人教版高中數(shù)學(xué)必修二同步學(xué)習(xí)講義：空間幾何體復(fù)習(xí) 章末復(fù)習(xí)課（含答案）

空間幾何體

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.整合知識(shí)結(jié)構(gòu)，梳理知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，進(jìn)一步鞏固、深化所學(xué)知識(shí)2能熟練畫(huà)出幾何

體的直觀圖或三視圖，能熟練地計(jì)算空間幾何體的表面積和體積，體會(huì)通過(guò)展開(kāi)圖、截面化

空間為平面的方法.

n知識(shí)梳理

i.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及其側(cè)面積和體積

名稱(chēng)定義圖形側(cè)面積體積

有兩個(gè)面互相平行,其余

E'S惻=Ch,C為

各面都是四邊形,并且每dns

棱柱側(cè)面」底面的周長(zhǎng),/?V=Sh

相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊例梭&

金為高

都互相平行

<-1

〉正棱錐側(cè)—2

有一個(gè)面是多邊形,其余N頂點(diǎn)

V=\sh,h

多側(cè)梭77側(cè)面

棱錐各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)P—\\cCh',C為底

面面的周長(zhǎng)"'為高

的三角形

AB

體為斜高

S!E?&fM=2(C

v=*s上

用一個(gè)平行于棱錐底面的

+C川，

4:邪這上底面

棱臺(tái)平面去截棱錐，底面與截畫(huà)面聞牙側(cè)棱+S下+

c,C為底面

七/F底面

面之間的部分7s上S下）h,

頂點(diǎn)的周長(zhǎng),〃為

h為高

斜高

1軸

旋以矩形的一邊所在直線(xiàn)為「底面S側(cè)=2兀汕,r

I

V=Sh=

轉(zhuǎn)圓柱旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形一側(cè)面為底面半徑,/z

71rlh

體成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體一母線(xiàn)為高

底面

以直角三角形的一條直角歹軸

S例=兀，/，v為V=1s/z=

邊所在直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸，其側(cè)

圓錐母線(xiàn)底面半徑，h

余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍7

為高

成的旋轉(zhuǎn)體底面

v=g(s上

、巳軸

底面S側(cè)—7l(Fl+

用平行于圓錐底面的平面+S下+

廠(chǎng))2/，廠(chǎng)1，廠(chǎng)2為

側(cè)面

圓臺(tái)去截圓錐，底面和截面之J

母線(xiàn)J底面半徑，/

間的部分=%(齊+

底面1為母線(xiàn)

ri+riri)h

球心與

以半圓的直徑所在直線(xiàn)為

S球面=4兀7?2,R

4Q

球旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周

為球的半徑

形成的旋轉(zhuǎn)體

r直徑

2.空間幾何體的三視圖與直觀圖

(1)三視圖是觀察者從三個(gè)不同位置觀察同一個(gè)空間幾何體而畫(huà)出的圖形；

它包括正視圖、側(cè)視圖、俯視圖三種.畫(huà)圖時(shí)要遵循“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”的原則.注

意三種視圖的擺放順序，在三視圖中，分界線(xiàn)和可見(jiàn)輪廓線(xiàn)都用實(shí)線(xiàn)畫(huà)出，不可見(jiàn)輪廓線(xiàn)用

虛線(xiàn)畫(huà)出.熟記常見(jiàn)幾何體的三視圖.畫(huà)組合體的三視圖時(shí)可先拆，后畫(huà)，再檢驗(yàn).

(2)斜二測(cè)畫(huà)法：主要用于水平放置的平面圖形或立體圖形的畫(huà)法.它的主要步驟：

①畫(huà)軸；②畫(huà)平行于彳、y、z軸的線(xiàn)段分別為平行于/、V、z'軸的線(xiàn)段；③截線(xiàn)段：平

行于X、z軸的線(xiàn)段的長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線(xiàn)段的長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半.

三視圖和直觀圖都是空間幾何體的不同表示形式，兩者之間可以互相轉(zhuǎn)化.

(3)轉(zhuǎn)化思想在本章應(yīng)用較多，主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面

①曲面化平面，如幾何體的側(cè)面展開(kāi)，把曲線(xiàn)(折線(xiàn))化為線(xiàn)段.

②等積變換，如三棱錐轉(zhuǎn)移頂點(diǎn)等.

