平行四邊形（解析版）-2021-2022學(xué)年人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)壓軸題匯編

2021-2022學(xué)年人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)壓軸題專題精選匯編

專題05平行四邊形

一.選擇題

1.（2021秋?壽光市期末）如圖，班'是△/回的中位線，//歐的角平分線交座于點(diǎn)QAB=8,BC=\2,

則斯的長(zhǎng)為（）

A.1B.1.5C.2D.2.5

【思路引導(dǎo)】延長(zhǎng)"'交比'于〃由三角形中位線定理得到應(yīng)〃aDE=LB『6,AF=FH,再證△〃力

2

處工BFH（AAS）,得所AB=8,然后由三角形中位線定理得外'=4,求解即可.

【完整解答】解：連接//并延長(zhǎng)交比'于外如圖所示：

?.?點(diǎn)久￡分別為邊46、/C的中點(diǎn),

：.DE//BC,DE=LBC=6,AF=FH,

2

在△河和△啊中，

，ZABF=ZHBF

"ZAFB=ZHFB>

TA=FH

:.XBFgXBFH(44S),

:.BH=AB=8,

'：AD=DB,AF=FH,

...加是△/期的中位線，

:.DF=LBH=4,

2

:*EF=DE-DF=2,

故選：C.

【考察注意點(diǎn)】本題考查的是三角形中位線定理、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握三角形中

位線定理和全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.（2021秋?龍鳳區(qū)期末）下面關(guān)于平行四邊形的說(shuō)法中，不正確的是（）

A.對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形

B.有一組對(duì)邊平行，一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形

C.有一組對(duì)邊相等，一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形

D.有兩組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形

【思路引導(dǎo)】根據(jù)平行四邊形的判定分別對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【完整解答】解：/、：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，

選項(xiàng)/不符合題意；

女：有一組對(duì)邊平行，一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形，

，選項(xiàng)6不符合題意；

a..?有一組對(duì)邊相等，一組對(duì)角相等的四邊形不一定是平行四邊形，

，選項(xiàng)。符合題意；

久；有兩組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形，

.??選項(xiàng)〃不符合題意；

故選：c.

【考察注意點(diǎn)】本題考查了平行四邊形的判定；熟練掌握平行四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵.

3.（2021秋?肇源縣期末）如圖，平行四邊形功切的對(duì)角線4C、劭相交于點(diǎn)。，AE平濟(jì)/BAD,分別交

BC、加于點(diǎn)￡、P,連接陽(yáng)/4DC=6Q°,AB^BC=b則下列結(jié)論：①②平行

四邊形胸您OEAAD，正確的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【思路引導(dǎo)】①先根據(jù)角平分線和平行得：ABAE=ZBEA,則相=龍=1,由有一個(gè)角是60度的等腰三

角形是等邊三角形得：△/如是等邊三角形，由外角的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得：,最后

由平行線的性質(zhì)可作判斷；

②先根據(jù)三角形中位線定理得OE=LAB=工,施〃根據(jù)勾股定理計(jì)算oc=和0D

22

的長(zhǎng)，可得物的長(zhǎng);

③因?yàn)?的C=90°,根據(jù)平行四邊形的面積公式可作判斷;

④根據(jù)三角形中位線定理可作判斷.

【完整解答】解：①平分/胡〃

4BAE=/DAE,

?..四邊形48切是平行四邊形,

J.AD//BC,NABC=NADC=6Q°,

:"DAE=/BEA,

:.NBAE=ZBEA,

：.AB=BE=\,

.?.△4座是等邊三角形,

：.AE=BE=\,

'：BC=2,

：.EC=\,

：.AE=EC,

：.AEAC=AACE,

VAAEB=ZBAaZACE=60°,

：.ZACE=^O°,

AD//BQ

：.ZCAD=ZACE=30°,

故①正確；

②?：BE=EC,OA=OQ

：.OE=^AB=^,OE//AB,

22

:?/EOC=/BAC=60°+30°=90

??,四邊形/四是平行四邊形，

：.ZBCD=ZBAD=120°,

：.ZACB=30°,

：.ZACD=90°,

Rt△,%Z?中，—J[%號(hào)）2二率,

:.BD=20D=初,

故②正確；

③由②知：/BAC=90°,

?S平行四邊形'頗二月夕'/，，

故③正確；

④由②知：應(yīng)'是△/回的中位線，

：.OE=^-AB,

2

?:AB=LBC,

2

OE=LBC=LAD,

24

故④正確；

故選：D.

【考察注意點(diǎn)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形30度角的性質(zhì)、三角形

面積和平行四邊形面積的計(jì)算；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明△/龐是等邊三角形是解決問(wèn)題的關(guān)

鍵系.

4.（2021秋?平陽(yáng)縣期中）如圖，四邊形相切中，//比'=120°,點(diǎn)戶為切中點(diǎn)，以幽切為邊，AD為

對(duì)角線作平行四邊形四/連接BE交AD于點(diǎn)、0,豆OF=BC=2,則四的長(zhǎng)為（）

A.V13+1B.V13-1C.巴+1D.”-I

【思路引導(dǎo)】連接/G由三角形的中位線定理證得4c=2毋‘=4,作C6L48于G,由N4a-120°,求

得/狽=60°,NBCG=30：進(jìn)而求得拓CG=M，由勾股定理求得47,根據(jù)線段的和差

求得結(jié)論.

