人教版九年級數(shù)學(xué)上冊期末復(fù)習(xí)考點(diǎn)清單 專題08銳角三角函數(shù)（8個(gè)考點(diǎn)清單+12種題型解讀）

專題08銳角三角函數(shù)（考點(diǎn)清單，8個(gè)考點(diǎn)清單+12種題型解讀）【清單01】銳角三角函數(shù)的定義在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，正弦：sinA=；余弦：cosA=；正切：tanA=．根據(jù)定義求三角函數(shù)值時(shí)，一定根據(jù)題目圖形來理解，嚴(yán)格按照三角函數(shù)的定義求解，有時(shí)需要通過輔助線來構(gòu)造直角三角形.注意：正弦、余弦、正切是在一個(gè)直角三角形中引入的，實(shí)際上是兩條邊的比，它們是正實(shí)數(shù)，沒單位，其大小只與角的大小有關(guān)，而與所在直角三角形無關(guān)?！厩鍐?2】特殊角的三角函數(shù)值αsinαcosαtanα30°45°160°【清單03】解直角三角形1．在直角三角形中，除直角外，一共有五個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的過程叫做解直角三角形．2．解直角三角形的常用關(guān)系：在Rt△ABC中，∠C=90°，則：（1）三邊關(guān)系：a2+b2=c2；（2）兩銳角關(guān)系：∠A+∠B=90°；（3）邊與角關(guān)系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=；（4）sin2A+cos2A=1．3．科學(xué)選擇解直角三角形的方法口訣：已知斜邊求直邊，正弦、余弦很方便；已知直邊求直邊，理所當(dāng)然用正切；已知兩邊求一邊，勾股定理最方便；已知兩邊求一角，函數(shù)關(guān)系要記牢；已知銳角求銳角，互余關(guān)系不能少；已知直邊求斜邊，用除還需正余弦.【清單04】仰角和俯角仰角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角．俯角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線下方的角叫做俯角．【清單05】坡度和坡角坡度：坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），記作i=．坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．【清單06】方向角（或方位角）指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角叫做方向角(或方位角)．【清單07】解直角三角形中“雙直角三角形”的基本模型：解題方法：這兩種模型種都有一條公共的直角邊，解題時(shí)，往往通過這條邊為中介在兩個(gè)三角形中依次求邊，或通過公共邊相等，列方程求解.【清單08】解直角三角形實(shí)際應(yīng)用的一般步驟（1）弄清題中名詞、術(shù)語，根據(jù)題意畫出圖形，建立數(shù)學(xué)模型；（2）將條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題；（3）選擇合適的邊角關(guān)系式，使運(yùn)算簡便、準(zhǔn)確；（4）得出數(shù)學(xué)問題的答案并檢驗(yàn)答案是否符合實(shí)際意義，從而得到問題的解．【考點(diǎn)題型一】求三角函數(shù)的值1.（22-23九年級下·河北張家口·期末）如圖，是的外接圓，是的直徑，若的半徑為2，，則的值是（）A． B． C． D．2.（23-24九年級下·江蘇常州·期末）如圖，在中，是上一點(diǎn)，連接，若，則的值是．3.（22-23九年級上·北京通州·期末）如圖，在中，是邊的中點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)E．已知．

(1)求線段的長；(2)求的值．【考點(diǎn)題型二】銳角三角函數(shù)在幾何圖形中的應(yīng)用4．（23-24九年級上·上海黃浦·期末）如圖，過矩形的頂點(diǎn)分別作對角線的垂線，垂足分別為，依次連接四個(gè)垂足，可得到矩形．設(shè)對角線與的夾角為，那么矩形與矩形面積的比值為（

）A． B． C． D．5.（23-24九年級下·湖北·期末）如圖，矩形中，，將矩形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形，若點(diǎn)在上，連接，，則值為．6．（23-24九年級上·福建泉州·期末）如圖，在中，于點(diǎn)，，，．

(1)求的大?。?2)若點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，求的長．【考點(diǎn)題型三】三角函數(shù)在實(shí)際中應(yīng)用7．（23-24九年級上·山東泰安·期末）數(shù)學(xué)小組的同學(xué)要測量燈塔的高度，如圖所示，在點(diǎn)處測得燈塔最高點(diǎn)的仰角，再沿方向前進(jìn)至處測得最高點(diǎn)的仰角，則燈塔的高度大約是（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：）（

