奧數(shù)課程不定方程教案

不定方程適用學(xué)科小學(xué)數(shù)學(xué)適用年級小學(xué)六年級適用區(qū)域北京課時時長（分鐘）120知識點等式的意義方程的意義列表枚舉（一一列舉）教學(xué)目標(biāo)不定方程的定義、常見題型教學(xué)重點理解不定方程的定義并能解答相關(guān)問題教學(xué)難點對于不定方程的一些需要辨析內(nèi)容的訓(xùn)練教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)當(dāng)方程中未知數(shù)的個數(shù)比方程的個數(shù)多時，我們就稱這樣的方程為不定方程。比如：3x-4y=6，方程只一個，但未知數(shù)卻有兩個，這就是不定方程。古希臘著名數(shù)學(xué)家丟番圖曾在其著作《算術(shù)》中介紹過關(guān)于不定方程，所以不定方程又叫丟番圖方程。很明顯，在不定方程3x-4y=6中，x、y的取值有無數(shù)個，不定方程的解往往有無數(shù)個。我們這里介紹的不定方程，一般都會有條件限制，比如說上述不定方程中的x、y只能是自然數(shù)，這樣我們可以根據(jù)限制的條件來求出不定方程的解。所以，解答這類方程，一定要找出題中明顯或隱含的限制條件。同時，我們這里介紹的不定方程，最主要是介紹不定方程在解答應(yīng)用題方面的作用。二、知識講解考點1系數(shù)上的考慮如7x+11y=276，我們有兩種解法，一是變形為：x=（276-11y）÷7；二是變形為：y=（276-7x）÷11。我們對照下這兩種解法中的取值情況。第一種：Y有0---25種取值可能；而第二種X有39種取值可能，很明顯，第一種解法比第二種解法相對來說速度會更快些。但我們換個角度，由于X、Y都是自然數(shù)，由上述兩種變形可知，X應(yīng)是7的倍數(shù)，Y應(yīng)是11的倍數(shù)，而1---276中7的倍數(shù)有39個，11的倍數(shù)有25個，那么，很明顯，從倍數(shù)上考慮，第二種解法比第一種解法相對來說速度更快些。所以，在解不定方程時，一定要注意未知數(shù)前面的系數(shù)，選擇恰當(dāng)?shù)淖冃蝸斫獠欢ǚ匠?。考點2尾數(shù)上的考慮例如解不定方程5X+4Y=59的自然數(shù)解。和的個位數(shù)是9，說明5X的個位數(shù)字一定是5，那么X一定取奇數(shù)；4Y的個位數(shù)字一定是4，那么Y只能是1、4、6、11、14。這樣解的過程就容易多了，速度也上來了?？键c3奇偶性上的考慮上道例題還可以從數(shù)的奇偶性入手考慮。59是一個奇數(shù)，4Y一定是個偶數(shù)，那么，5X就一定是個奇數(shù)，那么X取值只能取奇數(shù)，如1、3、5、、、、等等，也能起到簡便解題過程的作用?？键c4倍數(shù)關(guān)系上的考慮例如解不定方程2X+3Y=21的自然數(shù)解。我們注意到，21是3的倍數(shù)，3Y肯定也是3的倍數(shù)，2X=21-3Y，那么2X也應(yīng)是3的倍數(shù)，這樣X只能取是3的倍數(shù)的數(shù)了，如：0、3、6等等，這樣就能起到簡化解題過程的作用了。三、例題精析【例題1】【題干】一天，張明問李軍的生日，李軍說：“將我生日的月份數(shù)乘以31，生日的日期數(shù)乘以12，相加后得347?！蹦阒览钴姷纳帐菐自聨兹諉?？【答案】解：設(shè)李軍生日的月份數(shù)為x，生日的日期數(shù)為y，列方程：31x+12y=347變形后得：y=………………（1）即y=29-3x+∵x、y為整數(shù)，且1≤x≤12，5x-1能被12整除x=5y=16∴x=5y=16把x=5代入（1），得所列方程的整數(shù)解為:答：李軍的生日是5月16日?！