【完整解答】解：連接NG則辦'是的中位線,

，"=2郎=4,

作81/6于G,

'：ZABC=12Q°,

:./CBG=60°,4BCG=3Q°,

:.BG=/BC=\,CG=M，

'：AG=VAC2-CG2=^42-（73）2=伍

：.AB=AG-BG=yf]2-1,

故選：B.

【考察注意點(diǎn)】本題是平行四邊形的性質(zhì)，主要考查了三角形的中位線定理，含30°角的直角三角形的

性質(zhì)，勾股定理，正確作出輔助線是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

5.（2021春?南岸區(qū)期末）如圖，在平行四邊形46W中，點(diǎn)反尸在對(duì)角線如上，連接EC,CF,FA,

點(diǎn)￡,尸滿足以下條件中的一個(gè)：①BF=DE；②AE=AF；③AE=CF；④）4AEB=4CFD；⑤）AELBD,CFV

BD.其中，能使四邊形/成尸為平行四邊形的條件個(gè)數(shù)為（）

【思路引導(dǎo)】根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)和平行四邊形的判定與性質(zhì)分別推理論證，即可得到結(jié)論.

【完整解答】解：①如圖，連接/C交切于點(diǎn)。，

?..四邊形4瓦刀是平行四邊形，

：.AB//CD,AB=CD,OB=OD,OA=OC,

,:BF=DE,

：.BF-OB=DE-OD,

即0F=OE,

四邊形4叱是平行四邊形；故①正確;

②?：AE=AF,不能判定△/龐/

，不能判定四邊形/叱是平行四邊形；

③?：AE=CF,不能判定△/跳空△如；

???不能判定四邊形/況尸是平行四邊形；

@"：AB//CD,

：.AABE=ACDF,

'：AAEB=ACFD

在△/龐■和△力方中，

，ZAEB=ZCFD

，ZABE=ZCDF-

LAB=CD

:.△AB—XCDF(44S),

：.BE=DF,

'JAO^CO,BgDO,

：.0E=OF,

...四邊形力叱是平行四邊形，故④正確;

⑤)AELBD,CFVBD,

：.AE//CF,

：.AAED=ACFB,

在瓦?和△物'中,

，ZAED=ZCFB

<NADE=/CBF，

,AD=CB

:.叢AEHXCBFCAAS）,

:.BF=DE,

：.BF-OB=DE-OD,

0F=OE,

'：曲=OC,

四邊形4比F是平行四邊形；故⑤正確；

一定能判定四邊形/況尸是平行四邊形的是①④⑤，共3個(gè)，

故選：B.

【考察注意點(diǎn)】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí);

熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

6.（2021春?西安期末）如圖，在△/比1中，加平分/曲G過(guò)點(diǎn)「作切_LM相交火于點(diǎn)G,DE"AB交

4c于點(diǎn)￡,作/小的平分線〃交/。于點(diǎn)尸，交AB于點(diǎn)、F,若/6=60°,下列結(jié)論：①NPCD=30°；

②NAFC+NDCGS；③BG=AE；?AC=AF^CG-,⑤為■■+為弼=邑"。其中正確的個(gè)數(shù)是（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【思路引導(dǎo)】延長(zhǎng)繆交四的延長(zhǎng)線于〃證明為等腰三角形，得出切=掰由龍〃/〃得出力￡=

CE,由平行線的性質(zhì)和角平分線證出/￡=/連接如，HG,由4。垂直平分田得到加=3,HP=CP,

AH^AC,4FPH=/CBF,CPHP,利用等角對(duì)等角且外角的性質(zhì)，證出/物'=2/心=60°,①正確;

證明切=/加匕可得②正確；求出力與/切切的度數(shù)，證明△的儂△“得到HF=GH=CG,

FP=GP,④正確；得出屐的4尸=研/尸=延/。，由三角形面積公式得出⑤正確；即可得出結(jié)論.

【完整解答】解：方法一：延長(zhǎng)切交46的延長(zhǎng)線于〃連接即HG,

‘：ADLCH,

：.ZADC=ZADH=^°,

,:AD*64BAC,

：.ZHAD=ACAD,

:?/AHC=/ACH,

：.AH=AC,

???△Z紐為等腰三角形，

：.CD=CH,

9：DE//AB,

：.AE=CE,AADE=ABAD,

?:AD平分/BAC,

：.ZBAD=ADAE,

：.ADAE=/ADE,

:?AE=DE,

/.AE=DE=CE,

?：CDLAD,CD=CH,

???4?為此的垂直平分線，

：.AAHP=AACP,PC=PH,

VABCA的平分線CF交4?于點(diǎn)P,

：.ZACP=ABCF,

:?/AHP=/BCF,

???/。亞為公共角，

:?/FPH=2CBF,

°：PC=PH,

：.ZFPH=/PC>/PHD=2/PCD,

:?/CBF=2/PCD=6G°,

：.ZPCD=30°,故①正確，

方法二：,:AD斗分乙BAC,CF平分4BCA,

：.ZAPC=90°+^ZABC=900+30°=120°,

2

：.ZCPD=60°,

CDLAD,

.ZPCD=30°,故①正確,

ZCGD^ZGCPrZCPG^ZGC/^-60°,ZAFC^ZGCP^ZFBC^ZGCF^-60°,

：.ZAFC=ZCGD,

'：ZCGD^ZGCD=90°,

：.ZAFC+ZGCD^^°,故②正確，

■:AE=DE=EC=LAH,無(wú)法判斷拓=工幽故③錯(cuò)誤，

22

■:NPCQ30°=/PHD,

為N4%的平分線，

如為/碗的平分線，

在△/P和中，

，ZFHP=ZGHP

<PH=PH，

1ZHPF=ZHPG=60°

△〃儂△戚CASA),

：.HG=HF=CG,FP=GP,

：.AF+CG=AF+HF=AH=AC,故④正確.

