考研學(xué)習(xí)筆記 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系《高等數(shù)學(xué)》（第7版）（下冊(cè)）筆記和課后習(xí)題（含考研真題）詳解

同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系主編的《高等數(shù)學(xué)》(第7版)(上、下冊(cè))是我國高校理工科專業(yè)廣泛采用的權(quán)威教材之一，也被眾多高校(包括科研機(jī)構(gòu))指定為考研數(shù)學(xué)公共課參考書目。為了幫助參加研究生入學(xué)考試指定參考書目為同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系主編的《高等數(shù)學(xué)》(第7版)的考生復(fù)習(xí)專業(yè)課，我們根據(jù)該教材的教學(xué)大綱和歷年考研真題精心編寫了同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系《高等數(shù)學(xué)》(第7版)(上、下冊(cè))輔導(dǎo)用書(均提供免費(fèi)下載，免費(fèi)升級(jí)):1.同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系《高等數(shù)學(xué)》(第7版)(上冊(cè))筆記和課后習(xí)題(含考研真題)詳解2.同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系《高等數(shù)學(xué)》(第7版)(上冊(cè))配套題庫【名?？佳姓骖}+課后習(xí)題+章節(jié)題庫+模擬試題】3.同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系《高等數(shù)學(xué)》(第7版)(下冊(cè))筆記和課后習(xí)題(含考研真題)詳解4.同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系《高等數(shù)學(xué)》(第7版)(下冊(cè))配套題庫【名?？佳姓骖}+課后習(xí)題+章節(jié)題庫+模擬試題】本書是同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系主編的《高等數(shù)學(xué)》(第7版)(下冊(cè))的配套電子書，主要包括以下內(nèi)容：(1)梳理知識(shí)脈絡(luò)，濃縮學(xué)科精華。本書每章的復(fù)習(xí)筆記均對(duì)該章的重難點(diǎn)進(jìn)行了整理，(2)詳解課后習(xí)題，鞏固重點(diǎn)難點(diǎn)。本書參考大量相關(guān)輔導(dǎo)資料，對(duì)同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系主編的《高等數(shù)學(xué)》(第7版)(下冊(cè))的課后習(xí)題進(jìn)行了詳細(xì)的分析和解答，并對(duì)相關(guān)重要知(3)精編考研真題，培養(yǎng)解題思路。本書從歷年考研真題中挑選最具代表性的部分，并對(duì)(4)免費(fèi)更新內(nèi)容，獲取最新信息。本書定期會(huì)進(jìn)行修訂完善，補(bǔ)充最新的考研真題和答|理工類()提供全國各高校數(shù)學(xué)類專業(yè)考研考博輔導(dǎo)班【一對(duì)一輔導(dǎo)(面授/網(wǎng)授)、網(wǎng)授精講班等】、3D電子書、3D題庫(免費(fèi)下載，免費(fèi)升級(jí))、全套資料(歷年真題及答案、筆記講義等)、數(shù)學(xué)類國內(nèi)外經(jīng)典教材名師講堂、考研教輔圖究生入學(xué)考試指定考研參考書目為同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系主編的《高等數(shù)學(xué)》(第7版)的考生，1.直播答疑：掃碼下載本書手機(jī)版，找學(xué)友互動(dòng)學(xué)習(xí)，看名師直播答疑有學(xué)友，可精確查找學(xué)友的具體位置，可與學(xué)友互動(dòng)，交流學(xué)習(xí)(視頻、語音等形式);本2.720度立體旋轉(zhuǎn)：好用好玩的全新學(xué)習(xí)體驗(yàn)3.質(zhì)量保證：每本電子書都經(jīng)過圖書編輯隊(duì)伍多次反復(fù)修改，年年升級(jí)4.手機(jī)掃碼即可閱讀，精彩內(nèi)容，輕松分享掃碼即可在手機(jī)閱讀，隨處隨學(xué)。可以不用客戶端不用賬號(hào)，簡單方便!5.免費(fèi)升級(jí)：更新并完善內(nèi)容，終身免費(fèi)升級(jí)6.功能強(qiáng)大：記錄筆記、答案遮擋等十大功能(1)知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)列舉相同知識(shí)點(diǎn)內(nèi)容列表呈現(xiàn)，便于讀者記憶和復(fù)習(xí)，舉一反三，觸(2)劃線添加筆記——使用顏色筆工具，劃一條線，寫筆記，提交糾錯(cuò)?！惊?dú)家推出】(3)答案遮擋——先看題后看答案，學(xué)習(xí)效果好。【獨(dú)家推出】(4)全文檢索輸入關(guān)鍵詞，本書相關(guān)內(nèi)容一覽無余。【獨(dú)家推出】7.多端并用：電腦手機(jī)平板等多平臺(tái)同步使用本書一次購買，多端并用，可以在PC端(在線和下載)、手機(jī)(安卓和蘋果)、平板(安卓和蘋果)等多平臺(tái)同步使用。同一本書，使用不同終端登錄，可實(shí)現(xiàn)云同步，即更換不同為您處理!()是一家為全國各類考試和專業(yè)課學(xué)習(xí)提供輔導(dǎo)方案【保過班、網(wǎng)授班、3D電子書、3D題庫】的綜合性學(xué)習(xí)型視頻學(xué)習(xí)網(wǎng)站，擁有近100種考試(含418個(gè)考試科目)、194種經(jīng)典教材(含英語、經(jīng)濟(jì)、管理、證券、金融等共16大類),合計(jì)近萬小時(shí)的面授班、網(wǎng)授如您在購買、使用中有任何疑問，請(qǐng)及時(shí)聯(lián)系我們，我們將竭誠為您服務(wù)!詳情訪問：http://(理工類)第八章向量代數(shù)與空間解析幾何8.1復(fù)習(xí)筆記8.2課后習(xí)題詳解習(xí)題8-1向量及其線性運(yùn)算習(xí)題8-3平面及其方程習(xí)題8-4空間直線及其方程習(xí)題8-5曲面及其方程習(xí)題8-6空間曲線及其方程總習(xí)題八8.3考研真題詳解第九章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用9.1復(fù)習(xí)筆記第十章重積分高斯公式通量與散度斯托克斯公式環(huán)流量與旋度第十二章無窮級(jí)數(shù)習(xí)題12-7傅里葉級(jí)數(shù)習(xí)題12-8一般周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)總習(xí)題十二12.3考研真題詳解第八章向量代數(shù)與空間解析幾何8.1復(fù)習(xí)筆記一、向量及其線性運(yùn)算1.向量的概念(1)向量的定義既有大小，又有方向的這一類量稱為向量(或矢量).(2)向量的表示①用有向線段表示向量；②用黑體字母來表示向量.(3)自由向量只考慮向量的大小和方向，不考慮起點(diǎn)的向量稱為自由向量.(4)相等向量大小相等且方向相同的向量.(5)向量的模向量的大小稱為向量的模.(6)單位向量模等于1的向量稱為單位向量.(7)零向量模等于零的向量稱為零向量，記作0或.設(shè)兩個(gè)非零向量a,b,任取空間一點(diǎn)O,作.