人教版高中數(shù)學(xué)必修二同步學(xué)習(xí)講義空間幾何體的表面積與體積（第1課時(shí)）含答案

第一章空間幾何體

§1.3空間幾何體的表面積與體積

J

第1課時(shí)柱體、錐體、臺(tái)體的表面積

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.通過對(duì)柱體、錐體、臺(tái)體的研究，掌握柱體、錐體、臺(tái)體的表面積的求法2

了解柱體、錐體、臺(tái)體的表面積計(jì)算公式，能運(yùn)用柱體、錐體、臺(tái)體的表面積公式進(jìn)行計(jì)算

和解決有關(guān)實(shí)際問題.

H問題導(dǎo)學(xué)

知識(shí)點(diǎn)一棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積

思考1正方體與長方體的展開圖如圖(1)(2)所示，則相應(yīng)幾何體的表面積與其展開圖的面積

有何關(guān)系？

⑵

答案相等.

思考2棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積與其展開圖的面積是否也都相等?

答案是.

梳理

圖形表面積

多

多面體的表面積就是各個(gè)面的面積的和，也就是

面

展開圖的面積

體

知識(shí)點(diǎn)二圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積

思考1圓柱O。'及其側(cè)面展開圖如圖所示，則其側(cè)面積為多少？表面積為多少？

答案S惻=2?！?

Sa=2nr(r+Z).

思考2圓錐SO及其側(cè)面展開圖如圖所示，則其側(cè)面積為多少？表面積為多少？

--。

答案底面周長是2口，利用扇形面積公式得

S惻=/X2r

S?=7ir2+nr/=7ir(r+Z)-

思考3圓臺(tái)。0'及其側(cè)面展開圖如圖所示，則其側(cè)面積為多少？表面積為多少？

答案如圖，圓臺(tái)的側(cè)面展開圖是扇環(huán)，內(nèi)弧長等于圓臺(tái)上底周長，外弧長等于圓臺(tái)下底周

長,

如圖‘M弋,解得

尸犀不

S扇環(huán)=5大扇形—S小扇形

=3(尤+/)X2兀R—%.2兀r

=7i[(R-r)x+Rl]=7t(r+R)l,

所以S圓臺(tái)側(cè)=兀(一+尺)/，

S圓臺(tái)表=兀(必+W+R/+R2).

梳理

圖形表面積公式

底面積：S底=2兀-

側(cè)面積：S側(cè)=2兀力

表面積：5=2兀廠(>+/)

底面積：S底=兀戶

側(cè)面積：S側(cè)=?！?/p>

表面積：S=Tir(r+D

上底面面積：S上底=兀r'2

下底面面積：S下底=兀/

側(cè)面積：S側(cè)=兀S'/+「/)

表面積：S=兀(r'？+於+r，/+〃)

2題型探究

類型一棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積與表面積

例1(1)如圖所示，在斜三棱柱ABC-AiBiCi中，NBAC=90。，AB=AC^a,ZAAiB^

ZAAiCi=60°,/26。1=90。.側(cè)棱長為6,則其側(cè)面積為()

4Bi

小

A3^3,+2

Ar^-abB.2ab

C.(A/3~\~y/2)abD.馮4

答案C

解析斜棱柱的側(cè)面積等于各個(gè)側(cè)面面積之和，斜棱柱的每個(gè)側(cè)面都是平行四邊形.由題意

知斜三棱柱的底面是等腰直角三角形.；AB=AC=a,.?.BC=45a

VZAAiBi=ZAAiCi=60°,AB=AC=a,AAi=b,

**,SoACGAi=SoA53[A]=〃"sin60°=^TZ4

又??,N5SG=90。，???側(cè)面55cle為矩形，

?,S矩形叫GC—也ab,

故選C.

(2)已知正四棱臺(tái)(上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面邊

長為6,高和下底面邊長都是12,求它的側(cè)面積.

