巧解圓錐曲線的離心率問題（學生版）-2025年高考數(shù)學一輪復習專練（新高考專用）

重難點26巧解圓錐曲線的離心率問題【八大題型】

【新高考專用】

?題型歸納

【題型1利用圓錐曲線的定義求離心率或其范圍】................................................2

【題型2利用圓錐曲線的性質(zhì)求離心率或其范圍】................................................3

【題型3利用等量關(guān)系或不等關(guān)系求離心率或其范圍】............................................3

【題型4利用正、余弦定理求離心率或其范圍】..................................................4

【題型5利用基本不等式求離心率的范圍】......................................................5

【題型6橢圓與雙曲線綜合的離心率問題】......................................................5

【題型7函數(shù)法求離心率或其范圍】............................................................6

【題型8坐標法求離心率或其范圍】............................................................7

?命題規(guī)律

1、巧解圓錐曲線的離心率問題

從近幾年的高考情況來看，圓錐曲線的離心率或其取值范圍問題是高考的熱點題型，主要以選擇題或

填空題的形式考查，難度不大；對圓錐曲線中已知特征關(guān)系的轉(zhuǎn)化是解決此類問題的關(guān)鍵，相關(guān)平面幾何

關(guān)系的挖掘應(yīng)用也可使問題求解更簡潔.

?方法技巧總結(jié)

【知識點1圓錐曲線的離心率】

1.橢圓的離心率

⑴離心率的定義：橢圓的焦距與長軸長的比反稱為橢圓的離心率用e表示，即e=￡.

aa

(2)離心率的范圍：0<e<l.

(3)橢圓離心率的意義：橢圓離心率的變化刻畫了橢圓的扁平程度.

當e越接近于1時，c越接近于0,從而b=7金一c1越小,因此橢圓越扁；當e越接近于0時，c越接

近于0,從而釬不越接近于。，因此橢圓越接近于圓；當且僅當。=6時，c=0,這時兩個焦點重合，

圖形變?yōu)閳A，它的方程為/+*=

2.求橢圓離心率或其取值范圍的方法

解題的關(guān)鍵是借助圖形建立關(guān)于a,b,c的關(guān)系式(等式或不等式)，轉(zhuǎn)化為e的關(guān)系式，常用方法如下：

(1)直接求出a,c,利用離心率公式e=;求解.

(2)由a與b的關(guān)系求離心率，利用變形公式e=—與求解.

(3)構(gòu)造a,c的齊次式.離心率e的求解中可以不求出a,c的具體值，而是得出。與。的關(guān)系，從而求得

e.

3.雙曲線的離心率

(1)定義：雙曲線的焦距與實軸長的比(，叫作雙曲線的離心率.

(2)雙曲線離心率的范圍：e>l.

(3)離心率的意義：離心率的大小決定了漸近線斜率的大小，從而決定了雙曲線的開口大小.

因為所以e越大，，越大，則雙曲線的開口越大.

(4)等軸雙曲線的兩漸近線互相垂直，離心率e=，5.

4.求雙曲線離心率或其取值范圍的方法

(1)直接求出a,c的值，利用離心率公式直接求解.

(2)列出含有凡4c的齊次方程(或不等式)，借助于〃=>一消去從轉(zhuǎn)化為含有e的方程(或不等式)

求解.

5.拋物線的離心率

拋物線的離心率e=l.

【知識點2離心率的范圍問題的求解方法】

1.不等式法求離心率的范圍

(1)利用圓錐曲線的定義求離心率的范圍：利用圓錐曲線的定義建立不等關(guān)系，結(jié)合離心率公式求解.

(2)利用圓錐曲線的性質(zhì)求離心率的范圍：利用圓錐曲線的性質(zhì)，如：橢圓的最大角、雙曲線漸近線的

斜率、通徑、三角形中的邊角關(guān)系、曲線上的點到焦點距離的范圍等，建立不等式(不等式組)求解.

(3)利用題目條件中的不等關(guān)系，建立不等式(不等式組)求解.

(4)利用基本不等式求離心率的范圍：把離心率的關(guān)系式轉(zhuǎn)化為能利用基本不等式的形式，利用基本不

等式建立不等關(guān)系進行求解.