③復(fù)雜化簡(jiǎn)單，把不規(guī)則幾何體通過(guò)分割，補(bǔ)體化為規(guī)則的幾何體等.

2題型探究

類(lèi)型一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

例1根據(jù)下列對(duì)幾何體結(jié)構(gòu)特征的描述，說(shuō)出幾何體的名稱(chēng).

(1)由六個(gè)面圍成，其中一個(gè)面是凸五邊形，其余各面是有公共頂點(diǎn)的三角形；

(2)一個(gè)等腰梯形繞著兩底邊中點(diǎn)的連線(xiàn)所在的直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)180。形成的封閉曲面所圍成的圖形;

(3)一個(gè)直角梯形繞較長(zhǎng)的底邊所在的直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面所圍成的幾何體.

解(1)如圖①，因?yàn)樵搸缀误w的五個(gè)面是有公共頂點(diǎn)的三角形，所以是棱錐，又其底面是凸

五邊形，所以是五棱錐.

(2)如圖②，等腰梯形兩底邊中點(diǎn)的連線(xiàn)將梯形平分為兩個(gè)直角梯形，每個(gè)直角梯形旋轉(zhuǎn)180。

形成半個(gè)圓臺(tái)，故該幾何體為圓臺(tái).

(3)如圖③，過(guò)直角梯形A8CD的頂點(diǎn)A作AOLCO于點(diǎn)O,將直角梯形分為一個(gè)直角三角

形和一個(gè)矩形AOCB,繞旋轉(zhuǎn)一周形成一個(gè)組合體，該組合體由一個(gè)圓錐和一個(gè)圓

柱組成.

反思與感悟與空間幾何體結(jié)構(gòu)特征有關(guān)問(wèn)題的解題技巧

(1)緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷的關(guān)鍵，熟悉空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在條

件不變的情況下，變換模型中的線(xiàn)面關(guān)系或增加線(xiàn)、面等基本元素，然后再依據(jù)題意判定.

(2)通過(guò)舉反例對(duì)結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析，要說(shuō)明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的，只要舉出一個(gè)反例即可.

跟蹤訓(xùn)練1給出下列四種說(shuō)法：

①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線(xiàn)是圓柱的母線(xiàn)；

②底面為正多邊形，且相鄰兩個(gè)側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱；

③直角三角形繞其任一邊所在直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐；

④棱臺(tái)的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長(zhǎng)一定相等.

其中正確的個(gè)數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

答案B

解析①連接上、下底面的圓周上兩點(diǎn)連線(xiàn)要與軸平行才是母線(xiàn)；③直角三角形繞著直角邊

所在直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周才能形成圓錐；④棱臺(tái)的上、下底面，相似.故只有②正確.

類(lèi)型二三視圖與斜二測(cè)畫(huà)法

例2(1)某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐最長(zhǎng)棱的棱長(zhǎng)為.

IT

側(cè)視圖

答案2\(2

解析該三棱錐的直觀圖如圖所示,

并且平面ABC,

PB=2,AB=2,AC=BC=?

臥=72?+22=2巾,

PC=、22+(的2=詬

故最長(zhǎng).

(2)如圖，四邊形ABCD是一水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖，AB//CD,AD±CD,且

BC與y軸平行，若AB=6,CD=4,8c=2也，則原平面圖形的實(shí)際面積是.

答案20yj2

解析將直觀圖中四邊形ABCD還原為原圖形四邊形A'B'CD',由斜二測(cè)畫(huà)法知

B'CICD',B'C=4^2,CD'=4,A'B'=6,...平面圖形的實(shí)際面積為^X4/

X(4+6)=20V2.

反思與感悟(1)空間幾何體的三視圖遵循“長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等”的原則，同時(shí)還要注

意被擋住的輪廓線(xiàn)用虛線(xiàn)表示.

⑵斜二測(cè)畫(huà)法：主要用于水平放置的平面圖畫(huà)法或立體圖形的畫(huà)法.它的主要步驟：①畫(huà)軸；

②畫(huà)平行于無(wú)，y,z軸的線(xiàn)段分別為平行于/,<,z'軸的線(xiàn)段；③截線(xiàn)段，平行于x,z

軸的線(xiàn)段的長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線(xiàn)段的長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半.

