滬科版七年級數(shù)學(xué)上冊期末復(fù)習(xí)考點清單 專題05 幾何圖形初步（5個考點清單+14種題型解讀）

專題05幾何圖形初步（5個考點清單+14種題型解讀）目錄TOC\o"1-3"\h\u【考點題型一】幾何體的識別 4【考點題型二】立體圖形的分類 6【考點題型三】動態(tài)認(rèn)識點、線、面、體 8【考點題型四】直線、射線、線段的相關(guān)概念 11【考點題型五】線段和直線的基本性質(zhì)問題 13【考點題型六】角的表示方法 16【考點題型七】方位角問題 18【考點題型八】鐘面角問題 21【考點題型九】求一個角的余角、補角 23【考點題型十】三角板中角度計算問題 25【考點題型十一】尺規(guī)作線段或角 27【考點題型十二】與線段及線段中點有關(guān)的計算 32【考點題型十三】與余角、補角有關(guān)的計算 37【考點題型十四】與角平分線有關(guān)的計算問題 41【知識點01】立體圖形的認(rèn)識1.有些幾何圖形（如長方體、正方體、圓柱、圓錐、棱柱、棱錐、球等）的各部分不都在同一個平面內(nèi)，這就是立體圖形．2.立體圖形分類：除了按照柱體、錐體、球分類，也可以按照圍成幾何體的面是否有曲面劃分：①有曲面：圓柱、圓錐、球等；②沒有曲面：棱柱、棱錐等.3.棱柱的有關(guān)概念及其特征:①在棱柱中，相鄰兩個面的交線叫做棱，相鄰兩個側(cè)面的交線叫做側(cè)棱，棱柱所有側(cè)棱長都相等，棱柱的上下底面的形狀、大小相同，并且都是多邊形；棱柱的側(cè)面形狀都是平行四邊形.②棱柱的頂點數(shù)、棱數(shù)和面數(shù)之間的關(guān)系：底面多邊形的邊數(shù)n確定該棱柱是n棱柱，它有2n個頂點，3n條棱，n條側(cè)棱，有n+2個面，n個側(cè)面.【知識點02】點、線、面、體的關(guān)系①體與體相交成面，面與面相交成線，線與線相交成點．

②點動成線，線動成面，面動成體．③點、線、面、體組成幾何圖形，點、線、面、體的運動組成了多姿多彩的圖形世界．【知識點03】線段、射線、直線直線，射線與線段的區(qū)別與聯(lián)系2.基本性質(zhì)(1)直線的性質(zhì):兩點確定一條直線．(2)線段的性質(zhì):兩點之間，線段最短．要點詮釋：①本知識點可用來解釋很多生活中的現(xiàn)象.如：要在墻上固定一個木條，只要兩個釘子就可以了，因為如果把木條看作一條直線，那么兩點可確定一條直線.②連接兩點間的線段的長度，叫做兩點間的距離.3.畫一條線段等于已知線段（1）度量法：可用直尺先量出線段的長度,再畫一條等于這個長度的線段.（2）用尺規(guī)作圖法：用圓規(guī)在射線AC上截取AB=ａ，如下圖：4．線段的比較與運算（1）線段的比較：比較兩條線段的長短，常用兩種方法，一種是度量法；一種是疊合法.（2）線段的和與差：如下圖，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD。（3）線段的中點：把一條線段分成兩條相等線段的點，叫做線段的中點．如下圖，有：要點詮釋：①線段中點的等價表述：如上圖，點M在線段上，且有，則點M為線段AB的中點.②除線段的中點（即二等分點）外，類似的還有線段的三等分點、四等分點等.如下圖，點M,N,P均為線段AB的四等分點.【知識點04】角與角的和差1．角的定義與換算（1）角的定義1.角的定義：角也可以看成是一條射線繞著它的一個端點旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形．2.角的定義：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的兩條邊；此外，角也可以看作由一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)而形成的圖形.(2)角的表示方法角通常有三種表示方法：一是用三個大寫英文字母表示，二是用角的頂點的一個大寫英文字母表示，三是用一個小寫希臘字母或一個數(shù)字表示.例如下圖：要點詮釋：（1）用三個字母表示角時，表示頂點的字母必須寫在另兩個字母的中間．如∠AOB；（2）在不引起混淆的情況下，角還可以用它的頂點字母來表示．如∠A；（3）角可以用希臘字母來表示，一般地，用希臘字母表示一個角時，需在角內(nèi)靠近頂點處畫上弧線．如∠α；（4）角可以用一個數(shù)字來表示，一般地，用一個數(shù)字表示一個角時，需在角內(nèi)靠近頂點處畫上弧線．如∠1．（3）角度制及角度的換算1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制.要點詮釋：①度、分、秒的換算是60進制，與時間中的小時分鐘秒的換算相同.②度分秒之間的轉(zhuǎn)化方法：由度化為度分秒的形式(即從高級單位向低級單位轉(zhuǎn)化)時用乘法逐級進行；由度分秒的形式化成度(即低級單位向高級單位轉(zhuǎn)化)時用除法逐級進行.③同種形式相加減：度加（減）度，分加（減）分，秒加（減）秒；超60進一，減一成60.（4）角的分類∠β銳角直角鈍角平角周角范圍0＜∠β＜90°∠β=90°90°＜∠β＜180°∠β=180°∠β=360°（5）畫一個角等于已知角（1）借助三角尺能畫出15°的倍數(shù)的角，在0～180°之間共能畫出11個角.（2）借助量角器能畫出給定度數(shù)的角.（3）用尺規(guī)作圖法.2．角的比較與運算（1）角的比較方法:①度量法；②疊合法.（2）角的平分線：從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線，例如：如下圖，因為OC是∠AOB的平分線，所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2.類似地，還有角的三等分線等.【知識點05】余角、補角1.余角、補角余角：如果兩個角的和是一個直角，那么這兩個角互為余角．補角：如果兩個角的和是一個平角，那么這兩個角互為補角．（1）若∠1+∠2=90°，則∠1與∠2互為余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角.（2）若∠1+∠2=180°，則∠1與∠2互為補角.其中∠1是∠2的補角，∠2是∠1的補角.（3）結(jié)論:同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的補角相等.要點詮釋：①余角(或補角)是兩個角的關(guān)系，是成對出現(xiàn)的，單獨一個角不能稱其為余角(或補角).②一個角的余角(或補角)可以不止一個，但是它們的度數(shù)是相同的.③只考慮數(shù)量關(guān)系，與位置無關(guān)．④“等角是相等的幾個角”，而“同角是同一個角”.2.方位角以正北、正南方向為基準(zhǔn)，描述物體運動的方向，這種表示方向的角叫做方位角.要點詮釋：（1）方位角還可以看成是將正北或正南的射線旋轉(zhuǎn)一定角度而形成的.所以在應(yīng)用中一要確定其始邊是正北還是正南.二要確定其旋轉(zhuǎn)方向是向東還是向西，三要確定旋轉(zhuǎn)角度的大小.（2）北偏東45°通常叫做東北方向，北偏西45°通常叫做西北方向，南偏東45°通常叫做東南方向，南偏西45°通常叫做西南方向.（3）方位角在航行、測繪等實際生活中的應(yīng)用十分廣泛.【考點題型一】幾何體的識別【例1】（23-24七年級上·貴州貴陽·期末）下列物體的形狀類似于圓柱的是（

）A．B．C．D．【變式1-1】（23-24七年級上·遼寧大連·期末）下面幾何體中，是圓錐的為（

）A． B． C． D．【變式1-2】（23-24七年級上·浙江臺州·期末）下列實物中，能抽象成圓柱體的是（

）A． B． C． D．【變式1-3】（23-24七年級上·山西大同·期末）下列幾何體中，屬于棱錐的是（）A．B．C．D．【變式1-4】（23-24七年級上·貴州六盤水·期末）下列學(xué)習(xí)或生活中的物品，它的形狀可以近似的看作圓柱體的是（

）A．B．C．D．【考點題型二】立體圖形的分類【例2】（23-24六年級上·山東泰安·期末）下面的幾何體中，屬于棱柱的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式2-1】（23-24七年級上·湖北孝感·期末）對于幾種圖形：①三角形；②長方形；③圓；④圓錐；⑤圓柱，其中屬于立體圖形的是（

）A．①②③ B．③④⑤ C．④⑤ D．③④【變式2-2】（22-23七年級上·湖北隨州·期末）下列幾何體中，含有曲面的有（

）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【考點題型三】動態(tài)認(rèn)識點、線、面、體【例3】（23-24七年級上·河南許昌·期末）中國扇文化有著深厚的文化底蘊；歷來中國有“制扇王國”之稱．如圖，打開折扇時，隨著扇骨的移動形成一個扇面，這種現(xiàn)象可以用數(shù)學(xué)原理解釋為（

