上海市民辦某中學(xué)2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷

2024-2025學(xué)年上海市閔行區(qū)上寶中學(xué)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）

1.（4分）如果無(wú)：y=2：3,那么下列各式不成立的是（）

A.也=§B.C.JL=XD.2^=1

y3y32y3y+14

2.（4分）在比例尺為1：2000的地圖上測(cè)得A、8兩地間的圖上距離為5c7",則A、8兩地間的實(shí)際距離

為（）

A.10/71B.25mC.100機(jī)D.10000機(jī)

3.（4分）若兩個(gè)相似三角形的面積之比為1：4,則它們的最長(zhǎng)邊的比是（）

A.1：2B.1：4C.1：16D.無(wú)法確定

4.（4分）如圖，已知拋物線y=/+b尤+c的對(duì)稱軸為直線x=2,點(diǎn)A,8均在拋物線上，且與無(wú)軸平

5.（4分）如圖所示，△ABC的頂點(diǎn)是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)，則sinA的值為（）

B.2娓C.D.近

5105

6.（4分）如圖，在菱形4BCZ）中，AB^AC,點(diǎn)、E、下分別為邊AB、BC上的點(diǎn)，且連接CE、

4斤交于點(diǎn)打，連接。打交AC于點(diǎn)。，則下列結(jié)論：①AAB餐ACAE；②NFHC=NB；③八AEHs

ADAH；?AE-AD=AH-AF；其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（）

二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）

7.（4分）cos30°=.

8.（4分）把長(zhǎng)度為4c%的線段進(jìn)行黃金分割，則較長(zhǎng)線段的長(zhǎng)是cm.

9.（4分）如果兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)角平分線之比為1：4,那么它們的周長(zhǎng)之比是.

10.（4分）如果拋物線y=Cm-1）j?+2mx+\的圖象開口向下，那么機(jī)的取值范圍是.

11.（4分）將二次函數(shù)y=-2/的圖象向右平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，所得圖象的解析式

為.

12.（4分）二次函數(shù)y=a/+a+c中，函數(shù)y與自變量尤的部分對(duì)應(yīng)值如表，則機(jī)的值為.

X-2-101234

y72-1-2m27

13.（4分）在Rt^ABC中，ZC=90°,ZB=a,AB=2,那么BC=.（結(jié)果用a的銳角

三角函數(shù)表示）

14.（4分）如圖，點(diǎn)￡＞、￡、下分別是△ABC三邊的中點(diǎn)，那么與而相等的向量是

15.（4分）已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=Vx2+bx+c與無(wú)軸交于點(diǎn)A（一%0）和點(diǎn)8,與

y軸交于點(diǎn)C（0,3）,拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D.點(diǎn)P是直線AC上方拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P

作PGL無(wú)軸，垂足為點(diǎn)G,PG與直線AC交于點(diǎn)H.如果PH=AH,則點(diǎn)P的坐標(biāo)

是

16.（4分）如圖，在回A8C。中，點(diǎn)尸在邊A。上，AF=2FD,直線與對(duì)角線AC相交于點(diǎn)E,交CD

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,如果BE=2,那么EG的長(zhǎng)是

17.（4分）如圖，已知在四邊形ABC。中，ZADC=90°,A8=A。，點(diǎn)E、P分別在線段8、AD±.如

>AELBF,型上，那么cot/ABZ）=

AE3

18.（4分）如圖，已知在矩形ABC。中，連接AC,cot/ABD萼，將矩形ABC。繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)2

4

恰好落在對(duì)角線AC上的點(diǎn)B處，點(diǎn)A、D分別落在點(diǎn)A'、D'處，邊A'B'、A'C分別與邊A。

交于點(diǎn)M、N,MN-AM=5,那么線段MN的長(zhǎng)為

三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）

19.（10分）計(jì)算：yj（l-cot300~r^-2sin450+（cos450+----4---7=--

tan60-V2

20.（10分）如圖，在梯形ABC。中，AD//BC,對(duì)角線AC、相交于點(diǎn)O,BC=2AD,OD=1.