解如圖，E、昂分別是8C、SG的中點(diǎn)，0、。1分別是下、上底面正方形的中心，則。1。

為正四棱臺(tái)的高，則。。=12.連接0￡、0i￡i,

則0E=%B=/x12=6,OiEi=-jAiBi=3.

過Ei作EiHLOE,垂足為“，

則EiH=OiO=12,OH=OiEi=3,

HE=OE—OiEi=6-3=3.

在RtAEiHE中，EI￡2=EIH2+HE2=122+32=153,

所以EiE=3g.

所以S?=4x1x(B1Ci+BC)X￡i￡

=2X(6+12)X3亞=108V17.

引申探究

本例(2)中，把棱臺(tái)還原成棱錐，你能利用棱錐的有關(guān)知識(shí)求出棱臺(tái)的側(cè)面積嗎？

解如圖，將正四棱臺(tái)的側(cè)棱延長交于一點(diǎn)尸.

取B1G、BC的中點(diǎn)耳、E,則EEi的延長線必過尸點(diǎn).5、。分別是正方形AiBiGA與正

方形ABC。的中心.由正棱錐的定義，CG的延長線過P點(diǎn)，

且有OiEi=^A\B\=3,OE=^AB=6,

則mi若有P。聲=O荏iEi=不3

即PCj所以0=12.

在RtzXPOiEi中，PE?=PO彳+0i珞=122+32=153,

在RtZ\POE中，P￡2=PO2+OE2=242+62=612,

所以EiE=PE—PEi=6y[Ti—3y[Ii=3y[B.

所以S創(chuàng)=4XTX(8C+8ICI)XEIE

=2X(12+6)X3^17=108717.

反思與感悟棱錐及棱臺(tái)的表面積計(jì)算常借助斜高、側(cè)棱及其在底面的射影與高、底面邊長

等構(gòu)成的直角三角形(或梯形)求解.

跟蹤訓(xùn)練1已知正三棱錐V—ABC的正視圖、俯視圖如圖所示，其中儂=4,AC=2小,

求該三棱錐的表面積.

俯視圖

解由正視圖與俯視圖可得正三棱錐的直觀圖，如圖所示,

且獨(dú)=VB=VC=4,AB=BC=AC=2小,

取BC的中點(diǎn)。，連接VD,則VD±BC,

所以VD=\jVB2-BD2=\l42~(y[3y=ypL3,

則SAVBC=3vD-BC=3xy[Hx2\l^=y^,

SAABC=9(2小產(chǎn)X坐=34,

所以三棱錐V-ABC的表面積為

35AVBC+5AA5C-3-\/39+3^/3=3(^/39H—\/3).

類型二圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積與表面積

例2(1)已知圓柱與圓錐的高、底面半徑分別相等.若圓柱的底面半徑為r,圓柱的側(cè)面積

為S,則圓錐的側(cè)面積為.

姣安WJ.+W

u木2

解析設(shè)圓柱的高為/2,則2兀泌=S,???/z=說.

設(shè)圓錐的母線為/,?,./=爐”=4戶+善.

?,?圓錐的側(cè)面積為兀力=兀小，戶+41.="兀2'

(2)圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為10cm和20cm.它的側(cè)面展開圖扇環(huán)的圓心角為180。，那么

圓臺(tái)的表面積是.(結(jié)果中保留兀)

答案11007rcm2

解析如圖所示，設(shè)圓臺(tái)的上底面周長為c,

因?yàn)樯拳h(huán)的圓心角是180。，故C=7TSA=2TIX10,

所以SA=20,同理可得SB=40,

所以A8=SB-SA=20,

所以S表面積=S?+S±+5T

=兀⑦+ri)-AB+兀3+兀虞

=兀(10+20)X20+兀XIO?+兀X202=11007r(cm2).

故圓臺(tái)的表面積為1100兀cm?.