）A．點動成線 B．線動成面 C．面動成體 D．兩點確定一條直線【變式3-1】（23-24七年級上·山東德州·期末）朱自清的《春》一文里，在描寫春雨時有“像牛毛，像細(xì)絲，密密地斜織著”的語句，這里用數(shù)學(xué)的眼光來看其實是把雨滴看成了，把雨看成，說明（

）A．點；直線；點動成線 B．點；線；點動成線 C．線；面；線動成面 D．線；面；面動成體【變式3-2】（23-24七年級上·安徽阜陽·期末）如圖，由所給的平面圖形繞虛線旋轉(zhuǎn)一周，可得到的幾何體是（

）A． B． C． D．【變式3-3】（22-23六年級上·山東東營·期末）小麗跟媽媽到銀行辦理業(yè)務(wù)，她發(fā)現(xiàn)銀行大堂的旋轉(zhuǎn)門內(nèi)部是由三塊寬為2m、高為3m的玻璃隔板組成的．此情此景，讓她想起了六年級數(shù)學(xué)第一章《豐富的圖形世界》里的知識，她提出了以下問題，你能幫她解決嗎？(1)將此旋轉(zhuǎn)門旋轉(zhuǎn)一周，能形成的幾何體是______．(2)這能說明的事實是______（選擇正確的一項填入）．A．點動成線

B．線動成面

C．面動成體(3)求該旋轉(zhuǎn)門旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積．（邊框及銜接處忽略不計，結(jié)果保留π）【變式3-4】（23-24七年級上·云南文山·期末）已知長方形的長為a，寬為b，將其繞著它的一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，得到一個立體圖形．(1)用含a、b的代數(shù)式表示這個立體幾何的體積；（結(jié)果保留π）(2)若，求這個幾何體的體積．（π取3）【考點題型四】直線、射線、線段的相關(guān)概念【例4】（23-24七年級上·天津?qū)幒印て谀┫铝兄本€、射線、線段中，能相交的是（

）A．B．C．D．【變式4-1】（23-24七年級上·河南平頂山·期末）如圖，對于圖中直線的描述，正確的是（

）A．圖中有直線 B．圖中有直線C．直線與直線交于點O D．直線與直線m交于點O【變式4-2】（23-24七年級上·福建三明·期末）下列關(guān)于作圖的語句中，正確的是（

）A．畫射線 B．畫直線C．畫線段，在線段上任取一點 D．以點為端點畫射線【變式4-3】（23-24七年級上·河北滄州·期末）如圖，下面說法中不正確的是（

）A．點在直線上 B．點在直線外C．點在線段上 D．點在線段上【變式4-4】（23-24七年級上·河南新鄉(xiāng)·期末）下列幾何圖形與相應(yīng)語言描述相符的是（

）

A．如圖1所示，點C在線段上B．如圖2所示，射線經(jīng)過點AC．如圖3所示，直線a和直線b相交于點AD．如圖4所示，射線和線段沒有交點【考點題型五】線段和直線的基本性質(zhì)問題【例5】（23-24七年級上·廣東汕頭·期末）如圖1，A、B兩個村莊在一條河l（不計河的寬度）的兩側(cè)，現(xiàn)要建一座碼頭，使它到A、B兩個村莊的距離之和最?。鐖D2，連接AB，與l交于點C，則C點即為所求的碼頭的位置，這樣做的理由是（）A．經(jīng)過一點有無數(shù)條直線 B．兩點確定一條直線C．兩直線相交只有一個交點 D．兩點之間，線段最短【變式5-1】（23-24七年級上·河南商丘·期末）紙翻花是我國傳統(tǒng)的紙制工藝品，它花里有花，花中變花，花姿優(yōu)美，栩栩如生，深受兒童的喜愛，轉(zhuǎn)動翻花的花柄平面圖形變換成不同的美麗的立體圖形，這說明了．【變式5-2】（23-24七年級上·河南新鄉(xiāng)·期末）如圖，經(jīng)過刨平的木板上的兩個點，能彈出一條筆直的墨線，而且只能彈出一條墨線，能解釋這一實際應(yīng)用的數(shù)學(xué)知識是．【變式5-3】（23-24七年級上·河南鄭州·期末）如圖，妙妙將一個衣架固定在墻上，她在衣架兩端各用一個釘子進行固定．妙妙的操作可用數(shù)學(xué)原理解釋為．【變式5-4】（23-24七年級上·重慶南岸·期末）如圖：已知從A地到B地共有五條路，小紅應(yīng)選擇第路，用數(shù)學(xué)知識解釋為：．

【變式5-5】（23-24七年級上·甘肅慶陽·期末）如圖，把彎曲的河道改直，能夠縮短航程，理由是．【考點題型六】角的表示方法【例6】（23-24七年級上·貴州六盤水·期末）下列四個圖形中，能用，，三種方法表示同一個角的是（

）A．B．C．D．【變式6-1】（23-24七年級下·山東淄博·期末）下列圖中的也可以用表示的是（）A．B．C．D．【變式6-2】（23-24七年級上·貴州安順·期末）如圖，下面的說法正確的是（

）

A．點P在直線m上 B．直線m和n相交于點OC．∠1可以表示成或 D．射線和射線表示同一條射線【變式6-3】（23-24七年級上·貴州六盤水·期末）平板電腦支架方便用戶在不同位置和角度觀看平板電腦，如圖是支架側(cè)面的平畫示意圖，其中還可以表示為（

）A． B． C． D．【變式6-4】（23-24七年級上·河南商丘·期末）下列四個圖中，能用三種方法表示同一個角的是（

）A． B． C． D．【考點題型七】方位角問題【例7】（24-25七年級上·全國·期末）如圖，點A在點O的北偏東方向上，點B在點O的南偏西方向上，則的度數(shù)為．【變式7-1】（22-23七年級上·吉林長春·期末）如圖，為北偏東方向，，則的方向為．【變式7-2】（23-24六年級下·山東煙臺·期末）如圖，點，，分別表示手繪地圖中實踐基地、公園、學(xué)校的大體位置．經(jīng)測量，公園在學(xué)校的北偏東方向，則實踐基地在學(xué)校的方向．

【變式7-3】（23-24七年級上·福建泉州·期末）如圖，若，在A處觀察C的方位角是北偏東度．【考點題型八】鐘面角問題【例8】（23-24六年級下·黑龍江哈爾濱·期末）如圖是一個時鐘的鐘面，此時鐘面上的時間是下午1點30分，時鐘的分針與時針?biāo)傻拟g角的度數(shù)為度．【變式8-1】（23-24七年級上·福建福州·期末）如圖，8時整，鐘表的時針和分針構(gòu)成的角的度數(shù)是．【變式8-2】（23-24六年級下·山東東營·期末）鐘表上顯示的時間是12點20分，此時時針與分針的夾角的度數(shù)是．【變式8-3】（23-24七年級上·廣東江門·期末）為了弘揚梁贊詠春文化，某中學(xué)在11月25日上午開展“詠春進校園”系列活動之詠春操比賽活動，則該時刻鐘表上時針與分針?biāo)鶌A的角為度．【變式8-4】（23-24七年級上·江蘇宿遷·期末）“好習(xí)慣受益終身”，每天早晨6點到7點之間都是七（1）班優(yōu)優(yōu)同學(xué)的“經(jīng)典誦讀”時間，從6點起，至少經(jīng)過分鐘，時針與分針?biāo)纬傻慕嵌葹椋究键c題型九】求一個角的余角、補角【例9】（23-24七年級上·湖北孝感·期末）的余角是，它的補角是．【變式9-1】（23-24七年級上·江蘇連云港·期末）已知，則的余角為．【變式9-2】（23-24七年級上·陜西西安·期末）已知的度數(shù)是，則補角的度數(shù)是．【變式9-3】（23-24七年級上·河北承德·期末），則的余角為，的補角為．【變式9-4】（23-24七年級上·湖北襄陽·期末）已知和互為補角，并且的2倍比小，則°.【考點題型十】三角板中角度計算問題【例10】（23-24七年級上·貴州遵義·期末）將一副三角板按如圖方式擺放在一起，且比大，則．【變式10-1】（23-24七年級下·河南駐馬店·期末）如圖所示，將一副三角尺疊放在一起，使它們的直角頂點重合于點O．若，則的度數(shù)為．【變式10-2】（23-24七年級上·江蘇南通·期末）把一副三角尺按如圖所示拼在一起，其中B，C，D三點在同一直線上，平分，平分，則．【變式10-3】（23-24七年級上·山西大同·期末）把一副三角尺與按如圖所示那樣拼在一起，其中三點在同直線上，為的平分線，為的平分線，則．【考點題型十一】尺規(guī)作線段或角【例11】（23-24七年級上·甘肅慶陽·期末）如圖，平面上有四個點，讀下列語句，并畫出符合下列所有要求的圖形．(1)畫射線，連接，并與射線相交于點；(2)畫直線．【變式11-1】（22-23六年級下·山東淄博·期末）已知：，．

