滬科版九年級數(shù)學(xué)上冊期末復(fù)習(xí) 第21章 二次函數(shù)與反比例函數(shù)易錯訓(xùn)練與壓軸訓(xùn)練（5易錯+7壓軸）

第二十一章二次函數(shù)與反比例函數(shù)易錯訓(xùn)練與壓軸訓(xùn)練01思維導(dǎo)圖01思維導(dǎo)圖目錄TOC\o"1-3"\h\u易錯題型一忽略二次項系數(shù)為0 1易錯題型二求函數(shù)取值范圍時忽略拋物線頂點位置 4易錯題型三混淆“與x軸交點”和“與坐標(biāo)軸交點” 7易錯題型四忽視反比例函數(shù)中k不為0 7易錯題型五已知圖形面積求反比例函數(shù)中k的值，忽視圖象位置 7壓軸題型一與線段有關(guān)的最值 13壓軸題型二運用二次函數(shù)區(qū)間最值求參數(shù) 15壓軸題型三與利潤有關(guān)的最值 17壓軸題型四與面積有關(guān)的最值 19壓軸題型五存在性問題 19壓軸題型六二次函數(shù)的實際應(yīng)用 19壓軸題型七反比例函數(shù)的綜合問題 19002易錯題型易錯題型一忽略二次項系數(shù)為0例1．（23-24九年級上·江蘇泰州·階段練習(xí)）若y=m?1xm2+m是關(guān)于xA．?2 B．?2或1 C．1 D．0鞏固訓(xùn)練1．（23-24九年級上·安徽黃山·期中）若y=m?2xm2?2A．?2或2 B．4 C．2 D．?22．（23-24九年級上·山東煙臺·期中）已知函數(shù)y=m?4xm?2是關(guān)于xA．0或4 B．0 C．2 D．43．（23-24九年級上·湖北十堰·階段練習(xí)）若y=(m+1)xm2?4m+5是二次函數(shù)，則A．7 B． C．或7 D．以上都不對易錯題型二求函數(shù)取值范圍時忽略拋物線頂點位置例2．（23-24九年級上·河北邢臺·期末）函數(shù)y=x2+2x?3(?2≤x≤2)A．4和?3 B．5和?3 C．5和?4 D．和4鞏固訓(xùn)練1．（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知二次函數(shù)y=x2?4x+3的圖象經(jīng)過點P，點P的橫坐標(biāo)為m，當(dāng)時，總有，則m的值為（

A．4+13 B．4?13 C．4±132．（24-25九年級上·全國·假期作業(yè)）當(dāng)a?2≤x≤a時，二次函數(shù)y=x2?4x+3的最小值為15，則aA．?2或8 B．8 C．6 D．?2或63．（2023·安徽·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=x2?2ax+（1）當(dāng)拋物線經(jīng)過1,4時，a=．（2）當(dāng)a=1時，?1≤x≤m時，4≤y≤8，則m的取值范圍是．易錯題型三混淆“與x軸交點”和“與坐標(biāo)軸交點”例3.（23-24九年級上·浙江杭州·開學(xué)考試）已知函數(shù)y=mx2?2x+m+2的圖象與坐標(biāo)軸只有兩個交點，則鞏固訓(xùn)練1．（23-24九年級上·江蘇無錫·期末）若二次函數(shù)y=x2+2x?b的圖象與坐標(biāo)軸有兩個公共點，則b2．（23-24九年級上·江蘇宿遷·期中）函數(shù)y=kx2+3x?4+k與坐標(biāo)軸有兩個公共點，求k3．（23-24九年級上·江西宜春·期末）已知拋物線，y2=?x2?x+a，若這兩條拋物線與x軸共有3個交點，則易錯題型四忽視反比例函數(shù)中k不為0例4．（23-24八年級下·江蘇淮安·階段練習(xí)）已知反比例函效y=k?1x，則k不可以取下列的哪個值（A． B．0 C．1 D．2鞏固訓(xùn)練1．（23-24九年級上·廣東佛山·期中）如果函數(shù)y=m?1xm?2是反比例函數(shù)，那么A．2 B． C．1 D．2．（20-21九年級上·廣東深圳·階段練習(xí)）若函數(shù)y=m+1xm2+3m+1A．m=?2 B．m=1 C．m=1或m=?2 D．m=?1或m=?23．（22-23九年級上·全國·單元測試）已知函數(shù)y=k2+2kxkA．1 B． C．0或 D．易錯題型五已知圖形面積求反比例函數(shù)中k的值，忽視圖象位置例5．（23-24八年級下·山東煙臺·期末）如圖，A是反比例函數(shù)圖象上一點，過點A作AB⊥y軸于點B，點P在x軸上，OP=AB，四邊形ABPO的面積為12，則這個反比例函數(shù)的表達式為．鞏固訓(xùn)練1．（2024·河南商丘·模擬預(yù)測）如圖，在△AOB中，AO=AB，點B在x軸上，C、D分別為OA、OB的中點，連接CD，E為CD上任意一點，連接AE、，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點A．若△ABE的面積為6，則k的值為．2．（23-24八年級下·浙江寧波·期末）如圖，點A、B是反比例函數(shù)y=kxk≠0圖象上的兩點，直線AB交y軸正半軸于點C，連接AO并延長交反比例函數(shù)圖象的另一支于點D，過點D作∠CAO的角平分線的垂線，垂足為點E，若點B是線段AC的中點且S△ABE3．（2024·江蘇南京·三模）如圖，點P是反比例函數(shù)y1=k1xk1≠0的圖象上任意一點，過點P作PM⊥x軸，垂足為M，線段PM交反比例函數(shù)y2003壓軸題型壓軸題型一與線段有關(guān)的最值例1.（23-24九年級上·陜西西安·期末）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A?3,0、B1,0兩點，與y軸交于點C0,3，其頂點為D，對稱軸