反思與感悟解決臺(tái)體的問題通常要還臺(tái)為錐，求面積時(shí)要注意側(cè)面展開圖的應(yīng)用，上、下

底面圓的周長是展開圖的弧長.

跟蹤訓(xùn)練2(1)一個(gè)圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)正方形，則這個(gè)圓柱的表面積與側(cè)面積的比是

()

答案A

解析設(shè)圓柱的母線長為/,兀r,r==,

271

/22兀+1

則圓柱的表面積為2兀7+/2=2危+/2=3^匕側(cè)面積為/2,

...圓柱的表面積與側(cè)面積的比是：

Z71271

故選A.

(2)軸截面是正三角形的圓錐稱作等邊圓錐，則等邊圓錐的側(cè)面積是底面積的()

A.4倍B.3倍C.巾倍D.2倍

答案D

解析設(shè)圓錐底面半徑為r,由題意知母線長/=2r,則S創(chuàng)=〃X2r=2兀戶,

類型三簡單組合體的表面積

例3如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（）

A.20兀B.247tC.28兀D.32兀

答案C

解析由三視圖可知，組合體的底面圓的面積和周長均為4兀，圓錐的母線長/=寸（2小y+22

=4,所以圓錐的側(cè)面積為S錐側(cè)=；X4兀X4=8兀，圓柱的側(cè)面積S柱側(cè)=4兀義4=16兀，所以組

合體的表面積S=8兀+16n+4兀=28兀，故選C.

反思與感悟求組合體的表面積，首先弄清它的組成，其表面有哪些底面和側(cè)面，各個(gè)面應(yīng)

怎樣求面積，然后根據(jù)公式求出各面的面積，最后再相加或相減.

跟蹤訓(xùn)練3某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則此幾何體的表面積是cm2.

CK口

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

答案7+也

解析其直觀圖如圖.

由直觀圖可知，該幾何體為一個(gè)正方體和一個(gè)三棱柱的組合體,

.?.其表面積S=6X（lXl）+2x1xiXl+lX^2=7+V2.

3當(dāng)堂訓(xùn)練

1.圓柱的軸截面是正方形，且軸截面面積是s,則它的側(cè)面積是（）

s

A-B.兀SC.271sD.4兀S

71

答案B

解析：圓柱的軸截面是正方形，且軸截面面積是S,

，圓柱的母線長為小，底面圓的直徑為小，

圓柱的側(cè)面積S=K義小X小=TlS.

故選B.

2.如圖，已知ABC。一AiSGDi為正方體，則正四面體。一A1BG的表面積與正方體的表面

積之比是（）

A.坐B興C.小D.^/2

答案B

解析設(shè)正方體的棱長為1,則正方體的表面積為6,正四面體￡>—的棱長為也，表面

積為4x1xV2sin60。義也=2小，.?.正四面體。一A山G的表面積與正方體的表面積之比是

當(dāng),故選B.

3.圓臺(tái)的上、下底面半徑和高的比為1：4：4,母線長為10,則圓臺(tái)的側(cè)面積為（）

A.100兀B.817tC.169兀D.14%

答案A

解析.??圓臺(tái)的上、下底面半徑和高的比為1：4：4,母線長為10,設(shè)圓臺(tái)上底面的半徑為

r,則下底面半徑和高分別為4r和4r,由100=（4廠）2+（4廠一廠產(chǎn),得廠=2,故圓臺(tái)的側(cè)面積等

于兀（r+4r）X/=7t（2+8）X10=100兀，故選A.

4.表面積為3兀的圓錐，它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則該圓錐的底面直徑為.

答案2

解析設(shè)圓錐的母線為/,圓錐底面半徑為廣，則&P+兀，=3%，nl=2nr,：.r=\,即圓錐的

底面直徑為2.

5.直角三角形的兩條直角邊長分別為15和20,以它的斜邊為軸旋轉(zhuǎn)生成的旋轉(zhuǎn)體，求旋轉(zhuǎn)

體的表面積.