求作：，使．要求：保留畫圖痕跡，不寫畫法．畫圖：【變式11-2】（23-24七年級上·新疆喀什·期末）如圖，在平面上有A，B，C，D四點，請按照下列語句畫出圖形．(1)畫直線；(2)畫射線；(3)連接B，C；(4)線段和線段相交于點O．【變式11-3】（23-24七年級上·廣東佛山·期末）已知線段m、n（其中）．(1)尺規(guī)作圖：作線段，其中（保留作圖痕跡，不用寫作法）；(2)在（1）的條件下，點M是的中點，點N是的中點，當(dāng)時，求線段的長．【變式11-4】（23-24七年級上·河南鄭州·期末）如圖，已知．(1)請用無刻度的直尺和圓規(guī)在線段的延長線上截取，連接（不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)（填“”、“”或“”），依據(jù)是_______；(3)若點是射線上一點，且，，求的長；(4)在（3）的條件下，若點在線段上，且，請直接寫出的值．【考點題型十二】與線段及線段中點有關(guān)的計算【例12】（24-25七年級上·全國·期末）追本溯源題（1）來自于課本中的定義，請你完成解答，利用定義完成題（2）．（1）如圖1，點M把線段AB分成相等的兩條線段與，點M叫做線段AB的，AB．拓展延伸（2）如圖2，線段上依次有D，B，E三點，，E是的中點，．①求線段AB的長；②求線段DE的長．【變式12-1】（23-24六年級下·山東東營·期末）如圖，點M在線段上，線段與的長度之比為，點N為線段的中點．(1)若，求的長．(2)在線段上作出一點E，滿足，若，請直接寫出的長（用含t的代數(shù)式表示）．【變式12-2】（23-24七年級上·湖南婁底·期末）如圖．線段，是線段的中點，是線段的中點．(1)求線段的長；(2)在線段上有一點，，求的長．【變式12-3】（23-24七年級上·河南商丘·期末）如圖，點是線段上一點，、分別是線段、的中點，當(dāng)時，求線段的長度．(1)下面是小麗的解答過程，請你補充完整．解答過程因為點、分別是線段、的中點，所以，①．②①②得，．(2)小麗進行題后反思，提出新的問題：如果點O運動到線段的延長線上，的長度是否會發(fā)生變化?請你畫出示意圖，并說明理由．【變式12-4】（23-24七年級上·江蘇常州·期末）直線l上的三個點A、B、C，若滿足，則稱點C是點A關(guān)于點B的“半距點”．如圖1，，此時點C就是點A關(guān)于點B的一個“半距點”．若M、N、P三個點在同一條直線m上，且點P是點M關(guān)于點N的“半距點”，．(1)．；(2)若點G也是直線m上一點，且點G是線段的中點，求線段的長度．【考點題型十三】與余角、補角有關(guān)的計算【例13】（23-24七年級上·云南紅河·期末）如圖，點A、O、B在同一直線上，，平分，平分．(1)求的度數(shù)；(2)判斷與是否互余，并說明理由．【變式13-1】（23-24七年級上·天津津南·期末）與互為補角，分別平分與（題目中的涉及的角均指小于平角的角）．(1)如圖1，當(dāng)點B、O、C三點在一條直線上，①請找出圖中與相等的一個角，并說明理由；②若的度數(shù)比的度數(shù)的一半小，求的度數(shù)．(2)如圖2，當(dāng)點B、O、C三點不在一條直線上，求∠EOF的度數(shù)．【變式13-2】（22-23七年級上·河南洛陽·期末）如圖，已知，與互余，平分．(1)若，則，；(2)設(shè)，，請?zhí)骄颗c之間的數(shù)量關(guān)系．【變式13-3】（23-24七年級上·河南許昌·期末）如圖，點O為直線上一點，將一個直角三角板的直角頂點放在點O處，射線平分．(1)如圖（1），若，則；(2)在圖（1）中，若，求的度數(shù)（用含的式子表示）；(3)將圖（1）中的直角三角板繞頂點O旋轉(zhuǎn)至圖（2）的位置，若邊在直線的上方，另一邊在直線的下方，試探究和之間的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出你的結(jié)論，不必說明理由．【考點題型十四】與角平分線有關(guān)的計算問題【例14】（24-25七年級上·遼寧·期末）如圖，已知、是內(nèi)的兩條射線，平分，平分．(1)若，，求的度數(shù)；(2)若，，求的度數(shù)．（用含的代數(shù)式表示）【變式14-1】（23-24七年級上·河北廊坊·期末）三角尺的直角頂點P在直線上，點A，B在直線的同側(cè)．(1)如圖①，若，求的度數(shù)；(2)如圖②，若平分，平分，求的度數(shù)．【變式14-2】（23-24七年級上·山東濟寧·期末）如圖1，直角三角板的直角頂點在直線上，線段，是三角板的兩條直角邊，射線是的平分線．

(1)當(dāng)時，求的度數(shù)；(2)當(dāng)時，求的度數(shù)；（用含的式子表示）；(3)當(dāng)三角板繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到圖2位置時，，其它條件不變，求的度數(shù)（用含的式子表示）．【變式14-3】（23-24七年級上·陜西渭南·期末）【問題背景】已知是內(nèi)部的一條射線，且．【問題再現(xiàn)】（1）如圖①，若，平分，平分，求的度數(shù)；【問題推廣】（2）如圖②，，從點出發(fā)在內(nèi)引射線，滿足，若平分，求的度數(shù)；【拓展提升】（3）如圖③，在的內(nèi)部作射線，在的內(nèi)部作射線，若：：，求和的數(shù)量關(guān)系．

專題05幾何圖形初步（5個考點清單+14種題型解讀）目錄TOC\o"1-3"\h\u【考點題型一】幾何體的識別 4【考點題型二】立體圖形的分類 6【考點題型三】動態(tài)認(rèn)識點、線、面、體 8【考點題型四】直線、射線、線段的相關(guān)概念 11【考點題型五】線段和直線的基本性質(zhì)問題 13【考點題型六】角的表示方法 16【考點題型七】方位角問題 18【考點題型八】鐘面角問題 21【考點題型九】求一個角的余角、補角 23【考點題型十】三角板中角度計算問題 25【考點題型十一】尺規(guī)作線段或角 27【考點題型十二】與線段及線段中點有關(guān)的計算 32【考點題型十三】與余角、補角有關(guān)的計算 37【考點題型十四】與角平分線有關(guān)的計算問題 41【知識點01】立體圖形的認(rèn)識1.有些幾何圖形（如長方體、正方體、圓柱、圓錐、棱柱、棱錐、球等）的各部分不都在同一個平面內(nèi)，這就是立體圖形．2.立體圖形分類：除了按照柱體、錐體、球分類，也可以按照圍成幾何體的面是否有曲面劃分：①有曲面：圓柱、圓錐、球等；②沒有曲面：棱柱、棱錐等.3.棱柱的有關(guān)概念及其特征:①在棱柱中，相鄰兩個面的交線叫做棱，相鄰兩個側(cè)面的交線叫做側(cè)棱，棱柱所有側(cè)棱長都相等，棱柱的上下底面的形狀、大小相同，并且都是多邊形；棱柱的側(cè)面形狀都是平行四邊形.②棱柱的頂點數(shù)、棱數(shù)和面數(shù)之間的關(guān)系：底面多邊形的邊數(shù)n確定該棱柱是n棱柱，它有2n個頂點，3n條棱，n條側(cè)棱，有n+2個面，n個側(cè)面.【知識點02】點、線、面、體的關(guān)系①體與體相交成面，面與面相交成線，線與線相交成點．