(1)求拋物線的解析式；(2)若點P是該拋物線對稱軸l上的一個動點，求的最小值．鞏固訓(xùn)練1．（2024·四川自貢·模擬預(yù)測）綜合與探究如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+3xa≠0與x軸交于點A，與直線y=?x交于點B?4,4，點C在y軸上，且坐標(biāo)為0,4，點D為直線OB下方拋物線上的一點，連接CD與OB交于點E．點P是線段OB上的一動點，從點B出發(fā)向點O勻速運動，同時點Q從點O出發(fā)，以與P大小相同的速度沿x軸負方向勻速運動，當(dāng)點P到達點O(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)CD⊥OB時，則△COE的面積為(3)當(dāng)時，求點D的坐標(biāo)；(4)的最小值是．2．（23-24九年級上·廣西南寧·開學(xué)考試）如圖，已知拋物線與x軸交于A?1,0、B3,0兩點，與y軸相交于點C，直線y=?2x+3經(jīng)過點C，與x軸交于點(1)求該拋物線的解析式；(2)在拋物線的對稱軸上找一點Q，使△ACQ的周長最小，求點Q(3)點P是（1）中拋物線上的一個動點，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為t0<t<3，是否存在△PCD是以CD為底的等腰三角形？若存在，求點P3．（2024·寧夏銀川·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=12x2+bx+c與直線AB(1)求該拋物線的函數(shù)解析式；(2)如圖①，若點H是拋物線的頂點，在x軸上存在一點G，使△AHG的周長最小，求此時點G(3)如圖②，點P為直線AB下方拋物線上的一動點，過點P作PM⊥AB交AB于點M，過點P作y軸的平行線交x軸于點N，求2PM+PN的最大值及此時點P壓軸題型二運用二次函數(shù)區(qū)間最值求參數(shù)例2.（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+3(1)若該函數(shù)圖象的對稱軸為直線x=?1，求該函數(shù)的表達式．(2)在（1）的條件下，當(dāng)n≤x≤n+4時，函數(shù)y有最小值?5，求n的值．(3)已知a>0，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點x1,y1，x2,y2，鞏固訓(xùn)練1．（23-24九年級上·浙江紹興·期中）如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸相交于A，B兩點，與y軸相交于點C，對稱軸為直線，頂點為D，點B的坐標(biāo)為(1)填空：點A的坐標(biāo)為______，點D的坐標(biāo)為______，拋物線的解析式為______；(2)P是拋物線對稱軸上一動點，是否存在點P，使△PAC是以AC為斜邊的直角三角形？若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；(3)當(dāng)二次函數(shù)y=x2+bx+c的自變量x滿足m≤x≤m+2時，函數(shù)y的最小值為52．（2024·山東臨沂·模擬預(yù)測）如圖，拋物線y=ax2?4ax+3a交x軸于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），交y軸正半軸于點C，OB=OC(1)求拋物線的解析式；(2)連接AP，將線段AP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，點P恰好落在y軸上，求P點坐標(biāo)．(3)當(dāng)t≤x≤t+4時，函數(shù)的最大值是α，最小值是β，a?β=6，求t的值．3．（2024·浙江溫州·三模）二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于點Ax1(1)當(dāng)x1=2，且①求b，c的值②當(dāng)?2≤x≤t時，二次函數(shù)y=x2+bx+c(2)若x1=3x壓軸題型三與利潤有關(guān)的最值例3.（22-23九年級上·廣東廣州·期中）某企業(yè)設(shè)計了一款工藝品，每件的成本是50元．據(jù)市場調(diào)查，銷售單價是100元時，每天的銷售量是50件，而銷售單價每降低1元，每天就可多售出5件，但要求銷售單價不得低于成本．現(xiàn)公司決定降價出售．(1)求出每天的銷售利潤y（元）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量x的取值范圍；(2)如果該企業(yè)每天的總成本不超過7000元，那么銷售單價為多少元時，每天的銷售利潤最大？（每天的總成本＝每件的成本×每天的銷售量）鞏固訓(xùn)練1．（2024九年級下·新疆·專題練習(xí)）某公司銷售一批產(chǎn)品，經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，當(dāng)銷售量在0.4噸至3.5噸之間時，銷售額y1（萬元）與銷售量x（噸）的函數(shù)解析式為；成本y2（萬元）與銷售量x（噸）的函數(shù)圖象是如圖所示的拋物線的一部分，其中1(1)求出成本y2關(guān)于銷售量x(2)當(dāng)成本最低時，銷售產(chǎn)品所獲利潤是多少？(3)當(dāng)銷售量是多少噸時，可獲得最大利潤？最大利潤是多少？（注：利潤=銷售額?成本）2．（23-24九年級上·浙江臺州·期中）某水果超市經(jīng)銷一種水果，售價每千克50元．每千克盈利10元，每天可售出500千克，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，進貨價不變的情況下，每千克漲價1元，日銷售量將減少20千克．規(guī)定每千克漲價不能超過8元．(1)該超市希望每天盈利6000元，那么每千克應(yīng)漲價多少元？(2)超市決定每賣出1千克捐贈a元（a≤2）給貧困山區(qū)學(xué)生，若每天盈利隨著售價的增加而增大，求a的取值范圍．3．（2024·四川南充·中考真題）2024年“五一”假期期間，閬中古城景區(qū)某特產(chǎn)店銷售A，B兩類特產(chǎn)．A類特產(chǎn)進價50元/件，B類特產(chǎn)進價60元/件．已知購買1件A類特產(chǎn)和1件B類特產(chǎn)需132元，購買3件A類特產(chǎn)和5件B類特產(chǎn)需540元．(1)求A類特產(chǎn)和B類特產(chǎn)每件的售價各是多少元？(2)A類特產(chǎn)供貨充足，按原價銷售每天可售出60件．市場調(diào)查反映，若每降價1元，每天可多售出10件（每件售價不低于進價）．設(shè)每件A類特產(chǎn)降價x元，每天的銷售量為y件，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．(3)在（2）的條件下，由于B類特產(chǎn)供貨緊張，每天只能購進100件且能按原價售完．設(shè)該店每天銷售這兩類特產(chǎn)的總利潤為w元，求w與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出每件A類特產(chǎn)降價多少元時總利潤w最大，最大利潤是多少元？（利潤＝售價－進價）壓軸題型四與面積有關(guān)的最值例4.（23-24九年級上·吉林·階段練習(xí)）如圖，用長為34米的籬笆，圍成一面利用墻（墻的最大可用長度為16米）的一個矩形場地花圃ABCD，AB邊上留有2米寬的小門EF（用其他材料做，不用籬笆圍），設(shè)花圃的一邊AD長為x（米），面積為y（平方米）．(1)若矩形場地面積為144平方米，求矩形場地的長和寬；(2)矩形場地的長和寬為多少時，矩形場地的面積最大，并求出最大面積．鞏固訓(xùn)練1．（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測）某校九年級學(xué)生在數(shù)學(xué)社團課上進行紙盒設(shè)計，利用一個邊長為30cm(1)若無蓋紙盒的底面積為484c(2)折成的無蓋紙盒的側(cè)面積是否有最大值？如果有，求出這個最大值和此時剪掉的小正方形的邊長；如果沒有，說明理由．2．（2023·四川綿陽·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A和點C分別在x軸和y軸的正半軸上，OA=6，OC=4，以O(shè)A，OC為鄰邊作矩形OABC，動點M，N以每秒1個單位長度的速度分別從點A、C同時出發(fā)，其中點M沿AO向終點O運動，點N沿CB向終點B運動，當(dāng)兩個動點運動了t秒時，過點N作NP⊥BC，交OB于點P，連接MP．

(1)直接寫出點B的坐標(biāo)為，直線OB的函數(shù)表達式為；(2)記△OMP的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式0<t<6；并求t為何值時，S有最大值，并求出最大值．3．（23-24九年級上·四川成都·階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，，P點在BC上，從B點到C點運動（不包括C點），點P運動的速度為2cm/s；Q點在AC上從C點運動到A點（不包括A點），速度為5cm/s．若點P、Q(1)當(dāng)t為何值時，P、Q兩點的距離為52(2)當(dāng)t為何值時，△PCQ的面積為15c(3)請用配方法說明，點P運動多少時間時，四邊形BPQA的面積最??？最小面積是多少？壓軸題型五存在性問題例5.（23-24九年級上·吉林·階段練習(xí)）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點A?1,0、B0,3在拋物線y=?x2+bx+c上，該拋物線的頂點為C(1)求該拋物線的解析式；(2)當(dāng)BP⊥y軸時，求△BCP(3)當(dāng)該拋物線在點A與點P之間（包含點A和點P）的部分的最高點和最低點的縱坐標(biāo)之差為1時，求出m的值；(4)在拋物線對稱軸上是否存在一點E，使△ABE是以AB為斜邊的直角三角形？若存在，直接寫出點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．鞏固訓(xùn)練1．（2024·四川瀘州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線經(jīng)過點A3,0，與y軸交于點B，且關(guān)于直線x=1對稱．(1)求該拋物線的解析式；(2)當(dāng)?1≤x≤t時，y的取值范圍是0≤y≤2t?1，求t的值；(3)點C是拋物線上位于第一象限的一個動點，過點C作x軸的垂線交直線AB于點D，在y軸上是否存在點E，使得以B，C，D，E為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出該菱形的邊長；若不存在，說明理由．2．（2024·四川達州·中考真題）如圖1，拋物線y=ax2+kx?3與x軸交于點A?3,0和點B1,0，與y

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖2，連接AC，DC，直線AC交拋物線的對稱軸于點M，若點P是直線AC上方拋物線上一點，且S△PMC=2S(3)若點N是拋物線對稱軸上位于點D上方的一動點，是否存在以點N，A，C為頂點的三角形是等腰三角形，若存在，請直接寫出滿足條件的點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．3．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，拋物線y=?x2+bx+c與x軸交于點A?3,0和點B，與y軸交于點

(1)求該拋物線的解析式；(2)當(dāng)點D在第二象限內(nèi)，且△ACD的面積為3時，求點D的坐標(biāo)；(3)在直線BC上是否存在點P，使△OPD是以PD為斜邊的等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．壓軸題型六二次函數(shù)的實際應(yīng)用例6.（2024·陜西榆林·二模）某校為舉辦畢業(yè)典禮，搭建了一個近似于拋物線形的畢業(yè)拱門，如圖1所示．圖2為該拱門的示意圖，OA是垂直于水平地面的柱子，拱門的另一端在水平地面上的點B處，拱門到水平地面的高度ym與到柱子OA的水平距離xm滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=ax2+x+c（a、c為常數(shù)，a≠0(1)請求出圖2中拋物線的函數(shù)表達式；(2)從柱子OA上的點C處拉一條橫幅到拱門的點D處，CD∥OB，若CD=4AC，小華的身高是1.65m，請問拉上橫幅后小華不彎腰是否能通過該拱門？鞏固訓(xùn)練1．（2024·江西·中考真題）如圖，一小球從斜坡O點以一定的方向彈出球的飛行路線可以用二次函數(shù)y=ax2+bxa<0刻畫，斜坡可以用一次函數(shù)y=1x012m4567…y07615815n7…(1)①m=______，n=______；②小球的落點是A，求點A的坐標(biāo)．(2)小球飛行高度y（米）與飛行時間t（秒）滿足關(guān)系y=?5t①小球飛行的最大高度為______米；②求v的值．2．（22-23九年級下·江西南昌·階段練習(xí)）高樓火災(zāi)越來越受到重視，某區(qū)消防中隊開展消防技能比賽，如圖，在一廢棄高樓距地面10m的點A和其正上方點B處各設(shè)置了一個火源．消防員來到火源正前方，水槍噴出的水流看作拋物線的一部分（水流出口與地面的距離忽略不計），第一次滅火時，站在水平地面上的點C處，水流恰好到達點A處，且水流的最大高度為12m．待A處火熄滅后，消防員退到點D處，調(diào)整水槍進行第二次滅火，使水流恰好到達點B處，已知點D到高樓的水平距離為12m，假設(shè)兩次滅火時水流的最高點到高樓的水平距離均為3m．建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．水流的高度ym與到高樓的水平距離xm之間的函數(shù)關(guān)系式為(1)求消防員第一次滅火時，水流所在拋物線的解析式；(2)若兩次滅火時，水流所在拋物線的形狀相同，求A、B之間的距離；(3)若消防員站在到高樓水平距離為9m的地方，想要撲滅距地面高度12～18m范圍內(nèi)的火苗，當(dāng)水流最高點到高樓的水平距離始終為3m時，直接寫出a的取值范圍．3．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）懸掛過山車是武漢歡樂谷經(jīng)典項目之一．如圖A→B→C→E→F為該過山車的一部分軌道，軌道A→B→C和C→E→F可以各自看成一段拋物線，其形狀相同，B，E分別為兩段軌道的最低點．建立平面直角坐標(biāo)系如圖，點A在y軸上，B，E兩點在x軸上，其中OA=16.9米，米（軌道厚度忽略不計）．

