人教版高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：平面向量的應(yīng)用 提升訓(xùn)練（含解析）

人教A版（2019）必修第二冊《6.4平面向量的應(yīng)用》

提升訓(xùn)練

-、單選題（本大題共8小題，共40分）

1.（5分）在4ABe中，GBC+BDYCUHC],貝I]/ABC的形狀一定是（）

A.等邊三角形B.等腰三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

2.（5分）在AABC中，角4B,C所對的邊分別是a,b,c,且目=*,貝UsinB=

smAV3

3

0

A.V3B.立C.漁D.-漁

333

3.（5分）在4ABe中，a=3,A=30°,B=15°,貝！]c等于（）

A.1B.V2C.3V2D.V3

4.（5分）數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出“三斜求積術(shù)”，即假設(shè)一個三角形的三邊長分別為a,b,

c,三角形的面積S可由公式S=Jp（p-a）（p-b）（p-c）求得,其中p為三角形周長的

一半，這個公式也被稱為海倫一秦九韶公式.現(xiàn)有一個三角形的周長為12,a=4,則

此三角形面積的最大值為（）

A.4B.4V2C.4V3D.4V5

5.（5分）在AABC中,角A,8,C所對的邊長分別為a,6,c.若asin2+加inB-csinC=

，品sinB.則角C等于（）

A.-B.-C.-D.-

6436

6.（5分）如圖，在等腰Rt4ABe中，斜邊AB=V^,D為直角邊BC上的一點，將

/ACD沿直線AD折疊至ZL4C1D的位置，使得點的在平面ABD外，且點的在平面ABD上

的射影H在線段AB上，設(shè)AH=x,貝卜的取值范圍是（）

G

A.(1,V2)C.(j,V2)D.(0,1)

7.（5分）設(shè)4ABC的內(nèi)角4、B、C所對邊的長分別為a、b、c,若a+c=2b,3sinB=

5sinA,則角C=（）

A.-B.-C.-D.-

3346

8.（5分）在/ABC中，角4、B、C所對的邊分別為a、b、c,若角4B、C成等差數(shù)

列，且2asinA+2csinC=Rac+Bb,則/ABC的面積的最大值為（）

A.3V3B.4V3C.2V3D.V3

二、多選題（本大題共5小題，共25分）

9.（5分）若AABC的內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,則下列結(jié)論中正確的是。

A.若Z>B,則sinZ>sinB

B.若acosB—bcosA=c,則^ABC為直角三角形

C.若acosA=bcosB,則△ABC為等腰三角形

D.若cos2：=詈，則△ABC為直角三角形

10.（5分）已知/ABC的內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,則由下列條件可以得出

4ABe為銳角三角形的是（）

A.a=b=4,c=3B.a=3,b=5,sin4+sinC=2sinB

C.4ABC中的最小角為46。D./ABC中最大角的正切值為2

11.（5分）在/ABC中，a、b、c分別為乙4、NB、”的對邊，下列條件中，三角形有

解的是（）

A.a—6,b=6y/3,C=105°B.a=5,b—6,c=8

C.a=2V3,b=5,A=60°D.4=45。，B=60°,c=2

12.（5分）在/ABC中，下列等式成立的是（）

A.c—7a2+62—2abeosCB.

sinBsinA

_i~2

C.asinC=csinAD.cosB=

2abc

13.（5分）對于AABC,有如下命題，其中正確的有（）

A.若sin2A=sin2B,貝IjAABC是等腰三角形

B.若AABC是銳角三角形，則不等式siiL4>;cosB恒成立

C.若sida+sin2B+cos2C<;1,貝！|AABC為銳角三角形

—>—>

D.若AC?AB>:|AB/，貝必ABC為鈍角三角形

三、填空題（本大題共5小題，共25分）

14.（5分）如圖，已知。為/ABC的重心，且NBOC=90。，^9|BC|2=4|AB|?|AC|,

則sinA=

15.（5分）如圖，為測量一座山的高度，某勘測隊在水平方向的觀察點4B測得山頂

的仰角分別為a,P，且該兩點間的距離是2米，則此山的豎直高度h為米（用含

a,P，/的式子表達）.

16.（5分）在/ABC中，角4、B、C所對的邊分別是a,b,c,cosC=￡且acosB+

bcosA=2,貝必ABC面積的最大值為.

17.（5分）在銳角/ABC中，。為BC的中點，AB=3,AC=近，且BCsin8cosc+

ABsinBcos/l=yAC,則AD=.

18.（5分）在ABC中，角4,B,C所對的邊分別為a,b,c.若sin（4+B）=（a=3,

c=4,貝Usiih4=.