作必CL/6于M,PN1AC于N,PQ1BC于Q,

：.PM=PN=PQ,

'：S^APF=^AFXPM,S.PL'CGXPQ,S2LLACKPN,

222P

*,sAAP鏟S&CP尹SXAPC，故⑤正確.

故選：c.

【考察注意點(diǎn)】本題綜合性較強(qiáng)，難度較大，考查了等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，平行線分相

等成比例定理，三角形的全等與相似等，能夠正確找到相似三角形和全等三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

7.（2021?河南模擬）如圖，在平行四邊形/頗中，/6=2,點(diǎn)￡為平行四邊形內(nèi)一點(diǎn)且//瓦?=/應(yīng)C=

90°,若/應(yīng)C=45°,則42的長(zhǎng)為（

A.3B.2>/2C.搟D.273

【思路引導(dǎo)】取宛的中點(diǎn)弘N,連接磔ME,NE,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,

可得所34。=地,EN=^BC=NC，過(guò)點(diǎn)、E作EP〃加交CD于點(diǎn)、P,根據(jù)平行線的性質(zhì)證明△4EV為等

腰直角三角形，進(jìn)而可得結(jié)果.

【完整解答】解：如圖，取47,灰的中點(diǎn)弘N,連接網(wǎng)ME,NE,

貝！IMN=AB=2,

在平行四邊形/時(shí)中，AD^BC,AD//BC,

'：AD,況■的中點(diǎn)為〃N,

AAED=ABEC=^°,

：.EM=^AD=MD,EN=^Q=NC,

：.EM=EN,/MED=NMDE,

/CEN=/NCE,

過(guò)點(diǎn)￡作EPIIAD交駕于點(diǎn)P,

：.EP//BC,

：.ZMDE=ZDEP,Z.NCE=Z.PEC,

：.AMED=ADEP,ACEN=APEC,

：.ZMEIKZCEN=ADEP^Z.PEC=ZDEC=450,

:./MEN=90°,

△幽為等腰直角三角形，

AD=2ME=2X^MN=2&.

故選：B.

【考察注意點(diǎn)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，等腰直角三

角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是綜合以上知識(shí)的應(yīng)用.

8.（2020春?開江縣期末）如圖，劭為口/反方的對(duì)角線，/圾7=45°,DE1BC于點(diǎn)、E,BF1CD千點(diǎn)、F,DE、

段'相交于點(diǎn)〃，直線即交線段4〃的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,下列結(jié)論：①CE=LBE；②4A=4BHE；③

2

【思路引導(dǎo)】通過(guò)判斷%為等腰直角三角形，得到龍=陽(yáng)根據(jù)等角的余角相等得到/魏一NG

再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到則位于是可對(duì)②進(jìn)行判斷;根據(jù)“44S”可證明△物7

色叢DEC,得到唬圈，CE=EH,可對(duì)①進(jìn)行判斷；接著由平行四邊形的性質(zhì)得46=",則運(yùn)

算可對(duì)③進(jìn)行判斷；因?yàn)?97=90°+AEBH,/如G=90°+ABDE,由/BDE>/EBH,推出

BHD-,依據(jù)勾股定理即可得到BH+BG=AG.

【完整解答】解：應(yīng)C=45°,DEVBC,

△皿應(yīng)為等腰直角三角形，

：.BE=DE,

■:BF1CD,

煙'=90°,

而N如分/物'=90°,

：.ABHE=AC,

?.?四邊形/故?為平行四邊形,

：./A=/BHE,所以②正確；

在△呵和△龐，中

，ZBHE=ZC

<ZHEB=ZCED-

tBE=DE

二MBE的XDEC(AAS),

：.BH=CD,CE=EH,

:點(diǎn)〃不是座中點(diǎn)

:.BE=ED^2EC,所以①錯(cuò)誤；

?..四邊形/頗為平行四邊形，

：.AB=CD,

:.AB=BH,所以③正確；

<NBDH=QQ°+Z.EBH,/初G=90°+ABDE,

'：ABDE>AEBH,

：.ABDG>ABHD,所以④錯(cuò)誤;

'：BFVCD,AB//CD,

:./ABG=90°,

.?.Rt/X/AG中，A強(qiáng)+BG=AG,

又，：AB=BH,

:.B#+BG=AG,所以⑤正確;

故選：B.

【考察注意點(diǎn)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)以及勾股

定理，熟練運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵.

9.（2021春?龍崗區(qū)期末）如圖在口4?切中，//比'=60°,比'=2/6=8,點(diǎn)C關(guān)于49的對(duì)稱點(diǎn)為￡,連接

的交朋于點(diǎn)尸，點(diǎn)G為切的中點(diǎn)，連接尾，BG.則△頗的面積為（）

C.8^3D.7?

