江蘇省蘇州市2025屆高三上學(xué)期11月期中調(diào)研數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省蘇州市2025屆高三上學(xué)期11月期中調(diào)研數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.在復(fù)平面內(nèi)，若是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)與關(guān)于虛軸對(duì)稱，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，復(fù)數(shù)與關(guān)于虛軸對(duì)稱，故.故選：C.2.若對(duì)于任意的實(shí)數(shù)都有成立，則的值可能是（）A. B. C. D.0【答案】A【解析】，故，即，當(dāng)時(shí)，故選：A.3.下列說法中不正確的是（）A.“”是“”的必要不充分條件B.命題“，”的否定是“，”C.“若，，，則且”是假命題D.設(shè)，，則“或”是“”的充要條件【答案】B【解析】對(duì)于A,“”是“”的必要不充分條件,故A正確；對(duì)于B，命題“，”的否定是“，”，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，滿足，不滿足且，故“若，，，則且”是假命題，故C正確；對(duì)于D，“或”是“”的充要條件，故D正確.故選：B.4.在數(shù)列中，，則數(shù)列前24項(xiàng)和的值為（）A.144 B.312 C.288 D.156【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，故選：C.5.已知實(shí)數(shù)，則的最小值為（）A.12 B.9 C.6 D.3【答案】B【解析】設(shè)，，故，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故選：B.6.在軸截面頂角為直角的圓錐內(nèi)，作一內(nèi)接圓柱，若圓柱的表面積等于圓錐的側(cè)面積，則圓柱的底面半徑與圓錐的底面半徑的比值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)圓柱和圓錐底面半徑分別r，R，因?yàn)閳A錐軸截面頂角為直角，所以圓錐母線長(zhǎng)為，設(shè)圓柱高為h，則，，由題，，得.故選：D.7.已知，若存在常數(shù)，使得為偶函數(shù)，則的值可以為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，得是偶函數(shù)，因?yàn)椴豢赡苁瞧婧瘮?shù)，所以和都是偶函數(shù)，為偶函數(shù)，則，即，為偶函數(shù)，則，，，，只有時(shí)，，故選：A.8.已知函數(shù)，若，則最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，因?yàn)?，且函?shù)和都是增函數(shù)，故若恒成立，則函數(shù)和的零點(diǎn)相同，即.故，設(shè)則故在，，單調(diào)遞增；在，，單調(diào)遞減.故故最大值為.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知向量，，則下列說法中正確的是（）A.若，則或1 B.若，則或-3C.若，則或3 D.若，則向量，夾角的余弦值為【答案】AC【解析】A選項(xiàng)，若，有，解得或，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，若，有，解得或3，B選項(xiàng)錯(cuò)誤，；C選項(xiàng)，若，有，解得或，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，，，，，向量，夾角的余弦值為，D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：AC.10.已知的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，下列四個(gè)命題中正確的是（）A.若為銳角三角形，則B.若，，則是直角三角形C.若，則是等腰三角形D.若為鈍角三角形，且，，，則的面積為【答案】AC【解析】對(duì)于A,若為銳角三角形，則即，故，故A正確；對(duì)于B，若，，則，即，故，且，故是等邊三角形，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則即即故，是等腰三角形.故C正確；對(duì)于D，，解得或，且，當(dāng)時(shí)，，鈍角，故，當(dāng)時(shí)，，B為鈍角，故，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11.已知，是函數(shù)，兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且，，是函數(shù)兩個(gè)極值點(diǎn)，則（）A. B.或C.值可能為11 D.使得的的值有且只有1個(gè)【答案】ACD【解析】由已知有兩個(gè)零點(diǎn)，，又，是函數(shù)兩個(gè)不同的零點(diǎn)且，所以，即所以，，即，A正確；，解得或，，，由已知有兩個(gè)不等實(shí)根，所以，解得或，所以或，B錯(cuò)；，解得或，滿足或，C正確；由，得，，，由整理得，設(shè)，則，或時(shí)，，時(shí)，，在在和上遞增，在上遞減，又，，，所以在，，上各有一個(gè)零點(diǎn)，又或，因此只在上在一個(gè)解，D正確．故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?，且，則的值為______.【答案】【解析】，故，因?yàn)樵趨^(qū)間0,1上的值域?yàn)?，且，故必有如圖所示，則故13.如圖，邊長(zhǎng)為1的正，是以為圓心，以為半徑的圓弧上除點(diǎn)以外的任一點(diǎn)，記外接圓圓心為，則______.【答案】【解析】取的中點(diǎn)，因?yàn)闉檎切?，故為的中垂線，則外接圓圓心一定在上，如圖所示，，故.14.若存在實(shí)常數(shù)和，使得函數(shù)和對(duì)其公共定義域上的任意實(shí)數(shù)都滿足恒成立，則稱直線為和的“媒介直線”.已知函數(shù)，，若和之間存在“媒介直線”，則實(shí)數(shù)的范圍是______.