四、解答題（本大題共5小題，共60分）

19.（12分）在4ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，S為4ABC的面積，且

4S=V3（a2+b2-c2）

（1）求角C的大小；

（2）/（%）=4sinxcos（x+7）+1，當％時，/（%）取得最大值b,試求S的值.

6

20.（12分）在4ABe中，角A,B,C的對邊分別是a、b、c,且（2c—b）cosA一

acosB=0.

（1）求角a的大?。?/p>

（2）若6=3,/ABC的面積S/ABC=3b，求a的值.

21.（12分）如圖所示，銳角4ABC中AC=5或，點。在線段BC上，且CD=3魚，

4ACD的面積為6vL延長BA至E,使得EC1BC.

（I）求人口的值；

(II)若sin/BEC=I，求AE的值.

22.(12分)在AABC中，角的對邊分別為a,6,c,面積為S,己知2acos2g+

2ccos2-=-b.

22

(1)求證:2(a+c)=3b；

(2)若cosB=求b.

23.(12分)在4ABe中，設(shè)/、B、C的對邊分別為a、b、c,

(1)若a=2且(2+b)?(siivl—sinB)=(c—/?)sinC,求4ABe面積S的最大值

(2)/ABC為銳角三角形，且B=2C,若租=(sin4,cos/),n=(cosB,sinB),求137n—

2向2的取值范圍.

答案和解析

1.【答案】C;

【解析】

該題考查向量模的性質(zhì)；向量的運算法則；向量垂直的充要條件.

—>—?

利用向量的模的平方是向量的平方，再用向量的運算法則得到AC.2BA=0,據(jù)向量

的數(shù)量積為0兩向量垂直得三角形為直角三角形.

解：由(BC+BA).AC=|AC『,

—>—>—>

得AC.(BC+BA-AC)=0,

即AC.(BC+BA+CA)=0,

???AC.2BA=0,

—>—>

???AC1BA,

???乙4=90°.

故選項為C.

2.【答案】B;

【解析】解：因為號=2

smA吏

3

所以由正弦定理可得方=曙，

sinA

3

則sinB=4.

故選：B.

由已知利用正弦定理即可求解.

此題主要考查了正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】C;

【解析】解：因為在4ABe中，a=3,A=30°,B=15°,所以C=135。,

3

casinC走2L

由正弦定理號=—9C=—~~-—r-=3V2.

smAsinCsinA

故選c.

求出C角，利用正弦定理直接求出c的值即可.

此題主要考查三角形的兩角和以及正弦定理的應(yīng)用，考查計算能力.

4.【答案】C;

【解析】解：由題意，p=6,

S=，6(6—a)(6—1)(6—c)

=’6(6—4)(6—1)(6—c)

=,12(6—1)(6—c)

=21j36—6(b+c)+bc

=2V3-Vbc-12<2V3?J(等/-12=4百.

此三角形面積的最大值為4舊.

故選：C.

由題意，p=6,S=^/6(6—4)(6—b)(6—c),利用基本不等式，即可得出結(jié)論.

此題主要考查面積的計算，考查基本不等式的運用，屬于中檔題.

5.【答案】A;

【解析】

此題主要考查正余弦定理，屬于基礎(chǔ)題,由正弦定理得。2+》2一c2=6而，再由余弦

定理即可得解.

解：dsinA+bsinB—csinC=V3asinB,

由正弦定理得a?+b2—c2=V3ab,

所以3。=方衛(wèi)=￡

2ab2

又0<CV兀，故C=

6

故選4

6.【答案】B;

【解析】

此題主要考查立體幾何中的折疊問題及余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題，要分清折疊前

后量的變化情況，設(shè)CD=t,t6(0,1),用t表示久是關(guān)鍵.

解：因為三角形ABC為等腰直角三角形，斜邊AB=&,所以AC=BC=1,

設(shè)CD=t,CIH=V1-x2,

有題意知，面ABC,q/71HD,gD=t,

22

CrD=C$2+HD=。卅+BD2+BH2_2BDxBHcoszDBA,

t2=1-x2+(1-t)2+(V2-x)2-2(1-t)(V2-x)Xy,

整理得x=今,te(0,1),

1+t6(1,2),^^e(—■,V2),又因為C]”=V1—x2,

所以久<1,

則》的取值范圍是（f,11

故選

7.【答案】B;

【解析】解：n3sinB=5sinA,

???由正弦定理，可得3b=5a,

3,

■■a=-b,

???a+c=2b,

7b

???c=g，

222

萬a+b-c1

???cosC=———..