2.函數(shù)法求離心率的范圍

(1)根據(jù)題干條件，如圓錐曲線的定義、性質(zhì)、其他等量關(guān)系等條件建立離心率和其他一個變量的函數(shù)

關(guān)系式；

(2)結(jié)合圓錐曲線的離心率的范圍，來確定所得函數(shù)的定義域；

(3)利用函數(shù)的性質(zhì)求最值或值域，進而求解離心率的最值或取值范圍.

3.坐標法求離心率的范圍

根據(jù)所給條件，設(shè)出所求點的坐標，把點的坐標代入曲線方程，結(jié)合相關(guān)知識，進行求解即可.

?舉一反三

【題型1利用圓錐曲線的定義求離心率或其范圍】

【例1】(2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?模擬預(yù)測)已知雙曲線的兩個焦點分別為(4,0),(-4,0),點(4,—6)在該雙

曲線上，則該雙曲線的離心率為()

A.V3B.3C.2D.V2

【變式1-1](2024?廣西貴港?模擬預(yù)測)已知正方形N3C。的四個頂點都在橢圓上，且橢圓的兩個焦點分

別為邊AD和8c的中點，則該橢圓的離心率為()

【變式1-2]（23-24高二下?山西晉城?階段練習）已知尸0尸2是橢圓。捺+/=1（（1>匕>0）的兩個焦點，

M為C的頂點，若△MFiE的內(nèi)心和重心重合，則C的離心率為（）

A.—B.—C.-D.-

3223

【變式1-3]（2024?陜西商洛?三模）已知雙曲線。捺―，=l（a>0,b>0）的左、右焦點分別為Fi,，若C

上存在點P,使得|PFil=3IP&I，則C的離心率的取值范圍為（）

A.[V2,+oo）B.（1,V2]C.[2,+oo）D.（1,2]

【題型2利用圓錐曲線的性質(zhì)求離心率或其范圍】

【例2】（2024?浙江杭州三模）已知雙曲線捺―9=1（“>°）上存在關(guān)于原點中心對稱的兩點4B,以

及雙曲線上的另一點C,使得△ABC為正三角形，則該雙曲線離心率的取值范圍是（）

A.（V2,+oo）B.（V3,+oo）C.（2,+oo）D.律,+8）

【變式2-1]（23-24高二下?山西運城?期中）已知Fl,分別是橢圓。《+9=1（。>0）的左、右焦點，過

點6的直線交C于A,B兩點，若|加引+出尸21的最大值為8,貝IJC的離心率為（）.

A.遺B?里C.漁D.i

3232

【變式2-2]（2024?四川?模擬預(yù)測）已知雙曲線E:5一，=l（a>0,6>0）,￡4分別為E的右焦點和左頂點，

點M（—2,3）是雙曲線E上的點，若的面積為玄則雙曲線E的離心率為（）

A.V3B.2C.yD.V6

22

【變式2-3]（2024?陜西銅川?模擬預(yù)測）已知FI，F(xiàn)2是橢圓后:a+左=1（。>b>0）的左、右焦點，若E上

存在不同的兩點A,B,使得互1=7^貝UE的離心率的取值范圍為（）

A.（0,V2-1）B.（0,V2-1]C.（3-2V2,1）D.[3-2&,1）

【題型3利用等量關(guān)系或不等關(guān)系求離心率或其范圍】

【例3X2024?廣東深圳?二模）P是橢圓C：5+，=l（a>6>0）上一點,鼻、尸2是C的兩個焦點，耐?可=

。，點Q在4尸正尸2的平分線上，。為原點，OQIIPFi，且|0Q|=6.貝UC的離心率為（）

【變式3-1］（2024?江西南昌?三模）已知雙曲線C:?-9=l（a>03>0）的左、右焦點分別為%,吃.過戶2

作直線/與雙曲線C的右支交于4B兩點，若AFiTlB的周長為106,則雙曲線C的離心率的取值范圍是（）

.停，網(wǎng)停，網(wǎng)

AB.D.[2,+oo)