規(guī)定不超過π的∠AOB(設(shè)稱為向量a與b的夾角(圖8-1-1).記作一：=或注：如果向量a與b中有一個(gè)是零向量，規(guī)定它們的夾角可以在0到π之間任意取值.圖8-1-1(9)向量平行如果a,b)=0(10)向量垂直稱向量a與b垂直，記作aLb.(11)向量共線兩向量平行，又稱兩向量共線.(12)向量共面設(shè)有k(k≥3)個(gè)向量，當(dāng)把它們的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)時(shí)，如果k個(gè)終點(diǎn)和公共起點(diǎn)在一個(gè)平面上，稱這k個(gè)向量共面.2.向量的線性運(yùn)算(1)向量的加法①定義8-1-2),則稱為向量a與b的和，記作a+b,即圖8-1-2②運(yùn)算規(guī)律a.交換律a+b=b+a;(2)向量的減法(差)①負(fù)向量a為一向量，與a的模相同而方向相反的向量稱為a的負(fù)向量，記作-a.②向量的差向量b與a的差=□,即把向量-a加到向量b上，便得b與a的差b-a.③向量加法和減法的不等式(3)向量與數(shù)的乘法模a.結(jié)合律b.分配律(4)兩向量平行的充要條件向量-F,則b//a一存在惟一的實(shí)數(shù)λ,使b=λa.3.空間直角坐標(biāo)系(1)坐標(biāo)分解式如圖8-1-3所示，同，則設(shè)設(shè)則上式稱為向量r的坐標(biāo)分解式，xi、yj和zk稱為向量r沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向的分向量.(2)向徑向量稱為點(diǎn)M關(guān)于原點(diǎn)O的向徑.即(1)向量的模(2)兩點(diǎn)距離公式設(shè)點(diǎn)和點(diǎn)(3)方向角非零向量r與三條坐標(biāo)軸的夾角α,β,γ稱為向量r的方向角.(4)方向余弦稱為向量r的方向余弦，且二、數(shù)量積向量積混合積1.兩向量的數(shù)量積(1)定義(2)性質(zhì)②a-b=0=a⊥b(a、b都為非零向量).(3)運(yùn)算規(guī)律①交換律a-b=b-a;(4)兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式2.兩向量的向量積(1)定義,則稱向量c為向量a與b的向量積，記作a×b,即c=a×b,其中θ為a、b間的夾角.(2)方向如圖8-1-4所示，c的方向垂直于a與b所決定的平面.(3)性質(zhì)b.a×b=0?a//b(a、b都為非零向量).(4)運(yùn)算規(guī)律b.分配律(a+b)×c=a×c+b×c;c.結(jié)合律(λa)×b=a×(λb)=λ(a×b)(λ為數(shù)).3.向量的混合積(1)定義(2)坐標(biāo)表示式(1)定義(3)幾何意義(4)夾角設(shè)a×b=f,f與c的夾角為α,則1.平面的點(diǎn)法式方程(1)法線向量為2.平面的—般方程(2)當(dāng)A=0時(shí)，平面的一般方程成為By+Cz+D=0,法線向量n=(0,B,C)垂直于x軸，方程表示一個(gè)平行于(或包含)x軸的平面；同理，方程Ax+Cz+D=0和Ax+By+D=0分別表示平行于(或包含)y軸和z軸的平面；(3)當(dāng)A=B=0時(shí)，平面的一般方程成為Cz+D=0或z=-,法線向量n=(0,0,C)同時(shí)垂直x軸和y軸，方程表示一個(gè)平行于(或重合于)xOy面的平面.同理，方程Ax+D=0和By+D=0分別表示一個(gè)平行于(或重合于)yOz面和xOz面的平面.3.兩平面的夾角兩平面的法線向量的夾角(銳角或直角)稱為兩平面的夾角.(2)計(jì)算公式設(shè)平面I?和II?的法線向量依次為和,則平面Ⅱ?和I?則(3)結(jié)論①一E=互相垂直→②互相平行或重合→1.空間直線的—般方程空間直線L可以看做是兩個(gè)平面II?和II?的交線=的方程：A?x+Biy+C?z+D?=0三的方程：A?x+B?y+C?z+D?=0直線L上的任—點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)同時(shí)滿足這兩個(gè)平面的方程，即則稱該方程組為空間直線的—般方程.2.空間直線的對(duì)稱式方程與參數(shù)方程(1)方向向量如果—個(gè)非零向量平行于—條已知直線，則稱該向量為這條直線的方向向量.(2)直線的對(duì)稱式方程程(或點(diǎn)向式方程)為(3)直線的參數(shù)方程則稱方程為直線的參數(shù)方程.3.兩直線的夾角兩直線的方向向量的夾角(銳角或直角)稱為兩直線的夾角.(2)計(jì)算公式①兩直線E=互相垂直→②兩直線②兩直線一=互相平行或重合一4.直線與平面的夾角與平面的夾角.當(dāng)直線與平面垂直時(shí)，規(guī)定直線與平面的夾角為三.(2)計(jì)算公式設(shè)直線的方向向量為s=(m,n,p),平面的法線向量為n=(A,B,C),直線與平面(3)結(jié)論①直線與平面垂直一②直線與平面平行或直線在平面上=Am+Bn+Cp=0.五、曲面及其方程1.曲面方程的概念如果曲面S與三元方程F(x,y,z)=0有下述關(guān)系：(1)曲面S上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足F(x,y(2)不在曲面S上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足F(x,y,z)=0,則方程F(x,y,z)=0就稱為曲面S的方程.2.曲面的分類(1)球面方程①球心在點(diǎn),半徑為R的球面的方程②球面的一般方程(2)旋轉(zhuǎn)曲面①定義以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面，旋轉(zhuǎn)曲線和定直線依次稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線和軸.②分類a.圓錐面直線L繞另一條與L相交的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)曲面稱為圓錐面.兩直線的交點(diǎn)稱為圓錐面的頂點(diǎn)，兩直線的夾角稱為圓錐面的半頂角.b.旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面將xOz坐標(biāo)面上的雙曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面稱為旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面(圖8-1-5),方程為c.旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面將xOz坐標(biāo)面上的雙曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面稱為旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面(圖8-1-6),方程為(3)柱面直線L沿定曲線C平行移動(dòng)形成的軌跡稱為柱面，定曲線C稱為柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線L稱為柱面的母線.a.圓柱面凡是通過xOy面內(nèi)圓x2+y2=R2上一點(diǎn)M(x,y,0),且平行于z軸的直線1都在這曲面上，稱這曲面為圓柱面(圖8-1-7),圓稱為準(zhǔn)線，直線1稱為母線.柱面稱為拋物柱面(圖8-1-8).只含y、z而缺x的方程B(y,z)=0d.母線平行于y軸的柱面只含x、z而缺y的方程G(x,z)=0表示母線平行于y軸的e.母線平行于z軸的柱面只含x、y而缺z的方程F(x,y)=0(4)二次曲面c.