滬科版七年級數(shù)學上冊期末復習考題猜想 專題05 幾何圖形初步(易錯必刷23題8種題型)_第1頁
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文檔簡介

專題05幾何圖形初步(易錯必刷23題8種題型專項訓練)目錄TOC\o"1-3"\h\u【題型一】線段上動點求線段長問題(共2題) 1【題型二】線段上動點求定值問題(共4題) 3【題型三】線段上動點求時間問題(共3題) 9【題型四】線段上動點的新定義型問題(共2題) 13【題型五】幾何圖形中動角求定值問題(共5題) 16【題型六】幾何圖形中動角探究數(shù)量關系問題(共2題) 24【題型七】幾何圖形中動角求運動時間問題(共3題) 29【題型八】幾何圖形中動角之新定義型問題(共2題) 35【題型一】線段上動點求線段長問題(共2題)1.(23-24七年級上·重慶沙坪壩·期末)點C在線段上滿足,點D和點E是線段上的兩動點(點D在點E的左側(cè))滿足,.(1)當點E是的中點時,求的長度;(2)當時,求的長度.2.(23-24七年級上·浙江寧波·期末)如圖,已知線段,點C為線段上一動點,點D在線段上且滿足.(1)當點C為中點時,求的長.(2)若E為中點,當時,求的長.【題型二】線段上動點求定值問題(共4題)3.(23-24七年級上·北京·期末)如圖,線段,動點P從A出發(fā),以每秒2個單位的速度沿射線運動,M為的中點.(1)出發(fā)多少秒后,?(2)當P在線段上運動時,試說明為定值.(3)當P在延長線上運動時,N為的中點,下列兩個結(jié)論:長度不變;的值不變.選擇一個正確的結(jié)論,并求出其值.4.(23-24七年級上·福建福州·期末)如圖,線段,動點P從A出發(fā),以每秒2個單位長度的速度沿射線運動,M為的中點.點P的運動時間為x秒.(1)若時,求的長;(2)當P在線段上運動時,是定值嗎?如果是,請求出該定值,如果不是,請說明理由;(3)當P在射線上運動時,N為的中點,求的長度.5.(23-24七年級上·河南南陽·期末)如圖,已知線段,、是線段上的兩個動點(點在點的左側(cè),且都不與端點、重合),,為的中點.(1)如圖1,當時,求的長;(2)如圖2,為的中點.①點在線段上移動過程中,線段的長度是否會發(fā)生變化,若會,請說明理由;若不會,請僅以圖為例求出的長;②當時,請直接寫出線段的長.6.(23-24七年級上·吉林白城·期末)如圖,線段,點是線段上的一個動點,點從點出發(fā),以的速度從點運動到點,再從點運動到點,然后停止.設點運動的時間為.(1)當時,________;當時,________;(2)用含的式子表示整個運動過程中的長度;(3)設是線段的中點,是線段的中點.①當點從點向點運動時,線段的長度是否變化?若不變,求出的長度;若變化,說明理由;②當時,直接寫出的值,________.【題型三】線段上動點求時間問題(共3題)7.(23-24七年級上·重慶南岸·期末)如圖,點C是線段上的一點,線段,,點D為線段的中點.(1)直接寫出線段和的長;(2)若動點P從點A出發(fā),以每秒1個單位的速度沿直線向右運動,動點Q從點B出發(fā),以每秒3個單位的速度沿直線向左運動,當點Q到達點A時立即掉頭沿直線向右運動,當點Q再次回到點B時,動點P,Q同時停止運動.設運動時間為t秒.①當t為何值時,點P與點Q重合?②當t為何值時,點P與點Q之間的距離.8.(22-23七年級上·山西太原·期末)如圖,直線上有A,B,,四個點,,,.

(1)線段______(2)動點P,Q分別從A點,點同時出發(fā),點P沿線段以/秒的速度,向右運動,到達點后立即按原速向A點返回;點Q沿線段以/秒的速度,向左運動;P點再次到達A點時,兩點同時停止運動.設運動時間為t(單位:秒)①求P,Q兩點第一次相遇時,運動時間t的值;②求P,Q兩點第二次相遇時,與點A的距離.9.(22-23七年級下·吉林長春·期末)如圖,點在線段AB上,,,動點從點出發(fā),沿線段AB以每秒個單位長度的速度向終點勻速運動;同時,動點從點出發(fā),沿線段以每秒個單位長度的速度向終點勻速運動.當點到達終點時,點也隨之停止運動.設點的運動時間為秒.(1)線段AB的長為______.(2)當點與點相遇時,求的值.(3)當點與點之間的距離為個單位長度時,求的值.(4)當時,直接寫出的值.【題型四】線段上動點的新定義型問題(共2題)10.(23-24七年級上·湖南長沙·期末)如圖1,點C在線段上,圖中共有三條線段和,若其中有一條線段的長度是另外一條線段長度的2倍,則稱點C是線段的“巧點”.(1)若點C是線段的中點,判斷C是否是線段的“巧點”;(2)如圖2,已知,動點P從點A出發(fā),以2cm/s的速度沿AB向點B勻速運動;點Q從點B出發(fā),以1cm/s的速度沿向點A勻速運動,點P,Q同時出發(fā),設移動的時間為t(s),當其中一點到達終點時,運動停止.①當t為何值時,P、Q重合?②當t為何值時,Q為的“巧點”?11.(23-24七年級上·安徽·期末)(1)【新知理解】如圖1,點在線段上,圖中有3條線段,分別是,,,若其中任意一條線段是另一條線段的兩倍,則稱點是線段的“妙點”.根據(jù)上述定義,線段的三等分點______這條線段的“妙點”.(填“是”或“不是”)(2)【新知應用】如圖2,,為數(shù)軸上的兩點,點對應的數(shù)為,點對應的數(shù)為7,若點在線段上,且點為線段的“妙點”,當點在數(shù)軸的負半軸上時,點對應的數(shù)為______.(3)【拓展探究】