跟蹤訓(xùn)練2若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的直觀圖可以是()

答案D

解析A項(xiàng)的正視圖如圖(1),B項(xiàng)的正視圖如圖(2),故均不符合題意；C項(xiàng)的俯視圖如圖(3),

也不符合題意，故選D.

類(lèi)型三空間幾何體的體積和表面積

例3(1)一個(gè)由半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()

D.1+去兀

答案C

解析由三視圖知，半球的半徑R=彎，四棱錐為底面邊長(zhǎng)為1,高為1的正四棱錐，，丫

=；X1X1X兀，故選C.

（2）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積等于（）

俯視圖

A.8+2^2B.11+2啦

C.14+2吸D.15

答案B

解析由三視圖知，該幾何體是一個(gè)直四棱柱，上、下底面為直角梯形，如圖所示.

直角梯形斜腰長(zhǎng)為、12+12=爽,

所以底面周長(zhǎng)為4+也，

側(cè)面積為2X（4+陋）=8+2出，

兩底面的面積和為2><3乂1義（1+2）=3,

所以該幾何體的表面積為8+2^2+3=11+2^2.

反思與感悟（1）以三視圖為載體的幾何體的表面積問(wèn)題，關(guān)鍵是分析三視圖確定幾何體中各

元素之間的位置關(guān)系及數(shù)量.

（2）多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和，組合體的表面積問(wèn)題要注意銜接部分的處理.

（3）旋轉(zhuǎn)體的表面積問(wèn)題注意其側(cè)面展開(kāi)圖的應(yīng)用.

跟蹤訓(xùn)練3在四棱錐E—ABC。中，底面ABC。為梯形，AB//CD,2AB^3CD,M為AE的

中點(diǎn)，設(shè)E—A8C。的體積為憶那么三棱錐M—的體積為多少？

解設(shè)點(diǎn)8到平面EMC的距離為歷，點(diǎn)。到平面EMC的距離為h2,連接MD因?yàn)椤ㄊ茿E

的中點(diǎn)，

所以VM—ABC￡>—2^

所以VE—MBC=2^~^E—MDC，

而VE—MBC=VB—EMC,VE—MDC=VD—EMC,

訴VE—MBCVB—EMChi

VE—MDCVD—EMChi

因?yàn)?,。到平面EMC的距離即為到平面EAC的距離，

hi3

而A5〃CD,且2A3=3C￡）,所以7-=不

3

所以VE—MBC=VM-EBC=ygV.

類(lèi)型四與幾何體有關(guān)的最值問(wèn)題

例4長(zhǎng)方體ABC。一A/iGDi中，寬、長(zhǎng)、高分別為3、4、5,現(xiàn)有一個(gè)小蟲(chóng)從A出發(fā)沿

長(zhǎng)方體表面爬行到G來(lái)獲取食物，則其路程的最小值為.

答案^74

解析把長(zhǎng)方體含AG的面作展開(kāi)圖，有三種情形如圖所示，利用勾股定理可得AG的長(zhǎng)分

別為胸、市5、病.

由此可見(jiàn)圖②是最短路線(xiàn)，其路程的最小值為招.

反思與感悟求幾何體表面上兩點(diǎn)間的最短路徑的一般思路是化“曲”為“直”，其步驟為：

（1）將幾何體沿著某條棱剪開(kāi)后展開(kāi)，畫(huà)出其表（側(cè)）面展開(kāi)圖；（2）將所求曲線(xiàn)（或折線(xiàn)）問(wèn)題轉(zhuǎn)

化為平面上的線(xiàn)段問(wèn)題；（3）結(jié)合已知條件求得.

跟蹤訓(xùn)練4如圖所示，已知正三棱柱ABGAiBCi的底面邊長(zhǎng)為1,高為8,一質(zhì)點(diǎn)從A出

發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達(dá)4點(diǎn)的最短路徑的長(zhǎng)為.

Bi

答案10

解析如圖所示，將兩個(gè)三棱柱的側(cè)面沿側(cè)棱A41展開(kāi)并拼接，則最短路徑為/=［齊*=

10.

ABCABCA

A】B\C]A\BiG4

3當(dāng)堂訓(xùn)練

1.湖面上浮著一個(gè)球，湖水結(jié)冰后將球取出，冰上留下一個(gè)冰面直徑為24cm,深為8cm

的空穴，則這個(gè)球的半徑為()

A.8cmB.10cmC.12cmD.13cm

答案D

解析冰面空穴是球的一部分，截面圖如圖所示，設(shè)球心為O,冰面圓的圓心為。，球半徑

為R,

由圖知(9IB=1AB=12,

OO1=OC—O1C=R—8,

在RtZXOO/中，由勾股定理R2=(R—8>+122,

解得R=13(cm).

