廣東省深圳市寶安區(qū)2024屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省深圳市寶安區(qū)2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一?選擇題1.復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部之和是（）A.7 B.13 C.21 D.27【答案】B【解析】因?yàn)椋詮?fù)數(shù)的實(shí)部與虛部之和是，故選：B.2.已知集合，則的元素個(gè)數(shù)是（）A.0 B.1 C.2 D.無數(shù)【答案】C【解析】聯(lián)立整理得.由，得原方程組有兩組解，即中有2個(gè)元素，故選：C.3.某單位有職工500人，其中男性職工有320人，為了解所有職工的身體健康情況，按性別采用分層抽樣的方法抽取100人進(jìn)行調(diào)查，則抽取到的男性職工的人數(shù)比女性職工的人數(shù)多（）A.28 B.36 C.52 D.64【答案】A【解析】由題意可知抽取到的男性職工人數(shù)為，女性職工人數(shù)為，則抽取到的男性職工的人數(shù)比女性職工的人數(shù)多.故選：A.4.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由，則，即，即，解得得，則不能推出，能推出，則“”是“”的必要不充分條件.故選：B.5.已知函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】是增函數(shù)，也是增函數(shù)，所以是上的增函數(shù).因?yàn)樵趦?nèi)有零點(diǎn)，所以，解得.故選：A6.如圖，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，不經(jīng)過焦點(diǎn)的直線上有三個(gè)不同的點(diǎn)，其中點(diǎn)在該拋物線上，點(diǎn)在軸上，若，則（）A. B. C. D.3【答案】D【解析】設(shè),，由，根據(jù)拋物線定義可得，故，，過，分別作軸的垂線，過作軸的垂線，垂足為，明顯，所以.故選：D7.若函數(shù)的最大值是，則常數(shù)的值可能是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)椋渲?，所以，所以，?duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)，，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)，，故D錯(cuò)誤，故選：B.8.已知是球的直徑上一點(diǎn)，，平面，為垂足，截球所得截面的面積為，為上的一點(diǎn)，且，過點(diǎn)作球的截面，則所得的截面面積最小的圓的半徑為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖，設(shè)截得的截面圓的半徑為，球的半徑為，因?yàn)?，所?由勾股定理，得，由題意得，所以，解得，此時(shí)過點(diǎn)作球的截面，若要所得的截面面積最小，只需所求截面圓的半徑最小.設(shè)球心到所求截面的距離為，所求截面的半徑為，則，所以只需球心到所求截面的距離最大即可，而當(dāng)且僅當(dāng)與所求截面垂直時(shí)，球心到所求截面的距離最大，即，所以.故選：C二?多選題9.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則是等比數(shù)列B.若是等比數(shù)列，則C.若，則是等比數(shù)列D.若是等比數(shù)列，且，則【答案】BCD【解析】當(dāng)時(shí)，滿足，但不是等比數(shù)列，則A錯(cuò)誤由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，則B正確.由，得，則，當(dāng)時(shí)，，則，從而可知是等比數(shù)列，則C正確.由，得.由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，，即，解得，再代入結(jié)合C選項(xiàng)可知此時(shí)為等比數(shù)列，則D正確.故選：BCD.10.直線與圓，則（）A.圓的半徑為2B.直線過定點(diǎn)C.直線與圓一定有公共點(diǎn)D.圓的圓心到直線的距離的最大值是3【答案】BCD【解析】對(duì)于A項(xiàng)，將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得，，所以圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為3.故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，直線可化為，由可得，，所以直線過定點(diǎn)，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，直線過定點(diǎn)，所以，直線與圓一定有公共點(diǎn)故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，設(shè)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大，所以，圓的圓心到直線的距離的最大值是，故D項(xiàng)正確.故選：BCD.11.若直線與曲線相切，則的取值可能為（）A.1 B.2 C.3 D.6【答案】BCD【解析】設(shè)切點(diǎn)為，因?yàn)?，所?又因?yàn)榍悬c(diǎn)在直線上，所以，解得，所以，令，則，令，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，又當(dāng).故的取值范圍為.故選：BCD.12.正三棱柱中，，，，分別為，，的中點(diǎn)，為棱上的動(dòng)點(diǎn)，則（）A.平面平面B.點(diǎn)到平面的距離為C.與所成角的余弦值的取值范圍為D.以為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線長(zhǎng)為【答案】ACD【解析】對(duì)于A，取的中點(diǎn)，連接，，易知也是的中點(diǎn)，在中，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，在中，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?