平面向量基本定理及坐標(biāo)表示（原卷版）-2025年天津高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第21講平面向量基本定理及坐標(biāo)表示

（4類核心考點(diǎn)精講精練）

12.考情探究

1.5年真題考點(diǎn)分布

5年考情

考題示例考點(diǎn)分析

平面向量基本定理的應(yīng)用平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示數(shù)量積的運(yùn)算

2024年天津卷，第14題,5分

律數(shù)量積的坐標(biāo)表示

余弦定理解三角形用基底表示向量用定義求向量的數(shù)量積基本不等式

2023年天津卷，第14題,5分

求積的最大值

2022年天津卷，第14題,5分用基底表示向量向量夾角的計(jì)算

2021年天津卷，第15題,5分?jǐn)?shù)量積的運(yùn)算律

2020年天津卷，第15題,5分已知向量共線（平行）求參數(shù)用定義求向量的數(shù)量積數(shù)量積的坐標(biāo)表示

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度中檔，分值為5分

【備考策略】1.理解、掌握平面向量的基本定理

2.能掌握空間直角坐標(biāo)系的點(diǎn)坐標(biāo)的運(yùn)算

3.具備數(shù)形結(jié)合的思想意識，會建立空間直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)坐標(biāo)解決向量共線問題

4.會利用向量點(diǎn)坐標(biāo)的公式求解向量共線以及加減數(shù)乘問題

【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容,一般給出圖形，求解向量的線性表示與模長數(shù)量積問題o

卜飛?考點(diǎn)梳理，

知識點(diǎn)一.平面向量基本定理V考點(diǎn)一、平面向量基本定理的應(yīng)用

知識點(diǎn)二.平面向量的正交分解

------------------------------------------------------------—.....................Z-

(jrri'nJfc—SEiSiLMiAU去彳'去笛1.向量加法'威法'數(shù)乘運(yùn)算及向量的模?—EigTr1n0二一+丁'~~的

平面向量基本定理及坐標(biāo)表示知識點(diǎn)二.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算2向量坐標(biāo)的求法考點(diǎn)一、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

E石…鼻++&SA1A尸主一考點(diǎn)三、利用向量共線求參數(shù)

知1八點(diǎn)四.干面向量共線的坐標(biāo)表示考點(diǎn)四、利用向量共線求向量與點(diǎn)坐標(biāo)

知識點(diǎn)五.平面向量基本定理的推論

知識講解

知識點(diǎn)一.平面向量基本定理

如果ei,ez是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任一向量”，有且只有一對實(shí)數(shù)%,入2,

使。=九三+丸2?2.

若?2不共線，我們把｛er%｝叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個基底.

知識點(diǎn)二.平面向量的正交分解

把一個向量分解為兩個互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解.

知識點(diǎn)三.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

1.向量加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算及向量的模

設(shè)〃=(?,yi),b=(X2,m)，則

。+[=(芍+%2，yi+y2)，。一力=(芍一九，yi—丫2)，4vi)，\a\=y]xi+y1.

2.向量坐標(biāo)的求法

①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).

②設(shè)A(xi,yi),3(x2,丁2),則屈=(電一xi，丫2一y。,|A^|=^(X2~xi)2+(y2—^i)2.

知識點(diǎn)四.平面向量共線的坐標(biāo)表示

設(shè)〃=(%i,yi),>=(%2,聞，其中厚0,則a〃<=司、2—九2%=0

知識點(diǎn)五.平面向量基本定理的推論

1.設(shè)。=力d+/12?2，萬=%3?1+丸4。2(71，22，23，筋金刈)，且的，e2不共線，若貝丸1=丸3且22=24.

2.若Q與8不共線，且2〃+〃力=0,則2=〃=0.

3.平面向量基本定理的推論:

①已知平面上點(diǎn)。是直線/外一點(diǎn)，A,8是直線/上給定的兩點(diǎn)，則平面內(nèi)任意一點(diǎn)P在直線/上的充要

—>—>—>

條件是：存在實(shí)數(shù)K使得。尸=（1）。4+/。區(qū)特別地，當(dāng)T時，點(diǎn)P是線段A8的中點(diǎn).

—>—>—>

②對于平面內(nèi)任意一點(diǎn)0,有尸，A,5三點(diǎn)共線=存在唯一的一對實(shí)數(shù)九〃，使得。尸=丸。4+〃05,且丸

+〃=1.

4.常用結(jié)論：己知AABC的頂點(diǎn)4（X1，%），8（X2,丫2），C（X3,乃），則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為”上，亭2

“8C的重心坐標(biāo)為”盧，五聲）.

考點(diǎn)一、平面向量基本定理的應(yīng)用

典例引領(lǐng)

1.（2022?天津?高考真題）在AABC中，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E滿足方=2礪.記后？而=叫用2,3表

7J\DE=,若ABIDE,貝吐4CB的最大值為.