【變式3-2］（2024?河北邯鄲?模擬預(yù)測）已知雙曲線C：l（a>0,b>0）,。為坐標原點，％、F2

分別為C的左、右焦點，點尸在雙曲線上，且PF2，久軸，初在NF2PF1外角平分線上，且無標?兩=0.若1。921=

\F2M\,則雙曲線的離心率為（）

A.V2B.V3

【變式3-3］（2024?陜西安康?模擬預(yù)測）已知橢圓C:5+，=l（a>b>0）,直線I:y=+a）與橢圓C

交于4B兩點（B點在4點上方），。為坐標原點，以。為圓心，|0陰為半徑的圓在點B處的切線與%軸交于點D,

若48。力〉NB力。，貝IJC的離心率的最大值為（）

【題型4利用正、余弦定理求離心率或其范圍】

【例4】（2024?廣西桂林?模擬預(yù)測）已知％、或是雙曲線C：5—，=1的左、右焦點，過B作雙曲線一條

漸近線的垂線，垂足為P,且|P%|2+|PF2|2=862,則雙曲線C的離心率為（）

A.-B.-C.—D.—

3433

【變式4-1］（2024?陜西安康?模擬預(yù)測）設(shè)4B分別為橢圓嗒+/=1（（1>6>0）的左、右頂點，M是C

上一點，且|M川:|MB|:|4B|=3:5:7,則C的離心率為（）

A3n3八底C7V286

A.-B.-C.--D.——

5711143

【變式4-2］（2024?四川成都?模擬預(yù)測）設(shè)點%,4分別為雙曲線。《一/=l（a>0,b>0）的左、右焦點,

點4,2分別在雙曲線C的左，右支上.若序=6及I,AF21BF2,且I祈I>I兩I，則雙曲線的離心率為

（）

,17-13V85V65

A-TB.《C.—D.—

【變式4-3］（23-24高二上?浙江杭州?期中）雙曲線C：S-9=1（（1>0">0）的左，右焦點分別為％,F2，

O為坐標原點，過乙作。的一條漸近線的垂線，垂足為。，且|。尸21=夕1。/，則C的離心率為（）

A.V2B.2C.V5D.3

【題型5利用基本不等式求離心率的范圍】

【例5】（23-24高二上?安徽黃山?期末）已知點%是橢圓5+，=19>。>0）的左焦點，過原點作直線2

交橢圓于4、B兩點，M、N分別是4％、BFi的中點，若NMON=90。，則橢圓離心率的最小值為（）

A.-B.—C.-D.—

4422

【變式5-1]（23-24高三上?云南曲靖?階段練習）已知Fi，F(xiàn)2,分別為雙曲線9一，=1（a>0,b>0）

的左、右焦點，M為雙曲線左支上任意一點，若黑的最小值為8a,則雙曲線離心率e的取值范圍是（）

A.（I,1]B.（2,4]

C.（1,3]D.（3,5]