（1）求8。的長(zhǎng):

一.—?.—?—?—?.

(2)如果AB=a，BC=b，試用a、b表示向量0B.

21.(10分)如圖所示，BA和CD表示前后兩幢樓，按照有感規(guī)定兩幢樓間的間距不得小于樓的高度，即

圖中AC大于等于CD,小明想測(cè)量一下他家所著48樓與前面C。樓是否符合規(guī)定，于是他在AC間的

點(diǎn)M處架了測(cè)角儀，測(cè)得樓頂。的仰角為45°,已知AM=4米，測(cè)角儀距地面MN=L5米.

(1)問(wèn)：兩樓的間距是否符合規(guī)定？并說(shuō)出你的理由；

(2)為了知道前面CD樓的高度，小明又到家里(點(diǎn)P處)，用測(cè)角儀再次測(cè)得8樓頂。的仰角為a,

如果AP=7.5米，sina=0.6,請(qǐng)你來(lái)計(jì)算一下C。樓的高度.

22.(10分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線M：y=-/+6x+c過(guò)點(diǎn)A(2,2)、點(diǎn)2(0,2),

頂點(diǎn)為點(diǎn)C,拋物線"的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D

(1)直接寫出拋物線M的表達(dá)式和點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)尸在x軸上，當(dāng)△AOP與△AC。相似時(shí)，求點(diǎn)P坐標(biāo).

午

1-

II____________III?

01x

23.(12分)已知：如圖，在梯形A3CD中，AD//BC,ABLBC,點(diǎn)M在邊3C上，S.ZMDB=ZADB,

BD1=AD'BC.

(1)求證：BM=CM；

(2)BELDM,垂足為點(diǎn)E,并交于點(diǎn)?求證：2AD?DM=DF?DC.

AD

24.(12分)已知，如圖，拋物線y=」？+灰+。與％軸正半軸交于A、5兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,直線y

4

=X-2經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn).

(1)直接寫出拋物線的解析式；

(2)尸為拋物線上一點(diǎn)，若點(diǎn)P關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)。落在y軸上，求P點(diǎn)坐標(biāo)；

(3)現(xiàn)將拋物線平移，保持頂點(diǎn)在直線y=x-弓，若平移后的拋物線與直線y=x-2交于M、N兩點(diǎn).

①求：MN的長(zhǎng)度；

②結(jié)合(2)的條件，直接寫出△QMN的周長(zhǎng)的最小值.

備用圖

25.(14分)如圖，已知正方形ABC。，點(diǎn)”是邊8C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)8、C重合)，點(diǎn)E在。H上,

滿足延長(zhǎng)BE交C。于點(diǎn)?

(2)點(diǎn)M、N分別是邊48、的中點(diǎn)，已知點(diǎn)尸在線段MN上，連結(jié)AP、BP,此時(shí)NAPB=90°,

求：cotZABP；

(3)連結(jié)CE.如果△CE尸是以CE為腰的等腰三角形，求/FBC的正切值.

2024-2025學(xué)年上海市閔行區(qū)上寶中學(xué)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）

1.（4分）如果x：y=2：3,那么下列各式不成立的是（）

A.也=9B.C.工”D.更=3

y3y32y3y+14

【分析】根據(jù)比例的基本性質(zhì)，可分別設(shè)出無(wú)和y,分別代入各選項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算即可得出結(jié)果.

【解答】解：設(shè)尤=2匕y=3日通過(guò)代入計(jì)算，

進(jìn)行約分，A,B,C都正確；

。不能實(shí)現(xiàn)約分，故錯(cuò)誤.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了比例的性質(zhì)，已知幾個(gè)量的比值時(shí)，常用的解法是：設(shè)一個(gè)未知數(shù)，把題目中的幾

個(gè)量用所設(shè)的未知數(shù)表示出來(lái)，實(shí)現(xiàn)約分.

2.（4分）在比例尺為1：2000的地圖上測(cè)得A、2兩地間的圖上距離為5c〃z,則A、2兩地間的實(shí)際距離

為（）

A.10mB.25mC.100mD.10000m

【分析】設(shè)A、8兩地間的實(shí)際距離為X%,根據(jù)比例線段得二—=」—，然后解方程即可.

