隨機(jī)抽樣講義-2025屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

知識(shí)回顧

一.隨機(jī)抽樣

(一)全面調(diào)查與抽樣調(diào)查

1、全面調(diào)查

(1)定義：對(duì)每一個(gè)調(diào)查對(duì)象都進(jìn)行調(diào)查的方法，成為全面調(diào)查，又稱(chēng)普查.在一個(gè)調(diào)查中，

我們把調(diào)查對(duì)象的全體稱(chēng)為成為總體，組成總體的每一個(gè)調(diào)查對(duì)象稱(chēng)為個(gè)體.

(2)優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)是所有資料較為全面可靠；缺點(diǎn)是調(diào)查花費(fèi)的人力、物力、財(cái)力較

多，且調(diào)查時(shí)間較長(zhǎng)，全面調(diào)查只在樣本少的情況下適合采用.

2、抽樣調(diào)查

(1)定義：根據(jù)一定目的，從總體中抽取一部分個(gè)體進(jìn)行調(diào)查，并以此為依據(jù)對(duì)總體的情

況作出估計(jì)和推斷的調(diào)查方法，稱(chēng)為抽樣調(diào)查.

(2)相關(guān)的概念：

①總體：所要考察對(duì)象的全體叫做總體

②樣本：從總體中抽取出的若干個(gè)個(gè)體組成的集合叫作總體的一個(gè)樣本

③個(gè)體：總體中的每一個(gè)考察對(duì)象叫作個(gè)體

④樣本容量：樣本中個(gè)體的數(shù)目叫作樣本容量

⑤樣本數(shù)據(jù)：調(diào)查樣本獲得的變量值稱(chēng)為樣本的觀測(cè)數(shù)據(jù)，簡(jiǎn)稱(chēng)樣本數(shù)據(jù).

(3)優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)是迅速及時(shí)；節(jié)約人力、物力和財(cái)力缺點(diǎn)是調(diào)查結(jié)果不如全面調(diào)查

全面、系統(tǒng).

(二)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

1、放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

一般地，設(shè)一個(gè)總體含有N(N為正整數(shù))個(gè)個(gè)體，從中逐個(gè)抽取〃(1V〃<N)個(gè)個(gè)體

作為樣本，如果抽取是放回的，且每次抽取時(shí)總體內(nèi)的各個(gè)個(gè)體被抽到的概率都相等，我們

把這樣的抽樣方法叫做放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.

2、不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

如果抽取是不放回的，且每次抽取時(shí)總體內(nèi)未進(jìn)入樣本的各個(gè)個(gè)體被抽到的概率都相等，我

們把這樣的抽樣方法叫做不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.

3、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣與簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本

放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣統(tǒng)稱(chēng)為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，通過(guò)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣獲得的樣

本成為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本.

4、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)：

(1)總體個(gè)數(shù)有限：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣要求被抽取樣本的總體個(gè)數(shù)有限，這樣便于通過(guò)樣本對(duì)

總體進(jìn)行分析；

(2)逐個(gè)抽?。汉?jiǎn)單隨機(jī)抽驗(yàn)是從總體中種逐個(gè)進(jìn)行抽取，這樣便于實(shí)際操作；

(3)不放回抽樣：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是一種不放回抽樣，這樣便于樣本的獲取和一些相關(guān)的計(jì)

算.

(4)等可能抽樣：不僅每次從總體中抽取一個(gè)個(gè)體時(shí)各個(gè)個(gè)體被抽到的可能性相等，而且

在整個(gè)抽樣過(guò)程中，各個(gè)個(gè)體被抽到的可能性也相等，從而保證了這種抽樣方法的公平性.

5、常用的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣有抽簽法和隨機(jī)數(shù)表法

抽簽法與隨機(jī)數(shù)法

1、抽簽法

(1)定義：把總體中的"個(gè)個(gè)體編號(hào)，把號(hào)碼寫(xiě)在號(hào)簽上，將號(hào)簽放在一個(gè)容器中，攪拌

均勻后，每次從中抽取一個(gè)號(hào)簽，連續(xù)抽取〃次，就得到一個(gè)樣本容量為〃的樣本.

(2)抽簽法的操作步驟：

第一步，編號(hào)：將N個(gè)個(gè)體編號(hào)(號(hào)碼可以從1到N,也可以使用已有的號(hào)碼)

第二步，寫(xiě)簽：將N個(gè)號(hào)碼寫(xiě)到大小、形狀相同的號(hào)簽上.

第三步，抽簽：將號(hào)簽攪拌均勻，每次從中抽取一個(gè)號(hào)簽，連續(xù)不放回地抽取〃次，并記錄

其編號(hào).

第四部，定樣：從總體中找出與號(hào)簽上的號(hào)碼對(duì)應(yīng)的個(gè)體，組成樣本.

(3)抽簽法的注意事項(xiàng)：

①對(duì)個(gè)體編號(hào)時(shí)，也可以利用已有的編號(hào).

②制作號(hào)簽時(shí)，所使用的工具(如紙條、小球等)的形狀、大小要一樣，以確保每個(gè)號(hào)簽被

抽到的可能性相等.

③抽取樣本前總體要“均勻攪拌”，目的是讓每個(gè)號(hào)簽被抽到的機(jī)會(huì)相等.

