河北省邯鄲市2025屆高三上學期新高考單科模擬卷（11月期中）數(shù)學試題（四）（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1河北省邯鄲市2025屆高三上學期新高考單科模擬卷（11月期中）數(shù)學試題（四）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.某校高二年級15個班參加朗誦比賽的得分如下：858687888990919192939394959799則這組數(shù)據(jù)的40%分位數(shù)為（）A.90 B.91 C.90.5 D.92【答案】C【解析】由題意，，故這組數(shù)據(jù)的40%分位數(shù)為從小到大第6，7位數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即.故選：C.2.已知圓C：及點，則下列說法正確的是（

）A.直線與圓C始終有兩個交點B.若M是圓C上任一點，則|MQ|的取值范圍為C.若點在圓C上，則直線PQ的斜率為D.圓C與軸相切【答案】B【解析】依題意，圓C：，圓心，半徑，對于A，直線恒過定點，而點在圓C外，則過點的直線與圓C可能相離，故A不正確；對于B，，點Q在圓C外，由得：，故B正確.對于C，點在圓C上，則，解得，而點，則直線PQ的斜率為，故C不正確；對于D，點到x軸距離為7，大于圓C的半徑，則圓C與軸相離，即圓C與x軸不相切，故D不正確；故選：B3.已知向量滿足與垂直，則的最小值為（）A. B. C.1 D.3【答案】C【解析】由與垂直，得，則，所以1，所以當時，的最小值為故選：C4.高一（1）班有8名身高都不相同的同學去參加紅歌合唱，他們站成前后對齊的2排，每排4人，則前排的同學都比后排對應的同學矮的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】名身高都不相同的同學站在8個不同的位置有種站法，將8名同學分為4組，每組2人，則有種分法，4組人有種站法，故所求概率.故選：D.5.已知數(shù)列,的前n項和分別為,，記，則數(shù)列的前2024項和為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】當時，；當時，所以.故選：A.6.已知球的直徑，，，是球球面上的三點，是等邊三角形，且，則三棱錐的體積為（）.A B. C. D.【答案】B【解析】設球心為，等邊三角形截面小圓的圓心為（也是等邊三角形的中心）.由于是等邊三角形，，所以平面，在面的投影即，也即等邊三角形的中心，且平面，則.因為是直徑，所以.所以，.由于是等邊三角形的中心，所以，所以等邊三角形的高，.所以三棱錐的體積為.故選：B.7.已知，且，則可能為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得，所以，所以，整理得，，所以或，所以或，①當時，，，因為，所以，所以，因為，所以，②當時，，因為，所以，由于，所以解得，③當時，，因為，所以，由于，所以解得，綜上，，或，或，故選：B8.已知f(x)為奇函數(shù)，當x∈[0,1]時，當，若關于x的不等式f(x+m)>f(x)恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為（）A.(-1,0)∪(0,+∞) B.C. D.(2,+∞)【答案】B【解析】若，，則，，則，是奇函數(shù)，，則，，，若，，則，，則，則，，，作出函數(shù)的圖象如圖：當時，的圖象向左平移，如圖，當?shù)膱D象與在相切時，，此時對應直線斜率，由，即，得．此時，又切點在直線上，所以切點坐標為，即，解得，所以當時，不等式恒成立.當時，的圖象向右平移，如圖，顯然不等式不恒成立.綜上的取值范圍是，故選：．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列選項中的兩個集合相等的有（）.A.B.C.D.【答案】AC【解析】對于A：集合表示偶數(shù)集，集合也表示偶數(shù)集，所以，故A正確；對于B：，，所以，故B錯誤；對于C：，又，所以，即，所以，故C正確；對于D：集合為數(shù)集，集合為點集，所以，故D錯誤；故選：AC10.如圖，一個質點在半徑為2的圓上以點為起始點，沿逆時針方向運動，每轉一圈.則該質點到軸的距離是關于運動時間的函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期是B.函數(shù)的最小正周期是C.D.【答案】AD【解析】由題可知，該質點的角速度為，由于起始位置為點，沿逆時針方向運動，設經(jīng)過時間s之后所成的角為，則，根據(jù)三角函數(shù)定義可知點的縱坐標為，所以該質點到軸的距離，可得D正確，C錯誤；由解析式可知其最小正周期為，即A正確，B錯誤；故選：AD11.定義：對于定義在區(qū)間I上的函數(shù)和正數(shù)，若存在正數(shù)M，使得不等式對任意恒成立，則稱函數(shù)在區(qū)間I上滿足階李普希茲條件，則下列說法正確的有（）A.函數(shù)在上滿足階李普希茲條件B.若函數(shù)在上滿足一階李普希茲條件，則M的最小值為C.若函數(shù)在上滿足的一階李普希茲條件，且方程在區(qū)間上有解，則是方程在區(qū)間上的唯一解D.