窘馕觥咳绻O(shè)李軍生日的月份數(shù)為x，生日的日期數(shù)為y，則原題實際上就是求不定方程31x+12y=347的正整數(shù)解。【例題2】【題干】我國古代有一位著名的數(shù)學(xué)家張丘建，曾經(jīng)提出并解決了“百錢買雞”這個有名的數(shù)問題：“一百元買一百只雞，公雞五元錢一只，母雞三元錢一只，小雞一元錢三只，公雞、母雞、小雞各買幾只？”【解析】該題共有三個未知數(shù)，若設(shè)買公雞x只，買母雞y只，買小雞z只，根據(jù)題意可以建立方程則然后進(jìn)行分析解答?！敬鸢浮拷猓涸O(shè)買公雞x只，買母雞y只，買小雞（100-x-y）只，可得方程5x+3y+×（100-x-y）=100化簡整理得：7x+4y=100由此有：1≤x≤即1≤x≤14注意到100和4y都是4的倍數(shù)，而7和4互質(zhì)，所以x也應(yīng)是4的倍數(shù)，x就是三種可能：4、8、12。x=4時，y=18；x=8時，y=11；x=12時，y=4。所以此題有三個答案：1.買公雞4只，母雞18只，小雞78只；2.買公雞8只，母雞11只，小雞84只；3.買公雞12只，母雞4只，小雞84只。【例題3】【題干】紅旗劇場共有座位1000個，排成若干排，總排數(shù)大于16，從第二排起，每排比前一排多一個座位。問：居場共有多少排座位？【解析】設(shè)劇聲共有x排座位，要找到總座位數(shù)與排數(shù)的關(guān)系，還必須設(shè)第一排有座位m個，那么第二排有座位（m+1）個，第三排有座位(m+2)個，……，第x排有座位（m+x-1）個，劇場共有座位m+·x個（想一想，這是怎樣得到的）。因劇場總座位數(shù)已知，所以就可以得到有關(guān)x和m的一個不定方程?！敬鸢浮拷猓涸O(shè)劇場共有x排座排，第一排有m個座位，則第x排有座位(m+x-1)個，根據(jù)題意列方程得：m+·x=1000將方程變?yōu)椋阂驗閤,m均為整數(shù)，所以x為奇數(shù)，且x是1000的約數(shù)∵1000=23×53∴1000的奇約數(shù)只有5，25，125∵x＞16，∴x=5不合題意又當(dāng)x=125時，m=8-62，不合題意當(dāng)x=25時，m=28，符合題意答：劇場共有25排座位?！纠}4】【題干】（《小學(xué)生數(shù)學(xué)報》第九屆數(shù)學(xué)競賽決賽試題）新世紀(jì)學(xué)校的學(xué)生總數(shù)是一個三位數(shù)，平均每個班36個。統(tǒng)計員提供的學(xué)生總數(shù)卻比實際總?cè)藬?shù)少180人。原來，他在記錄時粗心地將這個三位數(shù)的百位、十位上的數(shù)字對調(diào)了。這個學(xué)校學(xué)生總數(shù)最多是多少人？【答案】解：設(shè)這個學(xué)校學(xué)生總?cè)藬?shù)是abc,則abc-bac=180即（100a+10b+c）－(100b+10a+c)=180化簡得a-b=2這個學(xué)校的總?cè)藬?shù)只能是：20□，31□，42□，53□，64□，75□，86□，97□。又知道總?cè)藬?shù)是36的倍數(shù)，直接除以36，可知：總?cè)藬?shù)只能是648、756、864或972。答：這所學(xué)校的學(xué)生總?cè)藬?shù)最多是972人?！