(4)優(yōu)點(diǎn)與缺點(diǎn)

優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)單易形，當(dāng)總體的個(gè)體數(shù)不多時(shí)，使總體處于“攪拌”均勻的狀態(tài)比較容易，此時(shí)，

每個(gè)個(gè)體都有均等的機(jī)會(huì)被抽中，從而能夠保證樣本的代表性；

缺點(diǎn)：僅適用于個(gè)體數(shù)較少的總體，當(dāng)總體的容量較大時(shí)，費(fèi)時(shí)費(fèi)力又不方便，況且，如果

號(hào)簽攪拌的不均勻，可能導(dǎo)致抽樣不公平.

2、隨機(jī)數(shù)法

（1）定義：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中，另一個(gè)經(jīng)常被采用的方法是隨機(jī)數(shù)表法，即利用隨機(jī)試驗(yàn)或

信息技術(shù)（即計(jì)算器、電子表格軟件和〃統(tǒng)計(jì)軟件）生成的隨機(jī)數(shù)進(jìn)行抽樣.

（2）隨機(jī)數(shù)表法步驟：

①把總體中的每個(gè)個(gè)體編號(hào).

②用隨機(jī)數(shù)工具產(chǎn)生編號(hào)范圍內(nèi)的整數(shù)隨機(jī)數(shù).

③把產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)作為抽中的編號(hào)，使與編號(hào)對(duì)應(yīng)的個(gè)體進(jìn)入樣本.重復(fù)上述過(guò)程，知道抽

足樣本所需要的數(shù)量.

【注意】如果產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)有重復(fù)，即同一編號(hào)被多次抽到，可以剔除重復(fù)的編號(hào)并重新產(chǎn)

生隨機(jī)數(shù)，知道產(chǎn)生的不同標(biāo)號(hào)個(gè)數(shù)等于樣本所需要的數(shù)量.

（3）優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)

優(yōu)點(diǎn)：操作簡(jiǎn)單易行，它很好地解決了用抽簽法當(dāng)總總體中的個(gè)數(shù)較多時(shí)制簽難的問(wèn)題，在

總體容量不大的情況下是行之有效的.

缺點(diǎn)：總體中的個(gè)數(shù)很多，對(duì)個(gè)體編號(hào)的工作量太大，即使用隨機(jī)數(shù)表法操作也不方便快捷.

3、抽簽法與隨機(jī)數(shù)法的比較

相同點(diǎn)：（1）抽簽法與隨機(jī)數(shù)法都是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣,并且要求被抽取樣本的總體的個(gè)數(shù)有限；

（2）抽簽法與隨機(jī)數(shù)法都是從總體中逐個(gè)進(jìn)行抽取，都是不放回抽樣；

不同點(diǎn)：抽簽法適用于總體個(gè)數(shù)較少的情況；隨機(jī)數(shù)法適用于總體個(gè)數(shù)較多的情形.

簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中的兩類(lèi)特征數(shù)

1、總體平均數(shù)

一般地，總體中有N個(gè)個(gè)體，它們的變量值分別為匕，y2,YN,則稱(chēng)

+式=4￡工為總體均值,又稱(chēng)總體平均數(shù)

如果總體的N個(gè)變量值中，不同的值共有左（ZWN）個(gè)，不妨記為匕，r2,Yk,其中

_1k

匕出現(xiàn)的頻數(shù)=1,2,…，k）,則總體均值還可以寫(xiě)成加權(quán)平均數(shù)的形式￥=癡±￡工.

2、樣本平均數(shù)

如果從總體中抽取一個(gè)容量為〃的樣本，它們的變量值分別為%,%，…，%，則稱(chēng)

歹=y+%+…+%=1為樣本均值,又稱(chēng)樣本平均數(shù).在簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中，我們常用樣

本平均數(shù)去估計(jì)總體平均數(shù).

（三）分層隨機(jī)抽樣

1、分層隨機(jī)抽樣的必要性

簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是使總體中每一個(gè)個(gè)體都有相等的機(jī)會(huì)被抽中，但因?yàn)槌闃拥碾S機(jī)性，有可能

出現(xiàn)比較“極端”的樣本，從而使得估計(jì)出現(xiàn)較大的偏差，這時(shí)候我們可以考慮采用一種新

的抽樣方法一一分層隨機(jī)抽樣.

2、分層隨機(jī)抽樣的概念

一般地,按一個(gè)或多個(gè)變量把總體劃分成若干個(gè)子總體，每個(gè)個(gè)體屬于且僅屬于一個(gè)子總體,

在每個(gè)子總體中獨(dú)立地進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣

本，這樣的抽樣方法稱(chēng)為分層隨機(jī)抽樣，每■個(gè)子總體稱(chēng)為層.

3、比例分配：在分層隨機(jī)抽樣中，如果每層樣本量都與層的大小成比例，那么稱(chēng)這種樣本

量的分配方式為比例分配，即：

樣本中第n層的個(gè)體數(shù)=樣本容量

總體中第n層的個(gè)體數(shù)一總體容量

總體中第，九層的個(gè)體數(shù)=樣本中第根層的個(gè)體數(shù)

總體中第〃層的個(gè)體數(shù)一樣本中第〃層的個(gè)體數(shù)

4、分層隨機(jī)抽樣使用的原則

（1）將相似的個(gè)體歸入一類(lèi)，即為一層，分層要求每層的各個(gè)個(gè)體互不交叉，即遵循不重

復(fù)、不遺漏的原則；

（2）分層隨機(jī)抽樣為保證每個(gè)個(gè)體等可能入樣，需遵循在各層中進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，每層

樣本數(shù)量與每層個(gè)體數(shù)量的比等于抽樣比.