已知,為數(shù)軸上的兩點,點對應的數(shù)為,點對應的數(shù)為,且,滿足,動點,分別從,兩點同時出發(fā),相向而行,若點的運動速度為每秒2個單位長度,點的運動速度為每秒3個單位長度,當點,相遇時,運動停止.求當點恰好為線段的“妙點”時,點在數(shù)軸上對應的數(shù).【題型五】幾何圖形中動角求定值問題(共5題)12.(23-24六年級下·山東濟南·期末)已知將一副三角板(直角三角板和直角三角板的兩個頂點重合于點,,.(1)如圖1,當恰好平分時,求的度數(shù);(2)如圖2,在內(nèi)部,作射線,使,在內(nèi)部,作射線,使,如果三角板在內(nèi)繞任意轉(zhuǎn)動,的度數(shù)是否發(fā)生變化?如果不變,求其值;如果變化,說明理由.13.(23-24七年級上·福建龍巖·期末)將一副三角板(含有角的直角三角板和含有30°角的直角三角板)按如圖﹣1擺放在直線上,平分,平分.

(1)求的度數(shù);(2)如圖﹣2,將三角板繞著點B以每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn),設旋轉(zhuǎn)時間為t秒,平分.①在旋轉(zhuǎn)過程中,的度數(shù)是否發(fā)生改變?若不變,求出的度數(shù);若改變,請說明理由;②在旋轉(zhuǎn)過程中,是否存在某個時刻,與中,其中一個角是另一個角的兩倍?若存在,求出所有滿足題意的t值;若不存在,請說明理由.14.(23-24七年級上·廣西百色·期末)【知識背景】已知為直線上一點,過點作射線,使,將一直角三角尺的直角頂點放在點處.【動手操作】(1)如圖①所示,若三角尺的一邊與射線重合,則______;【類比操作】(2)如圖②所示,將三角尺繞點逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度,此時是的平分線,求和的度數(shù);(3)將三角尺繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至如圖③所示的位置時,,求的度數(shù).15.(23-24七年級上·河南鄭州·期末)綜合與探究【問題情境】將一副三角尺按如圖1所示位置擺放,三角尺中,,;三角尺中,,,.分別作的角平分線.【初步探究】現(xiàn)將三角尺按照圖2,圖3所示的方式擺放,仍然是的角平分線.在圖2中與重合,在圖3中與重合在一起.(1)計算:圖2中的度數(shù)為___________°,圖3中的度數(shù)為___________°(直接寫出答案).【深入探究】(2)通過初步探究,請你猜想圖1中的度數(shù)為___________°.如果設,請求出圖1中的度數(shù).【類比拓展】(3)再將三角尺按照圖4所示的方式擺放,仍然是的平分線.請你求出的度數(shù).16.(23-24七年級上·四川綿陽·期末)為了培養(yǎng)同學們的幾何思維能力,張老師給同學們設置了一道幾何題探究題:將一副三角尺按如圖1所示位置擺放,三角尺中,;三角尺中,,分別作的平分線.試求出的度數(shù).為了便于同學們探究,特別進行了以下活動:[初步探究]現(xiàn)將三角尺按照圖2,圖3所示的方式擺放,仍然是的平分線.在圖2中AB與AD重合,在圖3中與重合在一起.(1)圖2中的度數(shù)為________,圖3中的度數(shù)為________.[深入探究](2)通過初步探究,請你猜想圖1中的度數(shù)為__________.如果設,請求出圖1中的度數(shù).

