（寒假）人教A版高二數(shù)學(xué)寒假培優(yōu)講義+隨堂檢測(cè)+課后練習(xí) 第07講 圓錐曲線中的定點(diǎn)、定直線問(wèn)題（教師版）

第頁(yè)第07講圓錐曲線中的定點(diǎn)、定直線問(wèn)題考點(diǎn)一、橢圓中的定點(diǎn)、定直線問(wèn)題【例1】已知橢圓的離心率是，點(diǎn)在上．(1)求的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)分別為，證明：線段的中點(diǎn)為定點(diǎn)．【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)詳解【分析】（1）根據(jù)題意列式求解，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）設(shè)直線的方程，進(jìn)而可求點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合韋達(dá)定理驗(yàn)證為定值即可.【詳解】（1）由題意可得，解得，所以橢圓方程為.（2）由題意可知：直線的斜率存在，設(shè)，聯(lián)立方程，消去y得：，則，解得，可得，因?yàn)椋瑒t直線，令，解得，即,同理可得，則，所以線段的中點(diǎn)是定點(diǎn).

【變式1】已知橢圓右焦點(diǎn)分別為，是上一點(diǎn)，點(diǎn)與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，的面積為.(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線，且交于點(diǎn)，，直線與交于點(diǎn).證明：①直線與的斜率乘積為定值；②點(diǎn)在定直線上.【答案】(1)；(2)①證明見(jiàn)解析；②證明見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)為，根據(jù)，解得；點(diǎn)在曲線上，可得，解得，，即可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）①設(shè)，，直線方程為，，聯(lián)立直線與橢圓方程，消去得，，利用斜率計(jì)算公式、根與系數(shù)的關(guān)系即可得出為定值．②直線方程為，直線的方程為，聯(lián)立直線與直線方程，，化簡(jiǎn)結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可得為定值．【詳解】（1）設(shè)為，，則，即，又點(diǎn)在曲線上，∴，將代入，整理得，，解得，，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）①設(shè)，，直線方程為：，，聯(lián)立直線與橢圓方程，消去得，當(dāng)，即且時(shí)，，，∴，，∴.②直線方程為：，即，直線的方程為，即，聯(lián)立直線與直線方程得，∴，，∴.∴，即點(diǎn)在定直線上.

【變式2】已知橢圓的焦距為2，圓與橢圓恰有兩個(gè)公共點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知結(jié)論：若點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，則橢圓在該點(diǎn)處的切線方程為．若橢圓的短軸長(zhǎng)小于4，過(guò)點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，求證：直線過(guò)定點(diǎn)．【答案】(1)或(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)橢圓的半焦距為，再分圓在橢圓的內(nèi)部和外部?jī)煞N情況分別求解即可；（2）由題意橢圓的方程為，再設(shè)，得出切線的方程，將代入可得的坐標(biāo)都滿足方程即可得定點(diǎn).【詳解】（1）設(shè)橢圓的半焦距為．當(dāng)圓在橢圓的內(nèi)部時(shí)，，橢圓的方程為．當(dāng)圓在橢圓的外部時(shí)，，橢圓的方程為．（2）證明：設(shè)．因?yàn)闄E圓的短軸長(zhǎng)小于4，所以的方程為．則由已知可得，切線的方程為的方程為，將代入的方程整理可得，．顯然的坐標(biāo)都滿足方程，故直線的方程為，令，可得，即直線過(guò)定點(diǎn)．考點(diǎn)二、雙曲線中的定點(diǎn)、定直線問(wèn)題【例1】已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，離心率為．(1)求C的方程；(2)記C的左、右頂點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線與C的左支交于M，N兩點(diǎn)，M在第二象限，直線與交于點(diǎn)P．證明:點(diǎn)在定直線上.【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）由題意求得的值即可確定雙曲線方程；（2）設(shè)出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，然后由點(diǎn)的坐標(biāo)分別寫(xiě)出直線與的方程，聯(lián)立直線方程，消去，結(jié)合韋達(dá)定理計(jì)算可得，即交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值，據(jù)此可證得點(diǎn)在定直線上.【詳解】（1）設(shè)雙曲線方程為，由焦點(diǎn)坐標(biāo)可知，則由可得，，雙曲線方程為.（2）由(1)可得，設(shè)，顯然直線的斜率不為0，所以設(shè)直線的方程為，且，與聯(lián)立可得，且，則，