5、分層隨機(jī)抽樣的步驟

（1）分層：按某種特征將總體分成若干部分（層）；

（2）求比：抽樣比人樣=本晶容量笑；

總體容量

（3）定數(shù)：按抽樣比確定每層抽取的個(gè)體數(shù)；

（4）抽樣：每層分貝按簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取樣本

（5）成樣：綜合各層抽樣，組成樣本.

分層隨機(jī)抽樣的平均數(shù)計(jì)算

1、總體平均數(shù)和樣本平均數(shù)的計(jì)算

在分層隨機(jī)抽樣中，如果層數(shù)為2層，第1層和第2層包含的個(gè)體數(shù)分別為M和N,抽樣

的樣本容量分別為機(jī)和〃，第1層、第2層的總體平均數(shù)分別為歹和歹，第1層、第2層的

樣本平均數(shù)分別為最和7,總體平均數(shù)為訶，樣本平均數(shù)為石，則

(1)w=MX+NYM—N-

X+--------Y

M+NM+NM+N

—mx+nym-n-

(2)①--------=----XH-----y

m+nm+nm+n

2、用樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)

由于第1層的樣本平均數(shù)最可以估計(jì)第1層的總體平均數(shù)天，用第2層的樣本平均數(shù)亍可以

估計(jì)第2層的總體平均數(shù)歹，因此可以用處士"=」_1+」^?估計(jì)總體平均數(shù)訶.

M+NM+NM+N

在比例分配的分層隨機(jī)抽樣中，§m=!ri=?rri三+，

MNM+N

M-N—m-n——

所以------XH------y=--------XH-----y=a)

M+NM+Nm+nm+n

因此，在比例分配的分層隨機(jī)抽樣中，我們可以直接用樣本平均數(shù)石估計(jì)總體平均數(shù)為訶.

獲取數(shù)據(jù)的基本途徑

選擇獲取數(shù)據(jù)的途徑主要是根據(jù)所要研究問(wèn)題的類(lèi)型，以及獲取數(shù)據(jù)的難易程度.有的數(shù)據(jù)

可以有多種獲取途徑，有的數(shù)據(jù)只能通過(guò)一種途徑獲取，選擇合適的方法和途徑能夠更好地

提高數(shù)據(jù)的可靠性.

1、通過(guò)調(diào)查獲取數(shù)據(jù)：

(1)使用類(lèi)型：對(duì)于有限總體問(wèn)題，我們一般通過(guò)抽樣調(diào)查或普查的方法獲取數(shù)據(jù)；

(2)注意問(wèn)題：要充分有效地利用背景信息選擇或創(chuàng)建更好的抽樣方法，并有效地避免抽

樣過(guò)程中的人為錯(cuò)誤

2、通過(guò)試驗(yàn)獲取數(shù)據(jù)

(1)適用類(lèi)型：沒(méi)有現(xiàn)存的數(shù)據(jù)可以查詢

(2)注意問(wèn)題：嚴(yán)格控制實(shí)驗(yàn)環(huán)境，通過(guò)精心的設(shè)計(jì)安排試驗(yàn)，以提高數(shù)據(jù)質(zhì)量

3、通過(guò)觀察獲取數(shù)據(jù)

(1)適用類(lèi)型：自然現(xiàn)象

(2)注意問(wèn)題：要通過(guò)長(zhǎng)久的持續(xù)觀察獲取數(shù)據(jù)

4、通過(guò)查詢獲得數(shù)據(jù)

(1)適用類(lèi)型：眾多專(zhuān)家研究過(guò)，其收集的數(shù)據(jù)有所存儲(chǔ)

(2)注意問(wèn)題：必須根據(jù)問(wèn)題背景知識(shí)“清洗數(shù)據(jù)”，去偽存真

題型一普查與抽樣調(diào)查的特征

［例1］下列情況適合用全面調(diào)查的是（）

A.調(diào)查某化工廠周?chē)?個(gè)村莊是否受到污染B.調(diào)查某藥品生產(chǎn)廠家一批藥品的質(zhì)量情況

C.進(jìn)行某一項(xiàng)民意測(cè)驗(yàn)D.調(diào)查黃河的水質(zhì)情況

【變式1】下列調(diào)查方式中，可用普查的是（）

A.調(diào)查某品牌電動(dòng)車(chē)的市場(chǎng)占有率B.調(diào)查2023年杭州亞運(yùn)會(huì)的收視率

C.調(diào)查某校高三年級(jí)的男女同學(xué)的比例D.調(diào)查一批玉米種子的發(fā)芽率

【變式2】抽樣調(diào)查在抽取調(diào)查對(duì)象時(shí)是（）

A.按一定的方法抽取B.隨意抽取

C.根據(jù)個(gè)人的愛(ài)好抽取D.全部抽取

題型二統(tǒng)計(jì)的相關(guān)概念辨析

【例2］從全市5萬(wàn)名高中生中隨機(jī)抽取500名學(xué)生，以此來(lái)了解這5萬(wàn)名高中生的身高,

在這一情境中，這5萬(wàn)名高中生的身高的全體是指（）

A.個(gè)體B.總體C.樣本D.樣本量

【變式1］從某地參加計(jì)算機(jī)水平測(cè)試的5000名學(xué)生的成績(jī)中抽取200名學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行