【題型六】幾何圖形中動角探究數(shù)量關系問題(共2題)17.(23-24七年級上·陜西渭南·期末)【問題背景】已知是內(nèi)部的一條射線,且.【問題再現(xiàn)】(1)如圖①,若,平分,平分,求的度數(shù);【問題推廣】(2)如圖②,,從點出發(fā)在內(nèi)引射線,滿足,若平分,求的度數(shù);【拓展提升】(3)如圖③,在的內(nèi)部作射線,在的內(nèi)部作射線,若::,求和的數(shù)量關系.18.(22-23七年級上·浙江臺州·期末)如圖1,點O是直線上一點,三角板(其中)的邊與射線重合,將它繞O點以每秒m°順時針方向旋轉(zhuǎn)到邊與重合;同時射線與重合的位置開始繞O點以每秒n°逆時針方向旋轉(zhuǎn)至,兩者哪個先到終線則同時停止運動,設運動時間為t秒.(1)若,,秒時,________°;(2)若,,當在的左側(cè)且平分時,求t的值;(3)如圖2,在運動過程中,射線始終平分.①若,,當射線,,中,其中一條是另兩條射線所形成夾角的平分線時,直接寫出________秒;②當在的左側(cè),且與始終互余,求m與n之間的數(shù)量關系.【題型七】幾何圖形中動角求運動時間問題(共3題)19.(23-24六年級下·黑龍江哈爾濱·期末)在數(shù)學實驗課中,學生進行操作探究,用一副三角板(其中,,,)按如圖1所示擺放,邊與在同一條直線上(點C與點E重合).如圖2,將三角板從圖1的位置開始繞點C以每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn),當邊與邊重合時停止運動,設三角板的運動時間為t秒.(1)當t為何值時,平分?(2)當t為何值時,?20.(22-23七年級上·江蘇鹽城·期末)王老師在數(shù)學實驗課中組織學生進行操作探究,用一副三角板(分別含,,和,,的角)按如圖1所示擺放,邊與在同一條直線上(點C與點E重合).(1)如圖2,將三角板從圖1的位置開始繞點C以每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn),當邊與邊重合時停止運動,設三角板的運動時間為t秒.當t=時,邊平分;(2)在(1)的條件下,在三角板開始旋轉(zhuǎn)的同時,三角板也從原有位置開始繞點C以每秒2°的速度逆時針旋轉(zhuǎn),當三角板停止旋轉(zhuǎn)時,三角板也停止旋轉(zhuǎn).①當t為何值時,邊平分;②在旋轉(zhuǎn)過程中,是否存在某一時刻使,若存在,直接寫出t的值;若不存在,請說明理由.21.(23-24七年級上·吉林白山·期末)如圖1,直線上有一點O,過點O在直線上方作射線,將一個直角三角尺的直角頂點放在點O處,一條直角邊在射線上,另一邊在直線上方,將直角三角尺繞著點O按每秒的速度逆時針旋轉(zhuǎn)一周,設旋轉(zhuǎn)時間為t秒.(1)當直角三角尺旋轉(zhuǎn)到圖2所示的位置時,恰好平分,此時,與之間的數(shù)量關系是____________.(2)若射線的位置保持不變,且.①在旋轉(zhuǎn)過程中,是否存在某個時刻,使得射線,,中的某一條射線是另兩條射線所夾角的平分線?若存在,請求出所有滿足題意的的取值;若不存在,請說明理由.②在旋轉(zhuǎn)的過程中,當邊與射線相交時(如圖3),求的值.【題型八】幾何圖形中動角之新定義型問題(共2題)22.(22-23六年級下·上海普陀·期末)定義:如果兩個角的度數(shù)的和是,那么這兩個角叫做互為半余角,其中一個角稱為另一個角的半余角,例如:,,因為,所以和互為半余角.(1)如果,是的半余角,那么的度數(shù)是_______;(2)如圖,已知,射線在的內(nèi)部,滿足,是的平分線.①在的內(nèi)部畫射線,使.并寫出圖中的半余角:________;②是的半余角,當是的時,求的度數(shù).23.(22-23七年級上·四川成都·期末)定義:如圖1,線段是圓O的三條半徑,當平分時,我們稱點P是弧的中點,半徑是扇形的“弧中線”.如圖2,線段是圓O的直徑,半徑分別從位置同時出發(fā)繞點O逆時針旋轉(zhuǎn),每秒旋轉(zhuǎn)30度,每秒旋轉(zhuǎn)60度,設運動時間為t秒(其中).(1)當,且半徑是扇形的“弧中線”時,求t的值;(2)當時,是否存在t值使得半徑是扇形的“弧中線”?若存在,請求出此時t的值;若不存在,請說明理由.(3)若半徑是扇形的“弧中線”,半徑是扇形的“弧中線”,當時,請直接寫出此時t的值.

專題05幾何圖形初步(易錯必刷23題8種題型專項訓練)目錄TOC\o"1-3"\h\u【題型一】線段上動點求線段長問題(共2題) 1【題型二】線段上動點求定值問題(共4題) 3【題型三】線段上動點求時間問題(共3題) 9【題型四】線段上動點的新定義型問題(共2題) 13【題型五】幾何圖形中動角求定值問題(共5題) 16【題型六】幾何圖形中動角探究數(shù)量關系問題(共2題) 24【題型七】幾何圖形中動角求運動時間問題(共3題) 29【題型八】幾何圖形中動角之新定義型問題(共2題) 35【題型一】線段上動點求線段長問題(共2題)1.(23-24七年級上·重慶沙坪壩·期末)點C在線段上滿足,點D和點E是線段上的兩動點(點D在點E的左側(cè))滿足,.(1)當點E是的中點時,求的長度;(2)當時,求的長度.【答案】(1)(2)【知識點】線段的和與差、線段中點的有關計算【分析】本題考查線段的和差,線段的中點.(1)由,可得,,由點E是的中點,得到,從而,;(2)設,則,,根據(jù)即可得到方程,求解即可解答.【詳解】(1)∵,,∴,,∵點E是的中點,∴,∵,∴,∴;(2)設,則,,∵,∴,解得,∴.2.(23-24七年級上·浙江寧波·期末)如圖,已知線段,點C為線段上一動點,點D在線段上且滿足.(1)當點C為中點時,求的長.(2)若E為中點,當時,求的長.【答案】(1)2(2)6【知識點】線段中點的有關計算、兩點間的距離、線段的和與差【分析】本題考查了兩點間的距離,解題的關鍵是正確的識別圖形.(1)根據(jù)線段中點的性質(zhì)計算即可;(2)根據(jù)線段中點的性質(zhì)和給出的數(shù)據(jù),結(jié)合圖形計算.【詳解】(1)解:∵點C為中點,∴,∵∴;(2)解:如圖,∵E為中點,∴∵,∴,∵,∴,∴,∴,∴.【題型二】線段上動點求定值問題(共4題)3.(23-24七年級上·北京·期末)如圖,線段,動點P從A出發(fā),以每秒2個單位的速度沿射線運動,M為的中點.(1)出發(fā)多少秒后,?(2)當P在線段上運動時,試說明為定值.(3)當P在延長線上運動時,N為的中點,下列兩個結(jié)論:長度不變;的值不變.選擇一個正確的結(jié)論,并求出其值.【答案】(1)出發(fā)6秒后;(2),理由見解析;(3)選,,理由見解析.【知識點】幾何問題(一元一次方程的應用)、線段的和與差、線段中點的有關計算【分析】本題考查了兩點間的距離,解答本題的關鍵是用含時間的式子表示出各線段的長度.(1)分兩種情況討論,點P在點B左邊,點P在點B右邊,分別求出t的值即可.(2),,,表示出后,化簡即可得出結(jié)論.(3),,,,分別表示出,的長度,即可作出判斷.【詳解】(1)解:設出發(fā)x秒后,當點P在點B左邊時,,,,由題意得,,解得:;當點P在點B右邊時,,,,由題意得:,方程無解;綜上可得:出發(fā)6秒后.(2)解:,,,;(3)解:選;,,,,定值;變化.4.(23-24七年級上·福建福州·期末)如圖,線段,動點P從A出發(fā),以每秒2個單位長度的速度沿射線運動,M為的中點.點P的運動時間為x秒.(1)若時,求的長;(2)當P在線段上運動時,是定值嗎?如果是,請求出該定值,如果不是,請說明理由;(3)當P在射線上運動時,N為的中點,求的長度.【答案】(1)(2)是定值,定值為(3)【知識點】線段的和與差、線段中點的有關計算【分析】本題考查了與線段中點有關的計算,線段的和與差.明確線段之間的數(shù)量關系是解題的關鍵.(1)當時,,則,根據(jù),計算求解即可;(2)由題意知,,,根據(jù),求解作答即可;(3)由題意知,分當P在線段上運動時,如圖1,根據(jù),計算求解即可;當P在線段的延長線上運動時,如圖2,根據(jù),計算求解即可.【詳解】(1)解:當時,,∵M為的中點,∴,∴,∴的長為.(2)解:當P在線段上運動時,是定值;由題意知,,,∴,∴是定值,定值為;(3)解:當P在線段上運動時,如圖1,

