平面向量的數(shù)量積（6題型分類(lèi)）-2025年高考數(shù)學(xué)專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)（解析版）

專(zhuān)題24平面向量的數(shù)量積6題型分類(lèi)

彩題如工總

題型6:平面向量的實(shí)際應(yīng)用題型1:平面向量數(shù)量積的基本運(yùn)算

\_________________________

題型5:向量的投影題型2:向量的模

專(zhuān)題24平面向量的數(shù)量積6題

型分類(lèi)

題型4:向量的夾角題型3:向量的垂直

彩和泅寶庫(kù)

1.向量的夾角

已知兩個(gè)非零向量a,b,。是平面上的任意一點(diǎn)，作宓=a,OB=b,則/4。8=。(0(6?(無(wú))叫做向量。與

b的夾角.

2.平面向量的數(shù)量積

已知兩個(gè)非零向量a與"它們的夾角為仇我們把數(shù)量|a|依cos。叫做向量。與力的數(shù)量積，記作

3.平面向量數(shù)量積的幾何意義

B

bJ

CA,BxD

設(shè)a,6是兩個(gè)非零向量，它們的夾角是仇e是與匕方向相同的單位向量，AB=a,CD=b,過(guò)油的起點(diǎn)A

和終點(diǎn)B,分別作詼所在直線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為Ai，Bi，得到前1，我們稱(chēng)上述變換為向量a向向量B

投影，工商叫做向量a在向量b上的投影向量.記為⑷cosOe.

4.向量數(shù)量積的運(yùn)算律

(l)ab=ba.

(2)(腦)?力=2(。?5)=a-(Ab).

(3)(a+b)c=ac+bc.

5.平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論

已知非零向量。=(沏，")，b=g,")，。與萬(wàn)的夾角為夕

幾何表示坐標(biāo)表示

數(shù)量積a-b=\a\\b\cos0a-b=x\X2+yiyi

模\a\=N|a|=q屑+y?

八abxix+yiy2

夾角COSu-||?|2

x⑷步1

alb的充要條件ab=0的入2+%丁2=0

|a創(chuàng)與⑷向的關(guān)系|a創(chuàng)W|a||臼kiX2+yiy2|<^/(xi+y1)(%2+^2)

6.平面向量數(shù)量積運(yùn)算的常用公式

(l)(a+，＞(a—5)=/一/；

(2\a±b')2=(r+2a-b+b2.

7.有關(guān)向量夾角的兩個(gè)結(jié)論

(1)若a與〃的夾角為銳角，則a2＞0；若。力＞0,則a與入的夾角為銳角或0.

(2)若。與〃的夾角為鈍角，則“協(xié)＜0；若〃協(xié)＜0,則a與。的夾角為鈍角或兀.

彩偏題祕(mì)籍

平面向量數(shù)量積的基本運(yùn)算

計(jì)算平面向量數(shù)量積的主要方法

(1)利用定義：。?'=|。||例cos〈a,b).

(2)利用坐標(biāo)運(yùn)算，若。=(陽(yáng)，yi),)=(冗2,yi),則。6=陽(yáng)工2+〉1丁2.

(3)利用基底法求數(shù)量積.

(4)靈活運(yùn)用平面向量數(shù)量積的幾何意義.

題型1：平面向量數(shù)量積的基本運(yùn)算

1-1.(2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè))已知向量Z,B滿(mǎn)足同向共線(xiàn)，且慟=2,=則僅+,￡=()

A.3B.15C.-3或15D.3或15

【答案】D

【分析】先根據(jù)題意確定向量2,石的倍數(shù)關(guān)系，然后可直接求解.

【詳解】因?yàn)橄蛄咳眨瘽M(mǎn)足同向共線(xiàn)，所以設(shè)％=幾員彳＞0),

又因?yàn)椴穇0=1,忖=2,所以,/?_區(qū)=|(2-1)Z?|=(2-1)21^|=4(2-1)2=1,

13一1一一3一

所以2=_或幾=—,BPa=-b^a=—b.

2222

①當(dāng)時(shí)，

-3-

②當(dāng)a=”時(shí),

所以R+方）人的值為3或15.

故選：D.

1-2.（2024?北京）已知向量流5忑在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,則

{a+b)-c=；~a-b-.

【答案】03

【分析】根據(jù)坐標(biāo)求出。+5,再根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算直接計(jì)算即可.

【詳解】以交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系如圖所示：

則方=(2,1),很=(2,-1),不=(0,1),

：.a+b=(4,0),(a+&)-c=4x0+0xl=0,

.'.a-b=2x2+1x(—1)=3.

故答案為：0；3.