統(tǒng)計(jì)分析，在這個(gè)問(wèn)題中，200名學(xué)生的成績(jī)是（）

A.總體B.個(gè)體

C.從總體中所取的一個(gè)樣本D.總體的容量

【變式2】某校今年二月份舉行月考后，為了分析該校高一年級(jí)1800名學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)，

從中隨機(jī)抽取了180名學(xué)生的成績(jī)單，下列說(shuō)法正確的是（）

A.樣本容量是180B.每名學(xué)生的成績(jī)是所抽取的一個(gè)樣本

C.每名學(xué)生是個(gè)體D.1800名學(xué)生是總體

題型三簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的判斷

【例3】某校在一次期中作業(yè)檢查中，對(duì)高一（6）班61位同學(xué)的作業(yè)進(jìn)行抽樣調(diào)查，先采

用抽簽法從中剔除一個(gè)人，再?gòu)挠嘞碌?0人中隨機(jī)抽取6人，下列說(shuō)法正確的是（）

A.這種抽樣方法對(duì)于被剔除的個(gè)體是不公平的，因?yàn)樗麄兪チ吮怀榈降臋C(jī)會(huì)

B.每個(gè)人被抽到的機(jī)會(huì)不相等

C.每個(gè)人在整個(gè)抽樣過(guò)程中被抽到的機(jī)會(huì)相等，因?yàn)槊總€(gè)人被剔除的可能性相等，那么，

不被剔除的機(jī)會(huì)也是相等的

D.由于采用了兩步進(jìn)行的抽樣，所以無(wú)法判斷每個(gè)人被抽的可能性是多少

【變式1】下列抽取樣本的方式是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的是（）

A.從無(wú)限多個(gè)個(gè)體中抽取100個(gè)個(gè)體作為樣本

B.盒子里共有80個(gè)零件，從中逐個(gè)不放回地選出5個(gè)零件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)

C.從100部手機(jī)中一次性抽取5部進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)

D.某班有56名同學(xué)，指定個(gè)子最高的5名同學(xué)參加學(xué)校組織的籃球賽

【變式2】下列是從總體中抽得的樣本，簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本為（）

A.總體編號(hào)為r75,任意選出編號(hào)范圍內(nèi)的10個(gè)數(shù)字作為抽中的編號(hào)

B.總體編號(hào)為r75,在0~99中產(chǎn)生隨機(jī)整數(shù)r,若廠=0或廠＞75,則舍棄，重新抽取

C.總體編號(hào)為廣75,在0~99中產(chǎn)生隨機(jī)整數(shù)r,r除以75的余數(shù)作為抽中的編號(hào).若余數(shù)

為0,則抽中75

D.總體編號(hào)為6001?6876,在「876范圍內(nèi)產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)整數(shù)r,把r+6000作為抽中的

編號(hào)

題型四隨機(jī)抽樣的概率計(jì)算

【例4】已知一個(gè)總體含有“個(gè)個(gè)體，要用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法從中抽取一個(gè)個(gè)體，則在抽樣

過(guò)程中，每個(gè)個(gè)體被抽取的概率（）

A.變小B.變大C.相等D.無(wú)法確定

【變式】對(duì)總數(shù)為200的一批零件，抽一個(gè)容量為〃的樣本，若每個(gè)零件被抽到的可能性為

0.25,貝什為（）

A.50B.100

C.25D.120

題型五抽樣法的應(yīng)用

【例5】用抽簽法進(jìn)行抽樣有以下幾個(gè)步驟：①制簽；②抽簽；③將簽搖勻；④編號(hào)；⑤將

抽取的號(hào)碼對(duì)應(yīng)的個(gè)體取出，組成樣本.這些步驟的正確順序?yàn)?

【變式1】甲、乙、丙三位同學(xué)爭(zhēng)著去參加一個(gè)公益活動(dòng).抽簽決定誰(shuí)去.那你認(rèn)為抽到的

概率大的是（）

A.先抽的概率大些

B.三人的概率相等

C.無(wú)法確定誰(shuí)的概率大

D.以上都不對(duì)

【變式2］某單位擬從40名員工中選1人贈(zèng)送電影票，可采用下面兩種選法：

選法一：將這40名員工按1至40進(jìn)行編號(hào)，并相應(yīng)地制作號(hào)碼為1至40的40個(gè)號(hào)簽，把

這40個(gè)號(hào)簽放在一個(gè)暗箱中攪勻，最后隨機(jī)地從中抽取1個(gè)號(hào)簽，與這個(gè)號(hào)簽編號(hào)一致的

員工是幸運(yùn)人選；

選法二：將39個(gè)白球與1個(gè)紅球（除顏色外，其他完全相同）混合放在一個(gè)暗箱中攪勻，

讓40名員工逐一從中不放回地摸取1個(gè)球，則摸到紅球的員工是幸運(yùn)人選.試問(wèn)：

（1）這兩種選法是否都是抽簽法，為什么？

（2）這兩種選法中每名員工被選中的可能性是否相等？

題型六隨機(jī)數(shù)表法的應(yīng)用

【例6】總體由編號(hào)為01,02,…，29,30的30個(gè)個(gè)體組成，現(xiàn)從中抽取一個(gè)容量為6的

樣本，請(qǐng)從隨機(jī)數(shù)表第1行第5列開(kāi)始，向右讀取，則選出來(lái)的第4個(gè)個(gè)體的編號(hào)為（）

7029171213403312382613895103

5662183735968350877597125593

A.03B.12C.13D.26

【變式1】總體由編號(hào)為01,02,…，19,20的20個(gè)個(gè)體組成.利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取