圖1由題意知,,∴;當P在線段的延長線上運動時,如圖2,

圖2由題意知,,;綜上所述,的長度為.5.(23-24七年級上·河南南陽·期末)如圖,已知線段,、是線段上的兩個動點(點在點的左側(cè),且都不與端點、重合),,為的中點.(1)如圖1,當時,求的長;(2)如圖2,為的中點.①點在線段上移動過程中,線段的長度是否會發(fā)生變化,若會,請說明理由;若不會,請僅以圖為例求出的長;②當時,請直接寫出線段的長.【答案】(1)(2)①不會發(fā)生變化,的長是;②或【知識點】線段的和與差、線段中點的有關計算【分析】本題考查兩點間的距離,(1)先求出,再根據(jù)線段中點的定義得到,最后根據(jù)可得答案;(2)①根據(jù)可得結(jié)論;②分兩種情況討論即可;熟練掌握線段中點的定義與線段的和差是解題關鍵.【詳解】(1)解:∵,,∴,∵為的中點,∴,∵,∴,∴的長為;(2)①∵是的中點,是的中點,,,∴,,∴,∴線段的長度不會發(fā)生變化,;②當點在點的左側(cè)時,∵,,∴,由①知:,∴;當點在點的右側(cè)時,∵,CD=2,∴,由①知:,∴,綜上所述,當時,線段的長為或.6.(23-24七年級上·吉林白城·期末)如圖,線段,點是線段上的一個動點,點從點出發(fā),以的速度從點運動到點,再從點運動到點,然后停止.設點運動的時間為.(1)當時,________;當時,________;(2)用含的式子表示整個運動過程中的長度;(3)設是線段的中點,是線段的中點.①當點從點向點運動時,線段的長度是否變化?若不變,求出的長度;若變化,說明理由;②當時,直接寫出的值,________.【答案】(1)4;8(2)①當點從運動到點時,;②當點從運動到點時,(3)①當點從點向點運動時,線段的長度不變,;②或【知識點】線段中點的有關計算、線段的和與差、幾何問題(一元一次方程的應用)、列代數(shù)式【分析】本題考查了一元一次方程的應用,用代數(shù)式表示式,線段的和差以及線段中點的有關計算,根據(jù)情況分情況計算是解題關鍵.(1)根據(jù)題意先得出當時,點C運動到點B處,時,點C從點B處返回點A,然后求出以及時的結(jié)果即可;(2)由(1)分析可知:當點從運動到點時以及當點從運動到點時,兩種情況下的的長度;(3)①設D是線段的中點,E是線段的中點,根據(jù)線段中點的相關計算即可求解;②在若點C從點A向點B運動,時,點C從點B向點A運動,時,兩種情況下分別求解即可.【詳解】(1)解:由題意可知當時,點C運動到點B處,時,點C從點B處返回點A,當時,(厘米),當時,(厘米),故答案為:4,8;(2)由(1)分析可知:當點從運動到點時,即時,,當點從運動到點時,即時,;(3)設D是線段的中點,E是線段的中點,①當點C從點A向點B運動,線段的長度不變化,D是線段的中點,E是線段的中點,,,即的長度為;②當時,若點C從點A向點B運動,時,是線段的中點,E是線段的中點,,,即有,;若點C從點B向點A運動,時,D是線段的中點,E是線段的中點,,,即有,,綜上可知,當時,t的值為或.【題型三】線段上動點求時間問題(共3題)7.(23-24七年級上·重慶南岸·期末)如圖,點C是線段上的一點,線段,,點D為線段的中點.(1)直接寫出線段和的長;(2)若動點P從點A出發(fā),以每秒1個單位的速度沿直線向右運動,動點Q從點B出發(fā),以每秒3個單位的速度沿直線向左運動,當點Q到達點A時立即掉頭沿直線向右運動,當點Q再次回到點B時,動點P,Q同時停止運動.設運動時間為t秒.①當t為何值時,點P與點Q重合?②當t為何值時,點P與點Q之間的距離.【答案】(1);(2)①或;②或或或.【知識點】線段中點的有關計算、幾何問題(一元一次方程的應用)【分析】本題考查了線段中點相關的計算,列一元一次方程解幾何動點問題,恰當分類并建立方程是解題的關鍵.(1)利用,結(jié)合已知條件計算線段的長度,根據(jù)中點的定義計算線段的長度,再利用計算線段的長;(2)①點與點重合有兩種情況:點從到向左運動時、點到達點后掉頭向右運動時,分別列方程求解即可;②分四種情況:動點相遇前,動點第一次相遇后反向運動,動點第一次相遇后同向運動,動點第二次相遇后同向運動,分別根據(jù)列方程求解即可.【詳解】(1)解:∵,,∴,∵點D為線段的中點,∴,∴.(2)解:①由題意可知,,點與點重合有兩種情況:點從到向左運動時、點到達點后掉頭向右運動時,當點向左運動時,.解得.當點向右運動時,.解得.答:當或時,點與點重合.②當動點沒有相遇時,兩點相距4時,有,解得;當動點第一次相遇后,向右運動,向左運動,兩點相距4時,有,解得;當動點第一次相遇后,向右運動,向右運動兩點相距4時,有,解得;當動點第二次相遇后,向右運動,向右運動兩點相距4時,有,解得.綜上所述,滿足條件的有:或或或.8.(22-23七年級上·山西太原·期末)如圖,直線上有A,B,,四個點,,,.