【變式5-2]（23-24高二?全國?課后作業(yè)）已知％,尸2分別為雙曲線捻一，=19〉。">0）的左、右焦點,

P為雙曲線右支上任意一點，若鬻的最小值為8a,則該雙曲線的離心率e的取值范圍是（）

A.（1,2）B.（1,3）C.（1,3]D.（2,4）

22

【變式5-3]（2024?河南?二模）從橢圓。會+3=l（a>b>0）外一點PQo，yo）向橢圓引兩條切線，切點分

別為4B,則直線稱作點P關(guān)于橢圓C的極線，其方程為簧+皆=1.現(xiàn)有如圖所示的兩個橢圓的,。2,離

心率分別為ei，e2，C2內(nèi)含于右，橢圓的上的任意一點M關(guān)于C2的極線為若原點。到直線/的距離為1,則好-

【題型6橢圓與雙曲線綜合的離心率問題】

【例6】（2024?安徽合肥?模擬預(yù)測）已知橢圓的：5+y2=1（根>1）與雙曲線。2：5―y2=i（n>0）的

焦點重合，e1；02分別為Ci，C2的離心率，則（）

A.ere2>2B.g+3>2

C.0VV2D.0V+e2V2

2222

【變式6-1］（2024?山東荷澤?一模）已知e。生分別為橢圓滔■+表■=1（。>b>。）和雙曲線滔■一,=1的離心

率，雙曲線漸近線的斜率不超過絲，則絲的最大值是（）

5ei

A.2B.3C.4D.5

【變式6-2X2024?全國?模擬預(yù)測）已知橢圓的:《+5=l（m>n>0）與雙曲線。2：5—，=l（a>0,b>0）

有共同的焦點%,尸2，點P為兩曲線的一個公共點，且N%PF2=60°,橢圓的離心率為ei，雙曲線的離心率

為02，那么修+用最小為（）

A2+V3-2+V3C3+2V2c3+2V2

A.-----B.-----C.-------D.-------

4242

【變式6-3］（23-24高二上?湖北荊州?期末）已知B,&是橢圓與雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共

點，且|P%|>|PF2l，線段PFi的垂直平分線過F2，若橢圓的離心率為雙曲線的離心率為62,則?

的最小值為（）

A.8B.6C.4D.2

【題型7函數(shù)法求離心率或其范圍】

【例7】（2024?全國?模擬預(yù)測）已知橢圓「:5+，=l（a>b>0）的左、右焦點分別為Fi'，點P在橢圓「

上，且西?配=0.若瞿6［1,3］,則橢圓「的離心率的取值范圍是（）

1"戶2|

A?層1）B.性用C.盟D.［1,4-2V3］

【變式7-1］（2024?河北邯鄲?二模）已知直線2：ab久一（4a-l）y+m=0（a>4）與雙曲線表一三=

l（a>0,b〉0）的兩條漸近線交于48兩點，。為坐標原點，若△0/8為直角三角形，則雙曲線的離心率

e的最大值為（）

A.V2B.V3C.2D.V5

【變式7-2］（2024?遼寧?模擬預(yù)測）已知Q是橢圓”:￡+，=1（0<b<3）上的動點，若動點Q到定點P（2,0）

的距離|PQ|的最小值為1,則橢圓M的離心率的取值范圍是（）

A.肉1）B.（0百C.憐1）D.（0,弓

【變式7-3］（2024?四川?模擬預(yù)測）已知雙曲線?！兑?=1（（1>03>0）,七,尸2為。的左、右焦點，8（0,4幼,

直線8尸2與C的一支交于點P，且耨=2（221）,則C的離心率最大值為（）

A.V5B.2C.2V2D.2V5

【題型8坐標法求離心率或其范圍】

22

［例8］（23-24高二下?湖北武漢?階段練習）已知4F分別為橢圓為+>=l（a>b>0）的左頂點和左焦點,

直線y=依與橢圓交于B,C兩點，若直線CF交線段AB于M,前=［荏，則橢圓的離心率為（）

A.坦B.iC.小D.辿

3245

【變式8-1］（23-24高三上?河北保定?階段練習）已知雙曲線。/一/=1（6>0）,點P（2,0）,（?（3,0）,若C

上存在三個不同的點M滿足|MQ|=2|MP|,貝!|C的離心率的取值范圍為（）

AV15.口V30.八V15、門V30、

A.（1）—）B.（1,—）C.r（—,+oo）D.r（—,+oo）

【變式8-2］（2024?福建泉州?模擬預(yù)測）橢圓E：5+，=1（。>6>0）的左右焦點分別為％/2，點

—>

P（0,m）（m>b）,線段P%,PB分別交E于4B兩點，過點B作E的切線交P%于C,且BLP%=0,P8=2BF2,

則E的離心率為（）

A.iB.也C.3D.班

2223

【變式8-31（23-24高二上?湖北?期中）己知雙曲線一5=l（a>0,6>0）的左、右焦點分別為Fi（-c,0）,

F2（c,0），過點Fi的直線?與雙曲線C的左支交于點力，與雙曲線C的一條漸近線在第一象限交于點B,且IBF2I=

2\OB\（。為坐標原點）.下列三個結(jié)論正確的是（）

①B的坐標為（a,b）；②|B%|—|B&I>2a；③若荏=3帝,則雙曲線C的離心率上嚴；

A.①②B.②③C.①③D.①②③

?過關(guān)測試

一、單選題

1.（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測）設(shè)橢圓E:5+，=l（a>匕>0）的左右焦點為91，尸2,右頂點為4已知點P