單葉雙曲面以曲線C為準(zhǔn)線、母線平行于z軸(即垂直于xOy面)的柱面稱為曲線C關(guān)于xOy面的投1.設(shè)u=a-b+2c,v=-a+3b-c.,因此四邊形ABCD是平行四邊形.3.把△ABC的BC邊五等分，設(shè)分點(diǎn)依次為再把各分點(diǎn)與點(diǎn)A連接.試以表示向量一和所以4.已知兩點(diǎn)M?(0,1,2)和M?(1,-1,0).試用坐標(biāo)表示式表示向量一E=及5.求平行于向量a=(6,7,-6)的單位向量.6.在空間直角坐標(biāo)系中，指出下列各點(diǎn)在哪個(gè)卦限?7.在坐標(biāo)面上和在坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)各有什么特征?指出下列各點(diǎn)的位置解：在坐標(biāo)面上的點(diǎn)的坐標(biāo)，其特征是表示坐標(biāo)的三個(gè)有序數(shù)中至少有一個(gè)為零.比如坐標(biāo)為在坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)，其特征是表示坐標(biāo)的三個(gè)有序數(shù)中至少有兩個(gè)為零，比如x軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)為1,y軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)為,z軸上點(diǎn)的坐標(biāo)為8.求點(diǎn)(a,b,c)關(guān)于(1)各坐標(biāo)面；(2)各坐標(biāo)軸；(3)坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo).-c),關(guān)于z軸的對(duì)稱點(diǎn)是(-a,—b,c).(3)點(diǎn)(a,b,c)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是(-a,-b,-c).9.自點(diǎn)三分別作各坐標(biāo)面和各坐標(biāo)軸的垂線，寫出各垂足的坐標(biāo).坐標(biāo)為；P?D為點(diǎn)Po關(guān)于xOy面的垂線，垂足D坐標(biāo)為(xo,yo,0);P?E為點(diǎn)Po關(guān)于yOz面的垂線，垂足E坐標(biāo)為為點(diǎn)看關(guān)于x軸的垂線，垂足A的坐標(biāo)為(xo,0,0);底為點(diǎn)P?關(guān)于y軸的垂線，解：如圖8-2-4所示，過且平行于z軸的直線1上的點(diǎn)的坐標(biāo)，其特點(diǎn)是，它們的橫坐12.求點(diǎn)M(4,-3,5)到各坐標(biāo)軸的距離.13.在yOz面上，求與三點(diǎn)A(3,1,2),B(4,-2,-2)和C(0,5,1)等距離的解：所求點(diǎn)在yOz面上，不妨設(shè)為P(0,y,z),點(diǎn)P與三點(diǎn)A,B,C等距離，知由一知即解上述方程組，得y=1,z=-2.故所求點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1,-2).形.15.設(shè)已知兩點(diǎn)和,計(jì)算向量一的模、方向余(3)由~故向量垂直于x軸和y軸，即與z軸18.一向量的終點(diǎn)在點(diǎn)B(2,-1,7),它在x軸、y軸和z軸上的投影依次為4,-4和故x=-2,y=3,z=0,因此A點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,3,0).a在x軸上的投影為13,在y軸上的分向量為7j.習(xí)題8-2數(shù)量積向量積混合積解：已知,故垂直的單位向量.由知4.設(shè)質(zhì)量為100kg的物體從點(diǎn)M1(3,1,8)沿直線移動(dòng)到點(diǎn)M?(1,4,2),計(jì)算重力所作的功(坐標(biāo)系長度單位為m,重力方向?yàn)閦軸負(fù)方向).W=F·M?M?=(0,0,-980)·(-2,35.在杠桿上支點(diǎn)O的一側(cè)與點(diǎn)O的距離為F的點(diǎn)「處，有一與F成角的力「作用著；在O的另一側(cè)與點(diǎn)O的距離為「的點(diǎn)F處，有一與=成角「的力「作用著(圖8-2-6).問1,三符合怎樣的條件才能使杠桿保持平衡?解：如圖8-2-6所示，已知有固定轉(zhuǎn)軸的物體的平衡條件是力矩的代數(shù)和為零，又由對(duì)力矩即 7.設(shè),問與有怎樣的關(guān)系，能使得==與z軸垂直?λa+μb=A(3,5,-2)+μ(2,1,4)=(3λ+2μ,即故l,因此當(dāng)時(shí)能使==.與z軸垂直.即可.由9.已知向量和,計(jì)算：故而由行列式的性質(zhì)知故12.試用向量證明不等式其中為任意實(shí)數(shù).并指出等號(hào)成立的條件.證：設(shè)向量從而當(dāng)與成比例，即時(shí)，上述等式成立.習(xí)題8-3平面及其方程解：所求平面與已知平面-平行.因此所求平面的法向量可取為T,設(shè)所求平面為2.求過點(diǎn)且與連接坐標(biāo)原點(diǎn)及點(diǎn)一的線段一垂直的平面方程.解：.所求平面與垂直，可取,設(shè)所求平面方程為將點(diǎn)1代入上式，得D=-121.故所求平面方程為解：由,得,即為所求平面方程.4.指出下列各平面的特殊位置，并畫出各平面：(7)6x+5y-z=0.解：(1)～(7)的平面分別如圖8-2-8(a)~(g)所示.(2)3y-1=0表示過點(diǎn)且與y軸垂直的平面.(3)2x-3y-6=0表示與z軸平行的平面.(4)=表示過z軸的平面.(5)y+z=1表示平行于x軸的平面.(6)x-2z=0表示過y軸的平面.5.求平面2x-2y+z+5=0與各坐標(biāo)面的夾角的余弦.6.一平面過點(diǎn)(1,0,-1)且平行于向量a=(2,1,1)和b=(1,-1,0),試求這7.求三平面的交點(diǎn).解得，x=1,y=-1,z=3.故所求交點(diǎn)為(1,-1,3).(1)平行于xOz面且經(jīng)過點(diǎn)(2,-5,3);(2)通過z軸和點(diǎn)(-3,1,-2);(3)平行于x軸且經(jīng)過兩點(diǎn)(4,0,-2)和(5,1,7).解：(1)所求平面平行于xOz面，故設(shè)所求平面方程為By+D=0.將點(diǎn)(2,-5,3)代入，得-5B+D=0,即D=5B.因此，所求平面方程為By+5B=0,即y+5=0.(2)所求平面過z軸，故設(shè)所求平面方程為Ax+By=0.將點(diǎn)(-3,1,-2)代入，得(3)所求平面平行于x軸，故設(shè)所求平面方程為By+Cz+D=0.將點(diǎn)(4,0,-2)及(5,1,7)分別代入方程得-2C+D=0及B+7C+D=0.解得即9.求點(diǎn)(1,2,1)到平面x+2y+2z-10=0的距離.習(xí)題8-4空間直線及其方程1.求過點(diǎn)(4,-1,3)且平行于直線的直線方程.解：所求直線與已知直線平行，故所求直線的方向向量,直線方程即為2.求過兩點(diǎn)的直線方程.解：取所求直線的方向向量因此所求直線方程為3.用對(duì)稱式方程及參數(shù)方程表示直線解：根據(jù)題意可知已知直線的方向向量取x=0,代入直線方程得這樣就得到直線經(jīng)過的一點(diǎn)參數(shù)方程為因此直線的對(duì)稱式方程為4.求過點(diǎn)(2,0,-3)且與直線垂直的平面方程.5.求直線與直線的夾角的余弦因此，兩直線的夾角的余弦6.證明直線由——知兩直線互相平行.7.求過點(diǎn)(0,2,4)且與兩平面x+2z=1和y-3z=2平行的直線方程.8.求過點(diǎn)(3,1,-2)且通過直線的平面方程.