北京市門頭溝區(qū)2023-2024學(xué)年八年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

北京市門頭溝區(qū)2023-2024學(xué)年八年級上學(xué)期期末姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三總分評分一、第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個．1．下列的垃圾分類標志中，是軸對稱圖形的是（）A． B．C． D．2．芝麻是世界上最古老的油料作物之一，如果一粒芝麻質(zhì)量約為0.00000201千克，將0.00000201用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．20.1×10?5 C．0.201×10?7 3．若分式1x?2A．x>2 B．x<2 C．x≠2 D．x=24．下列計算正確的是（）A．x3?x2?x=x5 B．5．若一個多邊形的內(nèi)角和為540°，則該多邊形為（）邊形．A．四 B．五 C．六 D．七6．下列各式從左到右變形正確的是（）A．3x26x=x2 B．n7．袁老師在課堂上組織學(xué)生用小棍擺三角形，小棍的長度有10cm，15cm，20cm和25cm四種規(guī)格，小朦同學(xué)已經(jīng)取了10cm和15cm兩根木棍，那么第三根木棍不可能?。ǎ〢．10cm B．15cm C．20cm D．25cm8．設(shè)a，b是實數(shù)，定義一種新運算：a*①a*②(a③(?a)*④a*其中所有正確推斷的序號是（）A．①②③④ B．①③④ C．①② D．①③二、填空題（本題共16分，每小題2分）9．如果分式x?2x的值為0，那么x的值為是10．分解因式：a3－a=11．計算：(5xy+4y)÷y=．12．如圖，AB=AC，點D在BC上，添加一個條件使△ABD≌△ACD，該條件是．13．當x2?x?3=0時，代數(shù)式x?1214．已知等腰三角形的兩邊長分別為4和9，則它的周長是．15．在平面直角坐標系xOy中，A0,3，B8,3，點C是x軸上的一個動點，當AC+BC最小時，點C的坐標是16．如圖，在△ABC中，AB<AC，∠BAC的平分線與外角∠BCD的平分線相交于點M，作AB的延長線得到射線AE，作射線BM，有下面四個結(jié)論：①∠MCD>∠MAB；②BM=CM；③射線BM是∠EBC的角平分線；④∠BMC=90°?1所有正確結(jié)論的序號是．三、解答題（本題共68分，第17～22題每小題5分，第23～26題每小題6分，第27～28題每小題7分）解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．計算：?5+18．如圖，點A，C，B，D在同一條直線上，BE∥DF，∠A=∠F，AB=FD，求證：AE=FC.19．計算：a320．解分式方程：x?1x21．已知ab=122．如圖，AD是△ABC的高，CE是△ADC的角平分線．若∠BAD=∠ECD，∠B=70°，求∠CAD的度數(shù)．23．閱讀材料，并回答問題：小亮在學(xué)習(xí)分式運算過程中，計算6a解：6=6=6=6+a?3③=a+3④問題：（1）上述計算過程中，從步開始出現(xiàn)錯誤（填序號）；（2）發(fā)生錯誤的原因是：；（3）在下面的空白處，寫出正確解答過程：24．下面是小東設(shè)計的尺規(guī)作圖過程．已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，求作：點D，使點D在BC邊上，且到AB和AC的距離相等．作法：①如圖，以點A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交AB、AC于點M、N；②分別以點M、N為圓心，大于12MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點③畫射線AP，交BC于點D．所以點D即為所求．根據(jù)小東設(shè)計的尺規(guī)作圖過程：（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明．證明：過點D作DE⊥AC于點E，連接MP，NP，在△AMP與△ANP中，∵AM=AN，MP=NP，AP=AP，∴△AMP≌△ANP(______)，∴∠______=∠______，∵∠ABC=90°，∴DB⊥AB，又∵DE⊥AC，∴DB=DE(______)．25．列方程或方程組解應(yīng)用題：小馬自駕私家車從A地到B地，駕駛原來的燃油汽車所需油費108元，駕駛新購買的純電動車所需電費27元，已知每行駛1千米，原來的燃油汽車所需的油費比新購買的純電動汽車所需的電費多0.54元，求新購買的純電動汽車每行駛1千米所需的電費．26．如圖，在平面直角坐標系中，A(?1,3)，B(2,4)，連接AB．（1）畫線段A1B1，使得線段A1B1與線段AB關(guān)于y軸對稱，寫出A1（2）寫出一個點C的坐標，使ΔABC成為等腰三角形，C(，)（3）已知點C在坐標軸上，且滿足ΔABC是等腰三角形，則所有符合條件的C27．如圖，△ABC為等邊三角形，在∠BAC內(nèi)作射線AP∠BAP<30°，點B關(guān)于射線AP的對稱點為點D，連接AD，作射線CD交AP于點E，連接BE（1）依題意補全圖形；（2）設(shè)∠BAP=α，求∠BCE的大?。ㄓ煤恋拇鷶?shù)式表示）；（3）用等式表示EA，EB，EC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．28．對于平面直角坐標系xOy中的線段AB及點P，給出如下定義：如果點P滿足PA=PB，那么點P就是線段AB的“關(guān)聯(lián)點”．其中，當0°<∠APB<60°時，稱P為線段AB的“遠關(guān)聯(lián)點”；當60°≤∠APB≤180°時，稱P為線段AB的“近關(guān)聯(lián)點”．（1）如圖1，當點A,B坐標分別為?2,0和2,0時，在P1?1,3，P20,2，P3（2）如圖2，點A的坐標為0,3，點B在x軸正半軸上，∠OAB=60°．①如果點P在y軸上，且為線段AB的“關(guān)聯(lián)點”，那么點P的坐標為_______；②如果點P為線段AB的“遠關(guān)聯(lián)點”，那么點P的縱坐標t的取值范圍是_______．

