湖南省沅澧共同體2025屆高三上學期第二次聯(lián)考數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1湖南省沅澧共同體2025屆高三上學期第二次聯(lián)考數(shù)學試題一?選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意，，則，所以.故選：B.2.設命題，，則為（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】根據(jù)全稱命題與存在性命題的關系，命題“，”的否定“，”.故選：A.3.設，則的大小順序為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞增，可得，.因函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則.故，即.故選：A4.已知，則（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】，則，所以.故選：B.5.若，向量與向量的夾角為，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由投影向量定義可知，在上的投影向量為.故選：C.6.已知，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因為，所以.故選：C.7.關于x的一元二次不等式的解集中有且僅有3個整數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】函數(shù)圖象如圖所示．若關于x的一元二次不等式的解集中有且僅有3個整數(shù)，則即解得.故選：A．8.設函數(shù)，則曲線在點處的切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意可得，所以，所以切線方程為，令，則，令，則，則三角形的面積為，故選：A.二?多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，至少兩項是符合題目要求的．若全部選對得6分，部分選對得部分分，選錯或不選得0分．9.若滿足對定義域內(nèi)任意的，都有，則稱為“優(yōu)美函數(shù)”，則下列函數(shù)不是“優(yōu)美函數(shù)”的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】對于A，函數(shù)定義域為R，取，則，則存在，使得，故A滿足題意；對于B，函數(shù)的定義域為，對于定義域內(nèi)任意的，故B不滿足題意；對于C，函數(shù)定義域為R，取，則，則存在，使得故C滿足題意；對于D，函數(shù)定義域R，取，則，則存在，使得故D滿足題意.故選：ACD.10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A.B.的圖象關于直線對稱C.是偶函數(shù)D.將圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得到函數(shù)的圖象【答案】ABD【解析】A．由圖可得，，，解得，又函數(shù)圖象經(jīng)過點，所以，即，因為，所以，解得，故，故A正確；B．當時，，此時函數(shù)取得最小值，的圖象關于直線對稱，故B正確；C．是奇函數(shù)，故C錯誤；D．將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得到函數(shù)的圖象，故D正確，故選：ABD．11.已知函數(shù)是奇函數(shù)，下列選項正確的是（）A.B.，且，恒有C.函數(shù)在上的值域為D.若，恒有的一個充分不必要條件是【答案】AD【解析】對于A：∵函數(shù)是奇函數(shù)，其定義域為，則，解得，故A正確；對于B：由選項A可得：，對，且，則，可得，故，可得，則，即，故在上單調(diào)遞增，∴，且，恒有，故B錯誤；對于C：∵，，且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，∴函數(shù)在上的值域為，故C錯誤；對于D：∵，恒有，且在上單調(diào)遞增，∴，恒成立，即，恒成立，當時，則不恒成立，不合題意；當時，則，解得；綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.∵，∴，恒有的一個充分不必要條件是，故D正確；故選：AD．三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.函數(shù)的最小值是__________．【答案】【解析】因為，所以，所以，．當且僅當時等號成立．所以，最小值為．13.用半徑為的半圓形紙片卷成一個圓錐筒，則這個圓錐筒的體積為________．【答案】【解析】由題意知圓錐筒的母線長為2，設圓錐筒的底面半徑等于,則，，圓錐筒的高為：，這個圓錐筒的體積為;.14.函數(shù)，已知在區(qū)間恰有三個零點，則的范圍為_______.【答案】【解析】由題意可得，令，即恰有三個實根，三根為：①，k，∵，∴，∴無解；或，當時，解得的范圍為.四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟．15.已知分別為的三個內(nèi)角的對邊，且，，．（1）求及的面積；（2）若為邊上一點，且，求的正弦值．解：（1）由余弦定理得，整理得，即，因為，解得，所以.（2）由正弦定理得：，所以，在三角形中，因為，則，所以.16.已知數(shù)列的前項和為，且，數(shù)列滿足．（1）求；（2）設，數(shù)列的前項和為，求．解：（1）由，當時，.當時，，也適合.綜上可得，.由，所以.（2）由（1）知，①②①②得，所以．17.如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，側棱底面，，，，，是棱的中點．（1）求證：面；（2）求異面直線與所成角的余弦值；（3）在線段上是否存在一點，使得直線和平面所成角為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．解：（1）以為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，則，,，,，且平面平面，（2）由（1）得，，異面直線與所成角的余弦值為．（3）由（1）得，．設平面的法向量n=x,y,z由得，，令，則，設，．整理得，，解得或存在點或．18.如圖，已知橢圓過點，焦距為，斜率為的直線與橢圓相交于異于點的兩點，且直線均不與軸垂直.（1）求橢圓的方程；（2）若，求的方程；（3）記直線的斜率為，直線的斜率為，證明:為定值.解：（1）由題意得，解得，故橢圓的方程為.（2）設直線的方程為，，由得，由，得，則.，解得或當時，直線經(jīng)過點，不符合題意，舍去；當時，直線方程為.（3）直線，均不與軸垂直，所以，則且，所以為定值.19.已知是自然對數(shù)的底數(shù)．（1）討論函數(shù)單調(diào)性；（2）若關于的方程有兩個不等實根，求的取值范圍；（3）當時，若滿足，求證：．解：（1）函數(shù)的定義域為R，求導得，當時，恒有，則函數(shù)在R上單調(diào)遞增；當時，由，得；由，得，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當時，函數(shù)的遞增區(qū)間為；當時，函數(shù)的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為.（2）方程，當時，方程不成立，則，令，依題意，方程有兩個不等實根，即直線與的圖象有2個交點，求導得，當或時，，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而當時，，當時，，且