將點(diǎn)(3,1,-2)代入上式得因此所求平面方程為即解：已知直線的方向向量解：已知直線的方向向量,平面的法向量n=(1,-1,-1).設(shè)直線與平面的夾角為φ,則9.求直線與平面一的夾角.即φ=0.知φ=0,將直線上的點(diǎn)A(2,-2,3)代入平面方程，方程成立，即點(diǎn)A在平面上.故直線在平面上.11.求過點(diǎn)(1,2,1)而與兩直線取則過點(diǎn)(1,2,1),以n為法向量的平面方程為即12.求點(diǎn)(-1,2,0)在平面x+2y-z+1=0上的投影.(-1,2,0)與平面x+2y-z+1=0垂直的直線為在直線上取點(diǎn)(1,-2,0),這樣，直線的方程可表示成參數(shù)方程形式14.設(shè)M?是直線L外一點(diǎn)，M是直線L上任意一點(diǎn)，且直線的方向向量為s,試證：點(diǎn)到直線L的距離證：如圖829所示，點(diǎn)-E到直線L的距離為d.由向量積的幾何意義知示以-莊，s為鄰邊的平行四邊形的面積.而表示以一為邊長的該平行四邊形的高，即為點(diǎn)Mo到直線L的距離.于是圖8-2-9解：作過已知直線的平面束，在該平面束中找出與已知平面垂直的平面，該平面與已知平面的交線即為所求.代入平面束方程，得因此所求投影直線的方程為16.畫出下列各平面所圍成的立體的圖形：解(1)如圖8-2-10(a)所示；(2)如圖8-2-10(b)所示.習(xí)題8-5曲面及其方程1.一球面過原點(diǎn)及A(4,0,0),B(1,3,0)和C(0,0,-4)三點(diǎn)，求球面的方程及球心的坐標(biāo)和半徑.解：設(shè)所求球面的方程為聯(lián)立式(8-2-3)(8-2-4)得a=2,聯(lián)立(8-2-3)(8-2-6)得c=-2,將a=2代入(8-2-4)(8-2-5)并聯(lián)立得b=1,故R=3.因此所求球面方程為其中球心坐標(biāo)為(2,1,-2),半徑為3.2.建立以點(diǎn)(1,3,-2)為球心，且通過坐標(biāo)原點(diǎn)的球面方程.解：設(shè)以點(diǎn)(1,3,-2)為球心，R為半徑的球面方程為所以此方程表示以(1,-2,-1)為球心，以F為半徑的球面.4.求與坐標(biāo)原點(diǎn)O及點(diǎn)(2,3,4)的距離之比為1:2的點(diǎn)的全體所組成的曲面的方程，解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y,z),根據(jù)題意有它表示以為球心，以為半徑的球面.即即即即解：(1)如圖8-2-11(a)所示；(2)如圖8-2-11(b)所示；(3)如圖8-2-11(c)所示；(4)如圖8-2-11(d)所示；(5)如圖8-2-11(e)所示.9.指出下列方程在平面解析幾何中和在空間解析幾何中分別表示什么圖形：(3)一面平行的平面.(2)y=x+1在平面解析幾何中表示斜率為1,y軸截距也為1的一條直線，在空間解析幾何中表示平行于z軸的平面.(3)在平面解析幾何中表示圓心在原點(diǎn)，半徑為2的圓，在空間解析幾何中表示母線平行于z軸，準(zhǔn)線為的圓柱面.或表示xOz面上雙曲線=繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而生成的旋轉(zhuǎn)曲面.解：(1)如圖8-2-12(a)所示；12.畫出下列各曲面所圍立體的圖形：(1)(在第一卦限內(nèi));-(在第一卦限內(nèi)).解：(1)如圖8-2-13所示；(2)如圖8-2-14所示.解：(1)如圖8-2-15(a)所示；(2)如圖8-2-15(b)所示；(3)如圖8-2-15(c)所示.線.4.求球面與平面x+z=1的交線在xOy面上的投影的方程.即影的方程.由由得故該螺旋線在yOz面上的投影曲線的直角坐標(biāo)方程7.求上半球與圓柱體的公共部分在xOy面和xOz面上的投影.解：如圖8-2-16所示.所求立體在xOy面上的投影即為,而由所圍成的區(qū)域.8.求旋轉(zhuǎn)拋物面一在三坐標(biāo)面上的投影.如圖8-2-17所示.聯(lián)立得一口.故旋轉(zhuǎn)拋物區(qū)域.同理，聯(lián)立得一.故旋轉(zhuǎn)拋物面在xOz面上的投影為由及z=4所圍成的區(qū)域.總習(xí)題八 (2)設(shè)數(shù)不全為0,使,則a,b,c三個(gè)向量是【答案】共面查看答案【答案】3查看答案【解析】,故□從而λ=3.【答案】36查看答案(1)設(shè)直線L的方程為,則L的參數(shù)方程為();(2)下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的是().3.在y軸上求與點(diǎn)A(1,-3,7)和點(diǎn)B(5,7,-5)等距離的點(diǎn).得y=2.故所求點(diǎn)為M(0,2,0).4.已知△ABC的頂點(diǎn)為A(3,2,-1),B(5,-4,7)C所引中線的長度.解：設(shè)AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為(xo,yo,zo),由從而頂點(diǎn)C所引中線的長度5.設(shè)△ABC的三邊三邊中點(diǎn)依次為D,E,F,試用向量證：如圖8-2-18所示，證：如圖8-2-18所示，D,E,F分別為BC,CA,AB的中點(diǎn)，因此故6.試用向量證明三角形兩邊中點(diǎn)的連線平行于第三邊，且其長度等于第三邊長度的一半.知即三角形兩邊中點(diǎn)的連線平行于第三邊，且長度等于第三邊長度的一半.經(jīng)整理得z=1.8.設(shè),求向量a+b與a-b的夾角.故9.設(shè),求由 兩式相減得即,代入式(8-2-7)得從而從而所以10.設(shè)最小?并求出此最小值.令得z=-4.達(dá)到最小值.面積.和和12.設(shè)13.設(shè),證明三向量a,b,c知一,故三個(gè)向量a,b,c共面.即14.已知?jiǎng)狱c(diǎn)M(x,y,z)到xOy平面的距離與點(diǎn)M到點(diǎn)(1,-1,2)的距離相等，求點(diǎn)M的軌跡的方程.15.指出下列旋轉(zhuǎn)曲面的一條母線和旋轉(zhuǎn)軸：解(1)母線為旋轉(zhuǎn)軸為z軸.(2)母線為,旋轉(zhuǎn)軸為y軸.(3)母線為,旋轉(zhuǎn)軸為z軸.(4)母線,旋轉(zhuǎn)軸為x軸.解：設(shè)所求平面方程為平面過點(diǎn)A(3,0,0),B(0,0,1),故a=3,c=1.這樣平面方程為即故所求平面為17.設(shè)一平面垂直于平面z=0,并通過從點(diǎn)(1,-1,1)到直線的垂線，求此平面的方程.聯(lián)立,得垂足所求平面垂直于平面z=0,設(shè)平面方程為平面過點(diǎn)(1,-1,1)及垂足由此解得B=2D,A=D.因此所求平面方程為,即18.求過點(diǎn)(-1,0,4),且平行于平面“,又與直線相交的直線的方程.解：設(shè)所求直線方程為解：設(shè)所求直線方程為相交，故有即所求直線平行于平面…又所求直線與直線聯(lián)立式(8-2-9)(8-2-10)式可得19.已知點(diǎn)A(1,0,0)及點(diǎn)B(0,2,1),試在z軸上求一點(diǎn)C,使△ABC的面積最解：所求點(diǎn)位于z軸，設(shè)其坐標(biāo)為C(0,0,z),由向量的幾何意義知而故設(shè),則由一得.因20.求曲線在三個(gè)坐標(biāo)面上的投影曲線的方程.程.方程.21.求錐面與柱面|==所圍立體在三個(gè)坐標(biāo)面上的投影.(如圖8-2-20所示).而該立體在zOx面上的投影為(如圖8-2-20所平面z=0平面z=0及及旋轉(zhuǎn)拋物面(1)拋物柱面2y2=x,及x+y=1;及x+y=1;(2)拋物柱面(3)圓錐面平面z=0平面z=0及x=1.(4)旋轉(zhuǎn)拋物面解：(1)如圖8-2-21(a)所示；(4)如圖8-2-21(d)所示.