5個(gè)個(gè)體，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第1行的第7列數(shù)字開(kāi)始每次由左到右選取兩個(gè)數(shù)字，則

選出來(lái)的第5個(gè)個(gè)體的編號(hào)為（）

78166572080263140702436997280198

32049234493582003623486969387481

A.01B.02C.07D.08

【變式2】某公司用隨機(jī)數(shù)法從公司的500名員工中抽取了20人了解其對(duì)燒烤的喜歡程

度.先將這500名員工按001,002,--500進(jìn)行編號(hào)，然后從隨機(jī)數(shù)第3行第3列的數(shù)開(kāi)

始向右讀，則選出的第7個(gè)編號(hào)是（注：下面為隨機(jī)數(shù)的第3行和第4行）（）

第3行：78166572080263198702436997280198

第4行:32049243493582003623486969387481

A.492B.320C.198D.280

題型七簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣估計(jì)總體

【例7】一只口袋中裝有很多黑色圍棋子（不便倒出來(lái)數(shù)），為了估計(jì)口袋中黑色圍棋子的

個(gè)數(shù)，聰明的小紅采用以下方法：在口袋中放入10枚（質(zhì)地、大小相同，只有顏色不同）

白色的圍棋子，混合均勻后隨機(jī)摸出1枚，記下顏色后放回口袋.不斷重復(fù)上述過(guò)程，小紅

一共摸了260次，其中摸到白色棋子共8次，則估計(jì)口袋中黑色圍棋子大約有（）

A.500枚B.585枚C.325枚D.285枚

【變式1】中國(guó)古典數(shù)學(xué)先后經(jīng)歷了三次發(fā)展高潮，即兩漢時(shí)期、魏晉南北朝時(shí)期和宋元時(shí)

期，并在宋元時(shí)期達(dá)到頂峰，而南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家秦九韶正是其中的代表人物.作為秦九韶

的集大成之作，《數(shù)書(shū)九章》一書(shū)所承載的數(shù)學(xué)成就非同一般.可以說(shuō)，但凡是實(shí)際生活中

需要運(yùn)用到數(shù)學(xué)知識(shí)的地方，《數(shù)書(shū)九章》一書(shū)皆有所涉及，例如“驗(yàn)米夾谷”問(wèn)題：今有

谷3318石，抽樣取谷一把，數(shù)得168粒內(nèi)有枇谷22粒，則糧倉(cāng)內(nèi)的枇谷約為（）

A.321石B.166石C.434石D.623石

【變式2】為估計(jì)池塘里有多少條魚(yú)，從池塘里捕捉了1000條魚(yú)做了記號(hào)，然后放回池塘，

經(jīng)過(guò)一段時(shí)間，等有記號(hào)的魚(yú)完全混入魚(yú)群，再捕撈200條，發(fā)覺(jué)其中有10條標(biāo)有記號(hào)，

則估計(jì)池塘里共有魚(yú)_________條.

A.2000B.10000C.20000D.40000

【變式3】中國(guó)農(nóng)歷的二十四節(jié)氣是中華民族的智慧與傳統(tǒng)文化的結(jié)晶，二十四節(jié)氣歌是以

春、夏、秋、冬開(kāi)始的四句詩(shī).某小學(xué)三年級(jí)共有學(xué)生600名，隨機(jī)抽查100名學(xué)生并提問(wèn)

二十四節(jié)氣歌，只能說(shuō)出一句的有45人，能說(shuō)出兩句及以上的有38人，據(jù)此估計(jì)該校三年

級(jí)的600名學(xué)生中，對(duì)二十四節(jié)氣歌一句也說(shuō)不出的有（）

A.17人B.83人C.102人D.115人

題型八分層隨機(jī)抽樣的辨析

【例8】為了解某地區(qū)居民使用手機(jī)掃碼支付的情況，擬從該地區(qū)的居民中抽取部分人員進(jìn)

行調(diào)查，事先已了解到該地區(qū)老、中、青三個(gè)年齡段的人員使用手機(jī)掃碼支付的情況有較大

差異，而男、女使用手機(jī)掃碼支付的情況差異不大.在下面的抽樣方法中，最合理的是（）

A.抽簽法B.按性別分層隨機(jī)抽樣

C.按年齡段分層隨機(jī)抽樣D.隨機(jī)數(shù)法

【變式】下面的抽樣方法不是分層隨機(jī)抽樣的是（）

A.在某年明信片銷(xiāo)售活動(dòng)中，規(guī)定每100萬(wàn)張為一個(gè)開(kāi)獎(jiǎng)組，通過(guò)隨機(jī)抽取的方式確定號(hào)

碼的后四位為2709的為三等獎(jiǎng)

B.某車(chē)間包裝一種產(chǎn)品，在自動(dòng)包裝的傳送帶上，每隔30分鐘抽一包產(chǎn)品，稱(chēng)其重量是否

合格

C.某學(xué)校分別從行政人員、教師、后勤人員中抽取2人、14人、4人了解對(duì)學(xué)校機(jī)構(gòu)改革

的意見(jiàn)