(1)求拋物線A→B→C的函數(shù)表達式；(2)已知在A→B→C軌道上有兩個位置D和C，且它們到地面的距離相等，軌道拋物線C→E→F最低點E的坐標(biāo)為33,0，求點D的坐標(biāo)；(3)現(xiàn)需要對軌道下坡段A→B進行安全加固，利用某種材料建造水平和豎直支架、GM、HQ、HN，且要求MN=2OM．已知這種材料的價格是5000元/米，請通過計算說明：當(dāng)多長時，造價最低？并求最低造價為多少元？壓軸題型七反比例函數(shù)的綜合問題例7.（2023·山東·中考真題）如圖，正比例函數(shù)y1=12x

(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)將直線OA向上平移3個單位后，與y軸交于點B，與y2=kx(x>0)的圖像交于點C鞏固訓(xùn)練1．（2023·江蘇·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)y=mx的圖像相交于點A(2,4)、B(4,n)．C是y軸上的一點，連接CA、CB(1)求一次函數(shù)、反比例函數(shù)的表達式；(2)若△ABC的面積是6，求點C2．（2022·四川眉山·中考真題）已知直線y=x與反比例函數(shù)y=kx的圖象在第一象限交于點(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)如圖，將直線y=x向上平移b個單位后與y=kx的圖象交于點A(1,m)和點，求b(3)在（2）的條件下，設(shè)直線AB與x軸、y軸分別交于點C，D，求證：△AOD3．（23-24九年級上·湖南長沙·階段練習(xí)）我們約定，在平面直角坐標(biāo)系中，對于不同的兩點Px1,y1(1)請判斷在點中，有哪些點與點D?1,2互為“等差點”？(2)已知點E在直線y=x?2上，點F在雙曲線（k為常數(shù)，且）上，且E、F兩點互為“等差點”．請求出點F的坐標(biāo)（用含k的代數(shù)式表示）；(3)已知拋物線y1=ax2+bx+2（a,b為常數(shù)且）的頂點為G點，與x軸交于M、N兩點，兩點分別在拋物線y1=ax2+bx+2和直線上，如果P、Q

第二十一章二次函數(shù)與反比例函數(shù)易錯訓(xùn)練與壓軸訓(xùn)練01思維導(dǎo)圖01思維導(dǎo)圖目錄TOC\o"1-3"\h\u易錯題型一忽略二次項系數(shù)為0 1易錯題型二求函數(shù)取值范圍時忽略拋物線頂點位置 4易錯題型三混淆“與x軸交點”和“與坐標(biāo)軸交點” 7易錯題型四忽視反比例函數(shù)中k不為0 7易錯題型五已知圖形面積求反比例函數(shù)中k的值，忽視圖象位置 7壓軸題型一與線段有關(guān)的最值 13壓軸題型二運用二次函數(shù)區(qū)間最值求參數(shù) 15壓軸題型三與利潤有關(guān)的最值 17壓軸題型四與面積有關(guān)的最值 19壓軸題型五存在性問題 19壓軸題型六二次函數(shù)的實際應(yīng)用 19壓軸題型七反比例函數(shù)的綜合問題 19002易錯題型易錯題型一忽略二次項系數(shù)為0例1．（23-24九年級上·江蘇泰州·階段練習(xí)）若y=m?1xm2+m是關(guān)于xA．?2 B．?2或1 C．1 D．0【答案】A【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的定義．根據(jù)“形如y=ax2+bx+ca≠0的函數(shù)關(guān)系，稱為【詳解】解：∵y=m?1xm∴m2+m=2且解得：m=?2．故選：A鞏固訓(xùn)練1．（23-24九年級上·安徽黃山·期中）若y=m?2xm2?2A．?2或2 B．4 C．2 D．?2【答案】D【分析】本題主要考查了二次函數(shù)定義，關(guān)鍵是掌握形如y=ax2+bx+c（a、b、c【詳解】解：∵y=m?2∴m2?2=2，且∴m=?2．故選：D．2．（23-24九年級上·山東煙臺·期中）已知函數(shù)y=m?4xm?2是關(guān)于xA．0或4 B．0 C．2 D．4【答案】B【分析】本題考查二次函數(shù)的定義，根據(jù)二次函數(shù)的定義得到關(guān)于m的方程，解方程即可．【詳解】解：∵函數(shù)y=m?4xm?2∴m?2=2且m?4≠0解得m=0．故選：B．3．（23-24九年級上·湖北十堰·階段練習(xí)）若y=(m+1)xm2?4m+5是二次函數(shù)，則A．7 B． C．或7 D．以上都不對【答案】D【分析】令x的指數(shù)為2，系數(shù)不為0，列出方程與不等式解答即可．【詳解】由題意得：m2?4m+5=2；且解得m=3或1；m≠?1，故選：D．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的定義，熟練掌握二次函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．易錯題型二求函數(shù)取值范圍時忽略拋物線頂點位置例2．（23-24九年級上·河北邢臺·期末）函數(shù)y=x2+2x?3(?2≤x≤2)A．4和?3 B．5和?3 C．5和?4 D．和4【答案】C【分析】本題主要考查二次函數(shù)的最值，熟練掌握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)函數(shù)求出對稱軸，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進行計算即可．【詳解】解：y=x對稱軸x=?b故在對稱軸處求出最小值，當(dāng)x=?1時，y=(?1)當(dāng)x=?2時，y=(?2)時，y=22故選C．鞏固訓(xùn)練1．（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知二次函數(shù)y=x2?4x+3的圖象經(jīng)過點P，點P的橫坐標(biāo)為m，當(dāng)時，總有，則m的值為（

A．4+13 B．4?13 C．4±13【答案】D【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)．將二次函數(shù)的解析式配方成頂點式，可得出拋物線的開口向上，頂點坐標(biāo)為2,?1，對稱軸是直線，當(dāng)時，y取得最小值，由已知“當(dāng)時，總有”根據(jù)拋物線的對稱性和增減性分類討論∶若0<m≤2時，若?14≤m≤0時，分別求出m的值，即可求出答案．【詳解】解：∵y=xa=1>0，∴拋物線的開口向上，頂點坐標(biāo)為2,?1，對稱軸是直線，∴當(dāng)時，y取得最小值，∵當(dāng)時，總有，∴?1若0<m≤2，則當(dāng)x=4時，y=4m，即有，解得：；若?14≤m≤0，則當(dāng)時，即有4m=解得：m=4±13∴這種情況不存在，綜上所述，當(dāng)時，總有，則．故選：D2．（24-25九年級上·全國·假期作業(yè)）當(dāng)a?2≤x≤a時，二次函數(shù)y=x2?4x+3的最小值為15，則aA．?2或8 B．8 C．6 D．?2或6【答案】A【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征以及二次函數(shù)的最值，利用二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征找出當(dāng)y=15時x的值是解題的關(guān)鍵．利用二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征找出當(dāng)y=15時x的值，結(jié)合當(dāng)a?2≤x≤a時函數(shù)有最小值15，即可得出關(guān)于a的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．【詳解】解：當(dāng)y=15時，有x2解得：x1=?2，∵當(dāng)a?2≤x≤a時，函數(shù)有最小值15，或a=?2，∴a=8或a=?2，故選：A．3．（2023·安徽·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=x2?2ax+（1）當(dāng)拋物線經(jīng)過1,4時，a=．（2）當(dāng)a=1時，?1≤x≤m時，4≤y≤8，則m的取值范圍是．【答案】?3或11≤m≤3/3≥x≥1【分析】（1）將點1,4代入即可得；（2）將a=1代入可得二次函數(shù)的解析式為y=x?12+4，再求出y=8時，x=?1或x=3；y=4【詳解】解：（1）將點1,4代入y=x2?2ax+解得a=1或a=?3，故答案為：?3或1；（2）當(dāng)a=1時，y=x當(dāng)y=8時，x?12+4=8，解得x=?1或由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)x=1時，y=4，∵如圖，當(dāng)?1≤x≤m時，4≤y≤8，∴1≤m≤3故答案為：1≤m≤3．