）

A． B． C． D．8．（20-21九年級上·陜西銅川·期末）如圖，在河流的右岸邊有一高樓，左岸邊有一坡度的山坡，點(diǎn)C與點(diǎn)B在同一水平面上，與在同一平面內(nèi)．某數(shù)學(xué)興趣小組為了測量樓的高度，在坡底C處測得樓頂A的仰角為，然后沿坡面上行了米（即米）到達(dá)點(diǎn)D處，此時(shí)在D處測得樓頂A的仰角為．（參考數(shù)據(jù)：，，）(1)求點(diǎn)C到點(diǎn)D的水平距離的長；(2)求樓的高度．【考點(diǎn)題型四】三角函數(shù)在生活中的應(yīng)用9．（23-24九年級上·浙江·期末）如圖，一個(gè)鐘擺的擺長的長為a，當(dāng)鐘擺從最左側(cè)擺到最右側(cè)時(shí)，擺角為，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)D，則的長為（

）A． B． C． D．10．（23-24九年級下·江蘇常州·期末）某臨街店鋪在窗戶上方安裝如圖1所示的遮陽棚，其側(cè)面如圖2所示，遮陽棚展開長度，遮陽棚前端自然下垂邊的長度，遮陽棚固定點(diǎn)距離地面高度，遮陽棚與墻面的夾角，如圖3，某一時(shí)刻，太陽光線與地面的夾角，則遮陽棚在地面上的遮擋寬度的長為（結(jié)果保留根號）．11．（23-24九年級上·湖南·期末）圖（1）是一扇半開著的辦公室門的照片，門框鑲嵌在墻體中間，門是向室內(nèi)開的．圖（2）畫的是它的一個(gè)橫斷面．虛線表示門完全關(guān)好和開到最大限度（由于受到墻角的阻礙，再也開不動了）時(shí)的兩種情形，這時(shí)二者的夾角為，從室內(nèi)看門框露在外面部分的寬為，求室內(nèi)露出的墻的厚度a的值．（假設(shè)該門無論開到什么角度，門和門框之間基本都是無縫的．精確到，）【考點(diǎn)題型五】在一般四邊形中應(yīng)用12．（20-21九年級上·湖南邵陽·期末）如圖，四邊形ABCD中，∠B=∠C=90°，CD=2米，BC=5米，，則AB=（）A．8米 B．10米 C．12米 D．14米13．（23-24九年級上·北京石景山·期末）如圖，在四邊形中，，，，，求的長．14．（22-23九年級上·云南楚雄·期末）如圖，在四邊形中，平分，．(1)求證：；(2)若，，求的面積．【考點(diǎn)題型六】在平行四邊形中應(yīng)用15.（21-22九年級上·重慶涪陵·期末）如圖，在平行四邊形中，，，以為直徑作，點(diǎn)恰好在上，則圖中陰影部分的面積為．16.（21-22九年級上·黑龍江齊齊哈爾·期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)A分別作AE⊥BC于點(diǎn)E，AF⊥CD于點(diǎn)F．（1）求證：∠BAE=∠DAF；（2）已知AE=4，AF=6，tan∠BAE=，求CF的長．【考點(diǎn)題型七】在菱形中應(yīng)用17．（21-22九年級上·陜西西安·期末）在菱形ABCD中，連接AC、BD，若，且AC＝4，則菱形ABCD的面積為（）A． B． C． D．18．（22-23九年級上·安徽六安·期末）如圖，在菱形中，，于點(diǎn)，的延長線與的延長線交于點(diǎn)，則．（表示面積）

19．（23-24九年級上·江蘇無錫·期末）如圖，菱形中，，點(diǎn)E、F分別是邊上的動點(diǎn)，點(diǎn)E與點(diǎn)A，B不重合，且，作，交邊于點(diǎn)G，連接，將四邊形沿直線翻折得到四邊形．(1)當(dāng)E是AB的中點(diǎn)時(shí)，求四邊形面積；(2)設(shè)，四邊形面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．【考點(diǎn)題型八】在矩形中應(yīng)用20．（23-24九年級上·河南商丘·期末）如圖，在矩形中，點(diǎn)E在上，使點(diǎn)D落在邊上的點(diǎn)F處，若，，則的值為（）A． B． C． D．21．（23-24九年級上·陜西西安·期末）如圖，在矩形中，，，P為邊上一個(gè)動點(diǎn)，連接，將沿所在直線折疊后，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)落在點(diǎn)處，連接，則當(dāng)取最小值時(shí)，的值為．22．（23-24九年級上·上海靜安·期末）如圖，已知是矩形的對角線，，交延長線于，交于，交于.(1)求證：點(diǎn)是的重心；(2)如果，求的正弦值.【考點(diǎn)題型九】在正方形中應(yīng)用23．（23-24九年級上·山東聊城·期末）如圖源于我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖，它是由四個(gè)全等直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．若小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為，則的值為（