D.用抽簽法從10件產(chǎn)品中抽取3件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)

題型九分層隨機(jī)抽樣的相關(guān)計(jì)算

【例9】某校高三年級(jí)的800名學(xué)生中，男生有440名，女生有360名.從中抽取一個(gè)容量

為40的樣本，則抽取男生和女生的人數(shù)分別為（）

A.18.22B.36,44C.22J8D.44,36

【變式1】某學(xué)校高一年級(jí)學(xué)生中對(duì)數(shù)學(xué)非常喜歡、比較喜歡和一般喜歡的人數(shù)分別為600、

300,100,為了了解數(shù)學(xué)興趣對(duì)數(shù)學(xué)成績(jī)的影響，現(xiàn)通過(guò)分層抽樣的方法抽取容量為〃的樣

本進(jìn)行調(diào)查，其中非常喜歡的有18人，貝打?的值是（）

A.20B.30C.40D.50

【變式2】某企業(yè)為了解員工身體健康情況，采用分層抽樣的方法從該企業(yè)的營(yíng)銷(xiāo)部門(mén)和研

發(fā)部門(mén)抽取部分員工體檢，已知該企業(yè)營(yíng)銷(xiāo)部門(mén)和研發(fā)部門(mén)的員工人數(shù)之比是4：1,且被

抽到參加體檢的員工中，營(yíng)銷(xiāo)部門(mén)的人數(shù)比研發(fā)部門(mén)的人數(shù)多63,則參加體檢的人數(shù)是

（）

A.105B.110C.120D.144

【變式3】2022年8月16日，航天員的出艙主通道一一問(wèn)天實(shí)驗(yàn)艙氣閘艙首次亮相.某高

中為了解學(xué)生對(duì)這一新聞的關(guān)注度，利用分層抽樣的方法從高中三個(gè)年級(jí)中抽取了36人進(jìn)

行問(wèn)卷調(diào)查，其中高一年級(jí)抽取了15人，高二年級(jí)抽取了12人，且高三年級(jí)共有學(xué)生900

人，則該高中的學(xué)生總數(shù)為人.

題型十分層隨機(jī)抽樣的方案設(shè)計(jì)

【例10】某公司有1000名員工，其中：高層管理人員為50名，屬于高收入者；中層管理

人員為150名，屬于中等收入者；一般員工為800名，屬于低收入者.要對(duì)這個(gè)公司員工的

收入情況進(jìn)行調(diào)查，欲抽取100名員工，應(yīng)當(dāng)怎樣進(jìn)行抽樣？

【變式】某家電視臺(tái)在因特網(wǎng)上征集某電視節(jié)目現(xiàn)場(chǎng)參與的觀眾，報(bào)名的總?cè)藬?shù)為12000

人，分別來(lái)自4個(gè)城區(qū)，其中4區(qū)2400人，8區(qū)4600人，。區(qū)3800人，〃區(qū)1200人，從

中抽取60人參加現(xiàn)場(chǎng)的節(jié)目，應(yīng)當(dāng)如何抽取？寫(xiě)出抽取過(guò)程.

題型十一分層隨機(jī)抽樣的平均數(shù)計(jì)算

【例11】某校高一年級(jí)有女生504人，男生596人.學(xué)校想通過(guò)抽樣的方法估計(jì)高一年級(jí)

全體學(xué)生的平均體重，從高一女生和男生中隨機(jī)抽取50人和60人，經(jīng)計(jì)算這50個(gè)女生的

平均體重為49kg,60個(gè)男生的平均體重為57kg,依據(jù)以上條件，估計(jì)該校高一年級(jí)全體學(xué)

生的平均體重最合理的計(jì)算方法為（）

49+5750口605

AA.---------B.------x49H--------x57

211001100

c50c605504仆5965

C.——x49+——x57D.------x49+-------x57

11011011001100

【變式1】某企業(yè)兩個(gè)分廠生產(chǎn)同一種電子產(chǎn)品，產(chǎn)量之比為3:2,現(xiàn)采用分層隨機(jī)抽樣方

法，從兩個(gè)分廠生產(chǎn)的該產(chǎn)品中共抽取100件做使用壽命的測(cè)試，由所得樣品的測(cè)試結(jié)果計(jì)

算出該產(chǎn)品的平均使用壽命分別為1000小時(shí)，1020小時(shí)，估計(jì)這個(gè)企業(yè)所生產(chǎn)的該產(chǎn)品的

平均使用壽命為（）

A.1012小時(shí)B.1010小時(shí)C.1008小時(shí)D.1006小時(shí)

【變式2】某校有男教師80人，女教師120人，為了調(diào)查教師的運(yùn)動(dòng)量的平均值（通過(guò)微

信步數(shù)），按性別比例分配進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣，通過(guò)對(duì)樣本的計(jì)算，得出男教師平均微信步

數(shù)為12500步，女教師平均微信步數(shù)為8600步，則該校教師平均微信步數(shù)為.