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：B，C，D選項中的圖形不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形，A選項中的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿這條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形．故答案為：A【分析】根據(jù)軸對稱圖形的定義：根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可，即可求出答案2．【答案】B【解析】【解答】解：由題意可得：

0.00000201用科學(xué)記數(shù)法表示為：2.01×10?6故答案為：B

【分析】科學(xué)記數(shù)法是把一個數(shù)表示成a與10的n次冪相乘的形式，絕對值小于1的利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為3．【答案】C【解析】【解答】解：依題意得：x?2≠0，解得x≠2．故答案為：C【分析】根據(jù)分式有意義的條件即可求出答案.4．【答案】C【解析】【解答】解：A．x3B．x2C．2xyD．x2與x故答案為：C【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、分式的乘方、合并同類項逐項進行計算即可求出答案.5．【答案】B【解析】【解答】根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式

（n-2）×180°=540°

解得n=5

故選：B

【分析】記住多邊形內(nèi)角和公式，（n-2）×180°，n為邊數(shù)也是頂點數(shù)；根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式和已知內(nèi)角和度數(shù)可以計算出邊數(shù)。6．【答案】A【解析】【解答】解：A．3xB．nmC．nmD．nm≠n2m故答案為：A．【分析】利用分式的基本性質(zhì)求解即可。7．【答案】D【解析】【解答】解：設(shè)三角形第三邊長為x，即15?10<x<10+15∴5<x<25∴選項A，B，C，不符合題意，D符合題意．故答案為：D【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可求出答案.8．【答案】D【解析】【解答】解：∵a*則b*a=(b?a)則(a*a2*b則(?a)*a*(?b)=[a?(?b)]則a*a*b+a*故正確的為①③．故答案為：D．【分析】根據(jù)定義，分別計算等號的左邊和等號的右邊，即可判斷，得出答案．9．【答案】2【解析】【解答】解：∵分式x?2x∴x?2=0，且x≠0，∴x=2，故答案為：2．【分析】根據(jù)分式為0的條件及有意義的條件即可求出答案.10．【答案】-1【解析】【解答】a3－a=a(a2-1)=a(a?1)(a+1)

【分析】先用提取公因式法將a提出，再逆用平方差公式對括號里的a2-1進行因式分解。11．【答案】5x+4x【解析】【解答】解：(5xy+4y)÷y=5xy÷y+4y÷y=5x+4．故答案為：5x+4．

【分析】利用多項式除以單項式的計算法則求解即可。12．【答案】BD=CD（答案不唯一）【解析】【解答】解：由圖可知，AB=AC，AD=AD，當BD=CD時，△ABD≌△ACDSSS當∠BAD=∠CAD時，△ABD≌△ACDSAS故答案為：BD=CD（答案不唯一）【分析】根據(jù)全等三角形判定定理即可求出答案.13．【答案】9【解析】【解答】解：由x2?x?3=0可得：∵==3=3∴原式=3x故答案為：9．【分析】由題意可得：x214．【答案】22【解析】【解答】解：分類討論：

當腰是4時，三邊分別是4、4、9，根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理不能組成三角形；

當腰是9時，三邊是4、9、9，能構(gòu)成三角形，∴該三角形的周長為：4+9+9=22.故答案為：22.【分析】由等腰三角形性質(zhì)可知不同腰長組成三角形的周長不同，所以需分情況討論：當腰是4時，當腰是9時，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，判斷即可求出答案.15．【答案】4,0【解析】【解答】解：如圖所示，過點A關(guān)于x軸的對稱點D，連接BD交x軸于點C，