2ab2

CG(0,71),

兀

?c??C2=—.

3

故選：B.

根據(jù)正弦定理,可得a=於，進而可求c=g,再利用余弦定理，即可求得C.

該題考查正弦、余弦定理的運用，考查學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】B;

【解析】解：???角力、B、C成等差數(shù)列,

???2B=Z+C,

又??,A+8+C=71,

???B=-,sinB=—,

32

2asinA+2csinC=—ac+V3h=-acsinB+2bsinB,

42

???由正弦定理可得2sin2/+2sin2C=-csinAsinB+2sin2^,可得M+c2—b2=-cab,

24

???2accosB=-abc,可得：b=8cosB=4,

4

又+c2=ft2+icab=16+ac>2ac,

4

二解得ac416,即S^ABC=^acsinB《aX16xf=4百，當且僅當a=c時等號成立.

??./ABC的面積的最大值為4次.

故選：B.

由已知利用等差數(shù)列的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理可求8=條由已知利用正弦定理化簡

已知等式可得a?+c2-=4ab,根據(jù)余弦定理可求6=8cosB=4,利用基本不等

4

式可求得ac416,進而根據(jù)三角形的面積公式即可求解.

這道題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，正弦定理，余弦定理，基本

不等式，三角形的面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，

屬于中檔題.

9.【答案】ABD;

【解析】解：在UBC中，正弦定理導(dǎo)=卷=就=2幾

對于4A>B<^>a>b^>2RsinA>2RsinB=sinA>sinB,Z正確;

對于B,由射影定理得acosB+bcosA=c,又acosB—bcosA=c,即bcosA=0,

而bWO,則34=0,4=]八48。為直角三角形，B正確；

對于C,由正弦定理可得2Rsin4cosA=2RsinBcosB,即sin2A=sin2B,

而2Z+28e(0,2〃)，則有2A=28或2Z+28=兀，

即A=B或4+B=]△ABC為等腰三角形或直角三角形，C不正確;

a-r卜7Ac+b1+cosAc+b.,

對于。，cos2-=——=-----=——=ccos>l=b,

22c22c

由射影定理b=acosC+ccosZ得，

即acosC=0,而aW0,

則cosC=0,C=pAABC為直角三角形，。正確.

故選：ABD.

利用正弦定理推理判斷4利用三角形射影定理計算判斷反利用正弦定理計算判斷C；

利用二倍角余弦公式及射影定理計算判斷O作答.

此題主要考查了三角形形狀的判斷，正余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題.

10.【答案】AD;

Z：a=6=4,c=3,cos/=>0,

【解析】解：對于利用余弦定理："+2：bc一。同理

cos^>0,cosC>0,故4ABe為銳角三角形，故/正確；

對于8：a=3,b=5,sin4+sinC=2sinB,利用正弦定理：a+c=2b,解得c=7,

由于cosC=日若”<0,故C為鈍角，故/ABC為鈍角三角形，故B錯誤；

對于C：4ABe的最小角為46。，并不能說明4ABe為銳角三角形，故C錯誤；

對于D：4ABe中最大角的正切值為2,故最大角為銳角，故/ABC為銳角三角形.

故選：AD.

直接利用正弦定理，余弦定理和三角函數(shù)的關(guān)系式的變換的應(yīng)用判斷4、B、C、。的

結(jié)論.

此題主要考查的知識要點：正弦定理，余弦定理，三角形形狀的判定，主要考查學(xué)生

的運算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】ABD;

【解析】解：對于4a=6,b=6V3,C=105°,

利用余弦定理求出c?—a2+b2—2abcosC=36+108—2x6x6V3x(—漁二C)=

4

144+54V2-18V6>0,

所以4ABe有唯一解；

對于B,a=5,b-6,c=8,滿足兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，

所以/ABC有唯一解；

對于C,a=2g,b=5,A=60°,

V3

利用正弦定理三=上求出sinB=親=：>1,B不存在，

siriAsinB2V34

所以/ABC無解；

對于D,A=45°,B=60°,c=2,所以C=75。，

利用正弦定理=――=――==后&后,

sinAsinBsinC_6+V2V6+V2

4

［、.

求出11.a=—p8__-pxsi?n4/5lc=-p8_-px—=—p4—，

V6+V2V6+V22遮+1

b—~-p—尸xsin60——產(chǎn)，

V6+V2V6+V2

所以/ABC有唯一解.

故選：ABD.

2中，由余弦定理求出c,判斷/ABC有唯一解；

B中，由三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，判斷/ABC有唯一解；

C中，由正弦定理判斷B不存在，/ABC無解；

。中，利用正弦定理求出a、b,判斷/ABC有唯一解.