【變式3】某武警大隊(duì)共有第一、第二、第三三支中隊(duì)，人數(shù)分別為30,30,40.為了檢測(cè)

該大隊(duì)的射擊水平，從整個(gè)大隊(duì)用按比例分配分層隨機(jī)抽樣共抽取了30人進(jìn)行射擊考核，

統(tǒng)計(jì)得三個(gè)中隊(duì)參加射擊比賽的平均環(huán)數(shù)分別為&8,8.5,8.1,試估計(jì)該武警大隊(duì)隊(duì)員的

平均射擊水平.

反饋練習(xí)

1.分層隨機(jī)抽樣適合的總體是（）

A.總體容量較多B.樣本量較多

C.總體中個(gè)體有差異D.任何總體

2.某公司有160名員工，其中研發(fā)部120名，銷(xiāo)售部16名，客服部24名，為調(diào)查他們的

收入情況，從中抽取一個(gè)容量為20的樣本，較為合適的抽樣方法是（）

A.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣B.系統(tǒng)抽樣

C.分層抽樣D.其他抽樣

3.某校為了了解高二學(xué)生的身高情況，打算在高二年級(jí)12個(gè)班中抽取3個(gè)班，再按每個(gè)班

男女生比例抽取樣本，正確的抽樣方法是（）

A.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣B.先用分層抽樣，再用隨機(jī)數(shù)表法

C.分層抽樣D.先用抽簽法，再用分層抽樣

4.①一次數(shù)學(xué)考試中，某班有10人的成績(jī)?cè)?00分以上，32人的成績(jī)?cè)?0~100分，12

人的成績(jī)低于90分，現(xiàn)從中抽取9人了解有關(guān)情況；②運(yùn)動(dòng)會(huì)的工作人員從參加4x100機(jī)接

力賽的6支隊(duì)伍中抽取1支接受采訪.針對(duì)這兩件事，恰當(dāng)?shù)某闃臃椒ǚ謩e為（）

A.分層隨機(jī)抽樣，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

B.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

C.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，分層隨機(jī)抽樣

D.分層隨機(jī)抽樣，分層隨機(jī)抽樣

5.（多選）對(duì)下面三個(gè)事件最適宜采用的抽樣方法判斷正確的有（）

①?gòu)哪硰S生產(chǎn)的3000件產(chǎn)品中抽取600件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)；

②一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，某班有10人的成績(jī)?cè)?10分以上，40人的成績(jī)?cè)?0?110分，10人的

成績(jī)低于90分，現(xiàn)在從中抽取12人的成績(jī)了解有關(guān)情況；

③運(yùn)動(dòng)會(huì)服務(wù)人員為參加400m決賽的6名同學(xué)安排跑道.

A.①②適宜采用分層抽樣B.②③適宜采用分層抽樣

C.②適宜采用分層抽樣D.③適宜采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

6.某工廠的一、二、三車(chē)間在2019年11月份共生產(chǎn)了3600雙皮靴，在出廠前檢查這些產(chǎn)

品的質(zhì)量，決定采用分層隨機(jī)抽樣的方法進(jìn)行抽取，若從一、二、三車(chē)間抽取的產(chǎn)品數(shù)分別

為a、b、c,且滿足2b=a+c,則二車(chē)間生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)為（）

A.800B.1000C.1200D.1500

7.某學(xué)校為了了解本校教師課外閱讀教育專(zhuān)著情況，對(duì)老年、中年、青年教師進(jìn)行了分層

抽樣調(diào)查，已知老年、中年、青年教師分別有36人，48人，60人，若從中年教師中抽取了

4人，則從青年教師中抽取的人數(shù)比從老年教師中抽取的人數(shù)多（）

A.5人B.4人C.3人D.2人

8.某中學(xué)有高中生3000人,初中生2000人，高中生中男生、女生人數(shù)之比為3：7,初中生

中男生、女生人數(shù)之比為3：2.為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況,采用分層隨機(jī)抽樣的方法從該校學(xué)

生中抽取一個(gè)容量為n的樣本.若從初中生中抽取男生12人,則從高中生中抽取的女生人數(shù)

是（）

A.12B.15C.20D.21

9.為了慶祝中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年，某學(xué)校組織了一次“學(xué)黨史、強(qiáng)信念、跟黨走”主

題競(jìng)賽活動(dòng).活動(dòng)要求把該學(xué)校教師按年齡分為35歲以下，35-45歲，45歲及其以上三個(gè)

大組.用分層抽樣的方法從三個(gè)大組中抽取一個(gè)容量為10的樣本，組成答題團(tuán)隊(duì)，已知

35-45歲組中每位教師被抽到的概率為則該學(xué)校共有教師（）人

24

A.120B.180C.240D.無(wú)法確定

10.某校1000名學(xué)生中，0型血有410人，A型血有280人，B型血有240人，AB型血有

70人，為了研究血型與色弱的關(guān)系，需從中抽取一個(gè)容量為100的樣本，求0,A,B,AB

四種血型的各抽取多少個(gè)？

11.從一個(gè)容量為加（m>3,m&N）的總體中抽取一個(gè)容量為3的樣本，當(dāng)選取簡(jiǎn)單隨

機(jī)抽樣方法抽取樣本時(shí)，總體中每個(gè)個(gè)體被抽中的可能性是:，則選取分層隨機(jī)抽樣方法抽

取樣本時(shí)，總體中每個(gè)個(gè)體被抽中的可能性是（）

A.-B.-C.—D.-

5423

12.某中學(xué)青年教師、中年教師和老年教師的人數(shù)比例為4:5：1,其中青年教師有120人.現(xiàn)