2.（2024.陜西銅川.模擬預(yù)測）在AABC中，點(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E滿足於=2瓦5,若荏=4而+//麗,

則；I+〃的值為（）

即時檢測

1.（2024上海浦東新.三模）給定平面上的一組向量瓦、石，則以下四組向量中不能構(gòu)成平面向量的基底的

是（）

A.2瓦*+前和西*—瓦B.西+3用和田+3西*

C.3宙一石和2瓦一6宙D.前和宙+石

2.（2024?江蘇揚(yáng)州?模擬預(yù)測）在AABC中，DC=2BD,M為線段力。的中點(diǎn)，過M的直線分別與線段4B、4C

交于P、Q,且布=］屈，而=2左，貝!U=（）

1112

A.-B.-C.-D.-

6323

3.（2024?貴州六盤水?三模）已知點(diǎn)O為的重心，AC=AOA+［1OB,貝設(shè)+〃=（）

A.-3B.-2C.1D.6

4.（23-24高三上?天津武清?階段練習(xí)）在△ABC中，前=［前,E是線段40上的動點(diǎn)（與端點(diǎn)不重合），

設(shè)方=xCA+yCB,則2x+3y+町的最小值是（）

xy

A.10B.4C.7D.13

5.(23-24高三上?江蘇南京?期中)在△28C中，已知點(diǎn)。滿足品=2萬，若同=3前—2布，則

X=.

6.(23-24高三上.天津和平.期末)如圖，在AABC中，BO=30C,過點(diǎn)。的直線分別交直線4B,AC于不同的

兩點(diǎn)M,N,記屈=a,AC=b,用之石表示同=；設(shè)荏=mAM,AC=nAN,若m>0,n>0,則［+；

的最小值為—.

A

考點(diǎn)二、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

典例引領(lǐng)

1.(2024?河南?模擬預(yù)測)已知向量南=(2,-1),而=(3,2),點(diǎn)C(一1,2),則點(diǎn)B的坐標(biāo)為()

A.(-2,-1)B.(0,5)C.(2,-5)D.(2,-1)

2.(22-23高三?全國?對口高考)已知向量日=(V3,l),^=(0,-2).若實(shí)數(shù)k與向量不滿足三+2另=kc,貝場可

以是()

A.(V3,—1)B.(―1,—V3)

C.(-V3,-l)D.(-1,73)

即時檢測

1.(2024.湖北武漢?二模)已知點(diǎn)4,8,C,。為平面內(nèi)不同的四點(diǎn)，若麗=2DA-3DC,且尼=(-2,1),則屈=

2.(2024?福建泉州?模擬預(yù)測)菱形4BCD中，AB=麗=(2,2),貝亞=.

3.(2023?內(nèi)蒙古赤峰?三模)如圖，在四邊形ABCD中，=120°,zDXC=30。,AB=1,AC=3,AD=2,

4.（2023?江西?模擬預(yù)測）在平面四邊形4BCD中，AB1BC.AC1CD,AB=BC=CD,若前=XAB+〃福,

則4+〃=()

A.-B.V2C.-D.2

32

5.(2024?北京.三模)己知向量匕3,5在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若m=熱+〃灰尢〃CR),則(的

考點(diǎn)三、利用向量共線求參數(shù)

典例引領(lǐng)

1.(2024?內(nèi)蒙古包頭?三模)已知向量江=(1,一1),b=(m+l,2m-4),若(3+另)〃R—3),則6=()

A.4B.3C.2D.1

2.(2024?陜西渭南?二模)已知向量B=(t-3,-1),b=(2,t),則“t=2”是方〃聲的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

即時叁叫

1.(2024.江西南昌?模擬預(yù)測)已知2=(1,2),3=(—1,3),若(碗+母〃(22—3)，則k的取值為.

TTT-->->一

2.(23-24高三上?江西?期中)已知平面向量a=b=(-2,1),c=(n,2),若alb,b“c,則m+

n=.

考點(diǎn)四、利用向量共線求向量與點(diǎn)坐標(biāo)

典例引領(lǐng)

1.(?上海?高考真題)已知點(diǎn)4(1,-2),若向量費(fèi)與五=(2,3)同向，|舫|=2713,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為.

2.(2024.全國.模擬預(yù)測)已知M(4,—2),N(—6,—4),且麗=一號而，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()

A.(1,1)B.(9,-1)C.(-2,2)D.(2,-1)

即時檢測

1.(2024?陜西寶雞?三模)已知向量2=⑺,2)與3=(—2,—4)共線，則22—3=()

A.(10,8)B.(4,8)C.(0,0)D.(1,2)

2.(2024.河南信陽?模擬預(yù)測)拋物線E：y2=4x的焦點(diǎn)為尸，直線48,CD過F分別交拋物線E于點(diǎn)4B,C,

D,且直線4D,8C交x軸于N,M,其中N(2,0),則M點(diǎn)坐標(biāo)為.