）A． B． C． D．24．（22-23九年級上·安徽亳州·期末）如圖，在4×4正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C為網(wǎng)格交點(diǎn)，，垂足為D，則的值為．25．（22-23九年級上·海南儋州·期末）如圖，在正方形中，P是邊上的一點(diǎn)，且，Q是的中點(diǎn)．(1)求證：；(2)求的值．【考點(diǎn)題型十】在圓中求三角函數(shù)值26．（23-24九年級上·重慶九龍坡·期中）如圖，的半徑為8，內(nèi)接于，于點(diǎn)D，F(xiàn)為弦的中點(diǎn)，連接，若，則的值為（）

A． B． C． D．27．（20-21九年級上·河南信陽·期末）如圖，，兩點(diǎn)在以為直徑的上，若，的半徑為2，則的值為．28．（20-21九年級下·浙江·期末）如圖，四邊形中，，以為直徑畫恰好經(jīng)過點(diǎn)C，與交于點(diǎn)E．（1）求證：與相切；（2）若，求．【考點(diǎn)題型十一】在圓中求三角函數(shù)求角29．（22-23九年級上·江蘇無錫·期末）如圖，中，，，G是的重心，AB的中點(diǎn)為D，以G為圓心，長為半徑畫⊙G，過C點(diǎn)作⊙G的兩切線段，其中E、F為切點(diǎn)，則與的度數(shù)和為（

）A．30° B． C． D．30．（2022九年級下·全國·專題練習(xí)）在半徑為1的⊙O中，弦AB、AC分別是和，則∠BAC的度數(shù)是．31．（22-23九年級下·黑龍江綏化·期末）如圖，是的直徑，切于點(diǎn)B，的延長線交直線于點(diǎn)A，點(diǎn)F在上，．

(1)求的度數(shù)；(2)求的長．【考點(diǎn)題型十二】在圓中利用三角函數(shù)求線段長32．（22-23九年級上·重慶·期末）如圖，為的弦，直徑，交于點(diǎn)，連接、、、，若，的半徑為2，則的長度為（

）A．1 B． C． D．33．（22-23九年級上·湖北隨州·期末）如圖，內(nèi)接于⊙，是⊙的直徑，切⊙于點(diǎn)B，E為上一點(diǎn)，且，延長交于點(diǎn)D．(1)求證：；(2)若⊙的半徑為5，，求的長．34．（23-24九年級上·山東德州·期末）如圖，是的直徑，是的弦，且，垂足為E，連接，過點(diǎn)B作的切線，交的延長線于點(diǎn)F．(1)求證：；(2)若點(diǎn)是的中點(diǎn)，且，求線段的長；

專題08銳角三角函數(shù)（考點(diǎn)清單，8個(gè)考點(diǎn)清單+12種題型解讀）【清單01】銳角三角函數(shù)的定義在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，正弦：sinA=；余弦：cosA=；正切：tanA=．根據(jù)定義求三角函數(shù)值時(shí)，一定根據(jù)題目圖形來理解，嚴(yán)格按照三角函數(shù)的定義求解，有時(shí)需要通過輔助線來構(gòu)造直角三角形.注意：正弦、余弦、正切是在一個(gè)直角三角形中引入的，實(shí)際上是兩條邊的比，它們是正實(shí)數(shù)，沒單位，其大小只與角的大小有關(guān)，而與所在直角三角形無關(guān)。【清單02】特殊角的三角函數(shù)值αsinαcosαtanα30°45°160°【清單03】解直角三角形1．在直角三角形中，除直角外，一共有五個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的過程叫做解直角三角形．2．解直角三角形的常用關(guān)系：在Rt△ABC中，∠C=90°，則：（1）三邊關(guān)系：a2+b2=c2；（2）兩銳角關(guān)系：∠A+∠B=90°；（3）邊與角關(guān)系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=；（4）sin2A+cos2A=1．3．科學(xué)選擇解直角三角形的方法口訣：已知斜邊求直邊，正弦、余弦很方便；已知直邊求直邊，理所當(dāng)然用正切；已知兩邊求一邊，勾股定理最方便；已知兩邊求一角，函數(shù)關(guān)系要記牢；已知銳角求銳角，互余關(guān)系不能少；已知直邊求斜邊，用除還需正余弦.【清單04】仰角和俯角仰角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角．俯角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線下方的角叫做俯角．【清單05】坡度和坡角坡度：坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），記作i=．坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．【清單06】方向角（或方位角）指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角叫做方向角(或方位角)．【清單07】解直角三角形中“雙直角三角形”的基本模型：解題方法：這兩種模型種都有一條公共的直角邊，解題時(shí)，往往通過這條邊為中介在兩個(gè)三角形中依次求邊，或通過公共邊相等，列方程求解.【清單08】解直角三角形實(shí)際應(yīng)用的一般步驟（1）弄清題中名詞、術(shù)語，根據(jù)題意畫出圖形，建立數(shù)學(xué)模型；（2）將條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題；（3）選擇合適的邊角關(guān)系式，使運(yùn)算簡便、準(zhǔn)確；（4）得出數(shù)學(xué)問題的答案并檢驗(yàn)答案是否符合實(shí)際意義，從而得到問題的解．【考點(diǎn)題型一】求三角函數(shù)的值1.（22-23九年級下·河北張家口·期末）如圖，是的外接圓，是的直徑，若的半徑為2，，則的值是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先連接，由是圓O的直徑，可得，又由圓O的半徑為，，即可求得的值，又由，即可求得答案．【詳解】解：連接，∵是圓O的直徑，∴，∵的半徑為2，，∴，∴，∵，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角定理以及三角函數(shù)的定義．此題難度不大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．2.（23-24九年級下·江蘇常州·期末）如圖，在中，是上一點(diǎn)，連接，若，則的值是．【答案】3【分析】本題主要考查了求角的正切值，相似三角形的性質(zhì)與判定，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，取的中點(diǎn)E，連接，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，再由，可得，可證明，從而得到，設(shè)，則，可得，，從而得到的長，再由勾股定理求出，即可求解．【詳解】解：如圖，取的中點(diǎn)E，連接，

∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴可設(shè)，則，∴，，∴，∴，∴，∴，故答案為：．3.（22-23九年級上·北京通州·期末）如圖，在中，是邊的中點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)E．已知．

(1)求線段的長；(2)求的值．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)求出的長，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出的長即可；（2）先運(yùn)用勾股定理求出，再由于D為上的中點(diǎn)可得，推出，利用正弦函數(shù)求出，據(jù)此即可解答．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，∵為直角三角形，D是邊的中點(diǎn)，∴；（2）解：∵，，∴，，∵為直角三角形，D是邊的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)、勾股定理等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題【考點(diǎn)題型二】銳角三角函數(shù)在幾何圖形中的應(yīng)用4．（23-24九年級上·上海黃浦·期末）如圖，過矩形的頂點(diǎn)分別作對角線的垂線，垂足分別為，依次連接四個(gè)垂足，可得到矩形．設(shè)對角線與的夾角為，那么矩形與矩形面積的比值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查相似多邊形的判定和性質(zhì)，先推導(dǎo)，得到，然后利用相似多邊形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．【詳解】如圖，設(shè)對角線與交于點(diǎn)O，∵，是矩形，∴，∵，，∴，又∵，∴，∴∵，，∴，∴，∵，∴，∵，，，∴，∴矩形與矩形面積的比為，故選B．5.（23-24九年級下·湖北·期末）如圖，矩形中，，將矩形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形，若點(diǎn)在上，連接，，則值為．【答案】【分析】過作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，由旋轉(zhuǎn)和矩形的性質(zhì)可得：，，，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理求出，進(jìn)而得到，根據(jù)同角的余角相等可得，推出，可求出，進(jìn)而求出、和，證明四邊形是矩形，得到，，根據(jù)勾股定理求出，即可求解．【詳解】解：如圖，過作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，由旋轉(zhuǎn)和矩形的性質(zhì)可得：，，，，設(shè)，則，在中，，，，，，，，，，，，四邊形是矩形，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用相關(guān)知識．6．（23-24九年級上·福建泉州·期末）如圖，在中，于點(diǎn)，，，．