②點動成線，線動成面，面動成體．③點、線、面、體組成幾何圖形，點、線、面、體的運動組成了多姿多彩的圖形世界．【知識點03】線段、射線、直線直線，射線與線段的區(qū)別與聯(lián)系2.基本性質(zhì)(1)直線的性質(zhì):兩點確定一條直線．(2)線段的性質(zhì):兩點之間，線段最短．要點詮釋：①本知識點可用來解釋很多生活中的現(xiàn)象.如：要在墻上固定一個木條，只要兩個釘子就可以了，因為如果把木條看作一條直線，那么兩點可確定一條直線.②連接兩點間的線段的長度，叫做兩點間的距離.3.畫一條線段等于已知線段（1）度量法：可用直尺先量出線段的長度,再畫一條等于這個長度的線段.（2）用尺規(guī)作圖法：用圓規(guī)在射線AC上截取AB=ａ，如下圖：4．線段的比較與運算（1）線段的比較：比較兩條線段的長短，常用兩種方法，一種是度量法；一種是疊合法.（2）線段的和與差：如下圖，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD。（3）線段的中點：把一條線段分成兩條相等線段的點，叫做線段的中點．如下圖，有：要點詮釋：①線段中點的等價表述：如上圖，點M在線段上，且有，則點M為線段AB的中點.②除線段的中點（即二等分點）外，類似的還有線段的三等分點、四等分點等.如下圖，點M,N,P均為線段AB的四等分點.【知識點04】角與角的和差1．角的定義與換算（1）角的定義1.角的定義：角也可以看成是一條射線繞著它的一個端點旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形．2.角的定義：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的兩條邊；此外，角也可以看作由一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)而形成的圖形.(2)角的表示方法角通常有三種表示方法：一是用三個大寫英文字母表示，二是用角的頂點的一個大寫英文字母表示，三是用一個小寫希臘字母或一個數(shù)字表示.例如下圖：要點詮釋：（1）用三個字母表示角時，表示頂點的字母必須寫在另兩個字母的中間．如∠AOB；（2）在不引起混淆的情況下，角還可以用它的頂點字母來表示．如∠A；（3）角可以用希臘字母來表示，一般地，用希臘字母表示一個角時，需在角內(nèi)靠近頂點處畫上弧線．如∠α；（4）角可以用一個數(shù)字來表示，一般地，用一個數(shù)字表示一個角時，需在角內(nèi)靠近頂點處畫上弧線．如∠1．（3）角度制及角度的換算1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制.要點詮釋：①度、分、秒的換算是60進制，與時間中的小時分鐘秒的換算相同.②度分秒之間的轉(zhuǎn)化方法：由度化為度分秒的形式(即從高級單位向低級單位轉(zhuǎn)化)時用乘法逐級進行；由度分秒的形式化成度(即低級單位向高級單位轉(zhuǎn)化)時用除法逐級進行.③同種形式相加減：度加（減）度，分加（減）分，秒加（減）秒；超60進一，減一成60.（4）角的分類∠β銳角直角鈍角平角周角范圍0＜∠β＜90°∠β=90°90°＜∠β＜180°∠β=180°∠β=360°（5）畫一個角等于已知角（1）借助三角尺能畫出15°的倍數(shù)的角，在0～180°之間共能畫出11個角.（2）借助量角器能畫出給定度數(shù)的角.（3）用尺規(guī)作圖法.2．角的比較與運算（1）角的比較方法:①度量法；②疊合法.（2）角的平分線：從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線，例如：如下圖，因為OC是∠AOB的平分線，所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2.類似地，還有角的三等分線等.【知識點05】余角、補角1.余角、補角余角：如果兩個角的和是一個直角，那么這兩個角互為余角．補角：如果兩個角的和是一個平角，那么這兩個角互為補角．（1）若∠1+∠2=90°，則∠1與∠2互為余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角.（2）若∠1+∠2=180°，則∠1與∠2互為補角.其中∠1是∠2的補角，∠2是∠1的補角.（3）結(jié)論:同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的補角相等.要點詮釋：①余角(或補角)是兩個角的關(guān)系，是成對出現(xiàn)的，單獨一個角不能稱其為余角(或補角).②一個角的余角(或補角)可以不止一個，但是它們的度數(shù)是相同的.③只考慮數(shù)量關(guān)系，與位置無關(guān)．④“等角是相等的幾個角”，而“同角是同一個角”.2.方位角以正北、正南方向為基準(zhǔn)，描述物體運動的方向，這種表示方向的角叫做方位角.要點詮釋：（1）方位角還可以看成是將正北或正南的射線旋轉(zhuǎn)一定角度而形成的.所以在應(yīng)用中一要確定其始邊是正北還是正南.二要確定其旋轉(zhuǎn)方向是向東還是向西，三要確定旋轉(zhuǎn)角度的大小.（2）北偏東45°通常叫做東北方向，北偏西45°通常叫做西北方向，南偏東45°通常叫做東南方向，南偏西45°通常叫做西南方向.（3）方位角在航行、測繪等實際生活中的應(yīng)用十分廣泛.【考點題型一】幾何體的識別【例1】（23-24七年級上·貴州貴陽·期末）下列物體的形狀類似于圓柱的是（

）A．B．C．D．【答案】D【知識點】常見的幾何體【分析】此題主要考查幾何體的識別，解題的關(guān)鍵是熟知圓柱體的特點．【詳解】解：A是長方體，B是圓錐體，C是球體，D是圓柱體故選D．【變式1-1】（23-24七年級上·遼寧大連·期末）下面幾何體中，是圓錐的為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】常見的幾何體【分析】本題主要考查的是幾何體的有關(guān)知識，熟練掌握常見幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵．根據(jù)圓錐的定義即可求解．【詳解】A、該圖形為圓錐，符合題意；B、該圖形為球體，不符合題意；C、該圖形為圓柱，不符合題意；D、該圖形為長方體，不符合題意；故選：A．【變式1-2】（23-24七年級上·浙江臺州·期末）下列實物中，能抽象成圓柱體的是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】常見的幾何體【分析】本題考查圓柱體的識別，根據(jù)常見幾何體的特征逐項判斷即可．【詳解】解：A，抽象出來是六棱柱，不合題意；B，抽象出來是球，不合題意；C，抽象出來是圓柱，符合題意；D，抽象出來是圓錐，不合題意；故選：C．【變式1-3】（23-24七年級上·山西大同·期末）下列幾何體中，屬于棱錐的是（）A．B．C．D．【答案】D【知識點】常見的幾何體【分析】本題考查的是棱錐的識別，掌握棱錐的概念是解題的關(guān)鍵；根據(jù)棱錐的定義：如果一個多面體的一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形，那么這個多面體叫做棱錐，再逐一分析各選項即可得到答案；【詳解】解：A、是六棱柱，不符合棱錐的定義，故A不符合題意；B、是圓錐，不符合棱錐的定義，故B不符合題意；C、是長方體，不符合棱錐的定義，故C不符合題意；D、是四棱錐，符合棱錐的定義，故D符合題意；故選：D．【變式1-4】（23-24七年級上·貴州六盤水·期末）下列學(xué)習(xí)或生活中的物品，它的形狀可以近似的看作圓柱體的是（

）A．B．C．D．【答案】A【知識點】常見的幾何體【分析】本題考查了立體圖形的識別，注意幾何體的分類，一般分為柱體、錐體和球，柱體又分為圓柱和棱柱，錐體又分為圓錐和棱錐．依次從觀察圖形，即可得出答案．【詳解】解：A、形狀類似圓柱，故符合題意；B、形狀類似長方體，故不符合題意；C、形狀類似圓錐，故不符合題意；D、形狀類似球，故不符合題意．故選：A．【考點題型二】立體圖形的分類【例2】（23-24六年級上·山東泰安·期末）下面的幾何體中，屬于棱柱的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【知識點】立體圖形的分類【分析】本題考查了認(rèn)識立體圖形，幾何體的分類，棱柱的定義。有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形，并且每相鄰兩個平行四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱．根據(jù)棱柱的定義判定即可．【詳解】解：從左到右依次是長方體，圓柱，四棱柱，棱錐，圓錐，三棱柱．所以屬于棱柱有長方體，四棱柱，三棱柱，共3個．故選：C．【變式2-1】（23-24七年級上·湖北孝感·期末）對于幾種圖形：①三角形；②長方形；③圓；④圓錐；⑤圓柱，其中屬于立體圖形的是（

）A．①②③ B．③④⑤ C．④⑤ D．③④【答案】C【知識點】立體圖形的分類【分析】本題主要考查了立體圖形的定義，根據(jù)立體圖形占有一定空間，各部分不都在同一平面內(nèi)的特征一一進行判斷即可．【詳解】解：根據(jù)立體圖形的定義可知，圓柱和圓錐是立體圖形，三角形，長方形和圓不是立體圖形，故選：C．【變式2-2】（22-23七年級上·湖北隨州·期末）下列幾何體中，含有曲面的有（

）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【知識點】立體圖形的分類【分析】利用曲面和平面的定義區(qū)分即可．【詳解】解：球的表面是曲面，圓柱的側(cè)面是曲面，三棱柱由兩個三角形和三個矩形組成，都是平面圖形，六棱柱由兩個六邊形，六個矩形組成，都是平面圖形．∴含有曲面的有2個．故選B．【點睛】本題主要考查曲面和平面的定義，熟練掌握并區(qū)分平面和曲面是解決本題的關(guān)鍵．【考點題型三】動態(tài)認(rèn)識點、線、面、體【例3】（23-24七年級上·河南許昌·期末）中國扇文化有著深厚的文化底蘊；歷來中國有“制扇王國”之稱．如圖，打開折扇時，隨著扇骨的移動形成一個扇面，這種現(xiàn)象可以用數(shù)學(xué)原理解釋為（