若函數(shù)在上滿足的一階李普希茲條件，且，則對任意函數(shù)，，恒有【答案】ACD【解析】A選項：不妨設，，即，故，對，均有，A選項正確；B選項：不妨設，在單調遞增，，，即，即對，恒成立，即在上單調遞減，對恒成立，所以對恒成立，即，即的最小值為，B選項錯誤；C選項：假設方程在區(qū)間上有兩個解，，則，這與矛盾，故只有唯一解，C選項正確；D選項：不妨設，當時，，當時，，故對，，故D選項正確；故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知復數(shù)（且），為虛數(shù)單位，則x在復平面內對應的點所在的象限為__________象限.【答案】第二【解析】易知復數(shù)在復平面內對應的點坐標為，由，可知，，故z在復平面內時對應的點所在的象限為第二象限.13.已知函數(shù)，若曲線與曲線存在公切線，則實數(shù)的最大值為__________．【答案】【解析】，假設兩曲線在同一點處相切，則，可得，即，因為函數(shù)單調遞增，且時，所以，則，此時兩曲線在處相切，根據(jù)曲線的變化趨勢，若，則兩曲線相交于兩點，不存在公切線，如圖，所以的最大值為.14.地球儀是地理教學中的常用教具.如圖1所示，地球儀的赤道面(與轉軸垂直)與黃道面(與水平面平行)存在一個夾角，即黃赤交角，大小約為23.5°.為鍛煉動手能力，某同學制作了一個半徑為4cm的地球儀(不含支架)，并將其放入豎直放置的正三棱柱中(姿態(tài)保持不變)，使地球儀與該三棱柱的三個側面相切，如圖2所示.此時平面恰與地球儀的赤道面平行，則三棱柱的外接球體積為___________.(參考數(shù)據(jù)：)【答案】【解析】由題設可知平面與面的夾角為，取中點M，中點N，連接MN由二面角的定義可知為平面與面的夾角，即設正三棱柱的底面邊長為，高為h，則所以，則又地球儀與該三棱柱的三個側面相切，即地球儀的最大圓與底面正三角形內切，所以內切圓的半徑，解得所以三棱柱的高，底面邊長為設三棱柱上、下底面中心，連線的中點O為球心，在直角，，所以三棱柱外接球的半徑所以體積.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.為落實中央“堅持五育并舉，全面發(fā)展素質教育，強化體育鍛煉”的精神，某高中學校鼓勵學生自發(fā)組織各項體育比賽活動，甲?乙兩名同學利用課余時間進行乒乓球比賽，規(guī)定：每一局比賽中獲勝方記1分，失敗方記0分，沒有平局，首先獲得5分者獲勝，比賽結束.假設每局比賽甲獲勝的概率都是.（1）求比賽結束時恰好打了6局的概率；（2）若甲以3：1的比分領先時，記X表示到結束比賽時還需要比賽的局數(shù)，求X的分布列及期望.解：（1）比賽結束時恰好打了6局，甲獲勝的概率為，恰好打了6局，乙獲勝的概率為，所以比賽結束時恰好打了6局的概率為.（2）X的可能取值為2，3，4，5，，，，.所以X的分布列如下：2345故.16.已知，，其中，函數(shù)的最小正周期為.（1）求函數(shù)的單調遞增區(qū)間；（2）在銳角中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且滿足，求的取值范圍.解：（1）因為，，則，，故，因為最小正周期為，所以，所以，故，由，，解得，，所以的單調遞增區(qū)間為，.（2）由（1）及，即，又，所以，解得，又為銳角三角形，即，即，解得；由正弦定理得，又，則，所以.17.如圖，在正三棱錐中，有一半徑為1的半球，其底面圓O與正三棱錐的底面貼合，正三棱錐的三個側面都和半球相切．設點D為BC的中點，．（1）用分別表示線段BC和PD長度；（2）當時，求三棱錐的側面積S的最小值．解：（1）連接OP，由題意O為的中心，且面ABC，又面ABC，所以，所以為直角三角形．設半球與面PBC的切點為E，則且．在中，，所以．在中，．（2）由題知，，化簡得，，令，則上述函數(shù)變形為，，所以，令，得．當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以當時，三棱錐的側面積S的最小值為．18.如圖，D為圓O：上一動點，過點D分別作x軸，y軸的垂線，垂足分別為A，B，連接并延長至點W，使得，點W的軌跡記為曲線．（1）求曲線C的方程；（2）若過點的兩條直線，分別交曲線C于M，N兩點，且，求證：直線MN過定點；（3）若曲線C交y軸正半軸于點S，直線與曲線C交于不同的兩點G，H，直線SH，SG分別交x軸于P，Q兩點．請?zhí)骄浚簓軸上是否存在點R，使得？若存在，求出點R坐標；若不存在，請說明理由．解：（1）設，，則，由題意知，所以，得(，所以，因為，得，故曲線C的方程為．（2）由題意可知，直線不平行坐標軸，則可設的方程為：，此時直線的方程為．由，消去得：，解得：或(舍去)，所以，所以，同理可得：．當時，直線的斜率存在，，則直線的方程為，所以直線過定點．當時，直線斜率不存在，此時直線方程為：，也過定點，綜上所述：直線過定點．（3）假設存在點R使得，設，因為，所以，即，所以，所以，直線與曲線C交于不同的兩點G、H，易知G、H關于軸對稱，設，易知點，直線方程是，令得點P橫坐標，直線方程是，令得點Q橫坐標，由，得，又在橢圓上，所以，所以，解得，所以存在點，使得成立．19.對于無窮數(shù)列，“若存在（、，且），必有”，則稱數(shù)列具有性質.（1）若數(shù)列滿足，判斷數(shù)列否具有性質？數(shù)列是否具有性質？（2）對于無窮數(shù)列，設，求證：若數(shù)列具有性質，則必為有限集（3）已知是各項均為正整數(shù)的數(shù)列，且既具有性質，又具有性質，是否存在正整數(shù)，使得，，，…，，…成等差數(shù)列.若存在，請加以證明；若不存在，說明理由.解：（1）因為，，但，所以數(shù)列不具有性質，設（、，且），因為，必有，所以數(shù)列具有性質.（2）因為數(shù)列具有性質，所以一定存在一組最小的且（、），滿足，即，由性質的含義可得，，，…，，，所以數(shù)