2.將長(zhǎng)方體截去一個(gè)四棱錐后，得到的幾何體的直觀圖如圖所示，則該幾何體的俯視圖為

答案C

解析俯視圖從圖形的上邊向下邊看，看到一個(gè)正方形的底面，在底面上有一條對(duì)角線(xiàn)，對(duì)

角線(xiàn)是由左上角到右下角的線(xiàn)，故選C.

3.若圓錐的高等于底面直徑，則它的底面積與側(cè)面積之比為()

A.1：2B.1：^3C,V3：2D.1：小

答案D

解析若圓錐的高等于底面直徑，則〃=2廠(chǎng)，則母線(xiàn)/=4西3=木廠(chǎng)，而圓錐的底面面積為

nr2,圓錐的側(cè)面積為?！?小兀，，故圓錐的底面積與側(cè)面積之比為1：小.

4.某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm),則該幾何體的表面積是cm2,體積是

________cm3.

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

答案8040

解析由三視圖可知該幾何體由一個(gè)正方體和一個(gè)長(zhǎng)方體組合而成，上面正方體的邊長(zhǎng)為2

cm,下面長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)為4cm,高為2cm,其直觀圖如圖所示，其表面積5=6X22+2X42

+4X2X4-2X22=80(cm2).體積V=2X2X2+4X4X2=40(cm3).

5.如圖所示，在所有棱長(zhǎng)均為1的正三棱柱上，有一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，圍著三棱柱的側(cè)

面爬行一周到達(dá)點(diǎn)，求爬行的最短路程.

解將三棱柱沿A4'展開(kāi)，如圖所示，

A'B'C(4)

ABCD(A)

則的長(zhǎng)為最短路程，

即A。’KAD2+DD'2=/.

「T規(guī)律與方法.------------------------------1

1.研究空間幾何體，需在平面上畫(huà)出幾何體的直觀圖或三視圖，由幾何體的直觀圖可畫(huà)它的

三視圖，由三視圖可得到其直觀圖，同時(shí)可以通過(guò)作截面把空間幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化成平面幾何問(wèn)

題來(lái)解決.

2.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積公式，我們都是通過(guò)展開(kāi)圖、化空間為平面的方法得到的，求

球的切接問(wèn)題通常也是由截面把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題解決.

課時(shí)作業(yè)

一、選擇題

1.給出下列命題中正確的是（）

A.棱柱被平面分成的兩部分可以都是棱柱

B.底面是矩形的平行六面體是長(zhǎng)方體

C.棱柱的底面一定是平行四邊形

D.棱錐的底面一定是三角形

答案A

解析平行于棱柱底面的平面可以把棱柱分成兩個(gè)棱柱，故A正確；三棱柱的底面是三角形,

故C錯(cuò)誤；底面是矩形的平行六面體的側(cè)面不一定是矩形，故它也不一定是長(zhǎng)方體，故B錯(cuò)

誤；四棱錐的底面是四邊形，故D錯(cuò)誤.故選A.

2.一個(gè)簡(jiǎn)單幾何體的正視圖、側(cè)視圖如圖所示，則其俯視圖不可能為：①長(zhǎng)方形；②正方形;

③圓.其中正確的是（）

答案B

解析根據(jù)畫(huà)三視圖的規(guī)則“長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等”可知，幾何體的俯視圖不可能是圓

和正方形.

3.《算數(shù)書(shū)》竹簡(jiǎn)于上世紀(jì)八十年代在湖北省張家山出土，這是我國(guó)現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)

學(xué)典籍，其中記載有求“禾蓋”的術(shù)：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一.該

術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長(zhǎng)L與高計(jì)算其體積V的近似公式V-七Z7瓦它實(shí)際上是

將圓錐體積公式中的圓周率7T近似取為3.那么，近似公式V*/k相當(dāng)于將圓錐體積公式

中的圓周率兀近似取為（）

A157「「

-25-23-22

A苗B.^C.萬(wàn)D-

答案D

1旦.人且

解析設(shè)圓錐的底面半徑為r,則圓錐的底面周長(zhǎng)52s.V=^Jir91h=

12T712K

722

=麗乙2〃，提兀=萬(wàn)，故選D.