【思路引導(dǎo)】如圖，取火中點(diǎn)〃連接力〃，連接歐交和于“作卻吐切交繆的延長(zhǎng)線于"構(gòu)建5k

BEG-SABC聲SEgS△招計(jì)算即可;

【完整解答】解：如圖，取6c中點(diǎn)〃連接/〃連接歐交/〃于兒作包吐切交"的延長(zhǎng)線于〃

E

YBC=2AB,BH=CH,ZABC=60°,

：.BA=BH=CH,

???△/朗是等邊三角形，

:?HA=HB=HC,

:?/BAC=90°,

：.ZACB=30°,

*：EC工BC,ZBCD=180°-ZABC=120°,

：.ZACE=60°，ZECM=30°，

■:BC=2AB=8,

：.CD=4fCN=EN=2^

?"C=4?,EM=2M，

,,必戰(zhàn)=SABC-'SECG~S^BCG

=齊8義4杼/2義2?一》—

=16折2?-4?

=14日

故選：B.

【考察注意點(diǎn)】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、軸對(duì)稱圖形、勾股定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、直角

三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線沒(méi)工作直角三角形解決問(wèn)題，屬于中考

?？碱}型.

10.（2018春?江岸區(qū)期末）如圖，在平行四邊形4%為中，4?=6,點(diǎn)￡在邊/〃上，點(diǎn)分在a1的延長(zhǎng)線上,

且滿足即=龍=8,過(guò)點(diǎn)。作黨的垂線交龐于點(diǎn)G,若*恰好平分/斷則外的長(zhǎng)為（）

A.2B.3C.4D.272

【思路引導(dǎo)】延長(zhǎng)哥%兩條線相交于點(diǎn)〃過(guò)點(diǎn)G作少〃/交以于點(diǎn)R根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證

明△以莊△灰以可得龍=紡，再證明儂△刀尚可得g6F=2,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證明

%=以即可.

【完整解答】解：如圖，延長(zhǎng)抄GC兩條線相交于點(diǎn)〃，過(guò)點(diǎn)G作社〃"'交于點(diǎn)戶，

：.BC=AD=<o,

,:BF=BE=3,

:.CF=BF-BC=2,

■:CE平■方人BEF,

：.AGEC=AHEC,

'：CEVGC,

:./ECG=』ECH=9Q°,

在△戊石和^￡6萬(wàn)中，

'/GEC=/HEC

<EC=EC，

1ZECG=ZECH

.?.△￡6修△閱7（/外）,

：.CG=CH,

'：GP//EF,

：.ZPGC=AFHC,

在△?力和%中，

，ZGCP=ZHCF

-CG=CH，

ZPGC=ZFHC

：./\PC(^/\FCH(ASA),

：.CP=CF=2,

：.BP=BF-PF=R-4=4,

,:BF=BE,

：.ABEF=NBFE,

'：GP//EF,

：.ABGP^ABEF,4BPG=/BFE,

：.NBGP=ABPG,

:.BG=BP=4.

故選：C.

【考察注意點(diǎn)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用

平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì).

二.填空題

11.(2021秋?南關(guān)區(qū)校級(jí)期末)如圖，在四邊形/氏/中，AD//BC,/B=60°,NC=30°,/〃=1,AB=

2,則a'的長(zhǎng)為5.

【思路引導(dǎo)】平移一腰，得到平行四邊形和30°的直角三角形，根據(jù)它們的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算.

【完整解答】解：悴DE"AB交BC千點(diǎn)E,則四邊形/頗是平行四邊形.

:.AB=DE=2,AD=BE=\,/DEC=Z.B=60°,

?；NC=30°,

故?=180°-60°-30°=90°.

:.EC=2DE=4.

:.BC=BE^EC=\+4=3.

故答案是：5.

B

【考察注意點(diǎn)】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造平行四邊形/四

是解題的關(guān)鍵.

12.（2021秋?任城區(qū)期中）如圖，四邊形板Z?中，AB//CD,AD//BC,且/掰4的角平分線/￡、DF

分別交比1于點(diǎn)￡、F.若EF=2,/6=5,則分的長(zhǎng)為8.

【思路引導(dǎo)】由平行線的性質(zhì)得到//加=/力匕再由所平分得/ADF=NCDF,則/如”N

FDC,然后由等腰三角形的判定得到紡="，同理應(yīng)'=/6,則四邊形/題是平行四邊形，最后由平行四

邊形的性質(zhì)得到AD=BC,即可得到結(jié)論.

【完整解答】黑：,：AD〃BC,

：.ZADF=ADFC,

'平分N49G

：./ADF=4CDF,

：.ADFC=ACDF,

：.CF=CD,

同理BE=AB,

'：AB//CD,AD//BC,

...四邊形/靦是平行四邊形，

:.AB=CD,AD^BC,

:.AB=BE=CF=CD=3,

：.BC=BE+CF-陽(yáng)=5+5-2=8,

:.AMBC=8,

故答案為：8.

【考察注意點(diǎn)】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，解答

本題的關(guān)鍵是判斷出BA=BE=CF=CD.

13.(2021秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)期中)如圖，在△/回中，N/%=90°,點(diǎn)〃是邊的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)，作9

比1于點(diǎn)瓶延長(zhǎng)碑至點(diǎn)￡,旦AC=EM=2DM,連接/￡交火于點(diǎn)兒若48=10,則點(diǎn)N到龍的

距離為型運(yùn).

【思路引導(dǎo)】過(guò)點(diǎn)“作腦U龐于〃，證明△42V四△砌V(4/S),得CN=MN,由勾股定理得比'=

yl^Q2_g2=g,則創(chuàng)三BM=4,再運(yùn)用等積法求出IWJ即可.