∴AC+BC=DC+BC≥BD∴當點B，C，D三點共線時，AC+BC最?。逜∴D∴設(shè)BD所在直線的表達式為y=kx+b∴b=?38k+b=3，解得∴y=∴當y=0時，0=解得x=4∴點C的坐標是4,0．故答案為：4,0．【分析】由題意可得當點B，C，D三點共線時，AC+BC最小，根據(jù)關(guān)于x軸對稱的點的坐標特征可得D0,?3，設(shè)BD所在直線的表達式為y=kx+b，根據(jù)待定系數(shù)法將點D，B坐標代入表達式可得y=16．【答案】①③④【解析】【解答】解：∵AM為∠BAC的平分線，∴∠MAB=∠MAC．∵∠MCD=∠MAC+∠AMC，∴∠MCD>∠MAC，∴∠MCD>∠MAB，故①正確；如圖，過點M作MF⊥AD于點F，MG⊥BC于點G，MH⊥AE于點H，∵AM為∠BAC的平分線，CM為∠BCD的平分線，∴MF=MG=MH．又∵BM=BM，∴Rt△BMG≌Rt△BMH(HL)，∴∠MBG=∠MBH，即射線BM是∠EBC的角平分線，故③正確；假設(shè)BM=CM，∴∠MBC=∠MCB．∵CM為∠BCD的平分線，BM是∠EBC的角平分線，∴∠MBE=∠MBC，∠MCB=∠MCD，∴∠MBE+∠MBC=∠MCB+∠MCD，即∠CBE=∠BCD，∴180°?∠CBE=180°?∠BCD，即∠ABC=∠ACB．∵AB<AC，∴∠ABC≠∠ACB，∴假設(shè)不成立，故②錯誤；∵∠BMC=∠BMG+∠CMG，∴∠BMC=(90°?∠MBG)+(90°?∠MCG)．∵∠MBG=1∴∠BMC=(90°?1∴∠BMC=(90°?=180°?=180°?===90°?1∴④正確．綜上可知所有正確結(jié)論的序號是①③④．故答案為：①③④．【分析】由角平分線的定義可知∠MAB=∠MAC．再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠MCD=∠MAC+∠AMC，即可確定∠MCD>∠MAB，故①正確；過點M作MF⊥AD于點F，MG⊥BC于點G，MH⊥AE于點H，由角平分線的性質(zhì)定理可得出MF=MG=MH．即易證Rt△BMG≌Rt△BMH(HL)，得出∠MBG=∠MBH，即說明射線BM是∠EBC的角平分線，故③正確；利用反證法，假設(shè)BM=CM，易證∠CBE=∠BCD，即得出∠ABC=∠ACB．由AB<AC，可知∠ABC≠∠ACB，即說明BM=CM不成立，故②錯誤；由∠BMC=∠BMG+∠CMG，即得出∠BMC=(90°?∠MBG)+(90°?∠MCG)．再根據(jù)角平分線的定義即得出∠BMC=(90°?12∠CBE)+(90°?17．【答案】解：原式=5+=17??????【解析】【分析】根據(jù)絕對值，負整數(shù)指數(shù)冪，0指數(shù)冪的性質(zhì)化簡，再根據(jù)有理數(shù)的加減法即可求出答案.18．【答案】證明：∵BE∥DF，

∴∠ABE=∠D，

在△ABE和△FDC中，

∠ABE=∠D，AB=FD，∠A=∠F

∴△ABE≌△FDC（ASA），

∴AE=FC．【解析】【分析】根據(jù)直線平行性質(zhì)可得∠ABE=∠D，再根據(jù)全等三角形判定定理可得△ABE≌△FDC（ASA），則AE=FC，即可求出答案.19．【答案】解：a3?a+(?3a3)2÷a2=a4+9a6÷a2=a4+9a4=10a4【解析】【分析】利用同底數(shù)冪的乘除法則計算求解即可。20．【答案】解：x?1x+3x+2=1去分母得，(x?1)(x+2)+3x=x(x+2)

去括號得，x2+x?2+3x=x2+2x

移項得，x2+x?x2【解析】【分析】去分母，將分式化為整式，去括號，移項，合并同類項、系數(shù)化為1，即可求出答案.21．【答案】解：a2+b2a?2b?a+ba2?b2=a2+【解析】【分析】先在小括號內(nèi)進行同分化簡，再根據(jù)分式的除法，結(jié)合平方差公式化簡，再整體代入即可求出答案.22．【答案】解：∵AD是△ABC的高

