平面向量章節(jié)復習講義-2025屆高三數(shù)學一輪復習

章節(jié)復習2-6-1《平面向量》

(1套8頁，含答案)

知識點1：

概念：

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度(或模).

(2)零向量：長度為0的向量，其方向是任意的.

(3)單位向量：長度等于1個單位長度的向量.(沒有方向上的規(guī)定)

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：6與任一向量平行或共線.

(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量.

(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量.

線性運算:

1.三角形法則：首尾連，連首尾2.平行四邊形法則：起點相同連對角

a

a

平行四邊形法則

三角形法則

(1)AB+BC=AC2.OA-OB=BA

(2)A(xi,力)，B(X2,>2)，貝!JAB=(X2—xi，

(3)若。=(xi，yi),b=(x2,yi),則a+Z>=(xi+x2，%+”).

(4)若a=(xi，yi),b=(x2,>2)，則“一》=(為一檢，y\—yi).

(5)若a=(尤，y),A￡R,則4a=(Ax,Ay).

共線：

向量B與非零向量彳共線的充要條件是有且只有一個實數(shù)入，使得B=入

當a時，有里=",b—Xa.

X2yi

設4a,%),3(生為),。(凡,%)，要證明三點A、B、C共線，只要證明AB//BCo

如果ei,e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量彳，有且只有一對實數(shù)

X.1,九2,使M=?qei+%e2.其中，不共線的向量ei，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底

按比例分解向量:

在AABC中，D點在BC邊上，若BD=m,CD=n,

則-----AB+-----AC,使用該公式，可以太高解題速度。

m+nm+n

典型例題1:

1.如圖，在平行四邊形ABCD中，。是對角線的交點，下列結論正確的是（?）

A.AB=CT）,BC=ADB.AD+6b=DAC.AO+6b=AC+cbD.AB+BC+CD=DA

2.在如圖四邊形ABCD中，設箱=a,AD=b,BC=c,則疾等于（②）

A.a—b+cB.b—（a+c）C.a+b+cD.b—a+c

3.兩個非零向量a、b不共線.

（1）若贏=a+b,BC=2a+8b,CD=3（a-b）,求證：A、B、D三點共線;

（2）求實數(shù)k使ka+b與2a+kb共線.（?）

4.設ei、e2是不共線的兩個向量，給出下列四組向量：

①ei與ei+e2；②ei-2e2與e2-2ei；③ei-2e2與4e2-2ei.

其中能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的序號是④.（寫出所有滿足條件的序號）

5.已知a=(3,1),b—(—2,5)則3a-23=(?)

6.如圖所示，在nABCD中，AB=a,AD=b,AN=3NC,〃為8C的中點,

—?

則—.（用“、5表示）.

7.設D為^ABC所在平面內(nèi)一點豆e=3e力，則(?)

1414/、4141

(A)-=----->+>(B)-=------>(C)->=*+----*(D)-*=>------

AD3AB3AC'AD3AB3ACAD3AB3ACAD3AB3AC

隨堂練習1:

1.如圖所示，在正六邊形ABCDEF中，若AB=1,貝U|AB+FE+CD|等于（?）

A.1B.2C.3D.2^3

2.如圖所示，已知O到平行四邊形的三個頂點A、B、C的向量分別為a,b,c,則65=—?

（用a,b,c表不）.

3.已知e、f為兩個不共線的向量，若四邊形ABCD滿足贏=e+2f,BC=-4e-f,CD=-5e-3f.

(1)將心用e,f表示；

(2)證明四邊形ABCD為梯形.?

4.下面三種說法中，正確的是(11)

①一個平面內(nèi)只有一對不共線向量可作為表示該平面所有向量的基底;

②一個平面內(nèi)有無數(shù)多對不共線向量可作為該平面所有向量的基底；

③零向量不可作為基底中的向量.

A.①②B.②③C.①③D.①②③

5.已知蘇=(-2,4),痂=(2,6),則工布=12

2

6.如圖，在AABC中，BD=2DC,若麗=2,43=方，則亞=(13)

1-2

B,-a+-bC、一a—b7D、-a+-b

333333

7.已知的=a,OB=b,C為線段AB上距A較近的一個三等分點，O為線段C8上距C較近的一個三等

分點，則用“、5表示而為(14)A.|(4a+5Z>)B卷9a+7方)C.|(2a+/>)D.1(3a+Z>)

o-A

知識點2：

數(shù)量積運算:

(l)a-b=|a||b|cos0(2)夾角公式：cos0=-同科

(4)a,g同向，貝！，坂；⑸a,g反向，貝=⑹Q,Z垂直，則Q?B=O；

方

(7)向量a在b方向的投影是|a|cos0,向量a在向量b上的投影向量是同cos夕］.

向

(8)若a=(x「yi),b=(X2，y2),貝!Ja?b=xiX2+yiy2.