直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立直線與直線的方程可得：，由可得，即，據(jù)此可得點(diǎn)在定直線上運(yùn)動(dòng).考點(diǎn)三、拋物線中的定點(diǎn)、定直線問(wèn)題【例1】過(guò)拋物線內(nèi)部一點(diǎn)作任意兩條直線，如圖所示，連接延長(zhǎng)交于點(diǎn)，當(dāng)為焦點(diǎn)并且時(shí)，四邊形面積的最小值為32

(1)求拋物線的方程；(2)若點(diǎn)，證明在定直線上運(yùn)動(dòng)，并求出定直線方程.【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析，【分析】（1）設(shè)直線，聯(lián)立方程組求得，利用弦長(zhǎng)公式，分別求得，得到，結(jié)合基本不等式，即可求解；（2）由和共線，得到，，又由和共線，得到和，進(jìn)而得到，即可求解.【詳解】（1）解：設(shè)，設(shè)直線，聯(lián)立方程組，整理得，可得，所以，同理可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，所以拋物線的方程為.（2）解：當(dāng)為時(shí)，，由共線，可得，可得

①，同理由共線

②又由共線，可得，所以

③同理由共線，可得

④由①③得，即

⑤又由②④得，即

⑥由⑤⑥得，即，即，所以在上.

【變式1】設(shè)拋物線：（）的焦點(diǎn)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為.已知點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，的最小值為4.(1)求拋物線的方程：(2)若直線與交于另一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)的直線與交于另一點(diǎn)，證明：直線過(guò)定點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)與拋物線的位置分類討論最值，由最小值為，求解；（2）由三點(diǎn)都在拋物線上，設(shè)，，.結(jié)合直線求解的同理性，求出直線方程，再由，分別在直線，上，代入方程消去可得，代入方程化簡(jiǎn)可得定點(diǎn).【詳解】（1）若和在拋物線的同側(cè)，則，解得.設(shè)點(diǎn)在準(zhǔn)線上的射影為，于是.過(guò)作與準(zhǔn)線垂直，垂足為，故，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，由此得，符合題意.

若和在拋物線的異側(cè)或在拋物線上，則.由，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線（或與重合）時(shí)取等號(hào)，得到（舍去）.綜上所述，拋物線的方程為.

（2）設(shè)，，.直線的斜率，則其方程為.同理可得直線的方程為，直線的方程為.將，分別代入直線，的方程可得，消去可得，代入直線的方程，化簡(jiǎn)得，故直線過(guò)定點(diǎn).

【能力提升】1.已知雙曲線：（，）的離心率為，右頂點(diǎn)到漸近線的距離等于.(1)求雙曲線的方程.(2)點(diǎn)，在上，且，直線是否過(guò)定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)；(2)直線過(guò)定點(diǎn)【分析】（1）利用點(diǎn)到直線的距離公式，的關(guān)系和離心率即可求解.（2）由題知直線的斜率存在且不為，設(shè)直線：，與的方程聯(lián)立，可得，因?yàn)?，用代替，同理解得，進(jìn)而表示出直線的方程，即可得解.【詳解】（1）由題意，取漸近線，右頂點(diǎn)到該漸近線的距離，又，，解得，，，的方程為.（2）由題意知直線的斜率存在且不為，設(shè)直線：，與的方程聯(lián)立，消去得，易知，由韋達(dá)定理得，則.因?yàn)?，所以，用代替（顯然此時(shí)），同理得，得，直線：，過(guò)定點(diǎn).當(dāng)時(shí)，直線的斜率不存在，易知直線的方程為，過(guò)左焦點(diǎn).綜上，直線過(guò)定點(diǎn).