點(diǎn)(2,1,0)到平面3x+4y+5z=0的距離d=.[數(shù)一2006研]【答案】巨查看答案第九章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用9.1復(fù)習(xí)筆記一、基本概念1.平面點(diǎn)集(1)定義坐標(biāo)平面上具有某種性質(zhì)P的點(diǎn)的集合，稱為平面點(diǎn)集，記作E={(x,y)|(x,y)具有(2)分類①開集如果點(diǎn)集E的點(diǎn)都是E的內(nèi)點(diǎn)，則稱E為開集.②閉集如果點(diǎn)集E的邊界屬于E,則稱E為閉集.③連通集如果點(diǎn)集E內(nèi)任何兩點(diǎn)，都可用折線聯(lián)結(jié)起來，且該折線上的點(diǎn)都屬于E,則稱E為連通集.④區(qū)域(開區(qū)域)連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域.⑤閉區(qū)域開區(qū)域連同它的邊界一起所構(gòu)成的點(diǎn)集稱為閉區(qū)域.⑥有界集對(duì)于平面點(diǎn)集E,如果存在某一正數(shù)r,使得=中0是坐標(biāo)原點(diǎn)，則稱E為有界集.⑦無界集如果一個(gè)集合不是有界集，就稱這個(gè)集合為無界集.設(shè)Po(xo,yo)是xOy平面上的一個(gè)點(diǎn)，δ是某一正數(shù).與點(diǎn)Po(xo,yo)距離小于δ的點(diǎn)P(x,y)的全體，稱為點(diǎn)Po的δ鄰域，記作U(Po,δ),即3.點(diǎn)和點(diǎn)集間的關(guān)系(1)內(nèi)點(diǎn)如果存在點(diǎn)P的某個(gè)鄰域U(P),使得U(P)E,則稱P為E的內(nèi)點(diǎn).(2)外點(diǎn)如果存在點(diǎn)P的某個(gè)鄰域U(P),使得U(P)NE=,則稱P為E的外點(diǎn).(3)邊界點(diǎn)如果點(diǎn)P的任一鄰域內(nèi)既含有屬于E的點(diǎn)，又含有不屬于E的點(diǎn)，則稱P為E的邊界點(diǎn).(4)聚點(diǎn)如果對(duì)任意給定的δ>0,點(diǎn)P的去心鄰域=總有E中的點(diǎn)，則稱P是E的聚點(diǎn).4.多元函數(shù)(1)多元函數(shù)的定義設(shè)D是R"的一個(gè)非空子集，稱映射f:D→R為定義在D上的n元函數(shù)，記作或(2)多元函數(shù)的極限設(shè)二元函數(shù)f(P)=f(x,y)的定義域?yàn)镈,Po(xo,yo)設(shè)函數(shù)f(x,y)的定義域?yàn)镈,Po(xo,yo)是D的聚點(diǎn).如果函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)Po(xo,yo)不連續(xù)，則稱Po(xo,yo)為函數(shù)f(x,y)的間斷點(diǎn).,使得b.介值定理c.一致連續(xù)性定理1.偏導(dǎo)數(shù)的定義設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(xo,yo)的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)y固定在yo而x在xo處有增存在，則稱此極限為函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(xo,yo)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)，記作函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(xo,yo)處對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)定義為2.偏導(dǎo)函數(shù)如果函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)(x,y)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)都存在，則該偏導(dǎo)數(shù)是x,同理，函數(shù)z=f(x,y)對(duì)自變量y的偏導(dǎo)函數(shù)，記作3.高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù)內(nèi)f(x,y),fy(x,y)都是x,y的函數(shù).如果這兩個(gè)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)也存在，則稱它們是函數(shù)z=f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù).按照對(duì)變量求導(dǎo)次序的不同有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)其中第二、三兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)稱為混合偏導(dǎo)數(shù).同樣可得三階、四階……以及n階偏導(dǎo)數(shù).二階4.定理如果函數(shù)u=φ(x,y)在點(diǎn)(x,y)具有對(duì)x及對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)v=ψ( 設(shè)數(shù)集同，則稱映射為一元向量值函數(shù)，通常記為==1,其中數(shù)(1)若空間曲線T的參數(shù)方程為(2)若空間曲線T的方程為(3)若空間曲線T的方程為3.曲面的切平面與法線(1)隱式形式的曲面方程F(x,y,z)=0(2)曲面方程z=f(x,y)已知M(xo,yo,zo)是曲面上一點(diǎn)，(3)方向余弦1.方向?qū)?shù)2.梯度(1)當(dāng)θ=0,即方向e?與梯度=相同時(shí)，函數(shù)f(x,y)增加最快.函(2)當(dāng)θ=π,即方向e與梯度向相反時(shí)，函數(shù)f(x,y)減少最快，函(3)當(dāng)一E,即方向e?與梯度的方向正交時(shí)，函數(shù)的變化率(1)必要條件(2)充分條件 在二處是否取得極值的條件如下：3.條件極值由該方程組解出x、y及λ,可得點(diǎn)(x,y)就是函數(shù)f(x,y)在附加條件其中其中表示2.推論若函數(shù)f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)fx(x,y),fy(x,y)在某一區(qū)域內(nèi)都恒等于零，則函數(shù)f(x,y)在該區(qū)域內(nèi)為一常數(shù).要確保選取a、b,使得f(t)=at+b在to,tiy?,….,yn相差很小，就是要使偏差都很小.由于任何實(shí)數(shù)的平方都是正數(shù)或零，考慮選取常數(shù)a與b,使最小來保證每個(gè)偏差的絕對(duì)值都很小.這種根據(jù)偏差的平方和為最小的條件來選擇常數(shù)a與b的方法稱為最小二乘法.這種確定常數(shù)a與b的方法是通常所采用的.通過建立方程組來求解該問題.習(xí)題9-1多元函數(shù)的基本概念1.判定下列平面點(diǎn)集中哪些是開集、閉集、區(qū)域、有界集、無界集?并分別指出它們的聚點(diǎn)所成的點(diǎn)集(稱為導(dǎo)集)和邊界.解：(1)集合是開集，無界集；導(dǎo)集為R2,邊界為{(x,y)|x=0或y=0}.2.已知函數(shù),試求f(tx,ty).3.試證函數(shù)F(x,y)=lnx.Iny滿足關(guān)系式4.已知函數(shù)證：(1)當(dāng)(x,y)沿直線y=kx趨于(0,0)時(shí)，計(jì)算極限，得(2)依次取(x,y)→(0,0)8.