3.(2024?山東泰安.模擬預(yù)測)已知向量|汨=3,3=(1,2),且力/B,則向量日的坐標(biāo)為.

4.(22-23高三?全國?對口高考)已知點(diǎn)4(1,—2),若屈與2=(2,3)的夾角是180。，|荏|=2回，則點(diǎn)B坐

標(biāo)為?

12.好題沖關(guān).

基礎(chǔ)過關(guān)

1.(23-24高三上?天津?期中)與向量日=(3,-1)和另=(1,3)的夾角均相等的單位向量為()

A.律將或(-雪,4)

B.停金或(-今-金

c等或(-警用)

D停,一誓)或甯

2.(23-24高三上?湖南長沙?階段練習(xí))在△ABC中，M是4C邊上一點(diǎn)，且宿=2標(biāo)，若麗=無瓦？+y阮，

則y的值為()

1122

A--3B.-C.--D.-

3.(20-21高三上?天津紅橋?期中)設(shè)0<8<；,向量日=6也2仇。05。)花=(005。，1),若出石，則tan。=()

A.1B.1C.2D.|

4.(23-24高三上?天津靜海?階段練習(xí))已知平面內(nèi)三個向量日=(3,2),另=(-1,2),c=(4,1),若(N+

kc)//2b—d,貝Uk=.

5.(21-22高三上?天津?期末)如圖，在四邊形4BCD中,4B=2,AC=2同AD=ACAB=-,AD-AB=

262

貝ijAD?AC=；設(shè)AC=mAB+nAD(jn,nGR),則m+n=.

c

D

6.（21-22高三上?全國?階段練習(xí)）在矩形ABCD中，AB=6,AD=4,E為CD的中點(diǎn)，若麗=2而，AF=

XAB+[1AD,則4+〃=.

7.（20-21高三上?天津?期末）如圖，在邊長1為正方形中，M,N分別是BC,CD的中點(diǎn)，則前?

AC—，若24c=XAM+fiBN,則4+〃=.

能力提升

1.（2024.天津.模擬預(yù)測）如圖，在△4BC中，ZB=2,AC=5,cos^CAB=|,D是邊BC上一點(diǎn)，且麗=2DC.

若前=三而，記方=AAB+fiAC（A,fieR）,則4+4=________；若點(diǎn)P滿足而與四共線，PA1PC,

4

則黑!的值為.

2.（2024.天津?二模）在四邊形力BCD中，乙4=120。，AC=1,AB=2DC,M為4。中點(diǎn).記前=2,南=3,

用石工表示前=；若麗=%反，則而?麗的最大值為

4

3.（2024?天津南開?一模）平面四邊形ABCD中，AB=2,乙4BC=：,AC1AB,E為BC的中點(diǎn)，用荏和

族表示芯=；若ED=2,則前?南的最小值為

4.（2024?天津河?xùn)|?一模）已知A4BC,如圖所示，點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，點(diǎn)D滿足詬=》話，記刀=江，麗=3,

用a,b表示ED=；當(dāng)乙5=30。,CD=BD,\ED|=1時五?力=

5.（23-24高三上?天津?qū)幒?期末）在平行四邊形ZBCD中，^ABC=60°,E是CD的中點(diǎn)，AF=2FEf若設(shè)

BA=a,BC=b,則而可用出3表示為；若A4DE的面積為手，則畫的最小值為.

6.（23-24高三上.天津?階段練習(xí)）如圖，在菱形4BCD中4B=2,^BAD=60°,E、F分別為BC、CD上的

點(diǎn).CE=2EB,CF=-2FD,點(diǎn)M在線段EF上，且滿足俞=+|同（xeR）,\AM\=；

若點(diǎn)N為線段BD上一動點(diǎn)，則麗?標(biāo)的取值范圍為.

7.（23-24高三上.天津和平.階段練習(xí)）如圖，在443。中，48=2,2。=3,荏?前=3,點(diǎn)。是3。的中點(diǎn)，

點(diǎn)E在邊力C上，3荏=前,BE交2D于點(diǎn)F,設(shè)麗=4存+乩庶（尢〃eR）,則4+〃=；點(diǎn)G是

線段BC上的一個動點(diǎn)，則前?雨的最大值為.

1.（2022.全國?高考真題）在A48C中，點(diǎn)D在邊AB上，BD=2DA.記方=沅，CD=n,則方=（）

A.3m—2nB.—2m+3nC.3m+2n