2.已知點(diǎn)，在橢圓上.(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)（異于），過(guò)作軸的垂線分別交直線于點(diǎn)，當(dāng)是中點(diǎn)時(shí)，證明．直線過(guò)定點(diǎn).【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)橢圓所經(jīng)過(guò)的點(diǎn)列方程求出其方程；（2）設(shè)出方程，結(jié)合韋達(dá)定理和是中點(diǎn)的條件，找到直線中兩個(gè)參數(shù)的關(guān)系，從而求出定點(diǎn).【詳解】（1）由題知，又橢圓經(jīng)過(guò)，代入可得，解得，故橢圓的方程為：（2）由題意知，當(dāng)軸時(shí)，不符合題意，故的斜率存在，設(shè)的方程為，聯(lián)立消去得，則，即設(shè)，，，的方程為，令得，的方程為，令得，由是中點(diǎn)，得，即，即，即，即，所以，得或，當(dāng)，此時(shí)由，得，符合題意；當(dāng)，此時(shí)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與題意不符，舍去.所以的方程為，即，所以過(guò)定點(diǎn).3.已知橢圓的左?右頂點(diǎn)分別為點(diǎn)，，且，橢圓離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，且斜率不為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，直線，的交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)在直線上.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）由題知，解方程即可得，，故橢圓的方程是.（2）先討論斜率不存在時(shí)的情況易知直線，的交點(diǎn)的坐標(biāo)是.當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，，，進(jìn)而聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)定理得，，直線的方程是，直線的方程是，進(jìn)而計(jì)算得時(shí)的縱坐標(biāo)，并證明其相等即可.【詳解】解：（1）因?yàn)?，橢圓離心率為，所以，解得，.所以橢圓的方程是.（2）①若直線的斜率不存在時(shí)，如圖，因?yàn)闄E圓的右焦點(diǎn)為，所以直線的方程是.所以點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是.所以直線的方程是，直線的方程是.所以直線，的交點(diǎn)的坐標(biāo)是.所以點(diǎn)在直線上.②若直線的斜率存在時(shí)，如圖.設(shè)斜率為.所以直線的方程為.聯(lián)立方程組消去，整理得.顯然.不妨設(shè)，，所以，.所以直線的方程是.令，得.直線的方程是.令，得.所以分子..所以點(diǎn)在直線上.4.已知拋物線E：（p>0），過(guò)點(diǎn)的兩條直線l1，l2分別交E于AB兩點(diǎn)和C，D兩點(diǎn)．當(dāng)l1的斜率為時(shí)，(1)求E的標(biāo)準(zhǔn)方程：(2)設(shè)G為直線AD與BC的交點(diǎn)，證明：點(diǎn)G必在定直線上．【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程寫(xiě)出直線方程，與拋物線聯(lián)立方程，利用弦長(zhǎng)公式，求出的值，從而求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線方程為或，與拋物線聯(lián)立方程，由韋達(dá)定理得出，，求出直線方程和直線方程，求出交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后進(jìn)行化簡(jiǎn)，可以證明結(jié)論.【詳解】（1）當(dāng)?shù)男甭蕿闀r(shí)，得方程為，由,消元得，，，；由弦長(zhǎng)公式得，即，解得或（舍去），滿足，從而的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）法一：因?yàn)閘1，l2分別交E于AB兩點(diǎn)和C，D兩點(diǎn)，所以直線斜率存在設(shè)直線的方程為，設(shè)，由，消去得，則.設(shè)直線的方程為，同理，消去得可得．直線方程為，即，化簡(jiǎn)得，同理，直線方程為，因?yàn)樵趻佄锞€的對(duì)稱軸上，由拋物線的對(duì)稱性可知，交點(diǎn)必在垂直于軸的直線上，所以只需證的橫坐標(biāo)為定值即可．