(1)線段______(2)動點P,Q分別從A點,點同時出發(fā),點P沿線段以/秒的速度,向右運動,到達點后立即按原速向A點返回;點Q沿線段以/秒的速度,向左運動;P點再次到達A點時,兩點同時停止運動.設運動時間為t(單位:秒)①求P,Q兩點第一次相遇時,運動時間t的值;②求P,Q兩點第二次相遇時,與點A的距離.【答案】(1)(2)8、20【知識點】行程問題(一元一次方程的應用)、線段的和與差【分析】(1)先根據(jù)題意算出,再根據(jù)即可解答,掌握線段的和差倍分是解題的關鍵;(2)①根據(jù)P,Q兩點第一次相遇時,P,Q兩點所走的路程之和是的長列方程求解即可;②根據(jù)P,Q兩點第二次相遇時,P點所走的路程與的差以及Q所走的路程與的差相等列方程即可求解;根據(jù)線段的和差列出方程是解答本題的關鍵.【詳解】(1)解:∵,,.∴,∴.故線段的長為.(2)解:①P,Q兩點第一次相遇時,點P運動的路程為,點Q運動的路程為t,根據(jù)題意可知:P,Q兩點第一次相遇時,P,Q兩點所走的路程之和是,即,解得:秒故P,Q兩點第一次相遇時,運動時間t的值是8秒;②P,Q兩點第二次相遇時,點P運動的路程為,點Q運動的路程為t,由(1)得,根據(jù)題意可知:P,Q兩點第二次相遇時,P點所走的路程與的差以及Q所走的路程與的差相等,即:,解得:秒,∴,∴.故P,Q兩點第二次相遇時,與點A的距離是.9.(22-23七年級下·吉林長春·期末)如圖,點在線段AB上,,,動點從點出發(fā),沿線段AB以每秒個單位長度的速度向終點勻速運動;同時,動點從點出發(fā),沿線段以每秒個單位長度的速度向終點勻速運動.當點到達終點時,點也隨之停止運動.設點的運動時間為秒.(1)線段AB的長為______.(2)當點與點相遇時,求的值.(3)當點與點之間的距離為個單位長度時,求的值.(4)當時,直接寫出的值.【答案】(1)(2)(3)當或時,點與點之間的距離為個單位長度(4)【知識點】幾何問題(一元一次方程的應用)、線段的和與差【分析】(1)根據(jù)即可求解;(2)依題意,,根據(jù)點與點相遇時,解方程即可求解;(3)分相遇前和相遇后分別列出方程,解方程即可求解;(4)分點在線段上和線段上,分別討論,列出方程,解方程即可求解.【詳解】(1)解:∵點在線段AB上,,,∴,故答案為:.(2)解:依題意,,當點與點相遇時,解得:;(3)解:相遇前點與點之間的距離為個單位長度時,,解得:,相遇前點與點之間的距離為個單位長度時,則,解得:,綜上所述,當或時,點與點之間的距離為個單位長度;(4)∵,當在線段上時,,此時,∵,∴,解得:(舍去)當在線段上時,,此時,∵,∴,解得:,∴【點睛】本題考查了線段的和差計算,一元一次方程的應用,數(shù)形結(jié)合是解題的關鍵.【題型四】線段上動點的新定義型問題(共2題)10.(23-24七年級上·湖南長沙·期末)如圖1,點C在線段上,圖中共有三條線段和,若其中有一條線段的長度是另外一條線段長度的2倍,則稱點C是線段的“巧點”.(1)若點C是線段的中點,判斷C是否是線段的“巧點”;(2)如圖2,已知,動點P從點A出發(fā),以2cm/s的速度沿AB向點B勻速運動;點Q從點B出發(fā),以1cm/s的速度沿向點A勻速運動,點P,Q同時出發(fā),設移動的時間為t(s),當其中一點到達終點時,運動停止.①當t為何值時,P、Q重合?②當t為何值時,Q為的“巧點”?【答案】(1)中點是這條線段“巧點”.(2)①時,P、Q重合;②或,Q為“巧點”【知識點】幾何問題(一元一次方程的應用)、線段中點的有關計算【分析】本題考查與線段中點有關的計算,一元一次方程的實際應用.(1)根據(jù)中點平分線段,得到,即可得出結(jié)論;(2)①根據(jù)兩點的路程和為15,列出方程進行求解即可;②分為的中點,和,三種情況進行討論求解即可.掌握“巧點”的定義,利用分類討論的思想進行求解,是解題的關鍵.【詳解】(1)因為點C是線段的中點,所以,所以中點是這條線段“巧點”.(2)①由題意,得:,解得:;②當為中點()時,,;(運動終止)當時,,;當時,,(舍去)綜上所述:或,Q為“巧點”.11.(23-24七年級上·安徽·期末)(1)【新知理解】如圖1,點在線段上,圖中有3條線段,分別是,,,若其中任意一條線段是另一條線段的兩倍,則稱點是線段的“妙點”.根據(jù)上述定義,線段的三等分點______這條線段的“妙點”.(填“是”或“不是”)(2)【新知應用】如圖2,,為數(shù)軸上的兩點,點對應的數(shù)為,點對應的數(shù)為7,若點在線段上,且點為線段的“妙點”,當點在數(shù)軸的負半軸上時,點對應的數(shù)為______.(3)【拓展探究】