∴∠ADB=∠ADC=90°

∵∠B=70°

∴∠BAD=20°

∵CE是△ADC的角平分線

∴∠ECD=12∠ACD

∵∠BAD=∠ECD=20°

∴∠ACD=40°

∴在△ACD【解析】【分析】根據(jù)三角形性質(zhì)可得∠ADB=∠ADC=90°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠BAD=20°，再根據(jù)角平分線定義可得∠ACD=40°，在△ACD中再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求出答案.23．【答案】（1）③；（2）分式加法法則運用錯誤；

（3）原式=6=6=6+a?3=1【解析】【解答】（1）③；（2）同分母分式相加時，分母不變，分子相加，不能去掉分母；【分析】觀察整個運算過程，根據(jù)分式的加法運算法則，找出錯誤的步驟并正確求解即可．24．【答案】（1）解：如圖，即為補全的圖形；（2）證明：過點D作DE⊥AC于點E，連接MP，NP，

在△AMP與△ANP中，

∵AM=AN，MP=NP，AP=AP，

∴△AMP≌△ANPSSS，

∴∠PAM=∠PAN，

∵∠ABC=90°，

∴DB⊥AB，

又∵DE⊥AC，

∴DB=DE(角平分線上的點到角的兩邊的距離相等)，

故答案為：SSS，∠PAM，∠PAN，角平分線上的點到角的兩邊的距離相等．

【解析】【分析】（1）根據(jù)題意補全圖形，即可求出答案.

（2）過點D作DE⊥AC于點E，連接MP，NP，根據(jù)全等三角形判定定理可得△AMP≌△ANPSSS，則∠PAM=∠PAN，則DE⊥AC（1）解：如圖，即為補全的圖形；（2）證明：過點D作DE⊥AC于點E，連接MP，NP，在△AMP與△ANP中，∵AM=AN，MP=NP，AP=AP，∴△AMP≌△ANPSSS∴∠PAM=∠PAN，∵∠ABC=90°，∴DB⊥AB，又∵DE⊥AC，∴DB=DE(角平分線上的點到角的兩邊的距離相等)，故答案為：SSS，∠PAM，∠PAN，角平分線上的點到角的兩邊的距離相等．25．【答案】解：設(shè)新購買的純電動汽車每行駛1千米所需的電費為x元，則原來的燃油汽車所需的油費為（x+0.54）元，由題意得108x+0.54=27解得：x=0.18經(jīng)檢驗x=0.18為原方程的解答：純電動汽車每行駛1千米所需的電費為0.18元．【解析】【分析】設(shè)新購買的純電動汽車每行駛1千米所需的電費為x元，則原來的燃油汽車所需的油費為（x+0.54）元，根據(jù)駕駛原來的燃油汽車所需油費108元，駕駛新購買的純電動車所需電費27元，所行的路程相等列出方程解決問題．26．【答案】（1）解：如圖所示，線段A1B1即為所求，A故答案為：(1,3)；(?2,4)；（2）解：如圖所示，使ΔABC成為等腰三角形，點C(3,1)故答案為：(3,1)；（3）解：如圖所示，分別以點A、B為圓心，AB長為半徑作圓，與坐標軸相交，得到5個交點，過兩圓交點畫直線與坐標軸相交，得到2個交點，則點C在坐標軸上，且滿足ΔABC是等腰三角形的C點有7個．【解析】【分析】（1）根據(jù)關(guān)于y軸對稱的點的坐標特征得出A1，B1坐標，再連接即可求出答案.

（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可求出答案.

（3）分別以點A、B為圓心，AB長為半徑作圓，與坐標軸相交，得到5個交點，過兩圓交點畫直線與坐標軸相交，得到2個交點，則點C在坐標軸上，且滿足ΔABC是等腰三角形的C點有7個，即可求出答案.（1）解：如圖所示，線段A1B1即為所求，A故答案為：(1,3)；(?2,4)；（2）解：如圖所示，使ΔABC成為等腰三角形，點C(3,1)故答案為：(3,1)；（3）解：如圖所示，分別以點A、B為圓心，AB長為半徑作圓，與坐標軸相交，得到5個交點，過兩圓交點畫直線與坐標軸相交，得到2個交點，則點C在坐標軸上，且滿足ΔABC是等腰三角形的C點有7個．27．【答案】（1）解：依題意，補全圖形如圖1所示（2）解：∵△ABC是等邊三角形，