1-3.(2024?全國(guó))正方形A3CD的邊長(zhǎng)是2,E是的中點(diǎn)，則反.歷=()

A.75B.3C.2亞D.5

【答案】B

【分析】方法一：以｛(-A----B--?,-A----。---U｝L1為UU基UU底向量表示EC,ED,再結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算求解；方法二：建系,

利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解；方法三：利用余弦定理求cos/DEC,進(jìn)而根據(jù)數(shù)量積的定義運(yùn)算求解.

(__k__xIUUUIiuuai|uimuum

【詳解】方法一：以｛麗亞｝為基底向量，可知,耳=,口=2,4叢/1。=0

uimuuruunimmuumuimuiruuniuuuuun

貝1JEC=E2+2C=—AB+AZ),ED=EA+AD=——AB+AD,

22

uunuuu(iuunuuinA(\uunuum>iuun。num。

所以=++=+AD=-1+4=3；

方法二：如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，

UUUULIU

則E(l,0),C(2,2),0(0,2),可得EC=(1,2),EO=(-1,2),

UU1UUUIU

所以EC?=-1+4=3；

方法三：由題意可得：ED-EC-y/5,CD-2,

222

r)p+CF-DC5+S-43

在QE中，由余弦定理可得8S〃EC=2DE。

uunuun|UUDD|iUUumD|

所以ECZOuECEZ)cosZOEC=6x6xi=3-

故選：B.

1-4.(2024?湖南長(zhǎng)沙?二模)已知菱形ABC。的邊長(zhǎng)為1,ABAD=-,G是菱形A8C￡＞內(nèi)一點(diǎn)，若

GA+GB+GC=Q,貝!1前.麗=()

I3

A.-B.1C.-D.2

22

【答案】A

【分析】由題意可得出/54D=120。，點(diǎn)G為44BC的重心，所以|47|=京4加|=?,ZBAM=30°,再由

向量的數(shù)量及定義求解即可.

【詳解】在菱形ABCD菱形ABC。的邊長(zhǎng)為1,ABAD=--,

2

所以福?礪=|AB|-|AZ5|cosZBAD=cosABAD=,

所以/B4D=120。，則AABC為等邊三角形，因?yàn)镚X+而+3可=6，

所以麗=-（屈+交），設(shè)點(diǎn)M為2C的中點(diǎn)，則9=-2您，所以瓦〃力,

所以G,A,M三點(diǎn)共線(xiàn)，所以AM為2C的中線(xiàn)，

所以|W=J1一出=#,

同理可得點(diǎn)AB,AC的中線(xiàn)過(guò)點(diǎn)G,

所以點(diǎn)G為44BC的重心，故|AG|=jAM|=*,

在等邊AABC中，M為BC的中點(diǎn)，則ZBAM=30°,

______3

1-5.（2024?天津）如圖，在四邊形ABCD中，ZB=60°,AB=3,3c=6,5.AD=ABC,AD-AB=,

2

則實(shí)數(shù)幾的值為，若M,N是線(xiàn)段BC上的動(dòng)點(diǎn)，且|麗|=1,則萬(wàn)法.麗的最小值為.

【分析】可得NBA。=120。，利用平面向量數(shù)量積的定義求得彳的值，然后以點(diǎn)8為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直

線(xiàn)為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)M（%0）,則點(diǎn)N（尤+1,0）（其中0VxW5）,得出用辦兩關(guān)于x的函

數(shù)表達(dá)式，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求得而.而的最小值.

【詳解】?.?亞=4配，AD//BC,ABAD=1800-ZB=120°,

AB-AD=ABC-AB=A|BC|-|AB|COS120I

=2x6x3x(-g]=-94=

解得彳=，，

6

以點(diǎn)2為坐標(biāo)原點(diǎn)，8C所在直線(xiàn)為x軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系xBy,

—.1__.

回又EIAD=—BC,則D，設(shè)M（x,0）,貝!JN（x+l,0）（其中04x45）,

6

W=f.r--,--,麗=

I22J

兩兩大一|卜|]+律]“一4X++（X-2）2+,

____13

所以，當(dāng)尤=2時(shí)，麗.麗取得最小值彳.

113

故答案為：-：—.

62

【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的計(jì)算，考查平面向量數(shù)量積的定義與坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于

中等題.