【完整解答】解：過(guò)點(diǎn)、N悍NH1BE千H,

:?/DMB=90°,

\'ZACB=90°,

：.ZDMB=ZACB=<dO°,

：.DM//AC,

U：AC=2DM,

?,?點(diǎn)〃為笈的中點(diǎn)，

YAC=EM,/ANC=4ENM,4C=4NME,

:.AAC噲AEMNQAAS),

：.CN=MN,

???20=6,48=10,

由勾股定理得^=^1Q2_62=8,

:,BN=6,BM=4,

在RtzXM/中，由勾股定理得龐={42+62=2后，

,/S盤―"BWEM=LxBEXNH,

22

.W_BNXEM_6X618V13

BE2V1313

故答案為：生亙.

13

【考察注意點(diǎn)】本題主要考查了三角形中位線定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，運(yùn)用

等積法求垂線段長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵.

14.（2021春?金壇區(qū)期末）如圖，在口A5Q?中，AC^AD,/D=70°,BELAC,垂足為￡,則//應(yīng)'=

B

【思路引導(dǎo)】由等腰三角形的性質(zhì)得出//切=/片70°,由平行四邊形的性質(zhì)得出/6〃繆，得出N8傷

=ZACD=7Q°,由直角三角形的性質(zhì)即可得出//座的度數(shù).

【完整解答】W：'：AC=AD,

二/47?=/2=70°,

?.?四邊形46"是平行四邊形,

：.AB//CD,

:./BAE=/ACD=70°,

'：BEVAC,

：.ZAEB=90°,

:.NABE=90°-/BAE=20°；

故答案為：20.

【考察注意點(diǎn)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)；熟練掌握平行

四邊形和等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

15.（2021秋?香坊區(qū)校級(jí)期末）如圖，點(diǎn)/為等邊三角形題外一點(diǎn)，連接46、4?且過(guò)點(diǎn)4作

AE〃CD分型交BC、劭于點(diǎn)￡、F,若3BD=4AE,EF=3,則線段力￡的長(zhǎng)15.

【思路引導(dǎo)】連接/交加于點(diǎn)。，可得M是曲的垂直平分線，設(shè)加=4x,則/￡=3x,證明

ACOD,對(duì)應(yīng)邊成比例，列出方程求出x的值，進(jìn)而可得/￡的長(zhǎng).

?：3Bg4AE,

?.?-B-D_-4,

AE3

設(shè)初=4x,則AE—3x,

?.?△閱9是等邊三角形，

：.BC=CD=BD=^x,/DCB=/DBC=6Q°,

?：AB=AD,BC=CD,

??.zc是曲的垂直平分線，

：.0B=0D=2,x,OC平■分■4BCD,

：.ZDCO=/DCB=30°,

2「

9：AE//CD,

：.ZDCO=30°,

=

0C=VCD2-0D2V（4X）2-（2X）2=2

9：AE//CD,

:?/AEB=/BCD=6G°,

:?/AEB=/FBE=/BFE=6G°,

???△班尸是等邊三角形，

:?BE=BF=EF=5,

：.OF=OB-BF=2x-5,AF=AE-EF=3x-3,

?：4A0F=/C0D,40AF=40CD,

:.AAOFsXCOD,

?AF=_0F

"CD0D，

?3x-5_2x-5

4x2x

解得x=5,x=0（舍去），

：.AE=AFvEF=3x-5+5=3x=15.

故答案為：15.

【考察注意點(diǎn)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直

平分線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是得到.

16.（2021春?武漢期末）如圖，在△/無(wú)中，ZBAC=60°,ZABC=45°,AD平分NCAB交BC于點(diǎn)D,P

為直線上一動(dòng)點(diǎn).以廖川為鄰邊構(gòu)造平行四邊形DPQB,連接CQ,若4c=4.則我的最小值為_2?

+2.

O

【思路引導(dǎo)】首先在△出%中，由于4C=4,ZCAB=60°,/煙=45°,所以可以解即可以過(guò)C

作屐4/方于。，利用三勾股定理，求出46的長(zhǎng)度，同理，在△物6中，過(guò)D悍DH1AB+H,可以求出

%的長(zhǎng)度，連接〃。交加于弘過(guò)。作功于G,可以證明△宓儂所以QG=DH=2,由此得

到0在平行于的直線上運(yùn)動(dòng)，且距離46兩個(gè)單位長(zhǎng)度，根據(jù)垂線段最短，可以得到當(dāng)G0,0三點(diǎn)

共線時(shí)，制長(zhǎng)度最小.

【完整解答】解：如圖1,過(guò)C作COLAB^-0,過(guò)〃作DH1AB于H,

在RtZUC。中，/窈6=60°,

：.ZACO=iQ°,

A0-1AC=2，

二C0=7AC2-C02=2?，

在Rt△a'。中，/煙=45°,

:.BO=CO=2M,

/.AB=A0+B0=2V31-2,

平分

???N%6=/NCAB=3O。，

在Rt△曲中，ZCK4=45°,

；?可設(shè)DH=HB—a,

：.AD=2DH=2a,

?*,AH=VAD2-DH2

:.AB=AH^BH=~4^a,

，V§a+a=2V§+2,

,\a=2,

:,DH=2,

如圖2,過(guò)0作0人股于G,連接DQ交AB于帳

?.?四邊形以"為平行四邊形，

：.DM=QM,

在4QGM與4DHM中,

，ZQGM=ZDHM=90°

<ZQMG=ZDMH，

,QM=DM

:.△QGgXDHMqAAS),

:.QG=DH=2,

故0到直線相的距離始終為2,

所以。點(diǎn)在平行于4?的直線上運(yùn)動(dòng)，且兩直線距離為2,

根據(jù)垂線段最短，

當(dāng)C,0,0三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，此時(shí)而最小，如圖3,

最小值為：於2=2心2,

故答案為2f+2.