窘馕觥考僭O(shè)這個學(xué)校總?cè)藬?shù)是abc,那么abc-bac=180，化簡a－b=2，根據(jù)這個不定方程，結(jié)合數(shù)的整除性，就可以確定這個學(xué)校學(xué)生的總?cè)藬?shù)。四、課堂運用【基礎(chǔ)】1.求不定方程7x+11y=276的自然數(shù)解【答案】題中不定方程的限制條件就是x、y都是自然數(shù)將不定方程7x+11y=276變形為x=（276-11y）÷7由于x、y都是自然數(shù)，說明276-11y應(yīng)該是7的倍數(shù)，y可以從最小的自然數(shù)1開始試驗經(jīng)過試驗，y可取6、13、20相對應(yīng)，x=30、19、82.大客車有48個座位，小客車有30個座位?，F(xiàn)有306名旅客，要使每個旅客都有座位而且車上無空位，需要大、小客車各多少輛？【答案】方法（一）列舉法通過畫表列舉的方法，一一嘗試，最終把答案找出來。方法（二）假設(shè)法假設(shè)全部用小客車，需要10輛，另空出6個座位由于題目要求不能有空位，所以首先要弄清楚的是換幾輛小客車挪出的空位正好能換成大客車，即是48的倍數(shù)。經(jīng)過嘗試，退出3輛小客車，就有3×30+6=96人沒座位，正好可乘兩輛大客車。所以，需要大客車2輛，小客車7輛方法（三）不定方程由于旅客人數(shù)、車輛數(shù)都是自然數(shù)，所以我們可以列出符合題意的不定方程，并求出它的自然數(shù)解。設(shè)需要大客車x輛，小客車y輛則48x+30y=306即8x+5y=51Y=（51-8x）÷5由于y是自然數(shù)，所以51-8x應(yīng)該是5的倍數(shù)我們不難找出：x=2；y=7（另注：在解這個不定方程時，我們還可以從奇偶數(shù)的角度來解。8x是一個偶數(shù)，51是個奇數(shù)，那么5y肯定是個奇數(shù)。那么5y的個位數(shù)字一定是5，由于和是51，可見8x的個位數(shù)字一定是6，即x=2或7，把它代入不定方程中，很容易得出：x=2；y=7）【鞏固】1.學(xué)校里共有12間宿舍，可以住80人，大宿舍住8人，中宿舍住7人，小宿舍住5人，問中、小宿舍共有多少間？【答案】設(shè)中宿舍x間，小宿舍y間，那么大宿舍就有（12-x-y）間則8（12-x-y）+7x+5y=80即x+3y=16解得：y=1、x=13或y=2、x=10或y=3、x=7或y=4、x=4或y=5、x=1由于總的宿舍間數(shù)是12間，所以前兩種答案不符題意。即y=3、x=7或y=4、x=4或y=5、x=12.某地水費，不超過10噸時，每噸0.45元;超過10噸的,超過部分按每噸0.80元收費;張家比李家多交水費3.30元,如果兩家的用水量都是整數(shù)噸,問張家和李家各交水費多少元?(兩家所用水量均為整數(shù)噸)【答案】為了便于理解,題中所有單位為元的數(shù)字全部轉(zhuǎn)化成以分為單位,這樣就沒有小數(shù)了由于張家比李家多交水費330分,而330分既不是45的整數(shù)倍,也不是80的整數(shù)倍,說明一定是張家的用水量超過10噸,而李家的用水量不到10噸.設(shè)張家用水x噸,李家用水y噸,且x>10,y<10,x,y均為自然數(shù)則(x-10)×80+10×45-45y=330即16x-9y=136x=(136+9y)/16=8+(8+9y)/16y可取1、2、3、、、、9，經(jīng)嘗試，只有y=8時，x才是整數(shù)，x=13所以，張家交水費：10×45+3×80=690（分）=6.9元李家交水費:6.9-3.3=3.6元【拔高】1.今年,祖父的年齡是小明的6倍,幾年后,祖父的年齡將是小明的5倍.又過幾年后,祖父的年齡是小明的4倍.求祖父今年多少歲?