由消去，因?yàn)橹本€與相交，所以，解得所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，即直線與的交點(diǎn)在定直線上．法二：設(shè)直線方程為，由消去得，設(shè)，則．設(shè)直線的方程為，同理可得．直線方程為，即，化簡(jiǎn)得，同理，直線方程為，．因?yàn)樵趻佄锞€的對(duì)稱軸上，由拋物線的對(duì)稱性可知，交點(diǎn)必在垂直于軸的直線上，所以只需證的橫坐標(biāo)為定值即可．由消去，因?yàn)橹本€與相交，所以，解得，圓錐曲線中的定點(diǎn)、定直線問(wèn)題課后練習(xí)1.已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸、y軸，且過(guò)兩點(diǎn)．(1)求E的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線交E于M，N兩點(diǎn)，過(guò)M且平行于x軸的直線與線段AB交于點(diǎn)T，點(diǎn)H滿足．證明：直線HN過(guò)定點(diǎn)．【答案】(1)；(2)【分析】（1）將給定點(diǎn)代入設(shè)出的方程求解即可；（2）設(shè)出直線方程，與橢圓C的方程聯(lián)立，分情況討論斜率是否存在，即可得解.【詳解】（1）解：設(shè)橢圓E的方程為，過(guò)，則，解得，，所以橢圓E的方程為：.（2），所以，①若過(guò)點(diǎn)的直線斜率不存在，直線.代入，可得，，代入AB方程，可得，由得到.求得HN方程：，過(guò)點(diǎn).②若過(guò)點(diǎn)的直線斜率存在，設(shè).聯(lián)立得，可得，，且聯(lián)立可得可求得此時(shí)，將，代入整理得，將代入，得顯然成立，綜上，可得直線HN過(guò)定點(diǎn)2.已知橢圓的離心率為，且直線是拋物線的一條切線．(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線交橢圓于兩點(diǎn)，試問(wèn)：在直角坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)？若存在，求出的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)存在；【分析】（1）先根據(jù)直線是拋物線的一條切線，求出的值，再由橢圓離心率為，求出的值，則橢圓方程可得．（2）先假設(shè)存在一個(gè)定點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)，再用垂直時(shí)，向量，的數(shù)量積為0，得到關(guān)于直線斜率的方程，求，若能求出，則存在，若求不出，則不存在．【詳解】（1）由得直線是拋物線的一條切線．所以，所以橢圓（2）當(dāng)直線與軸平行時(shí)，以為直徑的圓方程為當(dāng)直線與軸重合時(shí)，以為直徑的圓方程為所以兩圓的交點(diǎn)為點(diǎn)猜想：所求的點(diǎn)為點(diǎn)．證明如下．當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，可設(shè)直線為：由得，設(shè)，則則所以，即以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)所以存在一個(gè)定點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)．3.已知點(diǎn)為雙曲線上一點(diǎn)，的左焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)不過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，若直線PA，PB的斜率和為1，證明：直線過(guò)定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析，定點(diǎn)為.【分析】（1）由點(diǎn)到直線的距離公式求出，再將點(diǎn)代入雙曲線方程求出，可得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程，利用韋達(dá)定理得、，再根據(jù)斜率和為列式，推出，從而可得直線過(guò)定點(diǎn).【詳解】（1）設(shè)到漸近線，即的距離為，則，結(jié)合得，又在雙曲線上，所以，得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）聯(lián)立，消去并整理得，則，，即，設(shè)，，則，，則，所以，所以，所以，整理得，所以，所以，因?yàn)橹本€不過(guò)，即，，所以，即，所以直線，即過(guò)定點(diǎn).

