廣東省深圳市光明區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省深圳市光明區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考生號(hào)、考場號(hào)和座位號(hào)填寫在答題卡上.用2B鉛筆將試卷類型填涂在答題卡相應(yīng)位置上.將條形碼橫貼在答題卡指定區(qū)域.2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知，，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由于，所以直線的傾斜角為.故選：A2.已知橢圓方程為，則該橢圓的短軸長為（）A.4 B. C.8 D.【答案】B【解析】橢圓方程為，即，所以，所以短軸長為.故選：B3.已知空間中兩條不同的直線，，其方向向量分別為，，則“，共線”是“直線，平行”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】若直線的方向向量，共線，則兩直線平行或重合，又因?yàn)橹本€，是空間中兩條不同的直線，所以兩直線，平行，即“，共線”是“直線，平行”的充分條件；若直線，平行，則，共線，即“，共線”是“直線，平行”的必要條件；綜上，“，共線”是“直線，平行”的充分必要條件.故選：C4.已知圓：與圓：，若圓與圓有且僅有一條公切線，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意知，，因?yàn)閳A與圓有且僅有一條公切線，所以兩圓內(nèi)切，故，即，解得.故選：C.5.如圖，在棱長為1的正方體中，為線段的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在棱長為1的正方體中，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，,設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則,即，令，則，則點(diǎn)到平面的距離為，故選：C6.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A.150 B.120 C.75 D.68【答案】D【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，所以，，故選：D.7.已知拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，與軸平行的直線與和分別交于，兩點(diǎn)，若直線的斜率為，則（）A.4 B.或4 C.4或 D.【答案】C【解析】拋物線：的，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為，焦點(diǎn)為，直線的方程為，由消去并化簡得，解得或，所以或，C選項(xiàng)正確.故選：C8.已知直線過雙曲線：的左焦點(diǎn)，且與的左、右兩支分別交于，兩點(diǎn)，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若是以為底邊的等腰三角形，則直線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)，，兩式相減并化簡得，即，當(dāng)時(shí)，設(shè)直線的傾斜角為，是以為底邊的等腰三角形，所以，所以，則.根據(jù)對(duì)稱性可知，當(dāng)時(shí)，，綜上所述，直線的斜率為.故選：D二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，至少有兩個(gè)是符合題目要求的，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9.下列命題說法正確的有（）A.已知直線：與直線：，若，則或B.點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為C.直線過定點(diǎn)D.過點(diǎn)且在軸，軸上的截距相等的直線方程為【答案】BC【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，直線：與直線：重合，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，以點(diǎn)與為端點(diǎn)的線段中點(diǎn)在直線上，又過點(diǎn)與的直線斜率，則該直線垂直于直線，因此點(diǎn)與關(guān)于直線對(duì)稱，B正確；對(duì)于C，直線化為：，由，解得，因此直線過定點(diǎn)，C正確；對(duì)于D，過點(diǎn)且在軸，軸上的截距相等的直線可以過原點(diǎn)，其方程為，D錯(cuò)誤.故選：BC10.如圖所示，平行六面體中，，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長都為2，且，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.平面 D.【答案】ACD【解析】設(shè)，可得，則，對(duì)于A中，根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則，可得，則，所以，即，所以A正確；對(duì)于B中，由，，則，所以B不正確；對(duì)于C中，如圖所示，連接交于點(diǎn)，分別連接，可得分別為的中點(diǎn)，可得且，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫妫移矫?，所以平面，所以C正確；對(duì)于D中，由，可得，所以，所以，所以D正確.故選：ACD.11.對(duì)于正項(xiàng)數(shù)列，定義為數(shù)列的“勻稱值”.已知數(shù)列的“勻稱值”為，的前項(xiàng)和為，則下列關(guān)于數(shù)列的描述正確的有（）A.數(shù)列為遞增數(shù)列B.數(shù)列為等差數(shù)列C.D.記，則數(shù)列的最大項(xiàng)為【答案】ABD【解析】依題意，①，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，②，①-②得，當(dāng)時(shí)上式也符合，所以，是單調(diào)遞增數(shù)列，A選項(xiàng)正確.，所以是等差數(shù)列，所以B選項(xiàng)正確.，所以，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.，，當(dāng)時(shí)，，，，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以數(shù)列的最大項(xiàng)為，D選項(xiàng)正確.故選：ABD12.已知點(diǎn)在拋物線：（）的準(zhǔn)線上，過拋物線的焦點(diǎn)作直線交于、兩點(diǎn)，則（）A.拋物線的方程是 B.C.當(dāng)時(shí)， D.