【答案】設(shè)小明今年x歲,祖父今年就是6x歲,y年后,祖父的年齡是小明的5倍則5(x+y)=6x+y即x=4y又設(shè)m年后,祖父的年齡是小明的4倍,則4(x+y+m)=6x+y+m即2x=3y+3m把x=4y代入2x=3y+3m,得8y=3y+3m即5y=3my=(3/5)m由于y是整數(shù),所以m=5、10、15、20、、、可算出y=3、6、9、12、、、、那么x=12、24、36、48、、、那祖父的年齡就是72、144、、、、很明顯，只有當(dāng)m=5，y=3，x=12時，祖父的年齡是72歲才符合實際。2.某次數(shù)學(xué)競賽準(zhǔn)備例2枝鉛筆作為獎品發(fā)給獲得一、二、三等獎的學(xué)生。原計劃一等獎每人發(fā)6枝，二等獎每人發(fā)3枝，三等獎每人發(fā)2枝。后又改為一等獎每人發(fā)9枝，二等獎每人發(fā)4枝，三等獎每人發(fā)1枝。問：一、二、三等獎的學(xué)生各有幾人？【答案】設(shè)一等獎有x人，二等獎有y人，三等獎有z人。則6x+3y+2z＝22=1\*GB3①9x+4y+z＝22=2\*GB3②由=2\*GB3②×2－=1\*GB3①，得12x+5y＝22y＝EQ\F(22－12x,5)x＝1x只能取1。y＝2，代入=1\*GB3①得z＝5，原方程的解為y＝2z＝5故一等獎的學(xué)生有1人，二等獎的學(xué)生有2人，三等獎的學(xué)生有5人。課程小結(jié)1、在一個問題中，如果未知數(shù)的個數(shù)多與題目中所給的條件，就會列出未知數(shù)比方程的個數(shù)多的方程，這樣的方程叫做不定方程。2、不定方程的解題思路是：給出一個未知數(shù)的值，代入求另一個的值。3、解題步驟：先根據(jù)題目中的條件縮小未知數(shù)的范圍，再逐個去試驗。課后作業(yè)【基礎(chǔ)】求下面方程組的自然數(shù)解。1.4x+3y－2z＝72.7x+9y+11z＝683x+2y+4z＝215x+7y+9z＝52【答案】1.x＝1y＝3z＝32.x＝3x＝4y＝4y＝2z＝1z＝2【鞏固】1.王老師家的電話號碼是七位數(shù),將前四位數(shù)組成的數(shù)與后四位數(shù)組成的數(shù)相加得9063;將前三位組成的數(shù)與后四位組成的數(shù)相加得2529.王老師家的電話號碼是多少？【答案】設(shè)電話號碼的前三位為x,后三位y,第四位為a(a≠0).由題意有①②①②①-②,化簡得.當(dāng)a=1時,x=837,y=692;當(dāng)a≥2時,y<0,不合題意.所以電話號碼為8371692.2.某單位職工到郊外植樹,其中的職工各帶一個孩子參加,男職工每人種13棵樹,女職工每人種10棵,每個孩子種6棵,他們共種了216棵樹,那么其中有女職工多少人？【答案】設(shè)有女職工x人,男職工y人,那么有孩子人.這個條件說明3|x+y.由已知即由12|4(x+y),12|72.所以12|y,又≤.所以，y=12,x=3.即有女職工3人.【拔高】1.一次數(shù)學(xué)競賽準(zhǔn)備了22支鉛筆作為獎品發(fā)給一、二、三等獎的學(xué)生,原計劃發(fā)給一等獎每人6支,二等獎每人3支,三等獎每人2支,后來改為一等獎每人9支,二等獎每人4支,三等獎每人1支,問:獲一、二、三等獎的學(xué)生各幾人?【答案】設(shè)獲一、二、三等獎的人數(shù)分別為,根據(jù)題意有:①②①②2×②得③③-①得④解④求得整數(shù)解為x=1,y=2.代入②可求得z=5.答:獲得一等獎的有1人,獲得二等獎的有2人,獲三等獎的有5人.2.采購員用一張1萬元支票去購物.購單價590元的A種物若干,又買