1-6.（2024?全國(guó)?一模）窗花是貼在窗紙或窗戶(hù)玻璃上的剪紙，是中國(guó)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一.在2022

年虎年新春來(lái)臨之際，許多地區(qū)人們?yōu)榱诉_(dá)到裝點(diǎn)環(huán)境、渲染氣氛，寄托辭舊迎新、接福納祥的愿望，設(shè)

計(jì)了一種由外圍四個(gè)大小相等的半圓和中間正方形所構(gòu)成的剪紙窗花（如左圖）.己知正方形ABCD的邊長(zhǎng)

為4,中心為0,四個(gè)半圓的圓心均在正方形A5CD各邊的中點(diǎn)（如右圖）.若點(diǎn)尸在四個(gè)半圓的圓弧上運(yùn)

動(dòng)，則衣?標(biāo)的取值范圍是.

【答案】［-8-80,8+8應(yīng)］

【分析】根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)系表示向量，寫(xiě)出赤.密的解析式，再求赤.前的取

值范圍即可.

【詳解】以。原點(diǎn)，而為x軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示.

因?yàn)檎叫蜛BCD的邊長(zhǎng)為4,所以AC=8￡）=4e'，

貝|4卜20,0）、C（20,O）,則工=（4夜,0）,

設(shè)AD的中點(diǎn)為E,則網(wǎng)-血,血），AE=（V2,V2）,所以，|荏卜7^71=2,

因?yàn)槭前雸AE上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)尸b0+2cosd,a+2sin，)，

貝I]^=bg+2cosa0+2sin。)，其中:wew?,貝iJ-lwcosdW日,

所以，OP-AC=-8+8A/2COS6>G[-8-8V2,0],

由對(duì)稱(chēng)性可知，當(dāng)點(diǎn)尸在第三象限的半圓弧上運(yùn)動(dòng)時(shí)（包含點(diǎn)A、8）,

OP-ACe[-8-8>/2,0],

當(dāng)點(diǎn)尸在第一象限的半圓弧上運(yùn)動(dòng)時(shí)（包含點(diǎn)C、D）,8的中點(diǎn)為（a,3）,半圓的半徑為2,

可設(shè)點(diǎn)尸（應(yīng)+2cosd,?+2sind）,其中一冷，貝I］一孝《cosOWl

OP=(V2+2cos6?,V2+2sin6?),貝！]赤./=8+80cosee[o,8+8立],

同理可知，當(dāng)點(diǎn)尸在第四象限內(nèi)的半圓弧上運(yùn)動(dòng)時(shí)（包含點(diǎn)8、C）,

OP-ACe［0,8+8A/2］.

綜上可知，赤.前的取值范圍是［-8-8夜,8+8及］.

故答案為：［-8-8直,8+8夜］.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求兩個(gè)向量的數(shù)量積有三種方法：

（1）利用定義：

（2）利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算；

（3）利用數(shù)量積的幾何意義.

具體應(yīng)用時(shí)可根據(jù)已知條件的特征來(lái)選擇，同時(shí)要注意數(shù)量積運(yùn)算律的應(yīng)用.

彩健題海籍

（二）

平面向量數(shù)量積的應(yīng)用

（1）求平面向量的模的方法

①公式法：利用⑷=及（〃±方）2=|。|2±2。?方+|例2；

②幾何法：利用向量的幾何意義.

（2）求平面向量的夾角的方法

、U'b

①定義法：cos而；

②坐標(biāo)法.

（3）兩個(gè)向量垂直的充要條件

〃_1_萬(wàn)=〃仍=00|〃一例=|〃+）|（其中a#0,萬(wàn)W0）.

題型2:向量的模

2-1.（2024?陜西咸陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）已知Z,B是非零向量，同=1,（5+25）10,向量"在向量B方向上的投

影為一字，則，一力|=.

【答案】2

【分析】根據(jù)數(shù)量積的性質(zhì)，結(jié)合投影定義求解可得.

7■一1I—I21

【詳解】團(tuán)（〃+2可J_a,團(tuán)++2b-a=Q團(tuán)0?〃=_/網(wǎng)=——,

回向量￡在向量B方向上的投影為-包a-bA/2

回同—一

44

--^=a-b=

0

團(tuán)*邛=同2_2￡%+W――,加沙

回=2.

故答案為：2

2-2.（2024高三上,海南?期末）已知向量商，B滿(mǎn)足方=0,1）,忖=4,a-（a-b^=-2,貝中"q=

【答案】710

【分析】由萬(wàn)?（萬(wàn)同=一2可得必屋4,再由用叫=加聲+52-6萬(wàn)石,代入化簡(jiǎn)即可得出答案.

【詳解】因?yàn)樯?（U），*4,必僅一方）=-2,則同=0,

所以無(wú)（乙一5）=42_無(wú)5=_2,所以4-伍_(kāi)石）=2-汗Z=_2,解得：a-b=4<

怩一5卜J（3M-5）=>]9a2+b~-6a-b

=79x2+16-24=A/10.