22

(9)向量模公式：設a=(xi,yi),則|a|=7x：+式.,=a-a=x+y

(10)兩點間距離公式：若A(xi,yi),B(X2,y2。則|AB|=)4x：+公

垂直：a-b=0

求模：k+闿=小(a+b)2=J/+/+2帥；

典型例題2：

1.設口=12,M=9,a-b=-5^41,則Z與3的夾角大小為(15)

A.45°B.135°C.60°D.120°

2.已知|a|=4,|b|=3,夾角為60。，分別求a在b上的投影和投影向量.*)

3.設向量。二(—1,2),b=(2,—1),則(〃?b)(〃+b)等于(")

A.(1,1)B.(—4,—4)C.—4D.(—2,—2)

4.設向量5與彼的夾角為。，且五=(3,3),2^-5=(-1,1),貝(Jcos。=18

5.已知。=(i,o),B=(i,i),則1在B上的投影向量為*.

6.若A(x,-1),8(1,3),C(2,5)三點共線，則x的值為(20)

A.-3B.-lC.lD.3

7.若。=(2,-1),b=(1,2),且則實數(shù)t=2i；

隨堂練習2：

1.已知AABC中，網(wǎng)=5,C4=8,ZACB=60°,則瓦.瓦=」。

2.已知向量點坂的夾角為與，且口=&,慟=2,貝U＞心—21)=^—.

3.|a|=2,|b|=4,向量a與向量b的夾角為120。，則向量a在向量b方向上的投影等于(24)

A.-3B.-2C.2D.-1

4,若。=(-4,3),b=(5,6),貝!J31al之一4〃必=(25)

A.23B.57C.63D.83

5.已知向量。=(1,1),2〃+辦=(4,2),則向量〃、)的夾角為(26)

、71c兀八兀c兀

A.%B，CqD，2

6.已知向量商,5滿足無B=10,且B=(-3,4),則花在B上的投影向量為(27)

7.已知向量函=(%,12),麗=(4,5),前=(—左,10),且A、B、C三點共線，則k=_?8

8.已知兩個單位向量4,e2的夾角為45。，且4_L(設2-G),則實數(shù)X的值為29—=

9.已知向量海的夾角為45。，且同=1忤—q=加，則國=^.

10,平面向量［與B的夾角為45。，a=(1,-1),|^|=1,則1+2q=31.

知識點3：

分解代換：

一個向量可以分解成另外兩個向量相加的形式，遇到這類題型，

建議優(yōu)先用“坐標法”。因為坐標法容易操作，正確率也比較高。

題目涉正方形、矩形，用坐標法最佳；

如果是其他圖形，則可以將其理解成一個特殊的圖形，方便計算。

投影最值分析：

一個向量不變，另一個向量在變動，常用這種方法，分析這個變動向量在另一個向量上的投影。

中線分解最值分析：

兩個向量都在變動，常用這種方法。取兩向量終點的中間點，分解向量。

典型例題3：

1.如圖7,在矩形ABCD中，=3C=2,點E為BC的中點，點/在邊上，若方.衣=0,

則AE.BF的值是犯▲.

圖7

2.在AABC中，M是BC的中點，AM=3,BC=10,則通-*=_33

3.（2022年山東淄博J19）已知AABC中，AB=4,AC=3,cosA=-.若D為邊BC上的動點,

3

則荏.蒞的取值范圍是（34）A.[4A12]B.[872,16]C.[4,16]D.[2,4]

4.（2022年福建漳州J20）已知△ABC是邊長為2正三角形，尸為線段A5上一點（包含端點），則

11

萬?定的取值范圍為（35）A.--,2B.--,4C.[0,2]D.[0,4]

隨堂練習3：

1.已知正方形ABCD的邊長為1,點E是AB邊上的動點，則OE-CB的值為—，。石的最大值

為-36_。

2.如圖，正方形ABCD中，M、N是BC、CD的中點,

若*=4該+〃前，則＞1+〃=（37

Q

A.2B.一D

3cI-I

TT

3.在直角AABC中，NC=],AC=3,取點D、E使BD=2DA,AB=3BE,

那么CDCA+CECA=y）A.3B.6C.-3D.-6

4.（2022年廣州一模J02）已知菱形ABCD的邊長為2,NA5C=60。，點P在邊上（包括端點）,

則AD-AP的取值范圍是—39.

5.（2022年湖南名校聯(lián)盟J46）在一個邊長為2的等邊三角形ABC中，若點P是平面ABC（包括邊界）

543

中的任意一點，則西.定的最小值是（40）A.--B.--C.-1D.--

?答案：C；

?答案：A；

③答案：⑴證明,：AD=AlB+BC+CD=a+b+2a+Sb+?la-3b=6a+6b=6A~B,：.A,B、。三點共

線.

(2)解?..版+5與2a+劭共線，：.ka+b^A(2a+kb).

(k—24)。+(1—Xk)b—0,

-2/1=0,

=^k=±\l2.

1-Xk=0

④答案：①②；

解析對于③4%—2ei=-2ci+4e2=—2（d一2c2）,，為一2或與4改一2ei共線，不能作為基底.

⑤答案：（13,—7）

?［答菊*a）；

?【答案】A

【解析］由題知通=恁+函=恁+！〃=衣+!（*—通）==_工荏+3恁，故選A.

3333

?答案：B；

[\AB+FE+CD\=\AB+BC+cb\^\AD\^2.]

⑨答案：。一5