此題主要考查了解三角形的應(yīng)用問題，也考查了運算求解能力與推理判斷能力，是中

檔題.

12.【答案】AC;

【解析】

此題主要考查正弦定理和余弦定理公式及其變形，熟練掌握公式是解答該題的關(guān)鍵,

是容易題.

根據(jù)正弦定理和余弦定理逐一判斷.

解：A是余弦定理的變化形式，正確；

B.不符合正弦定理，不正確；

C.是正弦定理的變形，正確；

D.分母多一個6,不正確.

故選AC.

13.【答案】BD;

【解析】此題主要考查了正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，同時考查了在三角形中正弦相

等角的關(guān)系，屬于中檔題.

對于a,在三角形中，正弦值相等，則角相等或互補；對于B,根據(jù)誘導(dǎo)公式即可判斷

證明；

對于C,利用正余弦定理即可得解；對于。，利用向量數(shù)量積得到B為鈍角，即可判定,

解：對于Z：sin2A=sin2B,

??.2A=2B或2A+2B=兀，即Z=8或/+B=|,

即團ABC是等腰三角形或直角三角形.故人不對；

對于8：若團ABC是銳角三角形，4+8>;泉

得］>;/>弓-8>;0,

所以sia4>;sin(］—8)=cosB,

則不等式sia4>;cosB恒成立，故B正確；

對于C：,若sin?A+sin2B<;1—cos2c=sin2c

a2+b2<;c2,BPcosC=0<;0,

2ab

則］<;C<；7I,.?.國ABC為鈍角三角形，故C錯誤；

對于。：AC-AB=(AB+BC)-AB

—?—>—>—>

=AB?AB+AB?BC>;|AB|2

—?—>—>

AB?AB=|AB|2=|AB|2,

—?—>

???AB?BC>;0,

—>—>TT

又???AB?BC=|AB|-|BC|-cos(兀-B)

—?—?

=-|AB|?|BC|-cosB>;0,

AcosB<;0,B為鈍角,

則團ABC為鈍角三角形，正確；

故選BD.

14.【答案】4；

【解析】解：如圖所示:

連接AO并延長與BC相交于點。，設(shè)AD=m,ZADB=a,

利用余弦定理：AB2=m2+———2.吧.mcosa①，

同理：AC2=m2+———2.—.mcos（7i—a）②，

42^'一

①+②得：AB2+AC2=2m2+|BC2,

則:m2=3OD2=9.(|BC)2=^BC2,

所以：AB2+AC2=5BC2,

由于9|BC『=4|AB|?|AC|,

由于a為銳角，

所以：sinA=V1—cos2i4=

故答案為：

直接利用余弦定理和關(guān)系式的轉(zhuǎn)換及同角三角函數(shù)的恒等變換的應(yīng)用求出結(jié)果

該題考查的知識要點：余弦定理和關(guān)系式的轉(zhuǎn)換及同角三角函數(shù)關(guān)系式的變換的應(yīng)用.

15.【答案】h=四*/；

sin(p-a)

【解析】解：如圖所示，在4ABe中，ZACB=p-a,

由正弦定理得，—AB

sinasinzACB

.=Jsin^

sin(p-a)

CD

在4BCD中，sinzCBD=：正，

Zsinasinp

???%=CD=BC?sinp=

sin(p-a)

sinasinp

故答案為：h=

sin(p—a)

/ABC中由正弦定理求得BC,直角/BCD中由邊角關(guān)系求得九的值.

此題主要考查了解三角形的實際應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

16.【答案】*

【解析】

利用余弦定理分別表示出cosB和cosA,代入到已知的等式中，化簡后即可求出c的值，

然后利用余弦定理表示出c?=a2+b2-2abcosC,把c及cosC的值代入后，利用基本不

等式即可求出ab的最大值，然后由cosC的值，及C的范圍，利用同角三角函數(shù)間的基本

關(guān)系求出sinC的值，利用三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積，把ab的最大值

及sinC的值代入即可求出面積的最大值.

該題考查了基本不等式，余弦定理及三角形的面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，熟

練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵.

解：acosB+bcosA=2,

a2+c2-b2,c2+b2-a2

???ax-------+bx——----=2n，

2ac2bc

???c=2,

rr1116

4=a2+b2-2abx->2ab—2abx-=—ab,

999

???ab<京（當且僅當Q=b=決寸等號成立）

由cosC=得sinC=史

99

c11,194A/5V5

S八ARC*=—absinC《一X—X—=—，

22492

故4ABC的面積最大值為手.