函數(shù)在何處是間斷的?解：由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?曲線y2-2x=0上各點(diǎn)均為D的聚點(diǎn)，因?yàn)楹瘮?shù)在這些點(diǎn)處沒有定義，所以曲線y2-2x=0上各點(diǎn)均為函數(shù)的間斷點(diǎn).證：因?yàn)橐?只要,所以,取δ=2ε,則當(dāng)時(shí)，就有成立，所以10.設(shè)F(x,y)=f(x),f(x)在xo處連續(xù)，證明：對(duì)任意yo∈R,F(x,y)在處連續(xù).時(shí)，有一所以，當(dāng)P(x,y)∈U習(xí)題9-2偏導(dǎo)數(shù)1.求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)：3.設(shè),求證5.曲線在點(diǎn)(2,4,5)處的切線對(duì)于x軸的傾角是多少?解：設(shè)z=f(x,y).按偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義，fx(2,4)就是曲線在點(diǎn)(2,4,5)處的切及所以9.驗(yàn)證：所以(2)因?yàn)榧戳?xí)題9-3全微分1.求下列函數(shù)的全微分：所以(2)因?yàn)樗?3)因?yàn)樗?4)因?yàn)樗?.求函數(shù)z=ln(1+x2+y2)當(dāng)x=1,y=2時(shí)的全微分.3.求函數(shù)當(dāng)x=2,y=1,△x=0.1,△y=-0.2時(shí)的全增量和全微分.4.求函數(shù)一E=當(dāng)x=1,y=1,Ax=0.15,△y=0.1時(shí)的全微分.(1)f(x,y)在點(diǎn)一連續(xù)；,則下列四個(gè)選項(xiàng)中正確的是().計(jì)算計(jì)算,取x=1,y=2,△x=0.02,△y=-0.03,可得計(jì)算一=的近似值(取x=2,y=1,△x=-0.03,△y=0.05,可得8.已知邊長為x=6m與y=8m的矩形，如果x邊增加5cm而y邊減少10cm,問這個(gè)矩形則當(dāng)x=6,y=8,△x=0.05,△y=-0.1所以這個(gè)矩形的對(duì)角線的長減少大約5cm.9.設(shè)有一無蓋圓柱形容器，容器的壁與底的厚度均為0.1cm,內(nèi)高為20cm,內(nèi)半容器外殼體積的近似值.解：圓柱體的體積公式為V=πR2H,由題意，圓柱形容器的外殼體積就是圓柱體體積V的當(dāng)R=4,H=20,△R=△H=0.1時(shí)10.設(shè)有直角三角形，測得其兩直角邊的長分別為(7±0.1)cm和(24±0.1)cm.試求利用上述兩值來計(jì)算斜邊長度時(shí)的絕對(duì)誤差.解：設(shè)兩直角邊長度分別為x和y,利用勾股定理，得斜邊長度為11.測得一塊三角形土地的兩邊邊長分別為(63±0.1)m和(78±0.1)m,這兩邊的夾角為12.利用全微分證明：兩數(shù)之和的絕對(duì)誤差等于它們各自的絕對(duì)誤差之和.數(shù)及除數(shù)的相對(duì)誤差之和.則之和.習(xí)題9-4多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則8.求下列函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)(其中f具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)):(3)u=f(x,xy,xyz).解：(1)將中間變量依次編為1,2號(hào)，則(2)令,則u=f(s,t),則(3)將中間變量x,xy,xyz依次編為1,2,3號(hào)，則9.9.設(shè)z=xy+xF(u),而為可導(dǎo)函數(shù)，證明：故等式成立.10.設(shè),其中f(u)為可導(dǎo)函數(shù)，驗(yàn)證故解：(1)令s=xy,t=y,則z=f(s,t),s和t是中間變量.將s,t依次編為1,2號(hào)，則間變量的x和y的函數(shù).故(2)令s=x,并將s,t依次編為1,2號(hào)，則間變量的x和y的函數(shù).故(3)令s=xy2,t=x2y,并將s,(4)令u=sinx,v=cosy,,并將u,v,w依次編為1,2,3號(hào)，則13.設(shè)u=f(x,y)的所有二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，而證明所以所以習(xí)題9-5隱函數(shù)的求導(dǎo)公式當(dāng)當(dāng)Fy≠0時(shí)，有當(dāng)Fy≠0時(shí)，有3.設(shè)解法一：設(shè)則于是當(dāng)Fz≠0時(shí)，有解法二：在所給方程兩端分別對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)，并注意z=z(x,y),得同理，方程兩端分別對(duì)y求偏導(dǎo)數(shù)，得時(shí)，解得4.設(shè),求三及二.6.設(shè)x=x(y,z),y=y(x,z),有求9.設(shè)一求于是當(dāng)F?≠0時(shí)，有10.求由下列方程組所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)：(2)設(shè)求(4)設(shè)解：(1)分別在兩個(gè)方程兩端對(duì)x求導(dǎo)，得(2)所給方程組確定兩個(gè)一元隱函數(shù)：x=x(z)和y=y(z),將所給方程的兩端分別對(duì)z求導(dǎo)并移項(xiàng)，得(3)此方程組可以確定兩個(gè)二元隱函數(shù)：u=u(x,y),v=v(x,y分別在方程兩端對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)，得當(dāng)(4)此方程組確定的兩個(gè)二元隱函數(shù)u=u(x,y),v=v(x,y)是已知函數(shù)的反函數(shù)，11.設(shè)y=f(x,t),而t=t(x,y)是由方程F(x,y,t)=0所確定的函數(shù)，其中f,F都具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).試證明當(dāng)解法二：分別在y=f(x,t)由式(9-2-2),得將F?乘式(9-2-1)兩端，并以式(9-2-3)代入，得即故當(dāng)三=時(shí)，有習(xí)題9-6多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用,證明：2.下列各題中，r=f(t)是空間中的質(zhì)點(diǎn)M在時(shí)刻t的位置，求質(zhì)點(diǎn)M在時(shí)刻to的速度向量和加速度向量，以及在任意時(shí)刻t的速率.解：(1)速度向量(2)速度向量速率(3)速度向量相應(yīng)的點(diǎn)處的切線及法平面方程.,于是所求切線方程為即即即5.求曲線y2=2mx,z2=m-x在點(diǎn)三=處的切線及法平面方程.即6.求曲線在點(diǎn)(1,1,1)處的切線及法平面方程.解：解法一：為了求在所給方程兩端分別對(duì)x求導(dǎo)，得即于是在點(diǎn)(1,1,1)處的切線方程為即法平面方程為即解法二：所求曲線的切線，也就是曲面x2+y2+z2-3x=0在點(diǎn)(1,1,1)處的切平面與平面2x-3y+5z=4的交線，利用曲面的切平面方程得所求切線為即這切線的方向向量為(16,9,-1),于是所求法平面方程為即7.求出曲線x=t,y=t2,z=t3上的點(diǎn)，使在該點(diǎn)的切線平行于平面x+2y+z=4.解：因?yàn)?設(shè)所求點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為to,于是曲線在該點(diǎn)處的切向量可取為.