故答案為：M.

2-3.（2024?四川南充二模）已知海為單位向量，且滿(mǎn)足—而卜而，則悔+1=.

【答案】75

【分析】將卜-辰卜布兩邊平方可得24=0,進(jìn)而可得%+〃

【詳解】為單位向量，且滿(mǎn)足卜一屈卜庭，所以一2后0+5戶(hù)=6,

即1一2舟3+5=6,解得7B=0，

所以12￡+0=^4a2+4a-b+b2=垂■

故答案為：^5.

2-4.（2024?河南鄭州?模擬預(yù)測(cè)）已知平面向量詞滿(mǎn)足同=71印|=2,且（2々+可@國(guó)=14,則歸+目

【答案】3A/2

【分析】由數(shù)量積的運(yùn)算律求出75=2,再由向量的模長(zhǎng)公式即可得出答案.

【詳解】由（2a+b^-^a-b^=2a-a-b-b=20-a-b-4=14,^a-b=2,

所以卜+?=J（a+B）=+2a-b+b=J10+4+4=30.

故答案為：30

題型3:向量的垂直

3-1.（2024?全國(guó)）設(shè)向量Z=（1,-1）,B=（M+1,2a-4）,若日則m=.

【答案】5

【分析】根據(jù)向量垂直，結(jié)合題中所給的向量的坐標(biāo)，利用向量垂直的坐標(biāo)表示，求得結(jié)果.

【詳解】由可得Z%=o，

又因?yàn)閍=（1,-1）,B=Qw+1,2m-4）,

所以7B=L（〃Z+1）+（-1＞（27W-4）=0,

即加=5,

故答案為：5.

【點(diǎn)睛】本題考查有關(guān)向量運(yùn)算問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有向量垂直的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題目.

3-2.（2024?河南開(kāi)封?模擬預(yù)測(cè)）已知向量2=（—2,3）,石=（4,—5）,若（花詢(xún)備，則;1=.

【答案】一M41

【分析】首先求出彳2-1的坐標(biāo)，依題意"%-辦）％=。，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到方程，解得即可.

【詳解】因?yàn)椤?（—2,3）,b=（4,-5）,所以九a—b=X（—2,3）—（4,—5）=（—24—4,34+5）,

又九所以卜￡一3）/=4（-22-4）-5（3彳+5）=0,解得幾=_1!.

故答案為：—I41I

3-3.（2024?江西贛州?一模）已知向量）=（1,2）,辦=（4,左）.若（2Z-B）_L（2Z+B）,則實(shí)數(shù)％的值為.

【答案】±2

【分析】根據(jù)兩個(gè)向量垂直的坐標(biāo)公式計(jì)算求解即可.

【詳解】因?yàn)椋?=（1,2）,辦=（4用，所以2H=（-2,4-左）,2￡+石=（6,4+左）,

又因?yàn)椋?Z-B）_L（2￡+B）,所以（2%-?2￡+B）=-2x6+（4-左）（4+左）=4-笈2=0,

所以左=±2.

故答案為：±2.

3-4.（2024高三下■江西南昌?開(kāi)學(xué)考試）已知兩單位向量q,02的夾角為|■，若Z=1+23,B=1+;成'，且2_L^,

則實(shí)數(shù)機(jī)=1.

【答案】-1/-0.8

【分析】利用向量的數(shù)量積公式和向量垂直的性質(zhì)解決本題.

【詳解】因?yàn)閱挝幌蛄孔顓^(qū)的夾角為會(huì)所以錄W=lxlxcos1=：;

因?yàn)閃_LB，所以＞石=（1+2晟）.（冢+*）=[.[+（2可?（他）+（加+2乂,可

154

=l+2m+（m+2）x—=—m+2=0,所以m=一1.

4

故答案為：-彳.

3-5.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）非零向量〃=（cos（6Z-/3）,sin尸），（=（l,sina），若￡_1_石，則tanatan^=.

【答案】-g/-0.5

【分析】由分,看得cosacos￡+2sinasin￡=。，從而求得tanatan/的值.

【詳解】因?yàn)椤阓LB，所以。出二（€。5（。一/?）其11尸）.（1,51111）=以%（。一尸）+5111。51口/7

=cosacos+2sindfsin/?=0,

由題易知cwg,吟,

一一,八sinasinBsinasmB1

所以tanatan13=------------=---------=一一.

cosacosP-2sinasin/32

故答案為：-§

題型4:向量的夾角

4-1.（2024?河南駐馬店?二模）若單位向量Z,B滿(mǎn)足|2%-目=痛，則向量2,B夾角的余弦值為

【答案】一/-0.25

4

【分析】利用性質(zhì)同2=片，將已知條件轉(zhuǎn)化為數(shù)量積求解即可.