已知,為數(shù)軸上的兩點,點對應的數(shù)為,點對應的數(shù)為,且,滿足,動點,分別從,兩點同時出發(fā),相向而行,若點的運動速度為每秒2個單位長度,點的運動速度為每秒3個單位長度,當點,相遇時,運動停止.求當點恰好為線段的“妙點”時,點在數(shù)軸上對應的數(shù).【答案】(1)是;(2);(3)或【知識點】幾何問題(一元一次方程的應用)、線段中點的有關計算【分析】本題主要考查一元一次方程的應用,解題的關鍵是正確的理解題意和分類討論的思想的應用.(1)根據(jù)“妙點”的定義即可判斷;(2)根據(jù)點為線段的“妙點”,且點在數(shù)軸的負半軸上,則,設為,建立方程求解即可;(3)設當點恰好為線段的“妙點”時,的運動時間為,或,利用方程的思想解得,繼而求得點在數(shù)軸上對應的數(shù).【詳解】(1)如圖1,∵C為線段的三等分點,∴,∴點為線段的“妙點”故答案為:是(2)如圖2,∵點對應的數(shù)為,點對應的數(shù)為7,∴,又點為線段的“妙點”,當點在數(shù)軸的負半軸上時,設為,∵,∴,解得:,點對應的數(shù)為,故答案為:(3),∴,∴設當點恰好為線段的“妙點”時,的運動時間為,則,依題意:或,即或,解得:或,又當點,相遇時,,得,即,當時,,故點在數(shù)軸上對應的數(shù)為,當時,,故點在數(shù)軸上對應的數(shù)為,故答案為:或【題型五】幾何圖形中動角求定值問題(共5題)12.(23-24六年級下·山東濟南·期末)已知將一副三角板(直角三角板和直角三角板的兩個頂點重合于點,,.(1)如圖1,當恰好平分時,求的度數(shù);(2)如圖2,在內(nèi)部,作射線,使,在內(nèi)部,作射線,使,如果三角板在內(nèi)繞任意轉(zhuǎn)動,的度數(shù)是否發(fā)生變化?如果不變,求其值;如果變化,說明理由.【答案】(1)(2)不變,【知識點】三角板中角度計算問題、角平分線的有關計算【分析】本題主要考查了角的計算和角平分線的定義等內(nèi)容,熟練掌握角的和差計算方式是解題的關鍵.(1)根據(jù)角平分線的定義得出,再用即可得解;(2)已知,要求,可以先求,利用已知條件很容易求出,再用即可得解.【詳解】(1)是的角平分線,,,.(2)不變,理由如下,,,,,,,,,.13.(23-24七年級上·福建龍巖·期末)將一副三角板(含有角的直角三角板和含有30°角的直角三角板)按如圖﹣1擺放在直線上,平分,平分.