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．易錯題型三混淆“與x軸交點”和“與坐標(biāo)軸交點”例3.（23-24九年級上·浙江杭州·開學(xué)考試）已知函數(shù)y=mx2?2x+m+2的圖象與坐標(biāo)軸只有兩個交點，則【答案】0或?2或?1±【分析】本題考查了函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點問題，分類討論m=0和m≠0兩種情況即可求解．【詳解】解：①當(dāng)m=0時，y=?2x+2，該一次函數(shù)與坐標(biāo)軸有兩個交點，滿足題意；②當(dāng)m≠0時，y=mx若圖象經(jīng)過原點，則m+2=0，解得：m=?2，此時y=?2x2?2x，Δ=4>0或函數(shù)y=mx2?2x+m+2∴Δ=?2解得：m=?1±2綜上所述：m=0或?2或?1±2故答案為：0或?2或?1±鞏固訓(xùn)練1．（23-24九年級上·江蘇無錫·期末）若二次函數(shù)y=x2+2x?b的圖象與坐標(biāo)軸有兩個公共點，則b【答案】或0【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，一元二次方程根的判別式等知識．熟練掌握二次函數(shù)的圖象，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，一元二次方程根的判別式是解題的關(guān)鍵．由題意知，分①二次函數(shù)y=x2+2x?b的圖象與x軸有1個公共點；②二次函數(shù)y=【詳解】解：∵二次函數(shù)y=x∴分①二次函數(shù)y=x2+2x?b的圖象與x軸有1個公共點；②二次函數(shù)y=①當(dāng)二次函數(shù)y=x2+2x?b的圖象與x解得b=?1；②當(dāng)二次函數(shù)y=x2+2x?b的圖象與x∴y=x2+2x=xx+2，與x軸有2個公共點，為綜上所述，b的值為或0，故答案為：或0．2．（23-24九年級上·江蘇宿遷·期中）函數(shù)y=kx2+3x?4+k與坐標(biāo)軸有兩個公共點，求k【答案】0或92或?【分析】本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程，根據(jù)k=0，k≠0分兩種情況分別求解，當(dāng)k≠0時再根據(jù)與坐標(biāo)軸交點的情況，分兩種情況進行求解即可．【詳解】解：當(dāng)k=0時，y=3x?4，為一次函數(shù)，與坐標(biāo)軸有兩個公共點，符合題意；當(dāng)k≠0時，∵函數(shù)與坐標(biāo)軸有兩個公共點，當(dāng)函數(shù)與y軸有一個公共點，與x軸有一個公共點時，∴Δ=32?4k?4+k=0當(dāng)函數(shù)與x軸有兩個公共點時，其中一個為原點，此時k=4，綜上所述，滿足條件的k有0，?12，故答案為：0或?12或3．（23-24九年級上·江西宜春·期末）已知拋物線，y2=?x2?x+a，若這兩條拋物線與x軸共有3個交點，則【答案】0或6或?【詳解】解：∵y∴拋物線與x軸的交點坐標(biāo)為?1,0,?3,0∵拋物線，y2=?x2∴分三種情況：①拋物線y2=?x(?1)解得：a=?1②當(dāng)拋物線y2=?x?(?1)解得，a=0③當(dāng)拋物線y2=?x??3解得，a=6綜上，兩個拋物線與x軸共有3個交點時a的值有?1故答案為：?1易錯題型四忽視反比例函數(shù)中k不為0例4．（23-24八年級下·江蘇淮安·階段練習(xí)）已知反比例函效y=k?1x，則k不可以取下列的哪個值（A． B．0 C．1 D．2【答案】C【分析】本題考查了反比例函數(shù)的定義，根據(jù)反比例函數(shù)定義即可求解．【詳解】解：∵y=∴k?1≠0，即k≠1，故選：C．鞏固訓(xùn)練1．（23-24九年級上·廣東佛山·期中）如果函數(shù)y=m?1xm?2是反比例函數(shù)，那么A．2 B． C．1 D．【答案】B【分析】本題考查了反比例函數(shù)的定義．根據(jù)反比例函數(shù)的定義，即y=kxk≠0，只需令m【詳解】解：∵y=m?1∴m?2=?1解得：m=?1，故B正確．故選：B．2．（20-21九年級上·廣東深圳·階段練習(xí)）若函數(shù)y=m+1xm2+3m+1A．m=?2 B．m=1 C．m=1或m=?2 D．m=?1或m=?2【答案】A【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的定義進行求解即可．【詳解】解：∵函數(shù)y=m+1∴m+1≠0m解得m=?2，故選:A．【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的定義，解一元二次方程，熟知反比例函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵：一般地，形如y=kx?1k≠03．（22-23九年級上·全國·單元測試）已知函數(shù)y=k2+2kxkA．1 B． C．0或 D．【答案】B【分析】根據(jù)定義，得到k2+2k≠0，且【詳解】∵函數(shù)y=k∴k2+2k≠0，且解得k=?1，故選B．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的定義，熟練掌握定義的基本條件是解題的關(guān)鍵．易錯題型五已知圖形面積求反比例函數(shù)中k的值，忽視圖象位置例5．（23-24八年級下·山東煙臺·期末）如圖，A是反比例函數(shù)圖象上一點，過點A作AB⊥y軸于點B，點P在x軸上，OP=AB，四邊形ABPO的面積為12，則這個反比例函數(shù)的表達式為．【答案】y=?【分析】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，反比例函數(shù)k的幾何意義，求反比例函數(shù)的解析式，先設(shè)這個反比例函數(shù)的表達式為y=kx，再通過證明四邊形AOPB是平行四邊形，并利用平行四邊形的性質(zhì)及反比例函數(shù)的性質(zhì)得出【詳解】設(shè)這個反比例函數(shù)的表達式為y=k∵AB⊥y軸于點∴AB∥∵OP=AB，∴四邊形AOPB是平行四邊形，∴S△∵反比例函數(shù)圖象位于第二象限，∴k=?12，∴反比例函數(shù)的表達式為y=?12故答案為：y=?12鞏固訓(xùn)練1．（2024·河南商丘·模擬預(yù)測）如圖，在△AOB中，AO=AB，點B在x軸上，C、D分別為OA、OB的中點，連接CD，E為CD上任意一點，連接AE、，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點A．若△ABE的面積為6，則k的值為．【答案】?12【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象、等腰三角形以及中位線的性質(zhì)、三角形面積，解題的關(guān)鍵是靈活運用等腰三角形的性質(zhì)．根據(jù)等腰△AOB，中位線CD得出AD⊥OB，S△ABE=S△AOD=4【詳解】解：如圖：連接AD，△AOB中，AO=AB，OB在x軸上，C、D分別為AB，OB的中點，∴AD⊥OB，AB∥∴S∴k=?12故答案為：?12．2．（23-24八年級下·浙江寧波·期末）如圖，點A、B是反比例函數(shù)y=kxk≠0圖象上的兩點，直線AB交y軸正半軸于點C，連接AO并延長交反比例函數(shù)圖象的另一支于點D，過點D作∠CAO的角平分線的垂線，垂足為點E，若點B是線段AC的中點且S△ABE【答案】?8【分析】連接OB，OE，過點A作x軸垂線，垂足為M，過點B作x軸垂線，垂足為N，根據(jù)題意得到AB∥EO，求出S梯形AMNB=S△ABO=6，然后設(shè)A此題考查了反比例函數(shù)和結(jié)合綜合，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點．【詳解】如圖所示，連接OB，OE，過點A作x軸垂線，垂足為M，過點B作x軸垂線，垂足為N，∵DE∴△ADE，D是關(guān)于原點對稱，∴AO=DO=EO在△AOE中，AO=EO∴∠又∵AE平分∠∴∠∴∠∴AB∴∴S設(shè)A2m,2n?p，Bm,n∴∴mn=?8，即k=?8．故答案為：?8．3．（2024·江蘇南京·三模）如圖，點P是反比例函數(shù)y1=k1xk1≠0的圖象上任意一點，過點P作PM⊥x軸，垂足為M，線段PM交反比例函數(shù)y2【答案】?6【分析】本題考查了反比例函數(shù)k的幾何意義，反比例函數(shù)的圖象，熟練知識點是解題的關(guān)鍵．可求S△PMO=12OM?PM=3，根據(jù)反比例函數(shù)k【詳解】解：∵PC=2CM，∴PM=3CM∵S△∴S△根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義得到S△而反比例函數(shù)y1∴k1故答案為：?6．003壓軸題型壓軸題型一與線段有關(guān)的最值例1.（23-24九年級上·陜西西安·期末）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A?3,0、B1,0兩點，與y軸交于點C0,3，其頂點為D，對稱軸

(1)求拋物線的解析式；(2)若點P是該拋物線對稱軸l上的一個動點，求的最小值．【答案】(1)y=?(2)的最小值為32【分析】此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式及拋物線與坐標(biāo)軸的交點問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及利用軸對稱性質(zhì)求出最短路線的長．（1）根據(jù)函數(shù)圖象經(jīng)過的三點，用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式即可；（2）先求出對稱軸，得出點A?3,0、B1,0關(guān)于對稱軸l對稱，連接AC交對稱軸l于點P，連接BP，此時的值最小，即為AC【詳解】（1）解：將點A?3,0、B1,0、C0,39a?3b+c=0a+b+c=0c=3，解得：∴拋物線的解析式為y=?x（2）∵拋物線y=?x2?2x+3∴點A?3,0、B1,0關(guān)于對稱軸∴連接AC交對稱軸l于點P，連接BP，此時的值最小，