解設(shè)此直角三角形為ABC,AC=20,BC^15,ACLBC,貝|AB=25.

A

過C作COLAB于點(diǎn)O,直角三角形繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)生成的旋轉(zhuǎn)體，它的上部是圓錐(1),

它的下部是圓錐(2),兩圓錐底面圓相同，其半徑是OC,且OC=當(dāng)”=12,圓錐(1)的側(cè)

面積51=^X12X20=240^,圓錐(2)的側(cè)面積$2=兀義12X15=180兀旋轉(zhuǎn)體的表面積應(yīng)為兩

個(gè)圓錐側(cè)面積之和，即S=51+8=420兀

L規(guī)律與方法

1.多面體的表面積為圍成多面體的各個(gè)面的面積之和.

2.有關(guān)旋轉(zhuǎn)體的表面積的計(jì)算要充分利用其軸截面，就是說將已知條件盡量歸結(jié)到軸截面中

求解.而對(duì)于圓臺(tái)有時(shí)需要將它還原成圓錐，再借助相似的相關(guān)知識(shí)求解.

3.S圓柱表=2兀廠(廠+/);5圓錐表=兀廠(r+/);S圓臺(tái)表=兀(戶+“+R/+R2).

課時(shí)作業(yè)

一、選擇題

1.如圖所示，圓錐的底面半徑為1,高為小，則圓錐的表面積為()

A.7iB.2兀

C.3兀D.4兀

答案c

解析設(shè)圓錐的母線長為/,則/=小不1=2,...圓錐的表面積為5=兀義1乂(1+2)=3兀

2.一個(gè)圓臺(tái)的母線長等于上、下底面半徑和的一半，且側(cè)面積是32兀，則母線長為()

A.2B.2吸C.4D.8

答案C

解析圓臺(tái)的軸截面如圖所示，

R

由題意知，/=T（r+R）,

S圓臺(tái)側(cè)=兀（r+7?>/=兀.2/1=32兀,

3.正四棱臺(tái)的兩底邊長分別為1cm,2cm,高是1cm,它的側(cè)面積為（）

A.6cm2cm2cm2D.3y15cm2

答案D

解析二?四棱臺(tái)的兩底邊長分別為1cm,2cm,高是1cm,

上底邊到上底中心的距離是3cm,下底邊到下底中心的距離是1cm,

那么梯形的高，就是斜高為小+儲(chǔ)尸殺加）,

一個(gè)梯形的面積就是；（1+2）義坐=乎（cn?）,

棱臺(tái)的側(cè)面積5=3?。╟n?）.

故選D.

4.某幾何體的俯視圖是如圖所示的矩形，正視圖是一個(gè)底邊長為8、高為4的等腰三角形,

側(cè)視圖是一個(gè)底邊長為6、高為4的等腰三角形，則該幾何體的表面積為（）

A.80B.24g+88

C.24^2+40D.118

答案B

解析根據(jù)題意，可得該幾何體是底面是邊長分別為6和8的矩形且側(cè)棱長均相等的四棱錐,

高為5。=4,如圖所示，

因此，等腰三角形SAB的高SE=《西/5=尸針=5,

等腰三角形SCB的高SF=ys4+0產(chǎn)42+4?=4啦,

/.SASAB=SASCD=；義ABXSE=20,

SASCB=SASAD=]XCBXSF=12-^2,

:矩形4BC￡＞的面積為6X8=48,

?,?該幾何體的表面積為S*=S^SAB+S^SCD+SASCB+S^SAD+SABCD=2X20+2X12A/2+48=

24^2+88.

故選B.

5.一個(gè)直角三角形的直角邊分別為3與4,以其直角邊為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)而成的圓錐的側(cè)面積

為（）

A.15兀B.20兀C.12兀D.15兀或20兀

答案D

解析以直角三角形的直角邊為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)而成的圓錐，有以下兩種情況：

根據(jù)圓錐的側(cè)面積計(jì)算公式S側(cè)面積=71rxI母線長.

