湖南省婁底市新化縣2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省婁底市新化縣2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1.直線的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】直線斜率為，則由，知，即,故選:B．2.向量，，若，則（）A.， B.，C.， D.【答案】B【解析】由題設(shè)，故.故選：B3.在數(shù)列中，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意得，，，，……故為周期數(shù)列，一個(gè)周期為3，故.故選：C4.如圖所示，平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.若，則x+y+z等于（）A.﹣1 B.0 C. D.1【答案】C【解析】，，∴x＝﹣1，y＝1，z＝，∴x+y+z＝故選：C．5.已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)在雙曲線上，且，則雙曲線的方程是（）A B. C. D.【答案】D【解析】由題意可知，，解得，，所以雙曲線的方程是．故選：D．6.已知函數(shù)，則（）A. B.1 C. D.2【答案】D【解析】.故選：D7.設(shè)點(diǎn)，拋物線上的點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為d．若的最小值為2，則（）A.2 B.3 C.4 D.6【答案】D【解析】拋物線，則焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，最小時(shí)，即最小，根據(jù)拋物線的定義，，所以只需求的最小值即可，當(dāng)為線段與拋物線交點(diǎn)時(shí)，最小，且最小值為，解得.故選：D8.《推背圖》是唐朝貞觀年間唐太宗李世民命天文學(xué)家李淳風(fēng)和相士袁天罡推算大唐氣運(yùn)而作，此著作對(duì)后世諸多事件都進(jìn)行了準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)推背圖以天干地支的名稱(chēng)進(jìn)行排列，共有60象，其中天干分別為甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，地支分別為子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥該書(shū)第一象為“甲子”，第二象為“乙丑”，第三象為“丙寅”，一直排列到“癸酉”后，天干回到甲，重新開(kāi)始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支又回到子，即“丙子”，以此類(lèi)推2023年是“癸卯”年，也是毛澤東同志誕辰130周年，那么據(jù)此推算，毛澤東同志誕辰的年份是（）A.癸已年 B.癸丑年 C.辛丑年 D.辛卯年【答案】A【解析】依題意可知，天干的周期為10，地支的周期為12，因?yàn)?，所以毛澤東同志誕辰的年份的天干也是癸；因?yàn)?，所以毛澤東同志誕辰的年份的地支為巳，所以毛澤東同志誕辰的年份是“癸巳年”.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分.9.下列說(shuō)法正確的是（）A.零向量沒(méi)有方向B.空間向量不能比較大小，空間向量的?？梢员容^大小C.如果兩個(gè)向量不相同，那么它們的長(zhǎng)度不相等D.同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量【答案】BD【解析】對(duì)于A：零向量的方向是任意的，A錯(cuò)誤；對(duì)于B：空間向量不能比較大小，空間向量的模可以比較大小，B正確；對(duì)于C、D：大小相等方向相同的兩個(gè)向量為相等向量即同一向量，所以C中向量大小可以相等，只要方向不同即為向量不同，C錯(cuò)誤；D符合定義，正確.故選：BD.10.直線中，已知．若與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積不小于10，則實(shí)數(shù)對(duì)可以是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】因?yàn)?，所以直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，則，得，結(jié)合選項(xiàng)可知，滿足題意.故選：AC.11.已知曲線，則下列說(shuō)法正確的為（）A.若該曲線是雙曲線方程，則，或B.若則該曲線為橢圓C.若該曲線離心率為，則D.若該曲線為焦點(diǎn)在y軸上雙曲線，則離心率【答案】AD【解析】對(duì)于A，若該曲線是雙曲線方程，則,解得，或，A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，曲線方程為，表示圓，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若該曲線離心率為，則曲線表示橢圓，當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，，解得，當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，，解得，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若該曲線為焦點(diǎn)在y軸上雙曲線，則，解得，，因?yàn)?，則，所以，所以，D正確.故選：AD12.數(shù)學(xué)家笛卡爾研究了許多優(yōu)美的曲線，如笛卡爾葉形線D在平面直角坐標(biāo)系中的方程為．當(dāng)時(shí)，以下四個(gè)結(jié)論正確的是（）A.曲線D經(jīng)過(guò)第三象限B.曲線D關(guān)于直線軸對(duì)稱(chēng)C.