，的最小值是AC，∵A?3,0、C∴AC=的最小值為32．鞏固訓(xùn)練1．（2024·四川自貢·模擬預(yù)測）綜合與探究如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+3xa≠0與x軸交于點A，與直線y=?x交于點B?4,4，點C在y軸上，且坐標(biāo)為0,4，點D為直線OB下方拋物線上的一點，連接CD與OB交于點E．點P是線段OB上的一動點，從點B出發(fā)向點O勻速運動，同時點Q從點O出發(fā)，以與P大小相同的速度沿x軸負方向勻速運動，當(dāng)點P到達點O(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)CD⊥OB時，則△COE的面積為(3)當(dāng)時，求點D的坐標(biāo)；(4)的最小值是．【答案】(1)y=(2)4(3)D(4)4【分析】（1）將點B的坐標(biāo)代入函數(shù)表達式，即可求解；（2）求出直線CD的表達式，得到點E的坐標(biāo)，即可求解；（3）設(shè)點Dt,t2（4）過點O作OM⊥OB，使OM=BC=4，連接BM，證明△BCP≌△OMQ，則BQ+PC=BQ+QM≥BM，故當(dāng)點B、Q、M共線時，BQ+PC=BQ+QM=BM最小，即可求解．【詳解】（1）解：將B?4,4代入y=a4=16a?12，解得：a=1，則拋物線的表達式為：y=x（2）解：點B?4,4∴點B到兩坐標(biāo)軸的距離相等，∴點B在第二，四象限的角平分線上，即∠COB=∵CD⊥∴△COE∴CE=OE=2∵點C在y軸上，且坐標(biāo)為0,4，∴OC=4，∴CE=OE=2∴△COE的面積為12故答案為：4；（3）解：設(shè)點Dt,∵，∴點E為CD的中點，∵點C在y軸上，且坐標(biāo)為0,4，∴點E1∵點E在OB上，∴?1解得：t=?2，∴點D?2,?2（4）解：過點O作OM⊥OB，使OM=BC=4，連接BM，則∠AOM=90°?∵點B?4,4，C∴BC∥∴∠CBP=∴∠CBP=根據(jù)題意得：，∴△BCP∴CP=MQ，∴BQ+PC=BQ+QM≥BM，∴當(dāng)點B、Q、M共線時，BQ+PC=BQ+QM=BM，此時最小，最小值為BM的長，∵OB=4∴BM=O故答案為：43【點睛】主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點的坐標(biāo)的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系，解決相關(guān)問題．2．（23-24九年級上·廣西南寧·開學(xué)考試）如圖，已知拋物線與x軸交于A?1,0、B3,0兩點，與y軸相交于點C，直線y=?2x+3經(jīng)過點C，與x軸交于點(1)求該拋物線的解析式；(2)在拋物線的對稱軸上找一點Q，使△ACQ的周長最小，求點Q(3)點P是（1）中拋物線上的一個動點，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為t0<t<3，是否存在△PCD是以CD為底的等腰三角形？若存在，求點P【答案】(1)y=?(2)1,2(3)存在；3+【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；（2）如圖，點A關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為點B，連接BC交拋物線對稱軸于點Q，則此時，△ACQ（3）設(shè)點Pt,?t2+2t+3，根據(jù)△PCD是以CD為底的等腰三角形，所以PC=PD，則【詳解】（1）解：設(shè)拋物線的表達式為：y=a(x+1)(x?3)=a(x對于一次函數(shù)y=?2x+3，當(dāng)x=0時，，∴C(0,3)，將點C的坐標(biāo)代入拋物線表達式得：，則a=?1，即拋物線的表達式為：y=?（2）解：如圖，點A關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為點B，連接BC交拋物線對稱軸于點Q，則此時，△ACQ理由：△ACQ的周長為最小，設(shè)直線BC的表達式為把B3,0，C(0,3)0=3k+b3=b，解得∴直線BC的表達式為：，由拋物線的表達式知，其對稱軸為x=1，當(dāng)x=1時，y=?x+3=2，即點Q(1,2)；（3）解：存在，理由：設(shè)點P∵直線y=?2x+3與y軸的交點為D，當(dāng)y=0時，x=3∴D3∵△PCD是以CD為底的等腰三角形，∴PC=PD，∴t?028tt=3±∵0<t<3，∴t=3+即P點的坐標(biāo)為3+【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)與一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，利用軸對稱求最短路徑，等腰三角形的性質(zhì)，屬二次函數(shù)綜合題目，難度適中．3．（2024·寧夏銀川·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=12x2+bx+c與直線AB(1)求該拋物線的函數(shù)解析式；(2)如圖①，若點H是拋物線的頂點，在x軸上存在一點G，使△AHG的周長最小，求此時點G(3)如圖②，點P為直線AB下方拋物線上的一動點，過點P作PM⊥AB交AB于點M，過點P作y軸的平行線交x軸于點N，求2PM+PN的最大值及此時點P【答案】(1)(2)G(3)最大值為254，【分析】1利用待定系數(shù)法求解即可；2作點A關(guān)于x軸的對稱點A'，連接A'H交x軸于點G，結(jié)合軸對稱的性質(zhì)得此時△AHG的周長最小，得點A'0，4，結(jié)合拋物線解析式求得點H，利用待定系數(shù)法求得A'H3結(jié)合題意可得△OAB是等腰直角三角形，利用待定系數(shù)法求得直線AB的解析式為y=x?4，設(shè)PN與AB交于點C，則△BNC和△PMC是等腰直角三角形，則有2PM+PN=PC+PN，設(shè)Pt,12t2?t?4，則Ct,t?4,N【詳解】（1）解：根據(jù)題得，?4=c0=12則拋物線的解析式為；（2）作點A關(guān)于x軸的對稱點A'，連接A'H交x軸于點G則A'∵拋物線的解析式為y=1∴H1,?4.5∵A0,?4設(shè)A'H的直線解析式為，則?4.5=k+b4=b則A'H的解析式為當(dāng)y=0時，?8.5x+4=0，解得x=8∴G8（3）∵A0,?4，B∴OA=OB=4，∴△OAB∴∠OBA=45°設(shè)直線AB的解析式為，0=4k+b?4=b，解得k=1則直線AB的解析式為y=x?4，設(shè)PN與AB交于點C，如圖，∵PN⊥x軸于點∴△BNC∴∠BCN=45°∴∠PCM=45°∵PM⊥∴△PMC∴PC=2∴2PM+PN=PC+PN設(shè)Pt,12∴PC=t?4?12t∴2∵?1<0，∴當(dāng)t=32時，2PM+PN的最大值為25【點睛】本題主要考查二次函數(shù)和一次函數(shù)的結(jié)合，軸對稱的性質(zhì)以及二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟悉二次函數(shù)的性質(zhì)及其上對應(yīng)點的幾何意義．壓軸題型二運用二次函數(shù)區(qū)間最值求參數(shù)例2.（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+3(1)若該函數(shù)圖象的對稱軸為直線x=?1，求該函數(shù)的表達式．(2)在（1）的條件下，當(dāng)n≤x≤n+4時，函數(shù)y有最小值?5，求n的值．(3)已知a>0，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點x1,y1，x2,y2，【答案】(1)y=?(2)n=?4或n=?2(3)a=1時，y1=y2；當(dāng)a>1時，y【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）利用對稱軸和點1,0求函數(shù)表達式;（2）分n≤?3和n>?3兩種情況分類討論:（3）通過點x1,y1，x2【詳解】（1）∵圖象過點1,0，∴，∵函數(shù)圖象的對稱軸為直線x=?1，∴?聯(lián)立得a+b+3=0解得：a=?1，，∴y=?（2）解：n和的中點為n+2，當(dāng)n+2≤?1即n≤?3，則x=n時，ymin解得：n=?4或n=2（不合，舍去），當(dāng)n+2>?1即n>?3，則x=n+4時，ymin解得：n=?2或（不合，舍去），綜上所述，n=?4或n=?2．（3）∵二次函數(shù)y=ax2+bx+3∴a+b+3=0，即b=?a?3，∴y=a=ax=ax?∴拋物線的對稱軸為直線x=1∵x1+∴2?當(dāng)x=12+32a當(dāng)a>1時，y1當(dāng)時，y1>鞏固訓(xùn)練1．（23-24九年級上·浙江紹興·期中）如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸相交于A，B兩點，與y軸相交于點C，對稱軸為直線，頂點為D，點B的坐標(biāo)為(1)填空：點A的坐標(biāo)為______，點D的坐標(biāo)為______，拋物線的解析式為______；(2)P是拋物線對稱軸上一動點，是否存在點P，使△PAC是以AC為斜邊的直角三角形？若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；(3)當(dāng)二次函數(shù)y=x2+bx+c的自變量x滿足m≤x≤m+2時，函數(shù)y的最小值為5【答案】(1)1,0(2)存在，理由見解析(3)m=?32【分析】（1）由對稱軸為直線x=2，點B的坐標(biāo)為3,0，得A1，0，用待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式為y=x2?4x+3,即可得頂點D（2）設(shè)P2,t，可得AC2=10,PA2=t2+1,PC2=t?32+4,根據(jù)△PAC是以AC為斜邊的直角三角形，有t2+1+t?32+4=10,（3）由拋物線對稱軸為直線x=2,分三種情況：①當(dāng)m+2<2,即m<0時，y隨x的增大而減小，可得m+22?4m+2+3=54,②當(dāng)m≤2≤m+2,即0≤m≤2時，x=2時最小值為?1,這種情況不存在最小值為54；③當(dāng)【詳解】（1）解：∵對稱軸為直線x=2，點B的坐標(biāo)為3,0，∴A1,0將A1,0,B3,01+b+c=09+3b+c=0，解得∴拋物線的解析式為y=x2?4x+3，當(dāng)x=2時，y=22?4×2+3=?1，∴D故答案為：1,0,（2）解：存在點P，使△PAC是以AC為斜邊的直角三角形，理由如下：設(shè)P2,t在y=x2?4x+3中，令x=0得y=3，∴C0,3∵A1,0∴AC2=0?12+3?02=10，∵△PAC∴P∴t2+1+解得t=1或t=2,∴P2,1或2,2（3）解：由拋物線對稱軸為直線x=2,分三種情況：①當(dāng)m+2<2,即m<0時，y隨x的增大而減小，∴x=m+2時，y取得最小值，∴m+2解得m=32(舍去)或∴此時m=?3②當(dāng)m≤2≤m+2,即0≤m≤2時，x=2時最小值為?1，∴這種情況不存在最小值為54③當(dāng)m>2時，y隨x的增大而增大，∴x=m時，y取最小值，∴m解得m=12(舍去)或∴此時m=7綜上所述，m=?32或【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，直角三角形判定，函數(shù)的最值問題等，解題的關(guān)鍵是掌握勾股逆定理和分類討論思想的應(yīng)用．2．（2024·山東臨沂·模擬預(yù)測）如圖，拋物線y=ax2?4ax+3a交x軸于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），交y軸正半軸于點C，OB=OC(1)求拋物線的解析式；(2)連接AP，將線段AP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，點P恰好落在y軸上，求P點坐標(biāo)．(3)當(dāng)t≤x≤t+4時，函數(shù)的最大值是α，最小值是β，a?β=6，求t的值．【答案】(1)y=(2)點P的坐標(biāo)為(3)或?6【分析】（1）令y=0，求出點A,B的坐標(biāo)，再根據(jù)OB=OC，求出點C的坐標(biāo)，代入y=ax（2）設(shè)點Pm,m2?4m+3，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AP=AP'，過點P作PH垂直于x軸，交x軸于點H，證明（3）分三種情況討論，由二次函數(shù)的性質(zhì)可求解．【詳解】（1）解：令y=0，則ax解得x1∴，∵OB=OC，∴C(0,3)，將C(0,3)代入y=ax2?4ax+3a∴拋物線的解析式為y=x（2）解：設(shè)點Pm,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AP=AP過點P作PH垂直于x軸，交x軸于點H，∵∠PAP'=90°∵∠P'OA=90°∴∠PAB=∴△APH∴OA=PH，則m2解得：m=2+2或2?故點P的坐標(biāo)為；（3）解：根據(jù)（1）可知拋物線的解析式為y=x故拋物線的對稱軸為直線，頂點坐標(biāo)為2，?1，函數(shù)圖象開口向上，在頂點處取得最小值為；∵當(dāng)t≤x≤t+4時，函數(shù)的最大值是α，最小值是β，a?β=6，①當(dāng)對稱軸在t≤x≤t+4左側(cè)，即t>2時，最小值為β=t2?4t+3此時a?β=t+4解得：t=3②當(dāng)對稱軸在t≤x≤t+4右側(cè)，即t+4<2，t<?2時，最小值為β=t+42?4此時a?β=t解得：t=?3③當(dāng)對稱軸在t≤x≤t+4之間，即t<2<t+4，即?2<t<2時，此時最小值為β=?1，最大值為α=t2?4t+3則t2?4t+3??1解得：或?6?2（舍去）或t=6+2綜上，或?6+2【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2024·浙江溫州·三模）二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于點Ax1(1)當(dāng)x1=2，且①求b，c的值②當(dāng)?2≤x≤t時，二次函數(shù)y=x2+bx+c(2)若x1=3x【答案】(1)①b=2，c=?8；②t=1(2)見解析【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)；（1）①依題意，b+c=?64+2b+c=0②根據(jù)①得出解析式，對稱軸為直線x=?1，進而分t<?1，t>?1，兩種情況求得最小值，根據(jù)題意建立方程，解方程即可求解；（2）由題意得：x12+bx1+c=0，x22+bx2+c=0，將x【詳解】（1）解：①依題意，b+c=?64+2b+c=0解得b=2，c=?8；②y=x對稱軸為直線x=?1，a=1>0，拋物線開口向上，當(dāng)?2<t<?1時，y隨x的增大而減小，當(dāng)x=?2時，y=?2+1當(dāng)x=t時，y=t依題意，t2方程無解；當(dāng)t>?1時，最小值為，最大值為y=t∴t2解得：t=1或t=?3（舍去），綜上所述，t=1；（2）∵x1≠x2∴3x2∴x2由題意得：x12+b∴9x∴8x2∴2x∵x2∴4x2+b=0∴把x2=?1得c=3∴32壓軸題型三與利潤有關(guān)的最值例3.（22-23九年級上·廣東廣州·期中）某企業(yè)設(shè)計了一款工藝品，每件的成本是50元．據(jù)市場調(diào)查，銷售單價是100元時，每天的銷售量是50件，而銷售單價每降低1元，每天就可多售出5件，但要求銷售單價不得低于成本．現(xiàn)公司決定降價出售．(1)求出每天的銷售利潤y（元）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量x的取值范圍；(2)如果該企業(yè)每天的總成本不超過7000元，那么銷售單價為多少元時，每天的銷售利潤最大？（每天的總成本＝每件的成本×每天的銷售量）【答案】(1)y=?5(2)當(dāng)銷售單價為82元時，每天的銷售利潤最大【分析】本題主要考查二次函數(shù)的實際應(yīng)用．借助二次函數(shù)解決實際問題，根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出函數(shù)解析式是關(guān)鍵．（1）根據(jù)“利潤=（售價?成本）×銷售量”列出二次函數(shù)解析式即可；（2）每天的總成本=每件的成本×每天的銷售量列出一元一次不等式，從而可求得x的范圍，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得最大值利潤．【詳解】（1）解∶y==?5（2）解∶∵企業(yè)每天的總成本不超過7000元，∴5050+5×∴x≥82，y=?5x∵拋物線的對稱軸為x=80且，∴拋物線開口向下，在對稱軸右側(cè)，y隨x增大而減?。喈?dāng)時，y有最大，最大值=4480，即銷售單價為82元時，每天的銷售利潤最大，最大利潤為4480元．鞏固訓(xùn)練1．（2024九年級下·新疆·專題練習(xí)）某公司銷售一批產(chǎn)品，經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，當(dāng)銷售量在0.4噸至3.5噸之間時，銷售額y1（萬元）與銷售量x（噸）的函數(shù)解析式為；成本y2（萬元）與銷售量x（噸）的函數(shù)圖象是如圖所示的拋物線的一部分，其中1(1)求出成本y2關(guān)于銷售量x(2)當(dāng)成本最低時，銷售產(chǎn)品所獲利潤是多少？(3)當(dāng)銷售量是多少噸時，可獲得最大利潤？最大利潤是多少？（注：利潤=銷售額?成本）【答案】(1)y(2)銷售產(chǎn)品所獲利潤是0.75萬元(3)當(dāng)銷售量3噸時，獲得最大利潤，最大利潤為10.5萬元【分析】本題考查的是二次函數(shù)的實際應(yīng)用：（1）根據(jù)題意可設(shè)拋物線為：y2=ax?（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)x=12時，成本最小值為74（3）設(shè)銷售利潤為W萬元，根據(jù)題意可得W關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．【詳解】（1）解：根據(jù)題意可設(shè)拋物線為：y2把2,4代入可得：2?1解得：a=1，∴拋物線的解析式為y2（2）解：∵y2∴當(dāng)x=12時，成本最小值為此時y1∴銷售產(chǎn)品所獲利潤是52（3）解：設(shè)銷售利潤為W萬元，根據(jù)題意得：∴W=y∵?1<0，∴當(dāng)x=3時，W的值最大，最大值為10.5，即當(dāng)銷售量3噸時，獲得最大利潤，最大利潤為10.5萬元．2．（23-24九年級上·浙江臺州·期中）某水果超市經(jīng)銷一種水果，售價每千克50元．每千克盈利10元，每天可售出500千克，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，進貨價不變的情況下，每千克漲價1元，日銷售量將減少20千克．規(guī)定每千克漲價不能超過8元．(1)該超市希望每天盈利6000元，那么每千克應(yīng)漲價多少元？(2)超市決定每賣出1千克捐贈a元（a≤2）給貧困山區(qū)學(xué)生，若每天盈利隨著售價的增加而增大，求a的取值范圍．【答案】(1)每千克應(yīng)漲價5元；(2)．【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)每千克應(yīng)漲價y元（0<y≤8），根據(jù)總盈余=每千克盈余×數(shù)量列方程，即可求解；（2）由題意設(shè)每千克漲價x元，扣除捐贈后每天銷售該種水果獲得的利潤為w元，進而根據(jù)結(jié)合函數(shù)開口向下，對稱軸在x=8的右側(cè)即可得出的取值范圍；本題考查一元二次方程和二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意找到題目中的等量關(guān)系并列出方程求解是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：設(shè)每千克應(yīng)漲價y元，由題意得：10+y500?20y解得：y1=5，∵y≤8，∴y=5，答：每千克應(yīng)漲價5元；（2）解：設(shè)每千克漲價x元，扣除捐贈后每天銷售該種水果獲得的利潤為w元，則每千克盈利10+x?a元，每天可售出500?20x千克，依題意得：w=10+x?a∵當(dāng)0≤x≤8時，w隨x的增大而增大，且a≤2，∴?300+20a解得：a≥1，∴a的取值范圍為：．3．（2024·四川南充·中考真題）2024年“五一”假期期間，閬中古城景區(qū)某特產(chǎn)店銷售A，B兩類特產(chǎn)．A類特產(chǎn)進價50元/件，B類特產(chǎn)進價60元/件．已知購買1件A類特產(chǎn)和1件B類特產(chǎn)需132元，購買3件A類特產(chǎn)和5件B類特產(chǎn)需540元．(1)求A類特產(chǎn)和B類特產(chǎn)每件的售價各是多少元？(2)A類特產(chǎn)供貨充足，按原價銷售每天可售出60件．市場調(diào)查反映，若每降價1元，每天可多售出10件（每件售價不低于進價）．設(shè)每件A類特產(chǎn)降價x元，每天的銷售量為y件，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．(3)在（2）的條件下，由于B類特產(chǎn)供貨緊張，每天只能購進100件且能按原價售完．設(shè)該店每天銷售這兩類特產(chǎn)的總利潤為w元，求w與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出每件A類特產(chǎn)降價多少元時總利潤w最大，最大利潤是多少元？（利潤＝售價－進價）【答案】(1)A類特產(chǎn)的售價為60元/件，B類特產(chǎn)的售價為72元/件(2)y=10x+60（）(3)A類特產(chǎn)每件售價降價2元時，每天銷售利潤最犬，最大利潤為1840元【分析】本題主要考查一元一次方程的應(yīng)用、函數(shù)關(guān)系式和二次函數(shù)的性質(zhì)，1根據(jù)題意設(shè)每件A類特產(chǎn)的售價為x元，則每件B類特產(chǎn)的售價為132?x元，進一步得到關(guān)于x的一元一次方程求解即可；2根據(jù)降價1元，每天可多售出10件列出函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合進價與售價，且每件售價不低于進價得到x得取值范圍；3結(jié)合（2）中A類特產(chǎn)降價x元與每天的銷售量y件，得到A類特產(chǎn)的利潤，同時求得B類特產(chǎn)的利潤，整理得到關(guān)于x的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)每件A類特產(chǎn)的售價為x元，則每件B類特產(chǎn)的售價為132?x元．根據(jù)題意得3x+5132?x解得．則每件B類特產(chǎn)的售價（元）．答：A類特產(chǎn)的售價為60元/件，B類特產(chǎn)的售價為72元/件．（2）由題意得y=10x+60∵A類特產(chǎn)進價50元/件，售價為60元/件，且每件售價不低于進價∴．答：y=10x+60（）．（3）．∵∴當(dāng)時，w有最大值1840．答：A類特產(chǎn)每件售價降價2元時，每天銷售利潤最大，最大利潤為1840元．壓軸題型四與面積有關(guān)的最值例4.（23-24九年級上·吉林·階段練習(xí)）如圖，用長為34米的籬笆，圍成一面利用墻（墻的最大可用長度為16米）的一個矩形場地花圃ABCD，AB邊上留有2米寬的小門EF（用其他材料做，不用籬笆圍），設(shè)花圃的一邊AD長為x（米），面積為y（平方米）．(1)若矩形場地面積為144平方米，求矩形場地的長和寬；(2)矩形場地的長和寬為多少時，矩形場地的面積最大，并求出最大面積．【答案】(1)12m，12m(2)矩形的長為16m，寬為10m，矩形面積最大，最大面積為160【分析】本題考查了矩形的面積與周長，一元二次方程的應(yīng)用，構(gòu)造二次函數(shù)求最值，熟練掌握矩形的性質(zhì)，一元二次方程的應(yīng)用，構(gòu)造二次函數(shù)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意，得寬AD=xm，長為AB=34?2AD+EF=34?2x+2=36?2x（2）設(shè)矩形的面積為S=ym2，根據(jù)題意，得y=x36?2x【詳解】（1）解：根據(jù)題意，得寬AD=xm，長為AB=34?2AD+EF=34?2x+2∵矩形場地面積為144平方米，∴x36?2x即x2解得：x1=12，當(dāng)x1=12時，當(dāng)x2=6時，故當(dāng)時，成立，答：矩形的長為12m，寬為12m．（2）∵0<36?2x≤16，∴10≤x<17，根據(jù)題意，得y=x36?2x∴當(dāng)x≥10時，y隨x增大而減小，∴當(dāng)x=10時，y有最大值160，此時矩形的長為16m，寬為10m．答：矩形的長為16m，寬為10m，矩形面積最大，最大面積為160m鞏固訓(xùn)練1．（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測）某校九年級學(xué)生在數(shù)學(xué)社團課上進行紙盒設(shè)計，利用一個邊長為30cm(1)若無蓋紙盒的底面積為484c(2)折成的無蓋紙盒的側(cè)面積是否有最大值？如果有，求出這個最大值和此時剪掉的小正方形的邊長；如果沒有，說明理由．【答案】(1)剪掉的小正方形的邊長為4(2)無蓋紙盒的側(cè)面積有最大值，剪掉的小正方形的邊長為152cm【分析】本題主要考查一元二次方程與幾何圖形面積，二次函數(shù)最值，掌握一元二次方程的解法，二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意和圖示，設(shè)剪掉的小正方形的邊長為acm（2）根據(jù)題意，設(shè)剪掉的小正方形的邊長為xcm，無蓋紙盒的側(cè)面積為，結(jié)合幾何圖形面積的計算方法，二次函數(shù)圖象最值的計算方法即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)剪掉的小正方形的邊長為acm∴無蓋紙盒的底面的邊長為30?2a，∴30?2a2解得，a=4或26（舍去），∴剪掉的小正方形的邊長為4cm（2）解：設(shè)剪掉的小正方形的邊長為xcm，無蓋紙盒的側(cè)面積為，∴s=430?2x∴當(dāng)x=152時，有最大值，最大值為450∴無蓋紙盒的側(cè)面積有最大值，剪掉的小正方形的邊長為152cm時，有最大值，最大值為2．（2023·四川綿陽·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A和點C分別在x軸和y軸的正半軸上，OA=6，OC=4，以O(shè)A，OC為鄰邊作矩形OABC，動點M，N以每秒1個單位長度的速度分別從點A、C同時出發(fā)，其中點M沿AO向終點O運動，點N沿CB向終點B運動，當(dāng)兩個動點運動了t秒時，過點N作NP⊥BC，交OB于點P，連接MP．