【詳解】設(shè)向量Z,石的夾角為凡因?yàn)榈?4=痣，所以47—4￡%+片=6?

又問(wèn)=W=1,所以4一4cos9+1=6,所以cos。=一;.

故答案為：

42（2024高三?廣東?階段練習(xí)）若4,是夾角為60。的兩個(gè)單位向量，則商=21+晟與三=-3冢+2直的夾

角大小為.

2

【答案】120。/§?

【分析】先利用數(shù)量積公式求出再求出ZZ|Z|,瓦最后代入向量的夾角公式得解.

【詳解】是夾角為60。的兩個(gè)單位向量，則［巨=同?同cos6（T=：,

?1-0°<<a,5）<180°,",5〉=120。.

故答案為：120°

4-3.（2024高三下?重慶?階段練習(xí)）已知向量打和3滿(mǎn)足：同=1,*2,忸/-2無(wú)5=0,則上與2的

夾角為.

【答案】1JT/60°

【分析】記向量Z和B的夾角為。，將忸-方|=2詼平方化簡(jiǎn)即可求出答案.

【詳解】記向量％和B的夾角為，，將忸-可=2施平方得到：

4\a^+\b^-4\a\\b\cos^=4|5|2|5|2cos20n2cos20+cos6—1=0=>cos夕=!或一1,

2

又因?yàn)閨2d—引=2H方20ncos6>H-l,gpCos0=-=>0=-.

1123

故答案為：—

4-4.（2024?四川?模擬預(yù)測(cè)）已知向量Z=1+1,右），=（1,0）,a-b=-2＞則向量Z+B與石的夾角為.

9jr

【答案】y

【分析】

由￡法=-2可得x,a+b，后由向量夾角的坐標(biāo)表示可得答案.

a+b]-b

【詳解】7石=一2=>尤+1=—2=>尤=一3，貝+B=貝(Jcos(“+Ag

17^又

a+b,b^e[0,可,貝“2+￡B2五

3

2兀

故答案為:

3

4-5.(2024?浙江)設(shè)1,02為單位向量，滿(mǎn)足|2--4區(qū)血，a=e[+e^,b=3e[+e^,設(shè)Z,b的夾角為。,

則cos20的最小值為.

OQ

【答案】f

IIurq

【分析】利用向量模的平方等于向量的平方化簡(jiǎn)條件得,4之?，再根據(jù)向量夾角公式求cos2。函數(shù)關(guān)系式,

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求最值.

UU—

【詳解】Q24-02區(qū)0,

UU

4—4q,4+142,

irir3

uuuII

.?.cos^=4C(4+4,,%y4(1+6?2)

-------ir-1---urir=-----0ir

a-b(2+2ex-e2)(10+6e1?e2)5+-e2

242

irir)>—(1-

=如3）啜

5+3x-

4

OQ

故答案為：II

【點(diǎn)睛】本題考查利用模求向量數(shù)量積、利用向量數(shù)量積求向量夾角、利用函數(shù)單調(diào)性求最值，考查綜合

分析求解能力，屬中檔題.

4-6.(2024?天津)在AABC中，CA=a,CB=b,。是AC中點(diǎn)，CB=2BE，試用扇B表示力g為

若通讀，則/ACB的最大值為

31-n

【答案】—br——a—

226

【分析】法一:根據(jù)向量的減法以及向量的數(shù)乘即可表示出DE，以｛2可為基底，表示出~AB,1)E,^AB±DE

可得3片+/=￡，再根據(jù)向量夾角公式以及基本不等式即可求出.

法二：以點(diǎn)E為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)E(0,0),B(L0),C(3,0),A(x,y),由AB，DE可得點(diǎn)A的軌跡為

以M(TO)為圓心，以r=2為半徑的圓，方程為(x+iy+V=4,即可根據(jù)幾何性質(zhì)可知，當(dāng)且僅當(dāng)C4與。M

相切時(shí)，NC最大，即求出.

【詳解】方法一:

__,__.__.31

DE^CE-CD=^b--a,AB=CB-CA=b-a,AB±DE^>(3b-a)(b-a)=0,

3小宕+「2A/3alb\li

=47BncosNAC3=j^=亡321=丁,當(dāng)且僅當(dāng)同=百問(wèn)時(shí)取等號(hào)，而

\a\\b\4網(wǎng)44La\rbl2

7T

0<ZACB<TI,所以/AC3E(0,—].