(1)求的大小；(2)若點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，求的長．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了解直角三角形，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理：（1）根據(jù)等腰三角形的判定可得，在中，可得，即可求解；（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，再由三角形中位線定理，即可求解．【詳解】（1）解：∵，，∴，∴，在中，∵，∴．（2）解：∵，，∴，∴，∵點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，∴．【考點(diǎn)題型三】三角函數(shù)在實(shí)際中應(yīng)用7．（23-24九年級上·山東泰安·期末）數(shù)學(xué)小組的同學(xué)要測量燈塔的高度，如圖所示，在點(diǎn)處測得燈塔最高點(diǎn)的仰角，再沿方向前進(jìn)至處測得最高點(diǎn)的仰角，則燈塔的高度大約是（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：）（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用—俯角仰角問題，由題意得：，設(shè)，則，，再結(jié)合得出，求出的值即可得解，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意得：，設(shè)，則，，，，，，，解得：，，燈塔的高度大約是，故選：A．8．（20-21九年級上·陜西銅川·期末）如圖，在河流的右岸邊有一高樓，左岸邊有一坡度的山坡，點(diǎn)C與點(diǎn)B在同一水平面上，與在同一平面內(nèi)．某數(shù)學(xué)興趣小組為了測量樓的高度，在坡底C處測得樓頂A的仰角為，然后沿坡面上行了米（即米）到達(dá)點(diǎn)D處，此時(shí)在D處測得樓頂A的仰角為．（參考數(shù)據(jù)：，，）(1)求點(diǎn)C到點(diǎn)D的水平距離的長；(2)求樓的高度．【答案】(1)40米(2)樓的高度約為80米【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，坡度坡角問題，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意可得，設(shè)米，則米，然后利用勾股定理可求出．據(jù)此即可求得的長；（2）過點(diǎn)D作，垂足為G，則米，，然后設(shè)米，在中，利用銳角是三角函數(shù)的定義求出的長，從而求出的長，再在中，利用銳角三角函數(shù)的定義列出關(guān)于y的方程，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】（1）解：由題意得：，∵山坡CF的坡度，∴，設(shè)米，則米，∴（米），∵米，∴，∴，∴米，（米）；（2）解：過點(diǎn)D作，垂足為G，則四邊形是矩形，∴米，，設(shè)米，∴米，在中，，∴（米），∴米，在中，，∴，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的根，∴米，∴樓的高度約為80米【考點(diǎn)題型四】三角函數(shù)在生活中的應(yīng)用9．（23-24九年級上·浙江·期末）如圖，一個(gè)鐘擺的擺長的長為a，當(dāng)鐘擺從最左側(cè)擺到最右側(cè)時(shí)，擺角為，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)D，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，全等三角形的判定與性質(zhì)，由點(diǎn)C是的中點(diǎn)，為，可得的度數(shù)，已知的長為a，用余弦公式可表示，根據(jù)，可得的長．【詳解】解：點(diǎn)C是的中點(diǎn)，，，，，，，，故選：D．10．（23-24九年級下·江蘇常州·期末）某臨街店鋪在窗戶上方安裝如圖1所示的遮陽棚，其側(cè)面如圖2所示，遮陽棚展開長度，遮陽棚前端自然下垂邊的長度，遮陽棚固定點(diǎn)距離地面高度，遮陽棚與墻面的夾角，如圖3，某一時(shí)刻，太陽光線與地面的夾角，則遮陽棚在地面上的遮擋寬度的長為（結(jié)果保留根號）．【答案】/【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，矩形的判定和性質(zhì)．作于點(diǎn)E，于點(diǎn)H，延長交于點(diǎn)K，則，則四邊形是矩形，在中，可得，，從而得到，然后在中，根據(jù)，可得，即可求解．【詳解】解：如圖，作于點(diǎn)E，于點(diǎn)H，延長交于點(diǎn)K，則，則四邊形是矩形，∴，在中，，，∴，，∵，∴，在中，，∴，∴．故答案為：11．（23-24九年級上·湖南·期末）圖（1）是一扇半開著的辦公室門的照片，門框鑲嵌在墻體中間，門是向室內(nèi)開的．圖（2）畫的是它的一個(gè)橫斷面．虛線表示門完全關(guān)好和開到最大限度（由于受到墻角的阻礙，再也開不動了）時(shí)的兩種情形，這時(shí)二者的夾角為，從室內(nèi)看門框露在外面部分的寬為，求室內(nèi)露出的墻的厚度a的值．（假設(shè)該門無論開到什么角度，門和門框之間基本都是無縫的．精確到，）【答案】室內(nèi)露出的墻的厚度約為【分析】該題主要考查了解直角三角的應(yīng)用，此題讀懂題意，理解題目敘述的意義是解題的關(guān)鍵，理解實(shí)際圖形后才能把它轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，然后利用三角函數(shù)解決問題．寬為的門框及開成的門之間構(gòu)成了一個(gè)直角三角形，且其中有一個(gè)角為60°，根據(jù)已知條件解直角三角形就可以求出a．【詳解】解：從圖中可以看出，在室內(nèi)厚為的墻面、寬為的門框及開成的門之間構(gòu)成了一個(gè)直角三角形，且其中有一個(gè)角為60度．從而．即室內(nèi)露出的墻的厚度約為．【考點(diǎn)題型五】在一般四邊形中應(yīng)用12．（20-21九年級上·湖南邵陽·期末）如圖，四邊形ABCD中，∠B=∠C=90°，CD=2米，BC=5米，，則AB=（）A．