故答案為：于

17.【答案】a；

【解析】解：因為BCsinBcosC+ABsinBcosA=JAC,BPasinBcosC+csinBcosA=

V3,

—b,

2

由正弦定理得，sin/sinBcosC+sinCsinBcosA=中sinB,

因為sinB>0,

所以sin4cosc+sinCcos?!=sin(A+C)=/,

所以sinB=y,

由題意得B為銳角，B=60°,

由余弦定理得，b2=a2+c2—ac,即7=a2+9—3a,

解得Q=1或a=2,

因為銳角三角形中，a2+b2>c2,a=1時顯然不滿足題意，

故a=2,BD=1,

所以=AB2+BD2-2AB?BDcosB=9+1-2x3x1x|=7,

所以AD=V7.

故答案為：V7.

由已知結(jié)合正弦定理及和差角公式進行化簡可求8,然后結(jié)合余弦定理可求.

此題主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式在求解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔

題.

18.【答案】；；

【解析】

此題主要考查了正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

由已知，利用三角形內(nèi)角和定理，誘導(dǎo)公式可求sinC,進而利用正弦定理即可計算得

解.

解：sin(y4+B)=|,A+B+C=7i

sinC=sin(i4+B)=-,

??.由正弦定理可得sinA=空吧=Qi=?

c44

故答案為：.

4

19.【答案】解：(1)VS=|absinC,4S=2absinC=V3(a2+fo2-c2),

即sinC=0+匕J.遮二V^cosC,

tanC=V3,

則C喙

(2)f(x)=4sinx(—cosx--sinx)+1=V3sin2x+cos2x=2sin(2x+-),

226

當2x+^=2k7u+N(k￡Z)，BPx=k?i+-(k￡Z)時，f(x)max=2,

626

:A為三角形內(nèi)角，，A=gb=2,

6

B=7T-A-C=pa=bsinA=l,c=bsinC=V3>

則S=-acsinB=—.;

22

【解析】

(1)利用三角形的面積公式表示出S,代入已知等式后利用余弦定理化簡，求出tanC的

值，即可確定出C的度數(shù)；

(2)/(久)解析式利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡，整理后利用兩角和與差的正弦函

數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，利用正弦函數(shù)的值域確定出f(x)取得最大值時4與6的

值，再利用銳角三角函數(shù)定義求出a與c的值，即可確定出S.

該題考查了余弦定理，三角形的面積公式，兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式，熟練

掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵.

20.【答案】解：(1)(2c-b)cosA-acosB=0.

由正弦定理可得，2sinCcosA-sinBcosA-sinAcosB=0.

即2sinCcosA=sinBcosA+sinAcosB=sin(A+B)=sinC,

因為sinC#),

故cosA=|,

因為A為三角形的內(nèi)角，則A=g,

(2)因為b=3,SAABC=|bcsinA=|cx苧=3日，

故c=4,

由余弦定理可得，cosA=Ly^=*Q,

解可得，a=V13;

【解析】

(1)由己知結(jié)合正弦定理及和差角公式進行化簡可求cosA,進而可求小

(2)由己知結(jié)合三角形的面積公式可求c,然后結(jié)合三角形的面積公式即可求解.

這道題主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面積公式在求解三角形中的應(yīng)用,

屬于中檔試題.

21.【答案】解：(I)在AACD中，SAACD=|AC?CD.sinZACD

=|X5V2x3V2XsinZACD=6V2,

所以sin/ACD=言，

因為(T</ACD<90。，

所以cosZACD=一(尊2=尊

由余弦定理可得：AD2=CD2+CA2-2CD?CA?cosZACD=48-12V17,

可得：AD=748-12V17.

(II)因為EC_LBC,

所以sinZACE=sin(90°-ZACD)=cosZACD=-1,

在AAEC中，由正弦定理可得即竽=挈，

sinZ.ACEsmZAEC--

53

所以AE=3a.;

【解析】

(1)在4^2口中，由已知利用三角形的面積公式可求sin/ACD,結(jié)合范圍

0°<ZACD<90°,利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cosNACD,由余弦定理可得AD的

值.

(II)由EC1BC,利用誘導(dǎo)公式可求sin/ACE的值，在4AEC中，由正弦定理可得AE的

值.

此題主要考查了三角形的面積公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，余弦定理，誘導(dǎo)公式,

正弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.

22.【答案】解：(1)證明：??,2acos2m+2CC0S?g=[b,

1+cosC,1+cosA5,

???a-------1-c--------=-b,

224

由正弦定理得，sim4?上詈+sin