對(duì)任意，曲線D與直線一定有公共點(diǎn)D.對(duì)任意，曲線D與直線一定有公共點(diǎn)【答案】BD【解析】當(dāng)時(shí)，方程為，當(dāng)時(shí)，，故第三象限內(nèi)的點(diǎn)不可能在曲線上，故A錯(cuò)誤；將點(diǎn)代入曲線方程得，故曲線關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，故B正確；當(dāng)，聯(lián)立，其中，將代入得，即，則方程組無(wú)解，故曲線與直線無(wú)公共點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；聯(lián)立，得，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，則值域?yàn)?，所以有解成立；?dāng)時(shí)，成立；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，又，所以成立，所以曲線與直線一定有公共點(diǎn)，故D正確.故答案為：BD第II卷（非選擇題共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)的直線的方程為_(kāi)__________.【答案】【解析】直線的斜率，所以直線方程為.故答案為：.14.已知向量，則______________.【答案】或【解析】，所以，解得或者，故答案為：或15.設(shè)函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)_________．【答案】【解析】，故，又，故曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.故答案為：.16.斐波那契數(shù)列在很多領(lǐng)域都有廣泛應(yīng)用，它是由如下遞推公式給出的：，當(dāng)時(shí)，．若，則的值為_(kāi)__________．【答案】【解析】由已知得，且，所以，，，，累加整理可得，又因?yàn)?，即是該?shù)列第項(xiàng)，所以.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分.17題10分，其余各題每題12分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（1）若與直線：垂直，求的方程；（2）若在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求的方程．解：（1）由題可知，的斜率為，設(shè)的斜率為，因?yàn)?，所以，則，又經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以的方程為，即；（2）若在兩坐標(biāo)軸上的截距為0，即經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，設(shè)的方程為，將代入解析式得，解得，故的方程為，若在兩坐標(biāo)軸上的截距不為0，則設(shè)的方程為，由，得，故的方程為，綜上，的方程為或.18.已知圓．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并寫(xiě)出圓的圓心坐標(biāo)和半徑：（2）若直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，且，求的值．解：（1）由，得，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓的圓心坐標(biāo)，半徑為．（2）由，得圓心到直線的距離為，則圓心到直線的距離，得或．19.已知數(shù)列滿足.（1）求證：為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）因?yàn)椋?，又，故為等比?shù)列，首項(xiàng)為1，公比為2；（2）由（1）可知，，故，，故，令①，則，其中②，①-②得，，故，.20.如圖，正三棱柱的所有棱長(zhǎng)均為2，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．解：（1）取的中點(diǎn)，連接，分別為的中點(diǎn)，，且，又且，且，四邊形為平行四邊形，則，平面平面，平面．（2）取的中點(diǎn)，則．以為原點(diǎn)，以為軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則，．所以，設(shè)平面的法向量為．則即取，則．又，設(shè)直線與平面所成的角為，則，故與平面所成角的正弦值為．21.已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，，，且．（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)．記和的面積分別為和．當(dāng)時(shí)，求直線的方程．解：（1）依題意，橢圓的半焦距，所以，解得．所以．所以橢圓的方程為．（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，其方程為．此時(shí)，或．所以，，即，不合題意．當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為．由得．設(shè)，則，．因?yàn)?，，所以．令，解得．所以直線的方程為，或．22.已知函數(shù)，．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，且關(guān)于的不等式在上恒成立，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）根據(jù)題意可知的定義域?yàn)?，，令，得．?dāng)時(shí)，時(shí)，，時(shí)；當(dāng)時(shí)，時(shí)，，時(shí)．綜上所述，當(dāng)時(shí)