已知平面的法向量為n=(1,2,1),由切線與平面平行，得T·n=0,即一,解得to=-1和于是所求點(diǎn)為(-1,8.求曲面e2-z+xy=3在點(diǎn)(2,1,0)處的切平面及法線方程.曲面在點(diǎn)(2,1,0)處的切平面方程為即曲面在點(diǎn)(2,1,0)處的法線方程為9.求曲面在點(diǎn)==處的切平面及法線方程.解：令,則曲面在點(diǎn)(x,y,z)處的一個(gè)法向量在點(diǎn)—=處的一個(gè)法向量為,故曲面在該點(diǎn)處的切平面方程為即法線方程為10.求橢球面的切平面方程.10.求橢球面的切平面方程.解：設(shè)則曲面在點(diǎn)(x,y,z)處的一個(gè)法向量上平行于平面x-y+2z=0已知平面的法向量為(1,-1,2),由已知平面與所求切平面平行，得代入橢球面方程得解得則所以切點(diǎn)為即11.求旋轉(zhuǎn)橢球面上點(diǎn)(-1,-2,3)處的切平面與xOy面的夾角的余弦.曲面在點(diǎn)(-1,-2,3)處的法向量為記n?與n?的夾角為γ,則所求的余弦值為12.試證曲面截距之和等于a.證：設(shè),則曲面在點(diǎn)(x,y,z)處的一個(gè)法即證：(1)其中用到了向量值函數(shù)的極限的四則運(yùn)算法則.其中用到了向量值函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則以及數(shù)量積與極限運(yùn)算次序的交換.其中用到了向量值函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則以及向量積與極限運(yùn)算次序的交換.習(xí)題9-7方向?qū)?shù)與梯度1.求函數(shù)一在點(diǎn)(1,2)處沿從點(diǎn)(1,2)到點(diǎn)的方向的方向?qū)?shù).又故2.求函數(shù)z=In(x+y)在拋物線y2=4x上點(diǎn)(1,2)處，沿著這拋物線在該點(diǎn)處偏向x方向?qū)?shù).故4.求函數(shù)方向的方向?qū)?shù).5.求函數(shù)u=xyz在點(diǎn)(5,1,2)處沿從點(diǎn)(5,1,2)到點(diǎn)(9,4,14)的方向的方向?qū)в止使?.求函數(shù)上點(diǎn)(1,1,1)處，沿曲線在該點(diǎn)的切線正方向(對(duì)應(yīng)于t增大的方向)的方向?qū)?shù).因?yàn)?所以曲線在點(diǎn)(1,1,1)處的切線的方向向量可取為故法線方向的方向?qū)?shù).處的外法線方向向量可取為1的方向余弦為gradf(1,1,1).9.設(shè)函數(shù)u(x,y,z),v(x,y,z)(其中c為常數(shù));10.求函數(shù)u=xy2z在點(diǎn)Po(1,-1,2)處變化最快的方向，并求沿這個(gè)方向的方向?qū)?shù).的方向增沿1.已知函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(0,0)的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)，且D.根據(jù)所給條件無法判斷(0,0)是否為f(x,y)的極值點(diǎn)由于f(x,y)在(0,0)附近的值主要由xy決定，而xy在(0,0)附近符號(hào)不定，故點(diǎn)(0,0)不是f(x,y)的極值點(diǎn).故點(diǎn)(0,0)不是f(x,y)的極值點(diǎn).2.求函數(shù)的極值.求得駐點(diǎn)(2,-2).又由判定極值的充分條件知：在點(diǎn)(2,-2)處，函數(shù)取得極大值f(2,-2)=8.3.求函數(shù)的極值.又在點(diǎn)(0,0)處，,故在點(diǎn)(0,4)處，在點(diǎn)(3,2)處，故函數(shù)在點(diǎn)(3,2)處取得極大值，極大值為f(3,2)=36;在點(diǎn)(6,0)處，在點(diǎn)(6,4)處，故f(6,4)不是極值.4.求函數(shù)的極值.又令7.要造一個(gè)容積等于定數(shù)k的長方體無蓋水池，應(yīng)如何選擇水池的尺寸，方可使它的表面A=ab+2ac+2bc(a>0,b>作拉格朗日函數(shù)L(a,b,c)=ab+2ac+2bc+λ(abc-k).由8.在平面xOy上求一點(diǎn)，使它到x=0,y=0及x+2y-16=0三直線的距離平方之和為最解：設(shè)所求點(diǎn)為(x,y),由9.將周長為2p的矩形繞它的一邊旋轉(zhuǎn)而構(gòu)成一個(gè)圓柱體.問矩形的邊長各為多少時(shí)，才可解：設(shè)矩形的一邊長為x,則另一邊長為p-x,假設(shè)矩形繞長為p-x的一邊旋轉(zhuǎn)，則旋轉(zhuǎn)所成圓柱體的體積為令由故解得,代入,得故為時(shí)，其體積最大.令式(9-2-4)-(9-2-5),得故有λ=1或x=y.將x=y代入和x+y+z=1,得處取得.而,求該圓板的最熱點(diǎn)和最冷點(diǎn).在點(diǎn)(x,y)的溫度是,求該圓板的最熱點(diǎn)和最冷點(diǎn).最熱的點(diǎn).令由式9-2-7得x=0或λ=-2.若λ=-2,代入式(9-2-8)(9-2-9),得代入約束條件若x=0,由式(9-2-8)(9-2-9)(9-2-10)解得λ=0,y=4,z=0;習(xí)題9-9二元函數(shù)的泰勒公式1.求函數(shù)在點(diǎn)(1,-2)的泰勒公式.函數(shù)為2次多項(xiàng)式，三階及三階以上的各偏導(dǎo)數(shù)均為零.又2.求函數(shù) 在點(diǎn)(0,0)的三階泰勒公式.又其中3.求函數(shù)f(x,y)=sinxsiny在點(diǎn)的二階泰勒公式.又其中解：先求函數(shù)在點(diǎn)(1,1)的三階泰勒公式.又又將以上各項(xiàng)代入三階泰勒公式.便得又將以上各項(xiàng)代入n階泰勒公式，便得其中習(xí)題9-10最小二乘法1.某種合金的含鉛量百分比(%)為p,其熔解溫度(℃)為θ,由實(shí)驗(yàn)測得p與θ的數(shù)據(jù)如下表：試用最小二乘法建立θ與p之間的經(jīng)驗(yàn)公式θ=ap+b.令試按最小二乘法建立a,b,c應(yīng)滿足的三元一次方程組.整理，得a,b,c應(yīng)滿足的三元一次方程組如下(1)f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微分是f(x,y)在該點(diǎn)連續(xù)的條廣(2)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)二和二存在是f(x,y)在該點(diǎn) 則有().B.曲面z=f(x,y)在點(diǎn)(0,0,f(0,0))的一個(gè)法向量為(3,-1,1)在點(diǎn)(0,0,f(0,0))在點(diǎn)(0,0,f(0,0))的一個(gè)切向量為(1,0,3)的一個(gè)切向量為(3,0,1)D.曲線的一個(gè)切向量為(3,0,1)在點(diǎn)(0,0)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在，不一定可微分，故A不對(duì).在點(diǎn)(0,0)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在，不一定可微分，故A不對(duì).導(dǎo)數(shù)，曲面在該點(diǎn)處有切平面，其法向量是(3,-1,-1),而不是(3,-1,1),故B也不對(duì).3.求函數(shù)4.證明極限證：取兩條趨于(0,0)的路徑由于(x,y)分別沿ci,c?趨于(0,0)時(shí)f(x,y)的極限不相等，故不存在.當(dāng)<時(shí)，則故6.