(1)求的度數(shù);(2)如圖﹣2,將三角板繞著點B以每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn),設旋轉(zhuǎn)時間為t秒,平分.①在旋轉(zhuǎn)過程中,的度數(shù)是否發(fā)生改變?若不變,求出的度數(shù);若改變,請說明理由;②在旋轉(zhuǎn)過程中,是否存在某個時刻,與中,其中一個角是另一個角的兩倍?若存在,求出所有滿足題意的t值;若不存在,請說明理由.【答案】(1)(2)①不發(fā)生改變,

②t的值為或【知識點】幾何問題(一元一次方程的應用)、三角板中角度計算問題、角平分線的有關計算【分析】本題考查三角板中角度計算,角的和差,角平分線有關計算,掌握三角板中角度計算,角的和差,角平分線有關計算是解題關鍵.(1)利用角平分線定義得到,,然后根據(jù)解題即可;(2)①根據(jù)角平分線的定義得到,,然后利用計算解題;②表示出和的度數(shù),然后分和兩種情況列方程解題即可.【詳解】(1)解:如圖,,,則,,又∵平分,平分,∴,,∴;(2)①解:不發(fā)生改變,理由為在旋轉(zhuǎn)過程中,,∴,,∵平分,平分,∴,,∴;②解:存在,在運動過程中,在的左側(cè),∵平分,∴,∴,又∵,∴,當時,則),解得:;當時,則,解得:;綜上所述:t的值為或.14.(23-24七年級上·廣西百色·期末)【知識背景】已知為直線上一點,過點作射線,使,將一直角三角尺的直角頂點放在點處.【動手操作】(1)如圖①所示,若三角尺的一邊與射線重合,則______;【類比操作】(2)如圖②所示,將三角尺繞點逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度,此時是的平分線,求和的度數(shù);(3)將三角尺繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至如圖③所示的位置時,,求的度數(shù).【答案】(1);(2);;(3)【知識點】幾何圖形中角度計算問題、角平分線的有關計算、幾何問題(一元一次方程的應用)、與余角、補角有關的計算【分析】本題考查角的計算和旋轉(zhuǎn)的知識,關鍵是明確題意,靈活變化,找出所求問題需要的量.(1)根據(jù)余角進行計算即可;(2)根據(jù)角平分線的定義求出,即可得到結(jié)論;(3)設,則,求出,即可計算得到結(jié)論.【詳解】解:(1),,;(2),平分,,,;(3)設,則,,,,,.

15.(23-24七年級上·河南鄭州·期末)綜合與探究【問題情境】將一副三角尺按如圖1所示位置擺放,三角尺中,,;三角尺中,,,.分別作的角平分線.【初步探究】現(xiàn)將三角尺按照圖2,圖3所示的方式擺放,仍然是的角平分線.在圖2中與重合,在圖3中與重合在一起.(1)計算:圖2中的度數(shù)為___________°,圖3中的度數(shù)為___________°(直接寫出答案).【深入探究】(2)通過初步探究,請你猜想圖1中的度數(shù)為___________°.如果設,請求出圖1中的度數(shù).【類比拓展】(3)再將三角尺按照圖4所示的方式擺放,仍然是的平分線.請你求出的度數(shù).【答案】(1),;(2);60°;(3)【知識點】三角板中角度計算問題、角平分線的有關計算【分析】本題主要考查角平分線的性質(zhì),幾何中角度的計算,理解圖示,掌握角度的和差運算,角平分線的性質(zhì)是解題的關鍵.(1)根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得,在圖2中與重合,;在圖3中與重合在一起,;由此即可求解;(2),根據(jù)平分,得;根據(jù)平分,得,再根據(jù)即可求解;(3),根據(jù)角平分線可得,,再根據(jù),即可求解.【詳解】解:(1)分別是的角平分線,∴,在圖2中與重合,∴,∵∴;在圖3中與重合在一起,∴,,∵∴;故答案為:,;(2)由(1)可得圖1中,,故答案為:;若,,,平分,,,,平分,,;(3)設,,,平分,,,,平分,,,.16.(23-24七年級上·四川綿陽·期末)為了培養(yǎng)同學們的幾何思維能力,張老師給同學們設置了一道幾何題探究題:將一副三角尺按如圖1所示位置擺放,三角尺中,;三角尺中,,分別作的平分線.試求出的度數(shù).為了便于同學們探究,特別進行了以下活動:[初步探究]現(xiàn)將三角尺按照圖2,圖3所示的方式擺放,仍然是的平分線.在圖2中AB與AD重合,在圖3中與重合在一起.(1)圖2中的度數(shù)為________,圖3中的度數(shù)為________.[深入探究](2)通過初步探究,請你猜想圖1中的度數(shù)為__________.如果設,請求出圖1中的度數(shù).