圖3

【考察注意點(diǎn)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，以及三角形的判定與性質(zhì)，還考查了線段最小值問(wèn)題，

找到動(dòng)點(diǎn)0的運(yùn)動(dòng)軌跡，是解決本題的關(guān)鍵.

17.（2021春?沙坪壩區(qū)校級(jí)期中）如圖，在平行四邊形即像中，ZA=90°,AD=10,49=8,點(diǎn)尸在邊

上,豆BHBC,點(diǎn)〃在線段跖上，點(diǎn)兒在線段隙的延長(zhǎng)線上，APMCN,連接腑交爐于點(diǎn)尸，過(guò)

點(diǎn)〃作施工少于￡,則鰭=2潟.

AD

二

【思路引導(dǎo)】過(guò)點(diǎn)〃作加〃比■交爐于〃，根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得/朋兩直線平

行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得/郎=/叱，根據(jù)等邊對(duì)等角可得/比片/母。然后求出/以「=/掰即，根據(jù)

等角對(duì)等邊可得冏仁倒根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得公如利用“角邊角”證明△的和4

MHF全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CF=掰從而求出科工山根據(jù)矩形的對(duì)邊相等可得比三

2

4?=10,再利用勾股定理列式求出/戶，然后求出如，再次利用勾股定理列式計(jì)算即可求出CP,從而得

解.

【完整解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)、M悍MH//BC交.CP千H,

里4MHp^NBCP,4NCF=/MHF,

'：BP=BC,

：.ZBCP=ABPC,

：./BPC=ZMHP,

：.PM=MH,

'：PM=CN,

：.CN=MH,

'：MEVCP,

：.PE=EH,

在△舷F和△朋/中，

，ZNCF=ZMHF

<ZCFN=ZHFM>

LCN=MH

:.ANCF注AMHF(AAS\

:*CF=FH,

:.EF=EHFH=LCP,

2

?.?矩形/M?中，4=10,

：.BC=AD=\0,

:?BP=BC=\3

在此△/"中，^VBP2-AB2=7102-82=6j

：.PD=AD-AP=\Q-6=4,

在Rt△CPD中，CP=4CD2+p口2={+42—4^/5,

緒=￡X4巡=2遙.

故答案為：

【考察注意點(diǎn)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形三

線合一的性質(zhì)，勾股定理，熟記各性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出全等三角形和等腰三角形是解題的關(guān)鍵.

18.（2021?東莞市校級(jí)模擬）如圖，在平行四邊形4?5中，ZJ^=135°,/小4、歷，AB=8,作對(duì)角線

/C的垂直平分線外分別交對(duì)邊4?、切于點(diǎn)￡和點(diǎn)尸，則/￡的長(zhǎng)為—型

【思路引導(dǎo)】連接密過(guò)點(diǎn)。作加N6,交46的延長(zhǎng)線于〃，設(shè)/￡=x,則應(yīng)'=8-x,CE=AE=x,再

根據(jù)勾股定理，即可得到x的值.

【完整解答】解：如圖，連接出過(guò)點(diǎn)。作見(jiàn)46,交46的延長(zhǎng)線于〃

?平行四邊形4?（力中，//氏7=135°,49=4如，

：ZCBH=45°,BC=4近,

又,：NH=90°,

:./BCH=45°,

設(shè)AE=x,貝!jBE=8-x,

???斯垂直平分AC,

/.CE—AE—x,

?.,在中，Ot+EIt=EG,

/.42+(8-x+4)2=-

解得了=型，

3

.?.力￡的長(zhǎng)為"

3

故答案為：20.

3

【考察注意點(diǎn)】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理以及線段垂直平分線的的性質(zhì)的運(yùn)用，解

決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解.

19.（2021春?濟(jì)陽(yáng)區(qū)期末）如圖，在Rt△/比'中，/掰C=90°,Z^=60°,4?=1,點(diǎn)尸為歐上任意一

點(diǎn)，連接必，以陽(yáng)、/T為鄰邊作口/WC,連接閣則國(guó)的最小值為

【思路引導(dǎo)】以為，必為鄰邊作平行四邊形為0G由平行四邊形的性質(zhì)可知。是/C中點(diǎn)，園最短也就

是如最短，所以應(yīng)該過(guò)。作寬的垂線尸。，根據(jù)垂線段最短即可解決問(wèn)題；

【完整解答】解：掰7=90°,/6=60°,46=1,

:.BC=2AB=2,〃=如,

???四邊形/尸必是平行四邊形，

：.PO^QO,返，

2

?..R2最短也就是如最短，

...過(guò)。作用的垂線必，

當(dāng)戶與戶重合時(shí)，利的值才是最小,

則戶。的最小值為2W=2Qsin30°=4①,

2

故答案為：返.

2

【考察注意點(diǎn)】本題考查了勾股定理的運(yùn)用、平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及垂線段

最短的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用垂線段最短解決最值問(wèn)題.

20.(2019秋?江北區(qū)校級(jí)期末)如圖，四邊形山夕切中，AD//BC,AD=\2cm,比‘=15?，點(diǎn)產(chǎn)自點(diǎn)/向2

以lc〃/s的速度運(yùn)動(dòng)，到〃點(diǎn)即停止.點(diǎn)。自點(diǎn)C向6以2頌/s的速度運(yùn)動(dòng)，到瓦點(diǎn)即停止，直線尸0截

原四邊形為兩個(gè)新四邊形.則當(dāng)戶，0同時(shí)出發(fā)4或5秒后其中一個(gè)新四邊形為平行四邊形.