4.已知拋物線，過(guò)點(diǎn)的兩條直線、分別交于、兩點(diǎn)和、兩點(diǎn)．當(dāng)?shù)男甭蕿闀r(shí)，．(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)為直線與的交點(diǎn)，證明：點(diǎn)在定直線上．【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）當(dāng)直線的斜率為時(shí)，寫(xiě)出直線的方程，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用弦長(zhǎng)公式可得出關(guān)于的方程，結(jié)合可求出的值，即可得出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）分析可知直線、都不與軸重合，設(shè)直線的方程為，將該直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，設(shè)、，由韋達(dá)定理可得，同理可得出，寫(xiě)出直線、的方程，求出這兩條直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）解：當(dāng)直線的斜率為時(shí)，直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立可得，，因?yàn)?，可得，由韋達(dá)定理可得，，，整理可得，解得或（舍去），因此，拋物線的方程為.（2）證明：當(dāng)直線與軸重合時(shí)，直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意，所以，直線不與軸重合，同理可知直線也不與軸重合，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，則可得，設(shè)點(diǎn)、，由韋達(dá)定理可得，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，同理可得，直線的方程為，即，化簡(jiǎn)可得，同理可知，直線的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上，由拋物線的對(duì)稱性可知，

交點(diǎn)必在垂直于軸的直線上，所以只需證明點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值即可，由，消去，因?yàn)橹本€與相交，則，解得，所以，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，因此，直線與的交點(diǎn)必在定直線上.圓錐曲線中的定點(diǎn)、定直線問(wèn)題隨堂檢測(cè)1.已知拋物線：過(guò)點(diǎn)．(1)求拋物線的方程；(2)，是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線的斜率與直線的斜率之和為4，證明：直線恒過(guò)定點(diǎn)．【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）將代入拋物線方程求解即可；（2）設(shè)：，再聯(lián)立拋物線方程，設(shè)，，再根據(jù)直線的斜率與直線的斜率之和為4，結(jié)合韋達(dá)定理求解即可.【詳解】（1）坐標(biāo)代入拋物線方程得，解得，∴拋物線方程為．（2）證明：顯然直線斜率不為0，故可設(shè)：，將的方程與聯(lián)立得，設(shè)，，則，，所以，，同理：，由題意：，∴，∴，即，代入直線得，故直線恒過(guò)定點(diǎn)．

2.已知A、B分別為橢圓E：（a>1）的左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn)，，P為直線x=6上的動(dòng)點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C，PB與E的另一交點(diǎn)為D．（1）求E的方程；（2）證明：直線CD過(guò)定點(diǎn).【答案】（1）；（2）證明詳見(jiàn)解析.【分析】（1）由已知可得：，，，即可求得，結(jié)合已知即可求得：，問(wèn)題得解.（2）方法一：設(shè)，可得直線的方程為：，聯(lián)立直線的方程與橢圓方程即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)為，同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，可表示出直線的方程，整理直線的方程可得：即可知直線過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線：，直線過(guò)點(diǎn)，命題得證.【詳解】（1）依據(jù)題意作出如下圖象：

由橢圓方程可得：，，，，橢圓方程為：（2）[方法一]：設(shè)而求點(diǎn)法證明：設(shè)，則直線的方程為：，即：聯(lián)立直線的方程與橢圓方程可得：，整理得：，解得：或?qū)⒋胫本€可得：所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.同理可得：點(diǎn)的坐標(biāo)為當(dāng)時(shí)，直線的方程為：，整理可得：整理得：所以直線過(guò)定點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，直線：，直線過(guò)點(diǎn)．故直線CD過(guò)定點(diǎn)．[方法二]【最優(yōu)解】：數(shù)形結(jié)合設(shè)，則直線的方程為，即．同理，可求直線的方程為．則經(jīng)過(guò)直線和直線的方程可寫(xiě)為．可化為．④易知A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)滿足上述方程，同時(shí)A，B，C，D又在橢圓上，則有，代入④式可得．故，可得或．其中表示直線，則表示直線．令，得，即直線恒過(guò)點(diǎn)．3.已知和是橢圓的左、右頂點(diǎn)，直線與橢圓相交于M，N兩點(diǎn)，直線不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且不與坐標(biāo)軸平行，直線與直線的斜率之積為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線OM與橢圓的另外一個(gè)交點(diǎn)為，直線與直線相交于點(diǎn)，直線PO與直線相交于點(diǎn)，證明：點(diǎn)在一條定直線上，并求出該定直線的方程．【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析，定直線為【分析】（1）設(shè)，，依題意可得，進(jìn)而結(jié)合可得，從而求解；（2）設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立直線和橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理可得，，結(jié)合三點(diǎn)共線可得，，進(jìn)而得到，進(jìn)而得到直線OP的方程，進(jìn)而聯(lián)立直線OP與直線的方程即可求解.【詳解】（1）設(shè)，，所以，即，由題意知，所以，所以，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）證明：設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立橢圓的方程，得，所以，則，由根與系數(shù)的關(guān)