在橢圓E上，若=90°,NPHF2=45。，則橢圓E的離心率為（）

A.1B.yC.2-V2D.V3-1

2.（2024?四川雅安?三模）設(shè)％分別為雙曲線C?！?，=l（a>0">0）的左右焦點，過點尸2的直線交

雙曲線右支于點M,交y軸于點N,且尸2為線段MN的中點，并滿足互行1,，則雙曲線C的離心率為（）

A.B.V3+1C.2D.V5+1

22

3.（2024?陜西咸陽?模擬預(yù)測）設(shè)%,尸2分別是橢圓日出+與=l（a>b>0）的左、右焦點，過的直線

交橢圓于A,B兩點，且麗?用=0,旃=2取，則橢圓E的離心率為（）.

A.—B.—C.-D.-

2345

4.（2024?安徽合肥?模擬預(yù)測）已知雙曲線C5—，=l（a>0,b>0）,%（—c,0）、分別為左、右

焦點，若雙曲線右支上有一點尸使得線段PFi與了軸交于點E,\PO\=\PF2\,線段E&的中點X滿足布?

恒=0,則雙曲線的離心率為（）

22

5.（2024?廣東?一模）已知點尸，/分別是橢圓訝+方=l（a>b>0）的左焦點、右頂點，3（0㈤滿足

麗?適=0,則橢圓的離心率等于（）

AV3+1DV5-1cV3-1nV5+1

A.---D.---C.---D.-------

2222

6.（2024?遼寧?模擬預(yù)測）已知橢圓的與雙曲線。2有共同的焦點％,F2，P是橢圓的與雙曲線。2的一個公共點,

且*，其離心率分別為ei，02,則3e”e湖最小值為（）

A.3B.4C.6D.12

22

7.（2024?河南濮陽?模擬預(yù)測）點M是橢圓表+會=1（（1>6>0）上的點，以M為圓心的圓與x軸相切于橢

圓的焦點F,圓M與y軸相交于P,Q兩點，若APOM是銳角三角形，則橢圓離心率的取值范圍是（）

A.（2-V3,1）B將，1）

C.胃1）D,胃冷）

8.（2024?四川德陽?模擬預(yù)測）已知雙曲線/:胃—/=19>0為>0）的焦距為2°,右頂點為/,過/

作x軸的垂線與E的漸近線交于M、N兩點，若SMONN*2,則E的離心率的取值范圍是（）

B.殍回C.[V2-V3]D.[V3,2]

二、多選題

9.（2024?甘肅酒泉?三模）已知橢圓《+，=1（。>6>0）上存在點「，使得|PFi|=4|P&I，其中F1/2分

別為橢圓的左、右焦點，則該橢圓的離心率可能為（）

D.V3-1

10.（2024?河南信陽?模擬預(yù)測）已知雙曲線C?！?=l（a>0,b>0）的左、右焦點分別為尸式一。,0）,尸2匕0），

直線2:bx+ay-%=0與C相交于點M,與C的一條漸近線相交于點N,C的離心率為e,則（）

A.若NF11NF2，貝！k=2B.若MF1I.MF2，則e=2夜

C.若|N4I=2|MF21，貝卜=/D.若IMF/25|"41，貝！JeW加

11.（2024?貴州貴陽?三模）雙曲線C:《—/=1（。>0,6>0）的左、右焦點分別為點%,去，斜率為正的漸

近線為過點F2作直線。的垂線，垂足為點4交雙曲線于點P，設(shè)點M是雙曲線C上任意一點，若|P&I=

^\AF2\,SApF1p2=則（）

A.雙曲線C的離心率為遙

B.雙曲線C的共輾雙曲線方程為產(chǎn)―1

4

C.當點M位于雙曲線c右支時，旨e（i,萼]

D.點M到兩漸近線的距離之積為3

三、填空題

12.（2024?山東濟南?三模）已知％、%是橢圓5+，=1。>力>0）的左，右焦點，點P為橢圓上一點，。

為坐標原點，△PO&為正三角形，則