6

3—1一n

故答案為：-b-—a?—.

226

方法二：如圖所示，建立坐標(biāo)系:

￡(o,0),B(l,0),C(3,0),4(x,y),DE=(-^-^),AB=(l-x,-y),

DE±AB=>(^|^)(x-l)+^-=0=>(x+l)2+y2=4,所以點(diǎn)A的軌跡是以"(TO)為圓心，以r=2為半徑的

r217C

圓，當(dāng)且僅當(dāng)C4與?！毕嗲袝r(shí)，NC最大，止匕時(shí)411。===：=；,/。=：.

CM426

3-1-71

故答案為：—b~—a■—.

226

題型5：向量的投影

5-1.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知向量。=（1,0）,6=（0,1）,4?0=及C=1,則向量之在向量"上的投影向量

為.

【答案】ri

【分析】設(shè)"=（〃,）），利用數(shù)量級(jí)的坐標(biāo)運(yùn)算得之的坐標(biāo)，再利用投影向量的公式求解即可.

【詳解】解：設(shè)"=（。,6）,因?yàn)椤?（1,0）,4=（0,1）,-2=及「=1

lx〃+OxZ?=l_Cl—

所以

Oxa+lxZ?=lb=l

所以工=（1,1）

a-cc1（1,1）

則向量Z在向量"上的投影向量為：下,二方?!)-

故答案為:

52（2024高三下?上海寶山?期中）已知向量。=（3,6）,5=（3,-4）,則不在后方向上的數(shù)量投影為

【答案】-3

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合向量的投影公式，即可求解.

【詳解】因?yàn)橄蛄可?(3,6),5=(3,-4),

所以Z在5方向上的數(shù)量投影為

,I_ra-b3x3+6x(-4)-15

\1u1\cos<a,b>=_i~；—=-------------------=—3

bJ9+165

故答案為：-3.

5-3.(2024高一下?山東泰安?期中)已知向量|4=6,工為單位向量,當(dāng)向量2、"的夾角等于45。時(shí)，則向

量Z在向量工方向卜.的投影向量是

【答案】3位

【分析】根據(jù)投影向量的定義結(jié)合條件即得.

【詳解】因?yàn)橄蛄縒、工的夾角等于45。，同=6,工為單位向量,

所以向量￡在向量"上的投影向量是H鬃o(hù)s45。7=3岳.

故答案為：3位.

5-4.(2024高三上?云南昆明?開(kāi)學(xué)考試)已知向量少=(-1,2),向量B=則向量方在向量B方向上的投

影為.

【答案】正

2

【分析】利用向量的投影的定義直接求解即可.

故答案為：F

5-5.(2024?上海虹口?三模)已知1(-2,-1)3=(-4,7”),若向量石在向量￡方向上的數(shù)量投影為斯，則實(shí)數(shù)

m=.

【答案】3

【分析】根據(jù)數(shù)量投影公式，代入求值.

【詳解】由條件可知，向量B在向量Z方向上的數(shù)量投影為號(hào)=*=逐,

解得：m=3.

故答案為：3

彩僻題秘籍

平面向量的實(shí)際應(yīng)用

用向量方法解決實(shí)際問(wèn)題的步驟

題型6：平面向量的實(shí)際應(yīng)用

6-1.（2024高三上?安徽合肥?開(kāi)學(xué)考試）一質(zhì)點(diǎn)受到同一平面上的三個(gè)力可，B，F(xiàn)3（單位：牛頓）的作

用而處于平衡狀態(tài)，已知耳，尸2成120。角，且耳，尸2的大小都為6牛頓，則鳥(niǎo)的大小為牛頓.

【答案】6

【分析】根據(jù)向量的合成法則以及向量的模長(zhǎng)公式，進(jìn)行計(jì)算即可

【詳解】設(shè)三個(gè)力的，F(xiàn)2,工分別對(duì)于的向量為：a,b,c

則由題知Z+石+2=0

所以c=-（a+b）

所以,卜|-（a+^）|=Va+2a?b+b

所以，=736+2x(-18)+36=6

所以用的大小為：6

故答案為：6

6-2.（2024高三上,福建泉州?期中）如圖所示，一個(gè)物體被兩根輕質(zhì)細(xì)繩拉住，且處于平衡狀態(tài).已知兩條繩

上的拉力分別是耳，E，且耳，居與水平夾角均為45。，同=|司=4亞N,則物體的重力大小為

【分析】設(shè)瓦，瓦的合力為:T，則亓=耳+可，根據(jù)力的平衡有|*=|耳+國(guó),兩邊平方后可求出?.