(1)直接寫出點B的坐標(biāo)為，直線OB的函數(shù)表達式為；(2)記△OMP的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式0<t<6；并求t為何值時，S有最大值，并求出最大值．【答案】(1)6,4；y=(2)S=?1【分析】本題考查了二次函數(shù)與幾何動態(tài)問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意表達出點的坐標(biāo)，利用幾何知識列出函數(shù)關(guān)系式．（1）根據(jù)四邊形OABC為矩形即可求出點B坐標(biāo)，設(shè)直線OB解析式為y=kx，將B6,4代入即可求直線OB（2）由題意可得OM=6?t，由（1）可得點P的坐標(biāo)為t,23t【詳解】（1）解：∵OA=6，OC=4，四邊形OABC為矩形，∴AB=OC=4，∴點B6,4設(shè)直線OB解析式為y=kx，將B6,4代入得4=6k解得k=2∴y=2故答案為：6,4；y=2（2）解∶由題可知，，由（1）可知，點P的坐標(biāo)為t,∴S=?∴當(dāng)t=3時，S有最大值3．3．（23-24九年級上·四川成都·階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，，P點在BC上，從B點到C點運動（不包括C點），點P運動的速度為2cm/s；Q點在AC上從C點運動到A點（不包括A點），速度為5cm/s．若點P、Q分別從B、(1)當(dāng)t為何值時，P、Q兩點的距離為52(2)當(dāng)t為何值時，△PCQ的面積為15c(3)請用配方法說明，點P運動多少時間時，四邊形BPQA的面積最?。孔钚∶娣e是多少？【答案】(1)1(2)2或1.5(3)點P運動74s時間時，四邊形BPQA【分析】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理：（1）根據(jù)題意可得PC=7?2t（2）根據(jù)三角形的面積公式可得到關(guān)于t的方程，即可求解；（3）根據(jù)四邊形BPQA的面積為S△【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：PC=7?2t∵P、Q兩點的距離為52cm，且∴7?2t2解得：t=1或?1即當(dāng)t為1時，P、Q兩點的距離為52（2）解：根據(jù)題意得：PC=7?2t∵△PCQ的面積為15∴12解得：t=2或1.5，即當(dāng)t為2或1.5時，△PCQ的面積為15c（3）解：根據(jù)題意得：PC=7?2t∴△PCQ的面積為12∴四邊形BPQA的面積為S△∵5>0，∴當(dāng)t=74時，四邊形BPQA的面積取得最大值，最大值為即點P運動74s時間時，四邊形BPQA的面積最小，最小面積是壓軸題型五存在性問題例5.（23-24九年級上·吉林·階段練習(xí)）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點A?1,0、B0,3在拋物線y=?x2+bx+c上，該拋物線的頂點為C(1)求該拋物線的解析式；(2)當(dāng)BP⊥y軸時，求△BCP(3)當(dāng)該拋物線在點A與點P之間（包含點A和點P）的部分的最高點和最低點的縱坐標(biāo)之差為1時，求出m的值；(4)在拋物線對稱軸上是否存在一點E，使△ABE是以AB為斜邊的直角三角形？若存在，直接寫出點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)y=?(2)△BCP(3)m=0或m=2；(4)點E的坐標(biāo)為1,1或1,2.【分析】（1）利用待定系數(shù)法可得該拋物線的解析式；（2）根據(jù)配方法可得拋物線的對稱軸，確定點P的坐標(biāo)，知道BP∥（3）根據(jù)（2）的結(jié)論結(jié)合函數(shù)圖象，從而確定m的值；（4）設(shè)E1,t，而、B(0,3)，AB2=12【詳解】（1）解：把點、B(0,3)代入y=?x2?1?b+c=0c=3解得：b=2c=3∴該拋物線的解析式為y=?x（2）解：由（1）知，，∴點C為(1,4)，當(dāng)BP⊥y軸時，點P與點B關(guān)于對稱軸x=1對稱，∴點P(2,3)，∴BP=2，點C到PB的距離為1，，的面積為1；（3）解：由（1）知，點C到PB的距離為1，此時點B(0,3)，P(2,3)，∴當(dāng)m=0或m=2時，該拋物線在點A與點P之間（包含點A和點P）的部分的最高點和最低點的縱坐標(biāo)之差為1；（4）解：如圖，∵，∴對稱軸為直線x=1，設(shè)E1,t，而、B(0,3)，∴AB2=12∵AB為斜邊，∴4+t解得：t=1或t=2，∴點E的坐標(biāo)為1,1或1,2.【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、軸對稱的性質(zhì)等知識；會利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；二次函數(shù)與特殊三角形，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件討論點P的位置．鞏固訓(xùn)練1．（2024·四川瀘州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線經(jīng)過點A3,0，與y軸交于點B，且關(guān)于直線x=1對稱．(1)求該拋物線的解析式；(2)當(dāng)?1≤x≤t時，y的取值范圍是0≤y≤2t?1，求t的值；(3)點C是拋物線上位于第一象限的一個動點，過點C作x軸的垂線交直線AB于點D，在y軸上是否存在點E，使得以B，C，D，E為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出該菱形的邊長；若不存在，說明理由．【答案】(1)y=?(2)t=(3)存在點以B，C，D，E為頂點的四邊形是菱形，邊長為32【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，菱形的性質(zhì)，正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進行求解，是解題的關(guān)鍵．（1）待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（2）分t≤1和，兩種情況，結(jié)合二次函數(shù)的增減性進行求解即可．（3）分BD為菱形的邊和菱形的對角線兩種情況進行討論求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點A3,0，與y軸交于點B，且關(guān)于直線x=1對稱，∴?b2a=1∴y=?x（2）∵拋物線的開口向下，對稱軸為直線x=1，∴拋物線上點到對稱軸上的距離越遠，函數(shù)值越小，∵?1≤x≤t時，0≤y≤2t?1，①當(dāng)t≤1時，則：當(dāng)x=t時，函數(shù)有最大值，即：，解得：t=?2或t=2，均不符合題意，舍去；②當(dāng)時，則：當(dāng)x=1時，函數(shù)有最大值，即：，解得：t=5故t=5（3）存在；當(dāng)y=?x2+2x+3=0時，解得：x1=3,∴A3,0，B設(shè)直線AB的解析式為y=kx+3，把A3,0代入，得：k=?1∴，設(shè)Cm,?m2∴CD=?m2+2m+3+m?3=?m2當(dāng)B，C，D，E為頂點的四邊形是菱形時，分兩種情況：①當(dāng)BD為邊時，則：BD=CD，即，解得：m=0（舍去）或m=3?2此時菱形的邊長為2m=3②當(dāng)BD為對角線時，則：BC=CD，即：m2解得：m=2或m=0（舍去）此時菱形的邊長為：?2綜上：存在以B，C，D，E為頂點的四邊形是菱形，邊長為322．（2024·四川達州·中考真題）如圖1，拋物線y=ax2+kx?3與x軸交于點A?3,0和點B1,0，與y