求下列函數(shù)的一階和二階偏導(dǎo)數(shù)：又故8.設(shè)證明：f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在，但不可微分.故,即f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處故,即f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處9.設(shè)而x=φ(t),y=ψ(t)9.設(shè)而x=φ(t),y=ψ(t)11.設(shè),其中f具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，求12.設(shè)分別在的兩端對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)，得分別在的兩端對(duì)y求偏導(dǎo)數(shù)，得從而13.求螺旋線x=acosθ,y=asinθ,z=b0在點(diǎn)(a,0,0)處的切線及法平面方程.點(diǎn)(a,0,0)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)θ=0,故曲線在給定點(diǎn)的切向量T=(0,a,b)即法平面方程為a(y-0)+b(z-0)=0即14.在曲面z=xy上求一點(diǎn)，使這點(diǎn)處的法線垂直于平面x+3y+z+9=0,并寫出這法線的方程.解：設(shè)所求點(diǎn)為,曲面在該點(diǎn)處的一個(gè)法向量為,平面的法向量為(1,3,1).求得于是所求點(diǎn)為M(-3,-1,3),法線方,求函數(shù)f(x,y)=x2-xy+y2在點(diǎn)(1,1)沿方向1的方向?qū)?shù)，并分別確定角θ,使這導(dǎo)數(shù)有(1)最大值；(2)最小值；(3)等于0.因?yàn)?所以：(1)當(dāng)時(shí)，方向?qū)?shù)最大，其最大值為=;(2)當(dāng)時(shí)，方向?qū)?shù)最小，其最小值為；(3)當(dāng)16.求函數(shù)16.求函數(shù)二在橢球面上點(diǎn)一17.求平面和柱面的交線上與xOy平面距離最短的點(diǎn).解：設(shè)交線上的點(diǎn)為M(x,y,z),它到xOy面上距離的平方為z2.問題就成為求函數(shù)z2下的最小值問題.作拉格朗日函數(shù)令問題本身可知，距離最短的點(diǎn)必定存在，因此Mo就是所求的點(diǎn).18.在第一卦限內(nèi)作橢球面的切平面，使該切平面與三坐標(biāo)面所圍成的四面體的體積最小.求這切平面的切點(diǎn)，并求此最小體積.曲面在點(diǎn)M處的切平面方程為即在的條件下，求V的最小值，即求分母xyz的最大值.作拉格朗令從而19.某廠家生產(chǎn)的一種產(chǎn)品同時(shí)在兩個(gè)市場銷售，售價(jià)分別為pi和p2,銷售量分別為qi和q2,需求函數(shù)分別為試問：廠家如何確定兩個(gè)市場的售價(jià)，能使其獲得的總利潤最大?最大總利潤為多少?解此方程組，得由問題的實(shí)際意義可知，廠家獲得總利潤最大的市場售價(jià)必定存在，時(shí)，廠家所獲得的總利潤最大，其最大總利潤為解此方程組得20.設(shè)有一小山，取它的底面所在的平面為xOy坐標(biāo)面，其底部所占的閉區(qū)域?yàn)榍f,小山的高度函數(shù)為(1)設(shè)l,問f(x,y)在該點(diǎn)沿平面上什么方向的方向?qū)?shù)最大?若記,試寫出一的表達(dá)式.(2)現(xiàn)欲利用此小山開展攀巖活動(dòng)，為此需要在山腳找一上山坡度最大的點(diǎn)作為攀巖的起點(diǎn)，也就是說，要在D的邊界線上找出(1)中的g(x,y)達(dá)到最大值的點(diǎn).試確定攀巖起點(diǎn)的位置.(2)欲在D的邊界上求g(x,y)達(dá)到最大值的點(diǎn)，只需求式(9-2-14)+(9-2-15),得(x+y)(2-λ)=0解得y=-x或λ=2.若λ=2,則由式(9-2-14)得y=x,再由式(9-2-16)得若y=-x,則由式(9-2-16)得二2015研] 【答案】D查看答案將上式代,可以得到關(guān)于u,v的表達(dá)式，即因?yàn)樗?.設(shè)一E=在平面有界閉區(qū)域D上連續(xù)，在D的內(nèi)部具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足A.的最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)必定都在區(qū)域D的邊界上B.一的最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)必定都在區(qū)域D的內(nèi)部C.二的最大值點(diǎn)在區(qū)域D的內(nèi)部，最小值點(diǎn)在區(qū)域D的邊界上D.二的最小值點(diǎn)在區(qū)域D的內(nèi)部，最大值點(diǎn)在區(qū)域D的邊界上【答案】A查看答案3.曲面x2+cos(xy)+yz+x=0在點(diǎn)(0.1,-1)處的切平面方程為().[數(shù)一2013B.x+y+z=0F?(x,y.z)=2x-ysin(xy)+1=F(0.F,(x,y,z)=-xsin(xv)+z=F,(0.1故該曲面在點(diǎn)(0,1,-1)處的切面方程為x-(y-1)+(z+1)=0,即x-y+z=).[數(shù)二2013研]【解析】5.如果函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處連續(xù)，則下列命題正確的是().[數(shù)一2012A.若極限存在，則f(x,y)在(0,0)處可微.B.若極限存在，則f(x,y)在(0,0)處可微.C.若f(x,y)在(0,0)處可微，則極限存在.D.若f(x,y)在(0,0)處可微，則極限存在.【解析】已知f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處連續(xù).即f(x,y)在(0,0)處可微.6.設(shè)函數(shù)可微，且對(duì)任意-都有則使得成立的一個(gè)充分條件是().[數(shù)二2012研]則_.[數(shù)一2014研]【答案】查看答案故切平面方程為4.設(shè)是由方程確定的函數(shù)，則三三2014研]【答案】查看答案【解析】設(shè),則【解析】由已知條件得，,所以計(jì)算得6.設(shè)函數(shù)一由方程一確定，則.[數(shù)三2013研]【答案】查看答案【解析】設(shè)一,則==.[數(shù)一2012研]【答案】{1,1,1}或i+j+k查看答案=二2012研]【答案】查看答案二滿足則三.[數(shù)三2012研]所以三在曲線C上的最大方向?qū)?shù).[數(shù)一2015研]梯度的模.一,一,一下的最大值，即為條件極值問題.下的最大值.令得到2.已知函數(shù)f(x,y)滿足求f(x,y)的極值.[數(shù)二2015研],從而令,計(jì)算得，駐點(diǎn)為—F=,則3.設(shè)函數(shù)：=具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則滿足解：設(shè)u=e*cosy,則z=f(u)=f(e*cosy),則,,4.求函數(shù).[數(shù)一2013研]計(jì)算得,且一E,故為極小值點(diǎn)，極小值為二2013研]解：設(shè)B=為曲線上一點(diǎn)，距離,構(gòu)造拉格朗日函數(shù)計(jì)算得時(shí)，由式(9-3-3)、(9-3-4)得它們到原點(diǎn)的距離都是1,故最小值為1,最大值為.求函數(shù)解：由題意知，得駐點(diǎn)(1,0)和(-1,0)