4.某幾何體的正視圖如圖所示,則該幾何體的俯視圖不可能是（）

答案D

解析根據(jù)幾何體的正視圖，得當(dāng)幾何體是球體與圓柱體的組合體，且球半徑與底面圓半徑

相等時(shí)，俯視圖是A；當(dāng)幾何體上部為平放的圓柱體，下部為正方體的組合體，圓柱的高與

底面圓直徑都等于正方體的棱長(zhǎng)時(shí)，俯視圖是B；當(dāng)幾何體的上部為球體，下部為正方體的

組合體，且球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球時(shí)，其俯視圖是C；D為俯視圖時(shí)，與正視圖矛盾，所以不

成立.故選D.

5.已知一個(gè)半徑為#的球的內(nèi)接正四棱柱的高為4,則該正四棱柱的表面積為（）

A.24B.32C.40D.46

答案C

解析設(shè)正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為“，則2/+16=24,

；.a=2,...該正四棱柱的表面積為2X22+4X2X4=40,故選C.

6.某個(gè)幾何體的三視圖如圖所示（其中正視圖中的圓弧是半徑為2的半圓），則該幾何體的體

積為（）

俯視圖

A.80+5兀B.80+10兀

C.92+14兀D.120+10兀

答案B

解析由三視圖知，幾何體是半圓柱與長(zhǎng)方體的組合體，下面長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別是4、

5、4,體積為4X5X4=80,上面半圓柱的半徑為2,高為5,體積為3,兀?4?5=10兀，...幾何

體的體積V=V半酶+丫長(zhǎng)方體=80+10兀，故選B.

7.如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為()

A.48B.57C.63D.68

答案C

解析由已知中的三視圖，可得該幾何體是一個(gè)長(zhǎng)方體和三棱柱的組合體，其表面積相當(dāng)于

3a1________Q

長(zhǎng)方體的表面積和二棱柱的側(cè)面積和，故S=2X(4X3+4X23X2)-1_(3+4+^32+42)X-=

63,故選C.

二、填空題

8.如圖，正方形ABC。的邊長(zhǎng)為1,CE所對(duì)的圓心角NCDE=90。，將圖形ABCE繞AE所

在直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體的表面積為.

答案5兀

解析由題意知，形成的幾何體是組合體：上面是半球、下面是圓柱，

?.,正方形ABC。的邊長(zhǎng)為1,ZCDE=9Q°,

；?球的半徑是1,圓柱的底面半徑是1,母線(xiàn)長(zhǎng)是1,

.,.形成的幾何體的表面積S=7tXl2+27tX1Xl+|x47tX12=5TT,故答案為5兀.

9.一個(gè)水平放置的圓柱形儲(chǔ)油桶(如圖所示)，桶內(nèi)有油部分所在圓弧占底面圓周長(zhǎng)的點(diǎn)則油

桶直立時(shí)，油的高度與桶的高度的比值是.

解析設(shè)圓柱桶的底面半徑為R,

高為〃，油桶直立時(shí)油面的高度為X,

由題意知，油部分所在圓弧對(duì)應(yīng)的扇形的圓心角為全

則&R2一聶2)〃=兀我2尤，所以稱(chēng)=*!.

10.某幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的體積為_(kāi)___，其表面積為.

64l

答案8兀+丁12TI+16+16\2

解析由三視圖可知，此幾何體是由上下兩部分組成的，上面是一個(gè)橫放的半圓柱，下面是

一個(gè)四棱錐，可得該幾何體的體積為Wx7tX22X4+/X42X4=8兀+草其表面積為兀X2X4

+nX22+1x42X2+1x4X4V2X2=1271+16+16^2.

11.如圖，在上、下底面對(duì)應(yīng)邊的比為1：2的三棱臺(tái)中，過(guò)上底面一邊作一個(gè)平行于棱CG

的平面46所，這個(gè)平面分三棱臺(tái)成兩部分，這兩部分的體積之比為.

A,C,

答案3：4(或4：3)

解析設(shè)三棱臺(tái)的上底面面積為So,則下底面面積為4&),高為〃，則

17

L棱臺(tái)ABCfBiG=G(SO