∴∠BAC=∠ACB=60°，AB=AC，

∵點B關(guān)于射線AP的對稱點為點D，

∴∠BAP=∠DAP=α，AB=AD，

∴∠CAD=∠BAC?∠BAP?∠DAP=60°?2α，AD=AC，

∴∠ACD=12180°?∠CAD=1（3）證明：EA=EB+EC，過程如下：如圖2，在EA上取一點F，使EF=EB，

由（2）知，∠ACD=60°+∠BAP，

∵∠CAE=60°?∠BAP，

∴∠ACD+∠CAE=120°，

∴∠AEC=60°，

由折疊知，∠AEB=∠AEC=60°，

∴△BEF是等邊三角形，

∴BF=BE，∠EBF=60°，

∵∠ABC=60°，

∴∠ABC=∠EBF=60°，

∴∠ABF=∠CBE，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=CB，

由（2）知，∠BAP=∠BCE，

∴△ABF≌△CBEASA，

∴AF=CE，

∴EA=EF+AF=EB+CE．

即EA=EB+EC【解析】【分析】（1）根據(jù)題意補全圖形即可.（2）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)可得∠BAC=∠ACB=60°，AB=AC，根據(jù)關(guān)于直線對稱的點的性質(zhì)可得∠BAP=∠DAP=α，AB=AD，再根據(jù)角之間的關(guān)系可得∠ACD，且AD=AC，即∠BCE=∠ACD?∠ACB=α，即可求出答案.

（3）在EA上取一點F，使EF=EB，由（2）知，∠ACD=60°+∠BAP，根據(jù)角之間的關(guān)系可得∠AEC=60°，根據(jù)折疊性質(zhì)，可得∠AEB=∠AEC=60°，由等邊三角形判定定理可得△BEF是等邊三角形，則BF=BE，∠EBF=60°，即∠ABF=∠CBE，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)可得AB=CB，再由全等三角形判定定理可得△ABF≌△CBEASA，則AF=CE（1）解：依題意，補全圖形如圖1所示（2）解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=∠ACB=60°，AB=AC，∵點B關(guān)于射線AP的對稱點為點D，∴∠BAP=∠DAP=α，AB=AD，∴∠CAD=∠BAC?∠BAP?∠DAP=60°?2α，AD=AC，∴∠ACD=1∴∠BCE=∠ACD?∠ACB=α；（3）證明：EA=EB+EC，過程如下：如圖2，在EA上取一點F，使EF=EB，由（2）知，∠ACD=60°+∠BAP，∵∠CAE=60°?∠BAP，∴∠ACD+∠CAE=120°，∴∠AEC=60°，由折疊知，∠AEB=∠AEC=60°，∴△BEF是等邊三角形，∴BF=BE，∠EBF=60°，∵∠ABC=60°，∴∠ABC=∠EBF=60°，∴∠ABF=∠CBE，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=CB，由（2）知，∠BAP=∠BCE，∴△ABF≌△CBEASA∴AF=CE，∴EA=EF+AF=EB+CE．即EA=EB+EC28．【答案】（1）P2，（2）①0,?3；②t<?3或t>6【解析】【解答】（1）解：∵A?2,0，B∴A、B關(guān)于y軸對稱，AB=4，∵PA=PB，∴P點在y軸上，∴線段AB的“關(guān)聯(lián)點”是P2，P3，當P20,2時，∴∠AP∴∠AP∴P2是線段AB當P30,?1時，∴AP∴∠AP∴P3是線段AB當P40,4時，∴AP∴∠AP∴點P4故答案為：P2，P（2）∵A0,3∴OA=3∵∠OAB=60°∴∠ABO=30°∴AB=2OA=6∴OB=∴B①設(shè)點P的坐標為0,m，∴PA2=∵點P在y軸上，且為線段AB的“關(guān)聯(lián)點”，∴PA=PB∴P∴m?32∴m=?3∴點P的坐標為0,?3．故答案為：0,?3；②如圖所示，過點A作x軸的對稱點C，過點C作AB的對稱點D，∴C∴AC=6=AB∵∠BAC=60°∴△ABC是等邊三角形∴∠ACB=60°∴點C和點D在AB的垂直平分線上∴CA=CB，DA=DB∴線段AB的“關(guān)聯(lián)點”在AB的垂直平分線∴由圖象可得，當點P的縱坐標t<?3時，點P為線段AB的“遠關(guān)聯(lián)點”；∵△ABC和△ABD關(guān)于AB對稱∴△ABD是等邊三角形∴∠ABD=60°，∠D=60°∴∠OBD=∠ABO+∠ABD=90°∴BD=AB=6∴點D的縱坐標為6∴由圖象可得，當點P的縱坐標t>6時，點P為線段AB的“遠關(guān)聯(lián)點”；綜上所述，點P的