【詳解】解：設(shè)耳，耳的合力為聲，則尹=溫+國(guó)，

回耳，耳的夾角為90。，

0F=（4+工）=4+F2+24?工=32+32=64,

颯=8,

回物體平衡狀態(tài).回物體的重力大小為序|=8.

故答案為：8.

6-3.（2024?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測(cè)）下圖是北京2022年冬奧會(huì)會(huì)徽的圖案，奧運(yùn)五環(huán)的大小和間距如圖所

示.若圓半徑均為12,相鄰圓圓心水平路離為26,兩排圓圓心垂直距離為11.設(shè)五個(gè)圓的圓心分別為0、

。2、Q、。4、。5,則麗?（砧+麗）的值為（）

A.-507B.-386C.-338D.-242

【答案】B

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，做軸于A點(diǎn)，可求出。|、。八Q坐標(biāo)，及刎、0區(qū)、Q商,

再由向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得答案.

【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，做軸于A點(diǎn)，所以|2A|=11,

由已知可得01(—26,0),^(-13,-11),05(13,-11),

所以如=(一13,11),皿=(26,0),^=(13,11),

所以刎?(而+*)=(-13,11卜(39,11)=-507+121=-386.

媒習(xí)與梭升

一、單選題

1.(2024高三上?吉林四平?期末)已知向量方，方滿(mǎn)足|同=2,回=6且方與石的夾角為,則

(M+4(24-5)=()

A.6B.8C.10D.14

【答案】B

【分析】應(yīng)用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律展開(kāi)所求的式子，根據(jù)已知向量的模和夾角求值即可.

【詳解】'

由|司=2,向=6,且N與5的夾角為%

rr\/rr\1,2rrr

a+by\2a-b\=2a+a-b-b2

故選：B.

2.（2024高一下?天津西青?階段練習(xí)）已知同=6,忖=3,向量方在5方向上投影向量是4工，貝帖.6為（）

A.12B.8C.-8D.2

【答案】A

【分析】由投影向量和數(shù)量積的定義即可得出結(jié)論.

【詳解】不在5方向上投影向量為B|cosd?工=4*

.".|a|cos0=4,a-b=|fl||zj|cos6*=4x3=12.

故選：A

3.（2024高三下?云南昆明?階段練習(xí)）已知單位向量且〈。,6〉=］，若日+1）,1島=2,則＞；=（）

A.1B.12C.—2或2D.-1或1

【答案】D

【分析】由題意結(jié)合向量加法的幾何意義可得但1〉=］或g,再根據(jù)數(shù)量積的定義計(jì)算，即得答案.

【詳解】由題意單位向量:工，且〈：工〉=］,可知上了與：的夾角為巳，

因?yàn)樗晕?〉=］或

故當(dāng)時(shí)，a-c\a\'\c\cos^a-cf=lx2x—=l；

故選：D.

4.（2024?廣東?模擬預(yù)測(cè)）將向量詼=（立?繞坐標(biāo)原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)75。得到麗，則麗西=（）

AA/6—'s/2

B.>/6-A/2

--2-

C.娓+6J+應(yīng)

2

【答案】B

【分析】利用向量的坐標(biāo)求出模長(zhǎng)，再利用向量的數(shù)量積公式即可求解.

【詳解】因?yàn)槌?（在匈，所以旭=J（可+（可=2,

因?yàn)橄蛄繝t繞坐標(biāo)原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)75。得到赤

lUimI

所以向量無(wú)與向量麗的夾角為75。，且|。叫=2,

uimuiunlUtmiiuuai|

所以O(shè)P?O耳=OP.陷?cos75。=2X2Xcos（30°+45°）

=4亭等f(wàn)字

故選：B

TT

5.（2024?山東濟(jì)寧?二模）如圖，在AABC中，ZBAC=-,AD=2D§,P為CD上一點(diǎn)、,且滿(mǎn)足

AP=mAC+^AB（meR）,若AC=3,AB=4,則衣?①的值為（）.

【答案】C

【分析】由P、C、。三點(diǎn)共線(xiàn)及通=2而，可求根的值，再用而、就作基底表示進(jìn)而求Q.也

即可.