【答案】(1);(2),【知識點】角平分線的有關計算【分析】本題考查了角平分線的有關計算,旨在考查學生的舉一反三能力,掌握各角度之間的和差關系是解題關鍵.(1)圖2中:根據(jù)、即可求解;圖3中:根據(jù)、即可求解;(2)圖1中可得,,根據(jù)即可求解;【詳解】解:(1)圖2中:∵是的平分線,,∴∴;圖3中:,∴∵是的平分線,∴∴;故答案為:;(2)圖1中:,∴,∵是的平分線,∴∴.【題型六】幾何圖形中動角探究數(shù)量關系問題(共2題)17.(23-24七年級上·陜西渭南·期末)【問題背景】已知是內(nèi)部的一條射線,且.【問題再現(xiàn)】(1)如圖①,若,平分,平分,求的度數(shù);【問題推廣】(2)如圖②,,從點出發(fā)在內(nèi)引射線,滿足,若平分,求的度數(shù);【拓展提升】(3)如圖③,在的內(nèi)部作射線,在的內(nèi)部作射線,若::,求和的數(shù)量關系.【答案】(1);(2);(3).【知識點】幾何圖形中角度計算問題、角平分線的有關計算【分析】本題考查了角度和差的計算,角平分線的定義,(1)根據(jù)角之間的數(shù)量關系和角平分線定義求出和的度數(shù),再將兩個角的度數(shù)相加即可求解;(2)根據(jù)角之間的數(shù)量關系和角平分線定義求出和的度數(shù),再將兩個角的度數(shù)相減即可求解;(3)角含有的式子表示出,再計算出和的數(shù)量關系.【詳解】解:(1),,.又平分,平分,,,;,;(2),,;..又平分,,;(3)設,則.,,.,,.18.(22-23七年級上·浙江臺州·期末)如圖1,點O是直線上一點,三角板(其中)的邊與射線重合,將它繞O點以每秒m°順時針方向旋轉(zhuǎn)到邊與重合;同時射線與重合的位置開始繞O點以每秒n°逆時針方向旋轉(zhuǎn)至,兩者哪個先到終線則同時停止運動,設運動時間為t秒.(1)若,,秒時,________°;(2)若,,當在的左側(cè)且平分時,求t的值;(3)如圖2,在運動過程中,射線始終平分.①若,,當射線,,中,其中一條是另兩條射線所形成夾角的平分線時,直接寫出________秒;②當在的左側(cè),且與始終互余,求m與n之間的數(shù)量關系.【答案】(1)100;(2);(3)①12或30或48;②【知識點】幾何問題(一元一次方程的應用)、角平分線的有關計算、幾何圖形中角度計算問題【分析】本題考查的是角平分線的性質(zhì),平角的定義,解題的關鍵是能采用數(shù)形結(jié)合的思想和分類討論的思想解答.(1)根據(jù),即可求解;(2)根據(jù)平分線的性質(zhì)得,再由平角為即可求解;(3)①當是的角平分線,當是的角平分線時,當是的角平分線時,分三種情況進行計算即可,②由與始終互余,得出,進而可求解.【詳解】(1)解:當,,秒時,,,,;故答案為:100;(2)解:,又在的左側(cè)且平分,解得:,(3)解:①當是的角平分線時,如圖所示:又始終平分,∴,當是的角平分線時,如圖所示:又始終平分,,此時射線與重合,解得:,當是的角平分線時,如圖所示:又始終平分,,又,,解得:,故答案為:或30或48;②當在的左側(cè)時,如圖所示:又始終平分,與始終互余,,化簡得:.【題型七】幾何圖形中動角求運動時間問題(共3題)19.(23-24六年級下·黑龍江哈爾濱·期末)在數(shù)學實驗課中,學生進行操作探究,用一副三角板(其中,,,)按如圖1所示擺放,邊與在同一條直線上(點C與點E重合).如圖2,將三角板從圖1的位置開始繞點C以每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn),當邊與邊重合時停止運動,設三角板的運動時間為t秒.(1)當t為何值時,平分?(2)當t為何值時,?【答案】(1)t為21(2)t為22.5秒或24.75秒【知識點】三角板中角度計算問題、角平分線的有關計算【分析】本題考查了三角板有關的角度計算,角平分線的定義,(1)根據(jù)角平分線的定義可得,從而得到三角板旋轉(zhuǎn)的角度,再結(jié)合三角板運動的速度即可解題;(2)根據(jù)出現(xiàn)的情況分類討論,再根據(jù)將與的結(jié)果關聯(lián)即可求解.【詳解】(1)解:如圖1,平分,,旋轉(zhuǎn)的角度為,(秒),答:當t為21時,平分.(2)解:由題可知:當時會出現(xiàn)以下兩種情況:①如圖2,由圖可得:,又,

,,旋轉(zhuǎn)的角度為,(秒),②如圖3,由圖可得:,又,,,旋轉(zhuǎn)的角度為,(秒),答:當t為秒或秒時,.20.(22-23七年級上·江蘇鹽城·期末)王老師在數(shù)學實驗課中組織學生進行操作探究,用一副三角板(分別含,,和,,的角)按如圖1所示擺放,邊與在同一條直線上(點C與點E重合).(1)如圖2,將三角板從圖1的位置開始繞點C以每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn),當邊與邊重合時停止運動,設三角板的運動時間為t秒.當t=時,邊平分;(2)在(1)的條件下,在三角板開始旋轉(zhuǎn)的同時,三角板也從原有位置開始繞點C以每秒2°的速度逆時針旋轉(zhuǎn),當三角板停止旋轉(zhuǎn)時,三角板也停止旋轉(zhuǎn).①當t為何值時,邊平分;②在旋轉(zhuǎn)過程中,是否存在某一時刻使,若存在,直接寫出t的值;若不存在,請說明理由.【答案】(1)21(2)①;②存在,或【知識點】幾何問題(一元一次方程的應用)、三角板中角度計算問題、角平分線的有關計算【分析】本題考查三角板有關的角度計算,一元一次方程與幾何動點問題;(1)畫出邊平分時圖形,根據(jù)角度關系求解即可.(2)①畫出邊平分時圖形,根據(jù)角度關系求解即可;②畫出時圖形,根據(jù)角度關系求解即可,注意分類討論.【詳解】(1)如圖,∵平分,,∴,∴邊旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為,解得,故答案為:;(2)①如圖,∵平分,,∴,由題意可得,,,∵,∴,解得;②時,,,如圖,,相遇之前,,相遇之前,此時,此時,,,,∴,,∵,∴,解得,不符合題意;如圖,,相遇之前,,相遇之后,此時,此時,,,,∴,,∵,∴,解得,符合題意;如圖,,相遇之后,,相遇之后,此時,此時,,,,∴,,∵,∴,解得,符合題意;綜上所述,在旋轉(zhuǎn)過程中,存在某一時刻使,或21.(23-24七年級上·吉林白山·期末)如圖1,直線上有一點O,過點O在直線上方作射線,將一個直角三角尺的直角頂點放在

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