8米 B．10米 C．12米 D．14米【答案】D【分析】過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，得到四邊形DEBC是矩形，得到BE=DC=2米，DE=BC=5米，根據(jù)，求得AD=13米，根據(jù)勾股定理求出AE=12米，即可得到答案．【詳解】過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，∴∠DEB=∠B=∠C=90°，∴四邊形DEBC是矩形，∴BE=DC=2米，DE=BC=5米，∵，∴，∴AD=13米，∴AE=米，∴AB=AE+BE=12+2=14米，故選：D．．【點(diǎn)睛】此題考查矩形的判定及性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，正確引出輔助線構(gòu)建直角三角形解決問題是解題的關(guān)鍵．13．（23-24九年級上·北京石景山·期末）如圖，在四邊形中，，，，，求的長．【答案】．【分析】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理和通過余弦值求邊長，過作于點(diǎn)，證明四邊形是矩形，根據(jù)性質(zhì)得出，由求出，最后通過勾股定理即可求解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點(diǎn)的應(yīng)用及正確添加輔助線．【詳解】過作于點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∴四邊形是矩形，∴，在中，，，∴，由勾股定理得：，∴．14．（22-23九年級上·云南楚雄·期末）如圖，在四邊形中，平分，．(1)求證：；(2)若，，求的面積．【答案】(1)證明見解析(2)37.5【分析】（1）根據(jù)所給條件證出，即可得出；（2）先根據(jù)三角函數(shù)求出的值，再根據(jù)勾股定理求出的值，最后根據(jù)和三角形面積公式求解即可．【詳解】（1）證明：∵平分，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵，，∴，在中，，，，∴，由（1）知，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)和勾股定理是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)題型六】在平行四邊形中應(yīng)用15.（21-22九年級上·重慶涪陵·期末）如圖，在平行四邊形中，，，以為直徑作，點(diǎn)恰好在上，則圖中陰影部分的面積為．【答案】【分析】連結(jié)OM，過點(diǎn)M作MC⊥AB于C，根據(jù)圓周角定理得出∠MOB=2∠MAB=60°，由得出OA=OB=OM=4，根據(jù)扇形面積公式求得，在Rt△OMC中，利用三角函數(shù)求得MC=OMsin∠MOC=4，利用割補(bǔ)法求陰影部分面積即可．【詳解】解：連結(jié)OM，過點(diǎn)M作MC⊥AB于C，∴∠MOB=2∠MAB=60°，∵，∴OA=OB=OM=4，，在Rt△OMC中，MC=OMsin∠MOC=4，∴S平行四邊形ABNM=AB·MC=8×，S△MAO=，∴S陰影部分=S平行四邊形ABNM-S△MAO-，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，銳角三角函數(shù)，平行四邊形的面積，三角形面積，扇形面積，掌握圓周角定理，銳角三角函數(shù)，平行四邊形的面積，三角形面積，扇形面積是解題關(guān)鍵16.（21-22九年級上·黑龍江齊齊哈爾·期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)A分別作AE⊥BC于點(diǎn)E，AF⊥CD于點(diǎn)F．（1）求證：∠BAE=∠DAF；（2）已知AE=4，AF=6，tan∠BAE=，求CF的長．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）由四邊形ABCD為平行四邊形，得到∠B=∠D，AB=CD，再由∠B+∠BAE=90°，∠DAF+∠D=90°即可得到∠BAE=∠DAF；（2）由tan∠BAE，AE=4，得到BE=3，可求出，證明△ABE∽△ADF得到，求出DF的長，即可得到答案．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴∠B=∠D，AB=CD，∵AE⊥BC于點(diǎn)E，AF⊥CD于點(diǎn)F，∴∠AEB=90°，∠AFD=90°∴∠B+∠BAE=90°，∠DAF+∠D=90°∴∠BAE=∠DAF；（2）解：∵tan∠BAE，AE=4，∴BE=3，∴在△ABE中，，∴∵在Rt△ABE和Rt△ADF中，∠AEB=∠AFD=90°，∠BAE=∠DAF，∴△ABE∽△ADF∴，∴，∴FC==．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，三角函數(shù)，熟記相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)題型七】在菱形中應(yīng)用17．（21-22九年級上·陜西西安·期末）在菱形ABCD中，連接AC、BD，若，且AC＝4，則菱形ABCD的面積為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】依據(jù)菱形的性質(zhì)和三角函數(shù)的意義，即可得到AB的長，再根據(jù)勾股定理求得BO的長，即可得到BD的長，最后根據(jù)菱形的面積計(jì)算公式，即可得到結(jié)論．【詳解】解：設(shè)AC與BD交點(diǎn)為O，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝AC＝2，∴∠AOB＝90°，∵，且AO＝2，∴，∴AB＝3，∴Rt△ABO中，BO＝＝＝，∴BD＝2BO＝2，∴菱形ABCD的面積＝AC×BD＝＝，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)和三角函數(shù)，關(guān)鍵是掌握菱形的兩條對角線互相垂直，菱形的面積等于兩條對角線乘積的一半18．（22-23九年級上·安徽六安·期末）如圖，在菱形中，，于點(diǎn)，的延長線與的延長線交于點(diǎn)，則．（表示面積）