）A．點動成線 B．線動成面 C．面動成體 D．兩點確定一條直線【答案】B【知識點】點、線、面、體四者之間的關(guān)系【分析】本題考查了線、面的關(guān)系，根據(jù)題意，結(jié)合線動成面的數(shù)學(xué)原理：某一條線在運動過程中留下的運動軌跡會組成一個平面圖形，這個平面圖形就是一個面，即可得出答案．熟練掌握線動成面的數(shù)學(xué)原理是解本題的關(guān)鍵．【詳解】解：打開折扇時，隨著扇骨的移動形成一個扇面，這種現(xiàn)象可以用數(shù)學(xué)原理解釋為線動成面，故選：B．【變式3-1】（23-24七年級上·山東德州·期末）朱自清的《春》一文里，在描寫春雨時有“像牛毛，像細(xì)絲，密密地斜織著”的語句，這里用數(shù)學(xué)的眼光來看其實是把雨滴看成了，把雨看成，說明（

）A．點；直線；點動成線 B．點；線；點動成線 C．線；面；線動成面 D．線；面；面動成體【答案】B【知識點】點、線、面、體四者之間的關(guān)系【分析】本題考查點動成線，根據(jù)點動成線直接判斷即可得到答案；【詳解】解：由題意可得，這里用數(shù)學(xué)的眼光來看其實是把雨滴看成了點，把雨看成線，說明點動成線，故選：B．【變式3-2】（23-24七年級上·安徽阜陽·期末）如圖，由所給的平面圖形繞虛線旋轉(zhuǎn)一周，可得到的幾何體是（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】平面圖形旋轉(zhuǎn)后所得的立體圖形【分析】本題主要考查了面動成體，根據(jù)立體圖形的形狀，平面圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：所給的平面圖形繞虛線旋轉(zhuǎn)一周，可得到的幾何體是D，故選：D．【變式3-3】（22-23六年級上·山東東營·期末）小麗跟媽媽到銀行辦理業(yè)務(wù)，她發(fā)現(xiàn)銀行大堂的旋轉(zhuǎn)門內(nèi)部是由三塊寬為2m、高為3m的玻璃隔板組成的．此情此景，讓她想起了六年級數(shù)學(xué)第一章《豐富的圖形世界》里的知識，她提出了以下問題，你能幫她解決嗎？(1)將此旋轉(zhuǎn)門旋轉(zhuǎn)一周，能形成的幾何體是______．(2)這能說明的事實是______（選擇正確的一項填入）．A．點動成線

B．線動成面

C．面動成體(3)求該旋轉(zhuǎn)門旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積．（邊框及銜接處忽略不計，結(jié)果保留π）【答案】(1)長方形(2)C(3)【知識點】點、線、面、體四者之間的關(guān)系、平面圖形旋轉(zhuǎn)后所得的立體圖形【分析】（1）旋轉(zhuǎn)門的形狀是長方形；（2）長方形旋轉(zhuǎn)一周，能形成的幾何體是圓柱；（3）根據(jù)圓柱體的體積＝底面積×高計算即可．【詳解】（1）解：∵旋轉(zhuǎn)門的形狀是長方形，∴旋轉(zhuǎn)門旋轉(zhuǎn)一周，能形成的幾何體是圓柱，（2）這能說明的事實是面動成體．故選：C．（3）該旋轉(zhuǎn)門旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是圓柱，體積為：．故形成的幾何體的體積是．【點睛】本題考查了圓柱的體積的求法，掌握圓柱的體積公式，能夠正確得出圓柱的底面面積是解決問題的關(guān)鍵．【變式3-4】（23-24七年級上·云南文山·期末）已知長方形的長為a，寬為b，將其繞著它的一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，得到一個立體圖形．(1)用含a、b的代數(shù)式表示這個立體幾何的體積；（結(jié)果保留π）(2)若，求這個幾何體的體積．（π取3）【答案】(1)當(dāng)以長為旋轉(zhuǎn)軸時，當(dāng)以寬為旋轉(zhuǎn)軸時(2)當(dāng)以長為旋轉(zhuǎn)軸時，；當(dāng)以寬為旋轉(zhuǎn)軸時，【知識點】列代數(shù)式、已知字母的值，求代數(shù)式的值、平面圖形旋轉(zhuǎn)后所得的立體圖形【分析】（1）由題意可得這個幾何體是圓柱體；根據(jù)當(dāng)以長為旋轉(zhuǎn)軸時，當(dāng)以寬為旋轉(zhuǎn)軸時，分別求得體積即可求解；（2）將字母的值代入（1）的結(jié)果進行計算即可求解．【詳解】（1）解：由題意可得這個幾何體是圓柱體；∴當(dāng)以長為旋轉(zhuǎn)軸時：；當(dāng)以寬為旋轉(zhuǎn)軸時：；（2）解：當(dāng)時，當(dāng)以長為旋轉(zhuǎn)軸時：；當(dāng)以寬為旋轉(zhuǎn)軸時：．【點睛】本題考查了平面圖形旋轉(zhuǎn)后得到的立體圖形，列代數(shù)式，代數(shù)式求值，分類討論是解題的關(guān)鍵．【考點題型四】直線、射線、線段的相關(guān)概念【例4】（23-24七年級上·天津?qū)幒印て谀┫铝兄本€、射線、線段中，能相交的是（

）A．B．C．D．【答案】A【知識點】直線、射線、線段的聯(lián)系與區(qū)別【分析】本題考查了直線、射線、線段．熟練掌握直線兩端都可以無限延長，射線有一個端點，可向一邊無限延長，線段不可延長是解題的關(guān)鍵．根據(jù)直線兩端都可以無限延長，射線有一個端點，可向一邊無限延長，線段不可延長逐項判斷即可．【詳解】解：由題意知，A中直線CD與直線AB能相交，故符合要求；B中射線CD與直線AB不能相交，故不符合要求；C中射線CD與線段AB不能相交，故不符合要求；D中線段CD與線段AB不能相交，故不符合要求；故選：A．【變式4-1】（23-24七年級上·河南平頂山·期末）如圖，對于圖中直線的描述，正確的是（

）A．圖中有直線 B．圖中有直線C．直線與直線交于點O D．直線與直線m交于點O【答案】D【知識點】直線、射線、線段的聯(lián)系與區(qū)別【分析】本題考查的是直線的表述方法，直線與直線的交點的含義，根據(jù)直線的表示方法逐一判斷即可．【詳解】解：圖中有直線，直線，直線，直線，直線與直線交于點O，直線與直線m交于點O，∴A，B，C錯誤，不符合題意；D正確，符合題意；故選：D．【變式4-2】（23-24七年級上·福建三明·期末）下列關(guān)于作圖的語句中，正確的是（

）A．畫射線 B．畫直線C．畫線段，在線段上任取一點 D．以點為端點畫射線【答案】C【知識點】直線、射線、線段的聯(lián)系與區(qū)別、畫出直線、射線、線段【分析】本題考查射線、直線和線段定義與作圖，根據(jù)射線、直線和線段定義與作圖逐項判斷即可得到答案，熟記射線、直線和線段定義與作圖是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、根據(jù)射線定義，射線一端無限延長，不可能得到射線，該選項表述錯誤，不符合題意；B、根據(jù)直線定義，射線兩端無限延長，不可能得到直線，該選項表述錯誤，不符合題意；C、畫線段，在線段上任取一點說法正確，符合題意；D、根據(jù)射線定義，射線從固定端點出發(fā)，向另一端無限延長，以點為端點畫射線，而不是以點為端點畫射線，該選項表述錯誤，不符合題意；故選：C．【變式4-3】（23-24七年級上·河北滄州·期末）如圖，下面說法中不正確的是（

）A．點在直線上 B．點在直線外C．點在線段上 D．點在線段上【答案】D【知識點】直線、射線、線段的聯(lián)系與區(qū)別【分析】本題考查了直線、射線、線段，根據(jù)圖形，即可解答．【詳解】解：A、點B在直線上，正確；B、點A在直線外，正確；C、點C在線段上，正確；D、點M在直線上，錯誤；故選：D．【變式4-4】（23-24七年級上·河南新鄉(xiāng)·期末）下列幾何圖形與相應(yīng)語言描述相符的是（

