12.114

【分析】將5名工作人員分配到3個會議廳，人數(shù)組合可以是U,3和1,2,2,先求出5名工

作人員分配到3個會議廳的情況數(shù)，甲乙兩人分配到同一個會議廳的情況數(shù)，相減得到答案.

【詳解】將5名工作人員分配到3個會議廳，人數(shù)組合可以是U,3和1,2,2,

人數(shù)組合是1,1,3時，共有年CxA；=60種情況，

A；

C；C；C；

其中甲、乙兩人分配到同一個會議廳的情況為xA；=18種,

從而甲、乙兩人不能分配到同一個會議廳的安排方法有60-18=42種;

共有里GxA；=90種情況,

人數(shù)組合是1,2,2時,

其中甲、乙兩人分配到同一個會議廳的情況為C；C；xA；=18種，

從而甲、乙兩人不能分配到同一個會議廳的安排方法有90-18=72種，

所以甲、乙兩人不分配到同一個會議廳的不同安排方法共有42+72=114種.

故答案為：114.

13.1104

【分析】利用分步計數(shù)原理，先求出從甲、乙兩部門各選2名職工的選法和將Aa四

個不同新型項目隨機分配給每人分管一項的分法，即可求出結(jié)果.

【詳解】因為從甲、乙兩部門各選2名職工，且所選的4名職工是2男2女，有

C；C；+C；C；C；C；+C衿=46種選法,

又將A,民C,。四個不同新型項目隨機分配給每人分管一項，有A：=24種分法，

所以不同的分配方案種數(shù)為（C；C；+C；C；C；C；+）A：=46x24=1104.

故答案為：1104.

14.134

【分析】設(shè)甲、乙、丙3位同學(xué)的信件分別為A、B、C,對A、B、C取到的個數(shù)分四種

情況討論，按照分類、分步計數(shù)原理計算可得.

【詳解】設(shè)甲、乙、丙3位同學(xué)的信件分別為A、8、C,

若A、8、C都沒有取到，則有A：=24種不同的取法；

若A、B、C取到一個，則有C；A；A；=72種不同的取法；

若A、B、C取到兩個，則有C；（A；A：+C：）=36種不同的取法；

若A、8、C取到三個，則有C；=2種不同的取法；

綜上可得一共有24+72+36+2=134種不同的取法.

故答案為：134

15.1440

【分析】先排2盆葵花，再排其他的花種，即可求解.

【詳解】先種兩種不同的葵花，在不受限制的四個花盒中，共有A：種排列，再種其它葵花

有A；種排列，由分步計數(shù)原理得A；A；=1440（種）.

故有1440種符合要求的種法.

16.（1）證明見解析；（2）1-加篙

【分析】（1）利用階乘的運算可得答案；

（2）利用階乘的運算可得答案.

【詳解】（1）證明：左邊=（〃+1）!-加=（〃+1-1）力!=加加=右邊；

（2）原式=3!-2!+4!—3!++2024!-2023!=2024!-2.

17.10

【分析】此問題可轉(zhuǎn)化為排隊模型，即在6盞亮燈形成的5個空隙中，插入3盞不亮的燈就

即可得到答案.

【詳解】把此問題當作一個排隊模型，

在6盞亮燈形成的5個空隙中，插入3盞不亮的燈，有C；=10(種)關(guān)燈方法.

18.(1)1440

(2)3720

(3)432

【分析】(1)先全排，再插空即可；

(2)特殊位置優(yōu)先考慮，結(jié)合排列即可解決；

(3)先選出人再排角色，結(jié)合分步乘法原理計算即可.

【詳解】(1)根據(jù)題意，分2步進行分析：①將4名男生全排列，有P：=24種情況，排好

后有5個空位.

②在5個空位中任選3個，安排3名女生，有P；=60種情況，則三名女生不能相鄰的排法

有1440種；

(2)根據(jù)題意，分2種情況討論：①女生甲站在右端，其余6人全排列，有璨=720種情

況，

②女生甲不站在右端，甲有5種站法，女生乙有5種站法，將剩余的5人全排列，安排在剩

余的位置，

有P：=120種站法，則此時有5x5x120=3000種站法，則一共有3720種站法；

(3)根據(jù)題意，首先將4名男生和3名女生中各選出2人，有C；C：=18種情況，

其次4人分四個不同角色，有P：=24種情況，共有18x24=432種選派方法.

19.(1)相等，證明見解析

(2)證明見解析

(3)存在，3

【分析】(1)根據(jù)題意，猜想得到c累匕-結(jié)合組合數(shù)的運算公式，即

可作出證明.

(2)第一行的所有數(shù)之和為2=C；-C；,第二行的所有數(shù)之和為1+2+3-1=5=C-C；,

當加23時，第帆行的所有數(shù)之和為即可得到結(jié)論.

(3)根據(jù)題意，存在正整數(shù)左，使得同,W4-1恒成立，結(jié)合排列數(shù)的計算公式，即可求解.

【詳解】(1)第1行最后兩數(shù)C；=C：=1,第2行的最后兩數(shù)C；=C；-C；=2,

第雙加>3)行的第m個數(shù)為，工-C*,第m+1個數(shù)為,

法加ll「加一1_「加一3_r^rn_

3目側(cè)：。2根-2。2帆-2—。2加-1。2旭-1?

(2m-1)!(2m-1)!

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m!(m-l)!(m-2)!(m+l)!

(2m-l)!.,1、12m(2m—1)!(2附！

----------\r_m(m+1)-m(m-1)J=

m!(m+l)!m!(m+l)!m!(m+l)!

(2m一2)!(2加一2)!

又因為cd—c*

(m-l)!(m-l)!(m-3)!(m+l)!

(2m-2)!,[、/c、i(4m-2)(2m-2)!2(2m-l)!(2m)!

----------—[(w+l)(7?i-2)]=