【答案】【分析】設(shè)，則，根據(jù)勾股定理求出，然后證明，最后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解∶∵，，∴，設(shè)，則，∴，∵四邊形是菱形，∴，，∴，∵，∴，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正切、相似三角形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，勾股定理等知識，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．19．（23-24九年級上·江蘇無錫·期末）如圖，菱形中，，點(diǎn)E、F分別是邊上的動點(diǎn)，點(diǎn)E與點(diǎn)A，B不重合，且，作，交邊于點(diǎn)G，連接，將四邊形沿直線翻折得到四邊形．(1)當(dāng)E是AB的中點(diǎn)時(shí)，求四邊形面積；(2)設(shè)，四邊形面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．【答案】(1)(2)【分析】（1）如圖，過作于，延長交于點(diǎn)P，作于，記與的交點(diǎn)為，證明三角形是等邊三角形，則，可求，由，可得，，由翻折的性質(zhì)可知，，，則，，可得，四邊形是矩形，則，，，則，，由E是的中點(diǎn)，可得，，，，根據(jù)，計(jì)算求解即可；（2）由，可得，同理（1）可知，，，，根據(jù)，計(jì)算求解即可．【詳解】（1）解：如圖，過作于，延長交于點(diǎn)P，作于，記與的交點(diǎn)為，∵，，∴三角形是等邊三角形，，∵，∴，∴，∵菱形，，∴，∴，∴，∵，∴，由翻折的性質(zhì)可知，，，∴，∴，∴，又∵，∴四邊形是矩形，∴，，∴，∴，∴，，∵E是的中點(diǎn)，∴，，，，∴，∴四邊形面積為；（2）解：∵，∴，同理（1）可知，，，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，余弦等知識．熟練掌握菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，余弦是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)題型八】在矩形中應(yīng)用20．（23-24九年級上·河南商丘·期末）如圖，在矩形中，點(diǎn)E在上，使點(diǎn)D落在邊上的點(diǎn)F處，若，，則的值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)和翻折的性質(zhì)以及勾股定理，求出，再求出，在中，根據(jù)勾股定理得：，可求出，再利用銳角三角形函數(shù)即可解決問題．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，，由翻折可知：，，∴，∴，∵，在中，根據(jù)勾股定理得：，∴，解得：，∴故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，勾股定理，解直角三角形，銳角三角函數(shù)等知識，解決本題的關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì)，靈活利用勾股定理求出未知線段的長21．（23-24九年級上·陜西西安·期末）如圖，在矩形中，，，P為邊上一個(gè)動點(diǎn)，連接，將沿所在直線折疊后，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)落在點(diǎn)處，連接，則當(dāng)取最小值時(shí)，的值為．【答案】/0.75【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、解直角三角形等知識，根據(jù)折疊可得出，則在以B為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動，則當(dāng)B、、D三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，最小值為，然后在中利用正切的定義求解即可．【詳解】解：連接，∵折疊，∴，∴在以B為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動，∵，∴當(dāng)B、、D三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，最小值為，∴．故答案為：．22．（23-24九年級上·上海靜安·期末）如圖，已知是矩形的對角線，，交延長線于，交于，交于.(1)求證：點(diǎn)是的重心；(2)如果，求的正弦值.【答案】(1)見解析(2)【分析】本題主要考查重心的判定，三角函數(shù)的定義，熟練掌握求正弦值的方法是解題的關(guān)鍵．（1）證明是的中線，是的中線即可得到結(jié)論．（2）根據(jù)重心的性質(zhì)得到，求出的值，再根據(jù)勾股定理求出答案即可．【詳解】（1）證明：矩形，，，四邊形是平行四邊形，，是的中線，，，是的中線，點(diǎn)是的重心；（2）解：點(diǎn)是的重心，，，，，，，，，，在中，，【考點(diǎn)題型九】在正方形中應(yīng)用23．（23-24九年級上·山東聊城·期末）如圖源于我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖，它是由四個(gè)全等直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．若小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了銳角三角函數(shù)，勾股定理等，解答此題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確識圖，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義，難點(diǎn)是設(shè)置適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)，利用勾股定理構(gòu)造方程求出三角形的邊．【詳解】解：小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，小正方形的邊長為1，大正方形的邊長為5，設(shè)直角三角形中較短的直角邊為，則較長的直角邊是，其中，由勾股定理得：，整理得：解得：，（不合題意，舍去）．，．故選：D．24．（22-23九年級上·安徽亳州·期末）如圖，在4×4正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C為網(wǎng)格交點(diǎn)，，垂足為D，則的值為．【答案】【分析】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義以及勾股定理，解題的關(guān)鍵熟記三角函數(shù)的定義并靈活運(yùn)用．先求出，然后利用利用解題即可．【詳解】解：如圖，∵，∴，又∵，∴，∴，故答案為：．25．（22-23九年級上·海南儋州·期末）如圖，在正方形中，P是邊上的一點(diǎn)，且，Q是的中點(diǎn)．(1)求證：；(2)求的值．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，進(jìn)而推出，即可證得結(jié)論；（2）設(shè)，則，勾股定理求出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)證得，勾股定理求出即可．【詳解】（1）∵四邊形是正方形，∴，∵，Q是的中點(diǎn)．∴，∴，∴；（2）設(shè)，則，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，求角的正弦值，正確掌握各知識點(diǎn)并熟練應(yīng)用是解題的關(guān)鍵【考點(diǎn)題型十】在圓中求三角函數(shù)值26．（23-24九年級上·重慶九龍坡·期中）如圖，的半徑為8，內(nèi)接于，于點(diǎn)D，F(xiàn)為弦的中點(diǎn)，連接，若，則的值為（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查圓周角定理，求角的正弦值．連接，推出，等角的余角相等，得到，得到，即可得出結(jié)果．【詳解】解：連接，則：，，