）

A．如圖1所示，點C在線段上B．如圖2所示，射線經(jīng)過點AC．如圖3所示，直線a和直線b相交于點AD．如圖4所示，射線和線段沒有交點【答案】C【知識點】直線、射線、線段的聯(lián)系與區(qū)別【分析】本題考查了射線，線段，直線等知識．熟練掌握射線，線段，直線的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)射線，線段，直線的定義對各選項進行判斷作答即可．【詳解】解：由題意知，如圖1所示，點C在直線上，A錯誤，故不符合要求；如圖2所示，射線不經(jīng)過點A，B錯誤，故不符合要求；如圖3所示，直線a和直線b相交于點A，C正確，故符合要求；如圖4所示，射線和線段有交點，D錯誤，故不符合要求；故選：C．【考點題型五】線段和直線的基本性質(zhì)問題【例5】（23-24七年級上·廣東汕頭·期末）如圖1，A、B兩個村莊在一條河l（不計河的寬度）的兩側(cè)，現(xiàn)要建一座碼頭，使它到A、B兩個村莊的距離之和最?。鐖D2，連接AB，與l交于點C，則C點即為所求的碼頭的位置，這樣做的理由是（）A．經(jīng)過一點有無數(shù)條直線 B．兩點確定一條直線C．兩直線相交只有一個交點 D．兩點之間，線段最短【答案】D【知識點】兩點之間線段最短【分析】本題考查線段的性質(zhì)，理解兩點之間線段最短的性質(zhì)是正確判斷的前提．根據(jù)線段的性質(zhì)進行判斷即可．【詳解】解：A，B兩個村莊在一條河l（不計河的寬度）的兩側(cè)，現(xiàn)要建一座碼頭，使它到A、B兩個村莊的距離之和最小，圖2中所示的C點即為所求的碼頭的位置，那么這樣做的理由是兩點之間，線段最短，故選：D．【變式5-1】（23-24七年級上·河南商丘·期末）紙翻花是我國傳統(tǒng)的紙制工藝品，它花里有花，花中變花，花姿優(yōu)美，栩栩如生，深受兒童的喜愛，轉(zhuǎn)動翻花的花柄平面圖形變換成不同的美麗的立體圖形，這說明了．【答案】面動成體【知識點】點、線、面、體四者之間的關(guān)系【分析】本題主要考查了面動成體．根據(jù)面動成體解答即可．【詳解】解：轉(zhuǎn)動翻花的花柄平面圖形變換成不同的美麗的立體圖形，這說明了面動成體，故答案為：面動成體．【變式5-2】（23-24七年級上·河南新鄉(xiāng)·期末）如圖，經(jīng)過刨平的木板上的兩個點，能彈出一條筆直的墨線，而且只能彈出一條墨線，能解釋這一實際應(yīng)用的數(shù)學(xué)知識是．【答案】兩點確定一條直線【知識點】兩點確定一條直線【分析】本題主要考查直線的性質(zhì)，掌握直線的性質(zhì)：兩點確定一條直線是解題的關(guān)鍵．根據(jù)直線的性質(zhì)：兩點確定一條直線即可得．【詳解】解：能解釋這一實際應(yīng)用的數(shù)學(xué)知識是：兩點確定一條直線，故答案為：兩點確定一條直線．【變式5-3】（23-24七年級上·河南鄭州·期末）如圖，妙妙將一個衣架固定在墻上，她在衣架兩端各用一個釘子進行固定．妙妙的操作可用數(shù)學(xué)原理解釋為．【答案】兩點確定一條直線【知識點】兩點確定一條直線【分析】本題考查的是直線的性質(zhì)，根據(jù)公理“兩點確定一條直線”來解答即可，解題的關(guān)鍵是正確理解兩點確定一條直線．【詳解】因為“兩點確定一條直線”，所以她在衣架兩端各用一個釘子進行固定，故答案為：兩點確定一條直線．【變式5-4】（23-24七年級上·重慶南岸·期末）如圖：已知從A地到B地共有五條路，小紅應(yīng)選擇第路，用數(shù)學(xué)知識解釋為：．

【答案】③兩點之間，線段最短【知識點】兩點之間線段最短【分析】根據(jù)題意，連接兩點的所有的線中，應(yīng)選連接、的線段，根據(jù)線段的性質(zhì)，兩點之間線段最短即可．此題為數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用，考查知識點是兩點之間線段最短．【詳解】解：依題意，從地到地共有五條路，小紅應(yīng)選擇第③路，用數(shù)學(xué)知識解釋為兩點之間，線段最短．故答案為：③，兩點之間，線段最短【變式5-5】（23-24七年級上·甘肅慶陽·期末）如圖，把彎曲的河道改直，能夠縮短航程，理由是．【答案】兩點之間，線段最短【知識點】兩點之間線段最短【分析】本題考查了兩點之間線段最短，根據(jù)線段的性質(zhì)判斷即可，正確理解兩點之間線段最短是解題的關(guān)鍵．【詳解】把彎曲的河道改直，能夠縮短航程，理由是：兩點之間線段最短，故答案為：兩點之間線段最短．【考點題型六】角的表示方法【例6】（23-24七年級上·貴州六盤水·期末）下列四個圖形中，能用，，三種方法表示同一個角的是（

）A．B．C．D．【答案】B【知識點】角的表示方法【分析】本題考查了角的表示方法的應(yīng)用，根據(jù)角的表示方法和圖形逐個判斷即可，解題的關(guān)鍵正確理解角可以用一個大寫字母表示，也可以用三個大寫字母表示，其中頂點字母要寫在中間，唯有在頂點處只有一個角的情況，才可用頂點處的一個字母來記這個角，否則分不清這個字母究竟表示哪個角．【詳解】解：、因為頂點處有四個角，所以這個角不能用，，表示，故本選項錯誤；、因為頂點處只有一個角，所以這個角能用，，表示，故本選項正確；、因為頂點處有三個角，所以這個角不能用，，表示，故本選項錯誤；、因為頂點處有兩個角，所以這個角不能用，，表示，故本選項錯誤；故選：．【變式6-1】（23-24七年級下·山東淄博·期末）下列圖中的也可以用表示的是（）A．B．C．D．【答案】A【知識點】角的表示方法【分析】本題考查了角的表示方法；角可以用一個大寫字母表示，也可以用三個大寫字母表示．其中頂點字母要寫在中間，唯有在頂點處只有一個角的情況，才可用頂點處的一個字母來記這個角，否則分不清這個字母究竟表示哪個角．角還可以用一個希臘字母（如，，、…）表示，或用阿拉伯?dāng)?shù)字（，…）表示，據(jù)此進行分析即可．【詳解】解：A.可以用表示，符合題意；B.可以用表示，但不能用表示，不符合題意；C.可以用表示，但不能用表示，不符合題意；D.可以用表示，但不能用表示，不符合題意；故選：A．【變式6-2】（23-24七年級上·貴州安順·期末）如圖，下面的說法正確的是（

）

A．點P在直線m上 B．直線m和n相交于點OC．∠1可以表示成或 D．射線和射線表示同一條射線【答案】B【知識點】直線、射線、線段的聯(lián)系與區(qū)別、角的表示方法【分析】本題主要考查了角的表示方法，射線和直線的相關(guān)概念，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、點P不在直線m上，原說法錯誤，不符合題意；B、直線m和n相交于點O，原說法正確，符合題意；C、∠1可以表示成，不可以表示成，原說法錯誤，不符合題意；D、射線和射線表示的不是同一條射線，原說法錯誤，不符合題意；故選：B．【變式6-3】（23-24七年級上·貴州六盤水·期末）平板電腦支架方便用戶在不同位置和角度觀看平板電腦，如圖是支架側(cè)面的平畫示意圖，其中還可以表示為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】角的表示方法【分析】本題考查了角的表示，熟知角的三種表示方法是關(guān)鍵．角的表示方法有四種：①用三個字母，中間的字母表示頂點，其它兩個字母分別表示角的兩邊上的點；②當(dāng)以某點為頂點的角只有一個時，可以只用這個角的頂點字母表示；③用一個數(shù)字表示一個角；④用一個希臘字母表示一個角，由圖即可得出答案．【詳解】解：還可以表示為．故選C．【變式6-4】（23-24七年級上·河南商丘·期末）下列四個圖中，能用三種方法表示同一個角的是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】角的表示方法【分析】利用角的三種表示方法，逐個進行分析即可．熟練掌握角度的三種正確表示方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A．表示同一個角，沒有可以用表示的角，故此選項不符合題意；B．能用三種方法表示同一個角，故此選項符合題意；C．不能表示同一個角，圖中沒有用表示的角，故此選項不符合題意；D．可以表示同一個角，圖中沒有能用表示的角，故此選項不符合題意；故選：B．【考點題型七】方位角問題【例7】（24-25七年級上·全國·期末）如圖，點A在點O的北偏東方向上，點B在點O的南偏西方向上，則的度數(shù)為．【答案】/150度【知識點】與方向角有關(guān)的計算題【分析】本題考查了與方向角有關(guān)的運算，先根據(jù)題意得出，得出，根據(jù)代入數(shù)值，進行計算，即可作答．【詳解】解：如圖：∵在點O的北偏東方向上，點B在點O的南偏西方向上，∴，，，，，，故答案為：．【變式7-1】（22-23七年級上·吉林長春·期末）如圖，為北偏東方向，，則的方向為．【答案】南偏東【知識點】方向角的表示【分析】本題主要考查了方位角有關(guān)的計算和方位角的表示，熟知方位角的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．只需要求出的度數(shù)即可得到答案．【詳解】解：由題意得，，，為南偏東，故答案為：南偏東．【變式7-2】（23-24六年級下·山東煙臺·期末）如圖，點，，分別表示手繪地圖中實踐基地、公園、學(xué)校的大體位置．經(jīng)測量，公園在學(xué)校的北偏東方向，則實踐基地在學(xué)校的方向．