采用分層抽樣的方法從這所學(xué)校抽取容量為30的教師樣本以了解教師的工作壓力情況，則

每位老年教師被抽到的概率為

13.某校要從高一、高二、高三共2023名學(xué)生中選取50名組成志愿團(tuán)，若先用簡(jiǎn)單隨機(jī)

抽樣的方法從2023名學(xué)生中剔除23名，再?gòu)氖Ｏ碌?000名學(xué)生中按分層隨機(jī)抽樣的方

法抽取50名，則每名學(xué)生入選的可能性（）

A.都相等且為^B.都相等且為［

C.不完全相等D.均不相等

14.甲、乙兩個(gè)車(chē)間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品的合格率分別為90%,80%,檢驗(yàn)員每天都要按照3:2的

比例分別從甲、乙兩個(gè)車(chē)間抽取部分產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn).從被抽檢的產(chǎn)品中任選一件，則選到合

格品的概率為（）

A.84%B.86%C.88%D.90%

15.某校有學(xué)生3600人，教師400人，后勤職工200人，為了調(diào)查對(duì)食堂服務(wù)的滿意度，

用分層抽樣的方法從中抽取210人，則教師小何被抽到的概率為.

16.影響獲取數(shù)據(jù)可靠程度的因素不包括（）

A.獲取方法設(shè)計(jì)

B.所用專(zhuān)業(yè)測(cè)量設(shè)備的精度

C.調(diào)查人員的認(rèn)真程度

D.數(shù)據(jù)的大小

17.為了了解某市2019年高考各高中學(xué)校本科上線人數(shù)，收集數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其中獲取數(shù)

據(jù)的途徑采用什么樣的方法比較合適（）

A.通過(guò)調(diào)查獲取數(shù)據(jù)

B.通過(guò)試驗(yàn)獲取數(shù)據(jù)

C.通過(guò)觀察獲取數(shù)據(jù)

D.通過(guò)查詢獲取數(shù)據(jù)

18.若要研究某城市家庭的收入情況，獲取數(shù)據(jù)的途徑應(yīng)該是（）

A.通過(guò)調(diào)查獲取數(shù)據(jù)B.通過(guò)試驗(yàn)獲取數(shù)據(jù)

C.通過(guò)觀察獲取數(shù)據(jù)D.通過(guò)查詢獲得數(shù)據(jù)

19.李林是某大學(xué)的學(xué)生，暑假期間的社會(huì)實(shí)踐報(bào)告是研究某市2019年法律援助情況，針

對(duì)獲取數(shù)據(jù)的途徑，下列說(shuō)法正確的是（）

A.直接使用2019年該市司法部門(mén)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)

B.通過(guò)觀察獲取數(shù)據(jù)

C.通過(guò)試驗(yàn)獲取數(shù)據(jù)

D.可以查閱2019年該市司法部門(mén)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，并結(jié)合該市的實(shí)際情況，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行“清洗”,

去偽存真，獲取有價(jià)值的數(shù)據(jù)

20.下列項(xiàng)目中需要收集的數(shù)據(jù)，可以通過(guò)試驗(yàn)獲取的有（）

A.某種新式海水稻的畝產(chǎn)量

B.某省人民群眾對(duì)某任省長(zhǎng)的滿意度

C.某品牌的新款汽車(chē)/柱（擋風(fēng)玻璃和左、右前車(chē)門(mén)之間的柱）的安全性

D.某地區(qū)降水量對(duì)土豆產(chǎn)量的影響情況

隨機(jī)抽樣

參考答案：

1.C

【詳解】當(dāng)總體中個(gè)體有差異，

采用分層隨機(jī)抽樣.

2.C

【詳解】由題意員工來(lái)自三個(gè)不同的部門(mén)，因此采取分層抽樣方法較合適.

3.D

【詳解】解：在高二年級(jí)12個(gè)班中抽取3個(gè)班，這屬于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中的抽簽法，

按男女生比例抽取樣本屬于分層抽樣，所以是先用抽簽法，再用分層抽樣.

4.A

【詳解】一次數(shù)學(xué)考試中，某班有10人的成績(jī)?cè)?00分以上，32人的成績(jī)?cè)?0~100分，

12人的成績(jī)低于90分，現(xiàn)從中抽取9人了解有關(guān)情況.為更加了解各層次的學(xué)生成績(jī)，應(yīng)

選擇分層隨機(jī)抽樣；

運(yùn)動(dòng)會(huì)的工作人員從參加4x100機(jī)接力賽的6支隊(duì)伍中抽取1支接受采訪.可采用簡(jiǎn)單隨機(jī)

抽樣.

5.CD

【詳解】對(duì)于①，從某廠生產(chǎn)的3000件產(chǎn)品中抽取600件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，不滿足分層抽樣

的條件，且樣本容量比較大，適合采用等距抽樣；

對(duì)于②，總體由差異明顯且互不重疊的幾部分組成，若要從中抽取12人的成績(jī)了解有關(guān)情

況，適合采用分層抽樣的方法；

對(duì)于③，運(yùn)動(dòng)會(huì)服務(wù)人員為參加400m決賽的6名同學(xué)安排跑道，具有隨機(jī)性，且樣本容量

小，適合用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.故A,B錯(cuò)誤.

6.C

b1

【詳解】由題意知，第二車(chē)間生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)為3