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖2，連接AC，DC，直線AC交拋物線的對稱軸于點M，若點P是直線AC上方拋物線上一點，且S△PMC=2S(3)若點N是拋物線對稱軸上位于點D上方的一動點，是否存在以點N，A，C為頂點的三角形是等腰三角形，若存在，請直接寫出滿足條件的點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)y=(2)P1,0或P(3)N?1,14或?1,?14或【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式，即可求解；（2）先求得C,M,D的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理的逆定理得出△MCD是等腰三角形，進而根據(jù)S△PMC=2S△DMC得出S△PMC=2，連接，設(shè)交x軸于點E，則ME=EB=2得出△MBE是等腰直角三角形，進而得出S△BMC=2，則點P與點B重合時符合題意，P1,0，過點B作BP∥AC（3）勾股定理求得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分類討論解方程，即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線y=ax2+kx?3與x軸交于點A∴9a?3k?3=0解得：a=1∴拋物線的解析式為y=x（2）由y=x2+2x?3，當(dāng)x=0時，∵y=x2+2x?3=x+1設(shè)直線AC的解析式為y=k1x+b∴?3解得：k∴直線AC的解析式為y=?x?3，當(dāng)x=?1時，y=?2，則M∴MC=∴M∴△MCD∴S連接，設(shè)交x軸于點E，則ME=EB=2∴△MBE∴∠BME=45°，BM=22又∠∴∴S∴點P與點B重合時符合題意，P如圖所示，過點B作BP∥AC交拋物線于點P，設(shè)直線BP的解析式為y=?x+m，將B1,00=?1+m解得：m=1∴直線BP的解析式為聯(lián)立y=?x+1解得：x=?4y=5，∴P綜上所述，P1,0或P（3）解：∵A?3,0，C∴A∵點N是拋物線對稱軸上位于點D上方的一動點，設(shè)N?1,n其中∴AN2①當(dāng)時，4+n2=18，解得：或②當(dāng)NA=NC時，4+n2③當(dāng)CA=CN時，18=n2+6n+10，解得：n=綜上所述，N?1,14或?1,?14或?1，?1【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問題，待定系數(shù)法求解析式，面積問題，特殊三角形問題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，拋物線y=?x2+bx+c與x軸交于點A?3,0和點B，與y軸交于點