【答案】北偏西【知識點】方向角的表示【分析】本題主要考查了方位角，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形得出角度之間的和差關(guān)系．根據(jù)角度之間的和差關(guān)系，計算的度數(shù)，即可解答．【詳解】解：，，，實踐基地在學(xué)校的北偏西方向，故答案為：北偏西．

【變式7-3】（23-24七年級上·福建泉州·期末）如圖，若，在A處觀察C的方位角是北偏東度．【答案】【知識點】方向角的表示【分析】本題考查了方向角的定義，求出的度數(shù)，即可得，掌握方向角的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖所示，∵，∴，則在A處觀察C的方位角是北偏東度，故答案為：．【考點題型八】鐘面角問題【例8】（23-24六年級下·黑龍江哈爾濱·期末）如圖是一個時鐘的鐘面，此時鐘面上的時間是下午1點30分，時鐘的分針與時針?biāo)傻拟g角的度數(shù)為度．【答案】135【知識點】鐘面角【分析】本題考查鐘面角，整個圓分為12個大格，每個大格30度，下午1點30分時，時針與分針?biāo)傻拟g角含4.5個大格，由此可解．【詳解】解：下午1點30分時，時針與分針?biāo)傻拟g角含4.5個大格，每個大格30度，因此時鐘的分針與時針?biāo)傻拟g角的度數(shù)為：（度），故答案為：135．【變式8-1】（23-24七年級上·福建福州·期末）如圖，8時整，鐘表的時針和分針構(gòu)成的角的度數(shù)是．【答案】120【知識點】鐘面角【分析】本題考查了鐘表里的旋轉(zhuǎn)角的問題，根據(jù)鐘表表盤被分成12大格，每一大格為，由8時整，即分針和時針之間有4大格，即可求解．【詳解】解：鐘表表盤被分成12大格，每一大格為，8時整，即分針和時針之間有4大格，8時整，鐘表的時針和分針構(gòu)成的角的度數(shù)是，故答案為：120．【變式8-2】（23-24六年級下·山東東營·期末）鐘表上顯示的時間是12點20分，此時時針與分針的夾角的度數(shù)是．【答案】/110度【知識點】鐘面角【分析】根據(jù)鐘表有12個大格，每個大格是30°，時間為12時20分，分針指在4處，時針在12到1之間，從而可以解答本題．【詳解】解：∵鐘表上的時間指示為12點20分，∴分針指在4處，時針在12到1之間，∴時針與分針?biāo)傻慕鞘牵汗蚀鸢甘牵海军c睛】本題考查鐘面角，解題的關(guān)鍵是明確鐘面上每個大格之間的角是30°，時針和分針是同時轉(zhuǎn)動的，每小時分針轉(zhuǎn)12個大格時，時針轉(zhuǎn)動1個大格．【變式8-3】（23-24七年級上·廣東江門·期末）為了弘揚梁贊詠春文化，某中學(xué)在11月25日上午開展“詠春進校園”系列活動之詠春操比賽活動，則該時刻鐘表上時針與分針?biāo)鶌A的角為度．【答案】【知識點】鐘面角【分析】本題考查了鐘面角的計算，根據(jù)時針一分鐘走和每兩個數(shù)字之間相隔進行計算即可得出答案，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：時針30分鐘所走的度數(shù)為，時，分針與8點之間的夾角為，該時刻鐘表上時針與分針?biāo)鶌A的角為，故答案為：．【變式8-4】（23-24七年級上·江蘇宿遷·期末）“好習(xí)慣受益終身”，每天早晨6點到7點之間都是七（1）班優(yōu)優(yōu)同學(xué)的“經(jīng)典誦讀”時間，從6點起，至少經(jīng)過分鐘，時針與分針?biāo)纬傻慕嵌葹椋敬鸢浮?【知識點】鐘面角、行程問題(一元一次方程的應(yīng)用)【分析】本題考查時鐘角的計算，解題的關(guān)鍵是計算出每分鐘時針、分針運動的角度進行計算．設(shè)經(jīng)過t分鐘，分針在右半圓的時間最短，計算出每分鐘時針與分鐘轉(zhuǎn)動的角度即可．【詳解】解：設(shè)經(jīng)過t分鐘，時針與分針?biāo)纬傻慕嵌葹椋糠昼姇r針轉(zhuǎn)動的度數(shù)是：，每分鐘分針轉(zhuǎn)動的度數(shù)是：，由題意可得，，解得：，∴至少經(jīng)過分鐘，時針與分針?biāo)纬傻拟g角等于，故答案為：．【考點題型九】求一個角的余角、補角【例9】（23-24七年級上·湖北孝感·期末）的余角是，它的補角是．【答案】【知識點】求一個角的余角、求一個角的補角、與余角、補角有關(guān)的計算【分析】本題主要考查了余角和補角．熟練掌握概念是解題的關(guān)鍵．計算時要注意度、分、秒是60進制．余角定義：如果兩個角的和等于90度（直角），就說這兩個角互為余角；補角定義：如果兩個角的和等于180度（平角），就說兩個角互為補角．根據(jù)互余的兩個角的和等于90°，互補的兩個角的和等于180°，分別列式計算即可得解．【詳解】的余角是：；的補角是：．故答案為：，．【變式9-1】（23-24七年級上·江蘇連云港·期末）已知，則的余角為．【答案】【知識點】角度的四則運算、求一個角的余角【分析】本題考查了對余角的理解和運用，如果兩個角互余，那么這兩個角的和為．根據(jù)余角的意義：的余角為，代入求出即可．【詳解】解：∵，∴的余角為．故答案為：．【變式9-2】（23-24七年級上·陜西西安·期末）已知的度數(shù)是，則補角的度數(shù)是．【答案】【知識點】求一個角的補角【分析】此題主要考查了求一個角的補角，關(guān)鍵是掌握兩角的和等于180°，這兩角互為補角．根據(jù)如果兩個角的和等于180°，計算即可?！驹斀狻拷猓貉a角。故答案為：.【變式9-3】（23-24七年級上·河北承德·期末），則的余角為，的補角為．【答案】【知識點】求一個角的余角、求一個角的補角【分析】本題考查余角和補角的性質(zhì)定理，根據(jù)余角和補角的定義解題即可．熟練掌握余角和補角的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】∵，∴的余角等于；的補角等于，故答案為；．【變式9-4】（23-24七年級上·湖北襄陽·期末）已知和互為補角，并且的2倍比小，則°.【答案】130【知識點】和差倍分問題(一元一次方程的應(yīng)用)、求一個角的補角【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，互為補角的和等于的性質(zhì)．根據(jù)互為補角的和等于，得到，然后根據(jù)題意列出關(guān)于β的一元一次方程，求解即可．【詳解】解：∵和互為補角，∴，根據(jù)題意得，，解得，，故答案為：130．【考點題型十】三角板中角度計算問題【例10】（23-24七年級上·貴州遵義·期末）將一副三角板按如圖方式擺放在一起，且比大，則．【答案】/31度【知識點】幾何問題(一元一次方程的應(yīng)用)、三角板中角度計算問題【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用及角的和差計算；關(guān)鍵是設(shè)出未知數(shù)找出等量關(guān)系列方程．設(shè)，則，根據(jù)角的和差關(guān)系列出方程，解方程即可．【詳解】解：∵比大∴設(shè)，則根據(jù)題意得：，解得：，∴故答案為：．【變式10-1】（23-24七年級下·河南駐馬店·期末）如圖所示，將一副三角尺疊放在一起，使它們的直角頂點重合于點O．若，則的度數(shù)為．【答案】/120度【知識點】三角板中角度計算問題【分析】本題主要考查了三角板中角的和差，先求出，再根據(jù)可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意可知，∴，∴．故答案為：．【變式10-2】（23-24七年級上·江蘇南通·期末）把一副三角尺按如圖所示拼在一起，其中B，C，D三點在同一直線上，平分，平分，則．【答案】【知識點】三角板中角度計算問題、角平分線的有關(guān)計算【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)；利用角平分線的基本性質(zhì)來計算角度是關(guān)鍵．先容易求得，在根據(jù)、分別平分，由圖可知所求角等于加上的一半．【詳解】解：由題可知：∵平分，平分，∴故答案為【變式10-3】（23-24七年級上·山西大同·期末）把一副三角尺與按如圖所示那樣拼在一起，其中三點在同直線上，為的平分線，為的平分線，則．【答案】/45度【知識點】三角板中角度計算問題、角平分線的有關(guān)計算【分析】本題考查與三角板有關(guān)的計算，與角平分線有關(guān)的計算，先求出的度數(shù)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，求出的度數(shù)，進一步求出的度數(shù)即可．【詳解】解：由題意，得：，∴，∵為的平分線，為的平分線，∴，∴；故答案為：．【考點題型十一】尺規(guī)作線段或角【例11】（23-24七年級上·甘肅慶陽·期末）如圖，平面上有四個點，讀下列語句，并畫出符合下列所有要求的圖形．(1)畫射線，連接，并與射線相交于點；(2)畫直線．【答案】(1)見解析(2)見解析【知識點】畫出直線、射線、線段【分析】本題主要考查直線和射線的畫法，屬于基礎(chǔ)題，根據(jù)題意準(zhǔn)確作圖是解題的關(guān)鍵．（1）連接并延長，連接，并與射線相交于點即為所求；（2）連接并向兩端延長即為所求．【詳解】（1）如圖所示；就是所求作的射線，就是連接的線段，點就是交點；（2）如圖所示，就是求作的直線．【變式11-1】（22-23六年級下·山東淄博·期末）已知：，．