【答案】ABD【解析】對(duì)選項(xiàng)A，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線：（）的準(zhǔn)線上，又拋物線：（）的準(zhǔn)線方程：，所以，即，所以拋物線的方程是，故A正確；對(duì)選項(xiàng)B，因?yàn)閽佄锞€的方程是，所以焦點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，代入，得，所以，故B正確；對(duì)選項(xiàng)C，因?yàn)?，，，所以，由選項(xiàng)B可知，所以，又因?yàn)?，得，，所以，故C不正確；對(duì)選項(xiàng)D，因?yàn)橹本€的方程為，所以，，所以，，所以，所以，由選項(xiàng)B可知，，所以，所以，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.雙曲線的漸近線方程為______.【答案】【解析】由得，即，焦點(diǎn)在軸上，所以漸近線方程為.故答案為：14.已知數(shù)列滿足：，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為______.【答案】【解析】由題意知數(shù)列滿足：，，故，,也適合該式，故，故答案為：15.已知平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)，的距離分別為和，且，則點(diǎn)到直線的距離d的取值范圍為___.【答案】【解析】設(shè)，則，兩邊平方得，整理得，則點(diǎn)在以為圓心半徑為的圓上運(yùn)動(dòng)，圓心到直線的距離為，則點(diǎn)到直線的距離d的取值范圍為.故答案為：.16.設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，焦距為，點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，橢圓上存在點(diǎn)使得成立，則橢圓的離心率的取值范圍為______.【答案】【解析】點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，則，.因?yàn)?，?dāng)是的延長線與橢圓的交點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，由于橢圓上存在點(diǎn)使得成立，所以，綜上所述，離心率的取值范圍是.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.如圖，在正四棱柱中，底面邊長為2，高為4.（1）證明：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.解：（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，因?yàn)?，，所以，，即，，又因?yàn)?，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平面；?）由（1）得，，設(shè)平面一個(gè)法向量為，則取，，設(shè)直線與平面所成角為，則.所以直線與平面所成角的正弦值為.18.已知的頂點(diǎn)，邊上的中線所在直線方程，邊上的高為，垂足.（1）求頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求直線的方程.解：（1）直線的斜率為，從而的直線方程為：，即，聯(lián)立方程與中線所在直線方程，可得，故點(diǎn)的坐標(biāo)為.（2）因?yàn)闉檫吷系母?，所以的直線方程為：.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由點(diǎn)在直線上可得；的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足直線方程，即，故可得，即點(diǎn)坐標(biāo)為.則直線的斜率為，故直線方程為：.19.記為數(shù)列的前項(xiàng)和.（1）若為等差數(shù)列，滿足，求公差d；（2）已知，，且數(shù)列是等差數(shù)列，證明：是等差數(shù)列.解：（1）由為等差數(shù)列，由可得：，解得；（2）設(shè)等差數(shù)列的公差為d（d為常數(shù)）.∵是等差數(shù)列，所以當(dāng)時(shí)，，∴∴，∴①，當(dāng)時(shí)，②，由①②得③，又當(dāng)時(shí)，成立，∴，，當(dāng)時(shí)，，∴是等差數(shù)列.20.已知圓的圓心在直線上且與軸相切，圓被直線截得的弦長為4.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）從圓外一點(diǎn)向圓引一條切線，切點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，求的最小值.解：（1）因?yàn)閳A心在上且與軸相切，所以設(shè)圓心，半徑為，所以圓方程為，又圓心到直線距離，圓被直線截得弦長為4，所以有：，解得，所以圓方程為：；（2）解法一：因?yàn)?，又因?yàn)?，所以，設(shè)，則，即，所以點(diǎn)軌跡方程為.因，所以的最小值就是的最小值，即為點(diǎn)到直線的距離，所以的最小值為.解法二：因?yàn)椋忠驗(yàn)?，所以，設(shè)，則，即，，，當(dāng)時(shí)，取得最小值：，所以的最小值為.21.在如圖所示的多面體中，四邊形為菱形，在梯形中，，，，平面平面.（1）證明：；（2）若直線與平面所成的角為，為棱上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），試探究上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面夾角的余弦值為？若存在，求出的長；若不存在，請(qǐng)說明理由.解：（1）因?yàn)槠矫嫫矫?，，平面，平面平面，所以平面，又平面，故，因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以，又，，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以；?）設(shè)，由（1）可知，平面，故直線與平面所成的角為，所以，則與均為邊長為2的等邊三角形，以為原點(diǎn)，，分別為，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖：由平面，可得平面的法向量為，而，，，設(shè)（），則，，，設(shè)平面的法向量，則，取，可得，，故，所以平面與平面夾角的余弦值為，解得或0（舍去），所以存在一點(diǎn)使得平面與平面夾角的余弦值為，此時(shí)的長為1..22.已知橢圓：（）過點(diǎn)，過其右焦點(diǎn)且垂直于軸的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，且.（1）求橢圓的方程；（2）若矩形各邊均與橢圓相切，①證明：矩形的對(duì)角線長為定值；②求矩形周長的最大