AP—kD

B?——QC

【思路引導(dǎo)】當(dāng)/片幽時(shí)，四邊形加皿是平行四邊形，建立關(guān)于大的一元一次方程方程，解方程求出

符合題意的力值即可；

當(dāng)如=&時(shí)，四邊形為我是平行四邊形；建立關(guān)于t的一元一次方程方程，解方程求出符合題意的力

值即可.

【完整解答】解：根據(jù)題意有加一笈以，CQ^2ton,Pg(12-t)cm,BQ=(15-2Z")cm.

①'：AD〃BC,

.?.當(dāng)加一園時(shí)，四邊形如期是平行四邊形.

.?"=15-21,

解得t=5.

5s時(shí)四邊形APQB是平行四邊形;

?AP=ton,Cg2ton,

AD=12cm,BC=15cm,

J.PD^AD-AP^(12-t)cm,

,JAD//BC,

當(dāng)歸0c時(shí)，四邊形被%是平行四邊形.

即：12-t=2t,

解得t=4s,

.?.當(dāng)t=4s時(shí)，四邊形如&是平行四邊形.

綜上所述，當(dāng)戶，0同時(shí)出發(fā)4或5秒后其中一個(gè)新四邊形為平行四邊形.

故答案是：4或5.

【考察注意點(diǎn)】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，題目是一道綜合性比較強(qiáng)的題目，難度適

中，解題的關(guān)鍵是把握“化動(dòng)為靜”的解題思想.

21.(2018?武漢模擬)如圖，在平行四邊形中，/C與加交于點(diǎn)〃，點(diǎn)廠在肥上，AF=&cm,BF=

12c加，NFBM=NCBM,點(diǎn)后是理的中點(diǎn)，若點(diǎn)戶以1c勿/秒的速度從點(diǎn)/出發(fā)，沿42向點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)0

同時(shí)以2M/秒的速度從點(diǎn)，出發(fā)，沿3向點(diǎn)6運(yùn)動(dòng).點(diǎn)戶運(yùn)動(dòng)到戶點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)0也同時(shí)停止運(yùn)

動(dòng).當(dāng)點(diǎn)戶運(yùn)動(dòng)3或5秒時(shí),以點(diǎn)RQ、E、戶為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.

【思路引導(dǎo)】由四邊形施力是平行四邊形得出：AD//BC,AD=BC,/ADB=4CBD,證得必=被求出

4?的長(zhǎng)，得出四的長(zhǎng)，設(shè)當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，點(diǎn)入Q、E、尸為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，根據(jù)題意

列出方程并解方程即可得出結(jié)果.

【完整解答】解：???四邊形力四是平行四邊形，

J.AD//BC,AABC,

：.ZADB=ACBD,

,:Z.FBM=/CBM,

：.NFBD=ZFDB,

：.FB=FD=\2cm,

■:AF=6cm,

.\AD=18cm,

點(diǎn)￡是寬的中點(diǎn),

...CE=%C=^-AD=9cm,

22

要使點(diǎn)只Q、E、戶為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則哈￡0即可，

設(shè)當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，點(diǎn)只Q、E、戶為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，

根據(jù)題意得：6-6=9-2%或6-6=2力-9,

解得：t=3或t=5.

故答案為：3或5.

【考察注意點(diǎn)】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、一元一次方程的應(yīng)用

等知識(shí)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

三.解答題

22.（2021秋?肇源縣期末）如圖，在中，點(diǎn)〃￡分別是4G四的中點(diǎn)，點(diǎn)廠是⑦延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),

且CF=3冊(cè)連接龐，EF.

（1）求證：四邊形㈤力是平行四邊形；

（2）若乙4"=90°,AC=12,c/n,DE=4cm,求四邊形座77的周長(zhǎng).

【思路引導(dǎo)】（1）證龐是①的中位線，得應(yīng)'〃陽(yáng)BC=2DE,再證應(yīng)'=班即可得出四邊形吸?

是平行四邊形；

（2）由（1）得：BC=2DE=R（c加，BF=DE=4cm,四邊形龍陽(yáng)是平行四邊形，得BD=EF,再由勾股

定理求出初=10（腐），即可求解.

【完整解答】（1）證明：???點(diǎn)〃￡分別是WG/夕的中點(diǎn)，

是歐的中位線，

：.DE//BC,BC=2DE,

'：CF=ZBF,

:.BC=2BF,

：.DE=BF,

.?.四邊形兩是平行四邊形；

(2)解：由(1)得：BC=2DE=8Can),BF=DE=4cm,四邊形外7方是平行四邊形，

：.BD=EF,

?.?〃是47的中點(diǎn)，4c=12cm,

(cm),

2

■:/ACB=9Q°,

：.BD=^CD2+BC2=^62+g2=10(磁)，

平行四邊形龐陽(yáng)的周長(zhǎng)=2QDE+BD)=2(4+10)=28{cm).

【考察注意點(diǎn)】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、勾股定理等知識(shí)；熟練掌握

三角形中位線定理，證明四邊形的防為平行四邊形是解題的關(guān)鍵.

23.(2021秋?任城區(qū)期末)如圖，在四邊形切中，AD//BC,對(duì)角線/「、如交于點(diǎn)。，且/匕%,過(guò)點(diǎn)。

作EF1BD,交/〃于點(diǎn)￡,交況于點(diǎn)尸.