求作：，使．要求：保留畫圖痕跡，不寫畫法．畫圖：【答案】見解析【知識點】尺規(guī)作角的和、差【分析】先作，在這個角的外部分別作，然后作，則．【詳解】如圖所示，即為所求．

【點睛】此題考查的是基本作圖，掌握利用尺規(guī)作圖作一個角等于已知角是解決此題的關(guān)鍵．【變式11-2】（23-24七年級上·新疆喀什·期末）如圖，在平面上有A，B，C，D四點，請按照下列語句畫出圖形．(1)畫直線；(2)畫射線；(3)連接B，C；(4)線段和線段相交于點O．【答案】(1)見詳解(2)見詳解(3)見詳解(4)見詳解【知識點】畫出直線、射線、線段【分析】本題主要考查了作圖，作直線，射線，線段，以及兩線段的交點等作圖知識．（1）過點A、B作直線，要向兩方延伸；（2）過B、D作射線，向D點方向延伸，B點方向不延伸∶（3）就是作線段；（4）連接、交點標(biāo)注為O；【詳解】（1）解：直線如下圖所示：（2）解：射線如下圖所示：（3）解：線段如下圖所示：（4）解：線段和線段相交于點O如下圖所示：【變式11-3】（23-24七年級上·廣東佛山·期末）已知線段m、n（其中）．(1)尺規(guī)作圖：作線段，其中（保留作圖痕跡，不用寫作法）；(2)在（1）的條件下，點M是的中點，點N是的中點，當(dāng)時，求線段的長．【答案】(1)見解析(2)1【知識點】作線段(尺規(guī)作圖)、線段中點的有關(guān)計算【分析】本題主要考查了線段的尺規(guī)作圖，線段的和差計算：（1）作射線，以A為圓心，以線段m的長為半徑畫弧交射線于B，再以B為圓心，線段n的長為半徑畫弧交射線于C，則線段即為所求；（2）根據(jù)線段中點的定義求出的長即可得到答案．【詳解】（1）解：如圖所示，作射線，以A為圓心，以線段m的長為半徑畫弧交射線于B，再以B為圓心，線段n的長為半徑畫弧交射線于C，則線段即為所求；（2）解：∵點M是的中點，點N是的中點∴，∴．【變式11-4】（23-24七年級上·河南鄭州·期末）如圖，已知．(1)請用無刻度的直尺和圓規(guī)在線段的延長線上截取，連接（不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)（填“”、“”或“”），依據(jù)是_______；(3)若點是射線上一點，且，，求的長；(4)在（3）的條件下，若點在線段上，且，請直接寫出的值．【答案】(1)見解析(2)>，兩點之間線段最短(3)(4)的長為1或5．【知識點】作線段(尺規(guī)作圖)、線段的和與差、兩點之間線段最短【分析】本題考查了作圖復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了兩點間的距離．（1）根據(jù)幾何語言畫出幾何圖形；（2）根據(jù)兩點之間線段最短進行判斷；（3）先計算出，然后計算即可；（4）討論：當(dāng)點在點左側(cè)，；當(dāng)點在點右側(cè)，．【詳解】（1）解：如圖，為所作；（2）解：根據(jù)兩點之間線段最短得；故答案為：，兩點之間線段最短；（3）解：，，，；（4）解：當(dāng)點在點左側(cè)，，當(dāng)點在點右側(cè)，，綜上所述，的長為1或5．【考點題型十二】與線段及線段中點有關(guān)的計算【例12】（24-25七年級上·全國·期末）追本溯源題（1）來自于課本中的定義，請你完成解答，利用定義完成題（2）．（1）如圖1，點M把線段AB分成相等的兩條線段與，點M叫做線段AB的，AB．拓展延伸（2）如圖2，線段上依次有D，B，E三點，，E是的中點，．①求線段AB的長；②求線段DE的長．【答案】（1）中點；；（2）①；②【知識點】線段的和與差、兩點間的距離、線段中點的有關(guān)計算【分析】本題主要考查了兩點間的距離，線段的和與差運算，中點的定義等知識點，熟練利用線段的和差是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)線段中點的定義即可得到答案；（2）①根據(jù)與的關(guān)系可得的長度，再根據(jù)線段的中點定義可得答案；②根據(jù)線段的和差可得的長，利用線段的和差可得答案；【詳解】（1）∵點M把線段分成相等的兩條線段與，∴由中點定義知，點M叫做線段的中點，∴，故答案為：中點，；（2）①∵，∴，∵E是的中點，∴，∴；②∵，∴，∴．【變式12-1】（23-24六年級下·山東東營·期末）如圖，點M在線段上，線段與的長度之比為，點N為線段的中點．(1)若，求的長．(2)在線段上作出一點E，滿足，若，請直接寫出的長（用含t的代數(shù)式表示）．【答案】(1)；(2)【知識點】線段中點的有關(guān)計算、兩點間的距離、列代數(shù)式【分析】本題主要考查了兩點間的距離、列代數(shù)式，熟練掌握線段中點的定義，線段之間的數(shù)量轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)，設(shè)，，根據(jù)線段和的關(guān)系列方程求出，再根據(jù)線段中點定義求出，進而得到的長；（2）根據(jù)，推得，再根據(jù)已知條件，等量代換后得出，進而得出用含t的代數(shù)式表示的長．【詳解】（1）解：由題知：，設(shè)，，∴，∵，且，∴，∴，∴，.

∵點是線段的中點，∴，∴；（2）∵，∴，∵，，∴，∵，∴．【變式12-2】（23-24七年級上·湖南婁底·期末）如圖．線段，是線段的中點，是線段的中點．(1)求線段的長；(2)在線段上有一點，，求的長．【答案】(1)；(2)或12【知識點】線段中點的有關(guān)計算【分析】本題考查了線段的和差以及中點的有關(guān)運算．（1）現(xiàn)根據(jù)中點的意義得到，，再由線段的和關(guān)系，即可作答；（2）分當(dāng)點在點左側(cè)時和當(dāng)點在點右側(cè)時兩種情況求解即可．【詳解】（1）∵線段，是線段的中點，∴，∵是線段的中點，∴，∴；（2）∵，∴，當(dāng)點在點左側(cè)時：；當(dāng)點在點右側(cè)時：．綜上：或12．【變式12-3】（23-24七年級上·河南商丘·期末）如圖，點是線段上一點，、分別是線段、的中點，當(dāng)時，求線段的長度．(1)下面是小麗的解答過程，請你補充完整．解答過程因為點、分別是線段、的中點，所以，①．②①②得，．(2)小麗進行題后反思，提出新的問題：如果點O運動到線段的延長線上，的長度是否會發(fā)生變化?請你畫出示意圖，并說明理由．【答案】(1)，，，6(2)不會發(fā)生變化，畫出示意圖見解析，理由見解析【知識點】線段的和與差、線段中點的有關(guān)計算【分析】本題考查了線段中點的定義，和差計算，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．（1）因為點是線段的中點，所以，，已知，可得的長；（2）點運動到線段的延長線上，此時，可得的長，觀察的長度是否變化．【詳解】（1）解：點、分別是線段、的中點，，①，②①②得，，故答案為：，，，6；（2）解：沒有發(fā)生變化示意圖為：點、分別是線段、的中點，，①，②①②得，，沒有發(fā)生變化，．【變式12-4】（23-24七年級上·江蘇常州·期末）直線l上的三個點A、B、C，若滿足，則稱點C是點A關(guān)于點B的“半距點”．如圖1，，此時點C就是點A關(guān)于點B的一個“半距點”．若M、N、P三個點在同一條直線m上，且點P是點M關(guān)于點N的“半