【答案】【解析】恒成立，即的圖像一直在和之間，當(dāng)同時(shí)與和均相切時(shí)，方程和方程均只有一個(gè)解，即和均只有一個(gè)解，故或，解得或，結(jié)合圖像可知，“媒介直線”的截距.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列是公差大于1的等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列，若數(shù)列前項(xiàng)和為，并滿足，.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式.（2）若，求數(shù)列前項(xiàng)的和.解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，且，，成等比數(shù)列知：，整理得：，即或者，因?yàn)楣畲笥?，故.且，故.數(shù)列前項(xiàng)和為，并滿足①，且，解得，故當(dāng)時(shí)，②，①式減②式得：，即，故是公比為2的等邊數(shù)列，則，故（2），故則故故則16.已知向量，，.（1）求函數(shù)解析式，寫出函數(shù)的最小正周期、對(duì)稱軸方程和對(duì)稱中心坐標(biāo).（2）試用五點(diǎn)作圖法作出函數(shù)在一個(gè)周期上簡(jiǎn)圖（要求列表，描點(diǎn)，連線畫圖）.（3）根據(jù)（2）中的圖象寫出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間、最小值及取得最小值時(shí)相應(yīng)值的集合.解：（1）向量，，則，，故的最小正周期，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故的對(duì)稱軸方程為，對(duì)稱中心為.（2）列表：00200描點(diǎn)，連線，畫圖得：（3）由圖可知，的單調(diào)增區(qū)間為；最小值為；取最小值時(shí)相應(yīng)值的集合為：.17.如圖①，在平面四邊形中，，，為對(duì)角線中點(diǎn)，為中點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，且，，.（1）求的長(zhǎng).（2）從下面（i）與（ii）中選一個(gè)作答，如果兩個(gè)都作答，則只按第一個(gè)解答計(jì)分（i）在平面四邊形中，以為軸將向上折起，如圖②，當(dāng)面面時(shí)，求異面直線與所成角的余弦值.（ii）在平面四邊形中，以為軸將向上折起，如圖③，當(dāng)時(shí)，求三棱錐的體積.解：（1）因?yàn)?，為?duì)角線中點(diǎn)，故,因?yàn)?故，即，解得,故,則，,因?yàn)?，，則，,所以,所以,，且,故,則在等腰中，由正弦定理得：，即，則.（2）若選（i）：當(dāng)面面時(shí)，因?yàn)?面面,面,故面，又，故以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，過點(diǎn)做的平行線為軸，可以建如圖所示空間直角坐標(biāo)系，由（1）知，,故為中點(diǎn)，則易得則設(shè)異面直線與所成角為，則.若選（ii）：由（1）知，,故為中點(diǎn)，故,當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?故，且，,故面,因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，為中點(diǎn)，故,則三棱錐的體積:.18.已知函數(shù)，.（1）如果函數(shù)在處的切線，也是的切線，求實(shí)數(shù)的值.（2）若在存在極小值，試求的范圍.（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，若存在，求出所有實(shí)數(shù)的取值集合，若不存在，請(qǐng)說明理由.解：（1），，故在處的切線為，也是的切線，故方程只有一個(gè)解，即只有一個(gè)解，，解得.（2），，當(dāng)時(shí)，，無極值點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，在上，，單調(diào)遞減；在上，，單調(diào)遞增；故的極小值點(diǎn)，則，故，設(shè)，，則，此時(shí)，設(shè)，則，時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減；，故,即.（3），，，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，不存在3個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，不存在3個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，設(shè)，則在上也是單調(diào)遞增，且，當(dāng)，，故存在唯一一個(gè)，使，即在，，，單調(diào)遞減；在，，，單調(diào)遞增；且，故，且，故在有唯一零點(diǎn)，，故，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谟形ㄒ涣泓c(diǎn)，故在也有唯一零點(diǎn)，故當(dāng)，有3個(gè)零點(diǎn);綜上所述，所有實(shí)數(shù)的取值集合為.19.對(duì)于任意，向量列滿足.（1）若，，求的最小值及此時(shí)的.（2）若，，其中，，，，若對(duì)任意，，設(shè)函數(shù)，記，試判斷的符號(hào)并證明你的結(jié)論.（3）記，，，對(duì)于任意，記，若存在實(shí)數(shù)和2，使得等式成立，且有成立，試求的最大值.解：（1）因?yàn)閷?duì)任意成立，所以有，，，，將上述各式相加得，又因?yàn)椋?所以，所以有，又，當(dāng)或時(shí)，，此時(shí)或.（2）可判定，①因?yàn)?，所以?shù)列不可能是各項(xiàng)均為0的常數(shù)列；②當(dāng)數(shù)列非零常數(shù)列時(shí)，任意，若，則，若，則，故當(dāng)數(shù)列為非零常數(shù)列時(shí)，.③當(dāng)數(shù)列為公差不為0的數(shù)列時(shí)，因，，若①，由等差數(shù)列性質(zhì)有，其中又為奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增，則