，平面，，所以平面．又因?yàn)槠矫?，所以平面平面，A正確．對(duì)于B，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，易知，，取中點(diǎn)為，連接，因?yàn)椋瑒t，因底面，且面，則，又因?yàn)槠矫?，且，所以平面，且，因?yàn)?，所以，解得，B錯(cuò)誤．對(duì)于C，取的中點(diǎn)，連接，易知．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量，，的方向分別為，，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則.，設(shè)，，，，設(shè)與所成的角為，則．令（），則，當(dāng)即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)在上單調(diào)遞減可知；當(dāng)，即時(shí)，同理根據(jù)對(duì)勾函數(shù)在上單調(diào)遞減可知．綜上，與所成角的余弦值的取值范圍為，C正確．對(duì)于D，由A選項(xiàng)中的結(jié)論知平面，．又因?yàn)榍蛎娴陌霃綖椋砸詾榍蛐?，為半徑的球面與側(cè)面的交線（圓的一部分）的半徑為．如圖，，，所以，解得，由圓與正方形的對(duì)稱性知，所以球面與側(cè)面的交線長(zhǎng)為，D正確．故選：ACD.三?填空題13.已知單位向量滿足，則__________.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，所以，則，故.故答案為：14.函數(shù)是奇函數(shù)，則__________.【答案】1【解析】因?yàn)椋?，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，即，所以，解得，則.故答案為：115.為了檢查學(xué)生的身體素質(zhì)情況，從田徑類3項(xiàng)，球類2項(xiàng)，武術(shù)類2項(xiàng)共7項(xiàng)項(xiàng)目中隨機(jī)抽取3項(xiàng)進(jìn)行測(cè)試，則恰好抽到兩類項(xiàng)目的概率是__________.【答案】【解析】從這7項(xiàng)項(xiàng)目中隨機(jī)抽取3項(xiàng)的情況有種，抽取的3項(xiàng)屬同一類的情況有種，抽取的3項(xiàng)包含三類的情況有種，則符合條件的情況有種，所以所求概率為.故答案為：16.已知橢圓的左焦點(diǎn)為，直線與交于，兩點(diǎn)，若，則的離心率是__________.【答案】【解析】設(shè)，因?yàn)?，所以，所?聯(lián)立整理得，則，，從而，整理得，故，故答案為：.四?解答題17.在中，角的對(duì)邊分別是，且.（1）求角的值；（2）若的面積為，求的周長(zhǎng).解：（1）因?yàn)?，所以，所以，所以，則或（舍去）.因?yàn)?，所?（2）因?yàn)榈拿娣e為，所以，則.由余弦定理可得，則，即，解得.故的周長(zhǎng)為.18.在等差數(shù)列中，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，則，解得，.故.（2）由（1）可得，則，故.19.已知某地中學(xué)生的男生和女生的人數(shù)比例是，為了解該地中學(xué)生對(duì)羽毛球和乒乓球的喜歡情況，現(xiàn)隨機(jī)抽取部分中學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，了解到該地中學(xué)生喜歡羽毛球和乒乓球的概率如下表：男生女生只喜歡羽毛球0.30.3只喜歡乒乓球0.250.2既喜歡羽毛球，又喜歡乒乓球0.30.15（1）從該地中學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，已知抽取的這名中學(xué)生喜歡羽毛球，求該中學(xué)生也喜歡乒乓球的概率；（2）從該地中學(xué)生中隨機(jī)抽取100人，記抽取到的中學(xué)生既喜歡羽毛球，又喜歡乒乓球的人數(shù)為，求的分布列和期望.解：（1）記事件表示從該地中學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，被抽取的這名中學(xué)生喜歡羽毛球，事件表示從該地中學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，被抽取的這名中學(xué)生喜歡乒乓球，則，，所以所求概率.（2）由（1）知從該地中學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，被抽取的這名中學(xué)生既喜歡羽毛球，又喜歡乒乓球的概率，因此，所以的分布列為，期望為.20.如圖，在圓錐中，是圓的直徑，且是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，為圓弧的兩個(gè)三等分點(diǎn)，是的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.（1）證明：取的中點(diǎn)，連接.因?yàn)闉閳A弧的兩個(gè)三等分點(diǎn)，所以.因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，則，從而四邊形為平行四邊形，故.因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?（2）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)?，所以，，則.設(shè)平面法向量為，則令，得設(shè)平面的法向量為，則令，得.設(shè)平面與平面所成銳二面角為，則.故平面與平面所成銳二面角的余弦值為.21.已知雙曲線的離心率是3，點(diǎn)在上.（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線與相切，且與的兩條漸近線分別交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.解：（1）由題可得，解得，故的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線，聯(lián)立，整理得，則，即.由（1）可知的漸近線方程為和，不妨設(shè)直線與直線的交點(diǎn)為，與直線的交點(diǎn)為，聯(lián)立，解得，即，聯(lián)立解得，即，則，，