福建省名校聯(lián)盟部分中學(xué)2025屆高三上學(xué)期期中質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省名校聯(lián)盟部分中學(xué)2025屆高三上學(xué)期期中質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由可得，所以，所以故選：B.2.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】是增函數(shù)，又，，又增函數(shù)，則，故充分性成立；是增函數(shù)，，，又是增函數(shù)，，故必要性成立.即“”是“”的充要條件.故選：.3.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】由已知可得，所以，故選：A.4.若直線與曲線相切，則（）A.2 B.e C. D.【答案】C【解析】設(shè)切點(diǎn)為，則對(duì)求導(dǎo)有，故在處切線的斜率為，則由在直線上可得，解得，故.故選：C5.已知，均為銳角，若，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，，可得，，解得，所以，即.故選：D.6.已知，均為正實(shí)數(shù)，若，則的最小值為（）A.4 B.9 C.12 D.14【答案】B【解析】由題意，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào).故選：B7.已知平面向量，，，若，則的最大值為（）A. B.1 C. D.2【答案】D【解析】由，可得，解得，所以，故選：D.8.已知函數(shù)的圖象經(jīng)過四個(gè)象限，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】的圖象經(jīng)過四個(gè)象限，即當(dāng)時(shí)，有正有負(fù)，當(dāng)時(shí)，有正有負(fù)，又時(shí)，，時(shí)，，所以在和0,+∞均至少各有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，令，所以，設(shè)，，將其轉(zhuǎn)化為與在，的圖象由交點(diǎn)，，當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在，上單調(diào)遞減，在0,2上單調(diào)遞增，又，且x>0時(shí)，，作出y=gx圖象，由圖可知，.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A. B.是遞增數(shù)列C.當(dāng)時(shí)，取得最小值 D.若，則的最小值為11【答案】BD【解析】對(duì)于A，由題意可得，解得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故是遞增數(shù)列，故B正確；對(duì)于C，，所以，當(dāng)時(shí)，取到最小值，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，即，解得或，因?yàn)?，所以使的的最小值?1，故D正確.故選：BD10.已知函數(shù)滿足，則（）A.B.點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心C.在區(qū)間上單調(diào)遞減D.若函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，則【答案】ABD【解析】對(duì)A，，，即，故，解得，故A正確；對(duì)B，由A可得的一條對(duì)稱軸為，周期為，故的一對(duì)稱中心為，故對(duì)稱中心，取，即為，故B正確；對(duì)C，當(dāng)，即時(shí)，單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，，設(shè)，則兩個(gè)極值點(diǎn)滿足，由圖像可得，即，故D正確.故選：ABD11.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑵M足，則（）A. B. C.是偶函數(shù) D.【答案】ABD【解析】對(duì)A，令，得，即，故A正確；對(duì)B，令，得，即，故，故B正確；對(duì)C，令，則，由B，，故，用替代，即，再令，由得，即.若，則，為偶函數(shù)，取，得，由，令有，為偶函數(shù)有，故，即.取，得，與矛盾，故，此時(shí)，即為奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤.對(duì)D，由為奇函數(shù)可得，所以fx+4=-fx+2=fx，，，，所以，，故D正確.故選；ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知數(shù)列為等比數(shù)列，若，則數(shù)列的前6項(xiàng)和為______.【答案】【解析】由題意，公比為，則，故.故數(shù)列的前6項(xiàng)和為.故答案為：13.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則______.【答案】【解析】函數(shù)的定義域滿足，即，由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，得的定義域關(guān)于對(duì)稱，則的解集只能為，故.則，即，故，則，解得.故故答案為：14.在平面四邊形中，若，，，則的最大值為______.【答案】【解析】設(shè)，在中由余弦定理得，因?yàn)?，所以，由正弦定理得，所以，因?yàn)?，所以，在中，由余弦定理得，所以，，其中，所以?dāng)時(shí)，此時(shí)，綜上所述，的最大值為．故答案為：四、解答題：共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，離心率為.（1）求的方程；（2）已知點(diǎn)，直線過且與交于，兩點(diǎn)，若，求的方程.解：（1）右焦點(diǎn)為，離心率為，由橢圓的性質(zhì)知，焦距，因此；離心率公式為，解得；再根據(jù)橢圓的定義，代入和的值，可以求得.因此，橢圓的方程為.（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),顯然不滿足題意.當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),①當(dāng)斜率為0時(shí)，過的直線的方程為,此時(shí)，符合題意；②當(dāng)斜率不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為,,聯(lián)立,消去y,整理得，所以，，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為，則，,因?yàn)?，而，所?所以，即,解得或1,所以直線的方程為或.綜上所述,直線的方程為或或16.記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知.（1）求；（2）若，求面積的最大值.解：（1）由可得：，由正弦定理可得：，所以，因?yàn)锽∈0,π，所以所以.（2）由可得：，所以，由正弦定理可得：，所以，由正弦定理可得：，又因?yàn)椋?，所以面積為：，當(dāng)即時(shí)取等.所以面積的最大值為.17.如圖，三棱柱中，點(diǎn)在底面的射影為，，，，，是的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求三棱柱的體積.（1）證明：連接并延長(zhǎng)交于，連接，由題意平面，平面，所以，又，所以與全等，即，所以，又，即，所以，，所以，所以，即，所以為中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面.（2）解：過點(diǎn)作，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)，則有，，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，解得，即，所以三棱柱的體積為.18.已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；（2）若，求；（3）證明：.（1）解：當(dāng)時(shí)，，，x∈0,+∞，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以Fx在0,1上單調(diào)遞減，在1,+所以.（2）解：若，則，所以，設(shè)，x∈0,+∞所以，令，因?yàn)樵趚∈0,+∞上單調(diào)遞減，所以在x∈0,+∞上單調(diào)遞減，且，所以當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，所以在0,1上單調(diào)遞增，在1,+∞上單調(diào)遞減，所以，即，即，即，由（1）知，，即，所以.（3）證明：①當(dāng)時(shí)，由（1）可得，成立；②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，由（1）知，，則；當(dāng)時(shí)，，由（1）知，，即，所以，則，綜上所述，.19.若有窮數(shù)列滿足：①；②，則稱為數(shù)列.（1）已知是數(shù)列，寫出的所有可能值；（2）已知是數(shù)列，對(duì)任意給定的，將的所有可能取值從小到大排列構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列.（i）證明：當(dāng)時(shí)，是等差數(shù)列；（ii）求中所有項(xiàng)的和.解：（1），設(shè)，，故，因?yàn)榛?，?（2）（i），設(shè)，所以，不妨設(shè)是中所有可