①以直角邊3為旋轉(zhuǎn)軸時(shí)，旋轉(zhuǎn)而成的圓錐的側(cè)面積S=4兀X5=20兀；

②以直角邊4為旋轉(zhuǎn)軸時(shí)，旋轉(zhuǎn)而成的圓錐的側(cè)面積S=3兀X5=15兀.

故選D.

6.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）

A.372B.360C.292D.280

答案B

解析由三視圖可知該幾何體是由下面一個(gè)長方體，上面一個(gè)長方體組合而成的幾何體.

;下面長方體的表面積為8X10X2+2X8X2+10X2X2=232,上面長方體的表面積為

8X6X2+2X8X2+2X6X2=152,

又?..長方體表面積重疊一部分，

,幾何體的表面積為232+152—2X6X2=360.

7.如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，若該幾何體的表面積為9兀，則該幾何體的正視圖中實(shí)數(shù)?

的值為（）

正看圖ft!諭圖

俯視圖

A.1B.2C.3D.4

答案C

解析設(shè)幾何體是一個(gè)圓柱上面疊加一個(gè)圓錐，其表面積為S=2nXlXa+

7CX1X^/（V3）2+l2+7iXl2=27Cfl+37i=97t,：.a=3.

二、填空題

8.若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是半圓，則這個(gè)圓錐的底面面積與側(cè)面積的比是

答案1:2

解析設(shè)該圓錐體的底面半徑為廣，母線長為/,根據(jù)題意得2無廠=應(yīng)，所以/=2廠，

所以這個(gè)圓錐的底面面積與側(cè)面積的比是

nr2$尸=戶:^(2r)2=l:2.

故答案為1：2.

9.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其正視圖和側(cè)視圖都是底邊長分別為2和4,腰長為4的

等腰梯形，則該幾何體的側(cè)面積是

俯視圖

答案12兀

解析由三視圖知該幾何體是一個(gè)圓臺(tái)，其上、下底面的半徑分別為2,1,母線長為4,則該

幾何體的側(cè)面積5=71（2X4+1X4）=12兀.

10.如圖所示，一個(gè)正四棱錐（底面是正方形，從頂點(diǎn)向底面引垂線，垂足是底面中心的四棱

錐）的正方形底面的邊長為4cm,高與斜高的夾角為30。，則正四棱錐的表面積為—cm2.

答案48

解析?.?該四棱錐的側(cè)面是底邊長為4cm的全等的等腰三角形，，要求側(cè)面積，只需求等腰

三角形底邊上的高即可，可構(gòu)造直角三角形求解.如題圖所示，正四棱錐的高、斜高、底面

邊心距組成RtAPOE.

V0￡=2cm,ZOPE=3Q°,

OE2

斜高PE=-in30；=Y=4(cm).

2

AS???=4-1-BC-PE=4X1X4X4=32(cm2),

?"S表=S例+S底=32+4X4=48(cmI).

11.如圖所示，在棱長為4的正方體上底面中心位置打一個(gè)直徑為2、深為4的圓柱形孔,

則打孔后的幾何體的表面積為.

答案96+6兀

解析由題意知，所打圓柱形孔穿透正方體，因此打孔后所得幾何體的表面積等于正方體的

表面積，再加上一個(gè)圓柱的側(cè)面積，同時(shí)減去兩個(gè)圓的面積，即S=6X42+4X2TT—2?tXI2

=96+6TI.

三、解答題

12.如圖所示是某幾何體的三視圖，它的正視圖和側(cè)視圖均為矩形，俯視圖為正三角形.(長

度單位：cm)

(1)該幾何體是什么圖形?

(2)畫出該幾何體的直觀圖(坐標(biāo)軸如圖所示)，并求它的表面積.(只需作出圖形，不要求寫作法)

解(1)由三視圖可知該幾何體是三棱柱.

(2)直