【詳解】[?]AP=mAC+^AB(meR),AD=2DB

__,2__.__,9__?1__.

即AO=—A5且。Z)=—C5+—CA,

333

__k.3__.

BAP=mAC+—AD^mGR),

31

又c、「、D共線(xiàn)’有它71，即〃，，

即麗南，1^CB=CA+AB,

42

^CD=-(CA+AB)+-CA=CA+-AB=-AB-AC

3333

_._.1—.1—.2—?—-1—.21—.—.1—a16913

AP-CD=(—AC+-^)(-AB-AC}=-AB--AB-AC——AC=一一2——

343412

故選：c

6.（2024?吉林長(zhǎng)春?模擬預(yù)測(cè)）在矩形A3CD中，=1,AD=2,AC與8。相交于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)A作AELfiD

于E,則荏.正=（）

1224124

A.—B.—C.—D.一

252555

【答案】D

【分析】建立直角坐標(biāo)系，設(shè)E（x,y）,由亞，麗和麗〃麗可列方程求出點(diǎn)E,再根據(jù)數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算即

可求解.

【詳解】建立如圖所示直角坐標(biāo)系:

則4(0,1),8(0,0),。(2,0),。(2,1),

設(shè)E(x,y),貝U荏=(x,y—1),屁=(x,y),麗=(2,1)

AE±BDAE_L5n且屜〃麗，

2

x=—

2x+y—1=05

?0，解得

1

二啖）,8_1

AE=

5~~5

在矩形ABC。中，。為的中點(diǎn),

7.（2024?湖北?模擬預(yù)測(cè)）已知平面向量b,6滿(mǎn)足萬(wàn)=（2,1）,3=（1,2）,S.alc.若r"3也,貝力司=

A.VioB.2V5c.50D.3^5

【答案】A

【分析】根據(jù)向量的垂直和數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出再用坐標(biāo)公式求模即可.

a-c=2x+y=0x-—A/2

【詳解】設(shè)^=(%y),貝卜可得＜

b-c=x+2y=3直y=2y/2

故選:A

8.(2024?山東泰安?模擬預(yù)測(cè))已知|。|=出1=1。1=1,〃石=-3，c=xa+yb(x,yGR),則V的最小值為()

A.-2B.C.-y/3D.-1

3

【答案】B

、

【分析】利用數(shù)量積定義可得的夾角為，=等，不妨設(shè)Z=(i,o),B=-j_昱

,c=(cosa,sina),ae[0,2TI),

2,~2

7

x=cosa-\-----si?na廠(chǎng)

「3,再利用輔助角公式可得尤_y=2@cos(a+工)，即可求得其最小值.

即可得

2A/3.36

y=-----sina

3

【詳解】設(shè)Z,I的夾角為6,蟲(chóng)明=1,ab=~

cos9=-g,-/^G[0,7I],8=g,又口=1,

-->(1若、

不妨設(shè)〃=(i,o)m=,c=(cosa,sin?),ae[0,2兀)，

l22J

y

cosa=x----x-cosad-----sina

廠(chǎng)即<3

c=xa+一去與y，所以＜2,

2出.

sma-——yy=-----sina

23

、2

cos(a+,竽cos(a+凱

..x—y=cosoc------

33J

兀

由0￡[0,2兀)/.6Z+—G

，當(dāng)嗚舍時(shí),即a吟時(shí)，一有最小值一半

故選：B

9.（2024?安徽,三模）以邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一

7T

段圓弧，三段圓弧圍成曲邊三角形，已知P為弧AC上的一點(diǎn)，且=則麗.麗的值為（）

6

B.4+72

C.4-25/3D.4+2上

【答案】C

【分析】如圖所示，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示計(jì)算即可.

【詳解】如圖所示，以2為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)2C為x軸，過(guò)點(diǎn)2且垂直于的直線(xiàn)為y軸,

建立平面直角坐標(biāo)系，則3（0,0）,C（2,0）,

由ZPBC=《，得尸(6,1),

所以麗=(711),CP=(V3-2,1),

所以麗?麗=刊6-2)+lxl=4-25

故選：C.

10.（2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在圓內(nèi)接四邊形MCD中，^BAD=120O,AB=AD=1,AC=2.^E^/

。的中點(diǎn)，則西.麗的值為（）

c

13

A.-3B.—C.—D.3

32

【答案】C

【分析】根據(jù)余弦定理得到8。=若，確定AC為圓的直徑，△"工)為等邊三角形，建立坐標(biāo)系，確定點(diǎn)

坐標(biāo)，計(jì)算向量的數(shù)量積得到答案.

【詳解】連接由余弦定理知出乎=F+F-2xlxlx(-g)=3,所以B￡)=君.

由正弦定理得一條=2=AC,所以AC為圓的直徑，

sml20°

所以CDLAD,所以C￡?=VL從而。0=班),

又NBCD=180°-120。=60。，所以ABCD為等邊三角形，

以。為原點(diǎn)，以D4所在直線(xiàn)為無(wú)軸，DC所在直線(xiàn)為〉軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.

A

X

B、

則A(1,0),E'fr,EA=,EB=?°