(1)求該拋物線的解析式；(2)當(dāng)點D在第二象限內(nèi)，且△ACD的面積為3時，求點D的坐標(biāo)；(3)在直線BC上是否存在點P，使△OPD是以PD為斜邊的等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)拋物線的解析式為y=?(2)D的坐標(biāo)為?1,4或?2,3(3)P的坐標(biāo)為0,3或25?19318,?7+【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解；（2）過D作DK∥y軸交AC于K，求出直線AC解析式，根據(jù)S△（3）先求出點A，B坐標(biāo)，再求出直線BC解析式，過P作PN⊥y軸于N，過D作DM⊥y軸于M，分以下情況分別討論即可：①P與C重合，D與A重合時；②當(dāng)P在第一象限，D在第四象限時；③當(dāng)P在第四象限，D在第三象限時；④當(dāng)P在第四象限，D在第一象限時．【詳解】（1）解：把A?3,0，C0,3代入?9?3b+c=0c=3解得b=?2c=3∴拋物線的解析式為y=?x（2）解：過D作DK∥y軸交AC于K，如圖：

由A?3,0，C0,3得直線AC解析式為設(shè)Dt,?t2∴DK=?∵△ACD∴12DK?解得t=?1或t=?2，∴D的坐標(biāo)為?1,4或?2,3；（3）解：在直線BC上存在點P，使△OPD是以PD為斜邊的等腰直角三角形，理由如下：在y=?x2?2x+3中，令y=0解得x=?3或x=1，∴A?3,0，B由B1,0，C0,3得直線BC解析式為設(shè)Pm,?3m+3，D過P作PN⊥y軸于N，過D作DM⊥y軸于M，①∵OA=OC=3∴當(dāng)P與C重合，D與A重合時，△OPD

此時P0,3②當(dāng)P在第一象限，D在第四象限時，

∵△OPD是以PD為斜邊的等腰直角三角形，∴OD=OP，∠POD=90°∴∠DOM=90°?∵∠DMO=90°=∴△DOM∴DM=ON，OM=PN，∴n=?3