(1)求證：四邊形/加刀為平行四邊形；

(2)連接陽(yáng)若/的力100°,NDBF=2/ABE,求/力龐的度數(shù).

【思路引導(dǎo)】(1)證△絲屋△，四(AS4),得能再由47〃比；即可得出結(jié)論；

(2)先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得應(yīng)'=龍，則/碩=/瓦應(yīng)，再證/幽瓦笈=/戚=2了，然后

由三角形內(nèi)角和定理得出方程，解方程即可.

【完整解答】(1)證明：:/。〃比；

:"OAD=4OCB,

在△力必和△屐應(yīng)中，

，Z0AD=Z0CB

<A0=C0，

LZAOD=ZCOB

：./\AOD^/\COB(ASA),

：.AD=CB,

又,：AD〃BC,

四邊形/故?為平行四邊形；

(2)解：遺NABE=x,則/叱=2x,

由(1)得：四邊形4%力為平行四邊形，

0B=0D,

'：EFVBD,

：、BE=DE,

：.AEBD=AEDB,

'：AD//BC,

：.4EDB=/DBF,

：.ZEBD=AEDB=2DBF=2x,

.：/BAIA/ABE*/EB況/EDB=\SQ°,

.?.100°+產(chǎn)2產(chǎn)2x=180°,

解得：￡=16°,

即N4應(yīng)'=16°.

【考察注意點(diǎn)】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性

質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)和全等三角形的

判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

24.(2021?市南區(qū)一模)如圖，在辦故?中，ACLAB,垂足為4點(diǎn)￡是寬上的一點(diǎn)，連接力￡并延長(zhǎng)，交

〃。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)凡且//=/〃

(1)求證：XAB恒XFCE；

(2)若BC=?AB,判斷四邊形力如C的形狀，并證明你的結(jié)論.

【思路引導(dǎo)】(1)由平行四邊形的性質(zhì)得到加；從而證得//a―/況尸，利用4外可證明結(jié)論；

(2)由△/虛經(jīng)△戶四得到N4龐=/幾瓦AB=FC,可證得四邊形/如。為平行四邊形，根據(jù)47_L明可

得到四邊形/斷T是矩形，再根據(jù)a46和勾股定理，即可判斷四邊形初匕的形狀.

【完整解答】（1）證明：???四邊形/靦是平行四邊形，

：.AB//CD,AB=CD,

'：ACVAB,

：.ACVDF,

"：AF=AD,

:.CF=CD,

：.AB=CF,

'：AB//CD,

：.NBAF=NCFA,

在△/巫'和△A方中，

，ZAEB=ZCEF

,ZBAF=ZAFC-

AB=CF

:.XABE號(hào)XFCE（A4S）,

（2）解：四邊形/跖「是正方形，理由如下：

<XAB的XFCE,

:./ABE=4FCE,AB=CF,

：.AB//CF,

.??四邊形/哥T是平行四邊形，

"：ACVAB,

.,.ZBAC=90°,

平行四邊形/班'C是矩形，

在Rt△/比'中，

揚(yáng)6，

AC=VBC2-AB2=7（V2AB）2-AB2=AB,

???矩形是457匕是正方形.

【考察注意點(diǎn)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，矩形的判定，全等三角形的性質(zhì)和判定及勾股定

理等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，本題主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力.

25.（2021春?平頂山期末）如圖，△/比'是等邊三角形，4?是a'邊上的高.點(diǎn)￡在46的延長(zhǎng)線上，連接

ED,//旗=30°,過(guò)/作"LL/6與旗的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)尸，連接斯，CF,CE.

(1)求證：四邊形座6F為平行四邊形；

(2)若46=6,請(qǐng)直接寫出四邊形座CF的周長(zhǎng).

【思路引導(dǎo)】(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得NBAA/CAD=3Q°,然后證明△/如為等邊三

角形，可得ED=DF,進(jìn)而可以證明四邊形龍⑦為平行四邊形；

(2)根據(jù)46=6和勾股定理可得跖的長(zhǎng)，然后證明題=初，進(jìn)而可得四邊形幽跖的周長(zhǎng).

【完整解答】(1)證明：是等邊的比'邊上的高，

：.BD=DC,ZBAD=ZCAD=3Q°,

'：/AED=3Q°,

:.ED=AD,/ADF=NAE訃/EAD=6Q°,

'：AFVAB,

的尸=90°-N￡42=90°-30°=60°,

:.△ADF為等邊三角形,

：.AD^DF,

'：ED=AD,

：.ED=DF,

"：BD^DC,

...四邊形座CF為平行四邊形；

(2)\'AB=6,

：.BD=3,AD=3M，

?.?△4母'為等邊三角形，

：.AF=AD=3y/2>

*'?BF=N/+hF2f?+（班）2=3枚,

■:NAEC=6Q°,/AED=3Q°,

:./BDE=3Q°,

：.BE=BD=Z,

.?.四邊形座TF的周長(zhǎng)為：2QBRBE)=2(3書+3)=6巾+6.

【考察注意點(diǎn)】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解決本題

的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的判定與性質(zhì).

26.(2021春?沙坪壩區(qū)校級(jí)期末)如圖所示，在△/以中，點(diǎn)2為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)￡為4C邊上一點(diǎn)，延

長(zhǎng)須交的平行線于點(diǎn)直，連接力尺BE.

(1)猜想