∵F為弦的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∴，∴；故選C．27．（20-21九年級上·河南信陽·期末）如圖，，兩點(diǎn)在以為直徑的上，若，的半徑為2，則的值為．【答案】【分析】根據(jù)同弧所對的圓周角相等，可得∠ACD=∠DBA，根據(jù)AB為⊙O是直徑，可知∠ADB=90°，然后利用勾股定理求出BD，則tan∠ACD=tan∠DBA=．【詳解】解：∵同弧所對的圓周角相等，∴∠ACD=∠DBA，又∵AB為⊙O是直徑，∴∠ADB=90°，∵AD=3，AB=4，∴BD=，∴tan∠ACD=tan∠DBA=，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查求一個(gè)角的正切及圓周角，解題的關(guān)鍵是掌握同弧或等弧所對的圓周角相等．28．（20-21九年級下·浙江·期末）如圖，四邊形中，，以為直徑畫恰好經(jīng)過點(diǎn)C，與交于點(diǎn)E．（1）求證：與相切；（2）若，求．【答案】（1）答案見解析；（2）【分析】（1）連接OC，證明OC∥AD即可；（2）連接AC，EC，證明△DEC∽△DCA，求得CD，證明△DAC∽△CAB，求．【詳解】（1）連接OC，∵OC＝OB，∴∠B=∠OCB，∴∠COB+∠B+∠OCB=180°，即∠COB+2∠B=180°，∵∠DAB+2∠B=180°，∴∠DAB=∠COB，∴OC∥AD，∴∠OCD=∠D，∵∠D=90°，∴∠OCD=90°，∴與相切；（2）如圖，連接AC，EC，∵四邊形AECB是圓的內(nèi)接四邊形，∴∠DEC=∠B，∵AB是直徑，∴∠ACB=90°，∴∠B=90°-∠CAB，∵∠DCA=90°-∠ACO，∠CAB=∠ACO，∴∠B=∠DCA，∴∠DEC=∠DCA，∴△DEC∽△DCA，∴DC：DA=DE：DC，∴，∴DC=DE；∵∠DAB=∠COB，∠DAB=∠DAC+∠OAC，∠COB=2∠OAC，∴∠DAC=∠OAC，∵∠ADC=∠ACB=90°，∴△DAC∽△CAB，∴AC：BC=AD：DC，∴=AC：BC=AD：DC=5DE：DE=．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，三角形的相似，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，直徑的性質(zhì)，熟練掌握連接半徑證垂直證切線，靈活證明三角形的相似是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)題型十一】在圓中求三角函數(shù)求角29．（22-23九年級上·江蘇無錫·期末）如圖，中，，，G是的重心，AB的中點(diǎn)為D，以G為圓心，長為半徑畫⊙G，過C點(diǎn)作⊙G的兩切線段，其中E、F為切點(diǎn)，則與的度數(shù)和為（

）A．30° B． C． D．【答案】B【分析】連接，，，根據(jù)重心的性質(zhì)得出，進(jìn)而得出，根據(jù)切線長定理得出，根據(jù)三角形內(nèi)角定理即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，，，∵是的重心，的中點(diǎn)為，∴在上，∴，∵、是的切線，∴，，∴，∴，∴，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了切線長定理，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求角度，三角形重心的性