2000x-100

【解答】解：設(shè)A、8兩地間的實(shí)際距離為xm,

根據(jù)題意得'

2000x-100

解得x=100.

所以A、B兩地間的實(shí)際距離為100〃z.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例線段：對(duì)于四條線段八6、c、d,如果其中兩條線段的比（即它們的長(zhǎng)度比）

與另兩條線段的比相等，如a：b=c：1（即ad=6c）,我們就說(shuō)這四條線段是成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線

段.

3.（4分）若兩個(gè)相似三角形的面積之比為1：4,則它們的最長(zhǎng)邊的比是（）

A.1：2B.1：4C.1：16D.無(wú)法確定

【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出答案即可.

【解答】解：：兩個(gè)相似三角形的面積之比為1：4,

它們的最長(zhǎng)邊的比是1：2,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，能熟記相似三角形的面積之比等于相似比的平方是解此題的關(guān)

鍵.

4.（4分）如圖，已知拋物線y=/+6無(wú)+c的對(duì)稱軸為直線x=2,點(diǎn)A,B均在拋物線上，且A8與x軸平

【分析】已知拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2,知道A的坐標(biāo)為（0,3）,由函數(shù)的對(duì)稱性知8點(diǎn)坐標(biāo).

【解答】解：由題意可知拋物線的y=/+6x+c的對(duì)稱軸為直線尤=2,

:點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,3）,且AB與x軸平行，

可知A、8兩點(diǎn)為對(duì)稱點(diǎn)，

.?.B點(diǎn)坐標(biāo)為（4,3）

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的對(duì)稱性.

5.（4分）如圖所示，AABC的頂點(diǎn)是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)，則siivl的值為（）

B.2娓.C.D.遮

A-2

5105

【分析】直接連接。C,得出。LAB,再結(jié)合勾股定理以及銳角三角函數(shù)關(guān)系得出答案

【解答】解：連接。C,

由網(wǎng)格可得：CDLAB,

則DC=M，AC=JT5，

故sinA=匹_:=心?

ACV105

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了銳角三角函數(shù)關(guān)系，正確構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵.

6.（4分）如圖，在菱形4BCZ）中，AB^AC,點(diǎn)、E、下分別為邊AB、2C上的點(diǎn)，且連接CE、

AF交于點(diǎn)、H,連接?！敖籄C于點(diǎn)O,則下列結(jié)論：①②/FHC=/B；③△AE"s

△DAH；@AE'AD=AH-AF；其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【分析】由菱形A8CD中，AB=AC,易證得△ABC是等邊三角形，則可得/B=NE4C=60°,由SAS

即可證得△AB尸也△CAE,可得/BAF=/ACE,EC=AF,由外角性質(zhì)可得/FHC=N8,可判斷①②，

由點(diǎn)A,H,C,D四點(diǎn)共圓，可得/AH￡）=NAC￡）=60°,/ACH=/ADH=NBAF,可證

△可判斷③，通過(guò)證明S可得包且，可判斷④，即可

DAH,△AE//ZXC￡A,AE-AD^AH'AF,

ECAC

求解.

【解答】解：???四邊形ABC。是菱形，

：.AB=BC,

'：AB=AC,

：.AB=BC=AC,

即△ABC是等邊三角形，

同理：△AOC是等邊三角形

.?.NB=NEAC=60°,

在和△CAE中,

，BF=AE

，ZB=ZEAC>

AB=AC

AAABF^ACAE（SAS）；

ZBAF=AACE,EC=AF,

,：ZFHC=ZACE+ZFAC^ZBAF+ZFAC^ZBAC=60°,

ZFHC=ZB,

故①正確，②正確；

VZAHC+ZADC=120°+60°=180°,

...點(diǎn)A,H,C,。四點(diǎn)共圓，

ZAHD=ZACD=60°,ZACH=ZADH=ZBAF,

：./AHD=NFHC=NAHE=60°,

:.AAEHsADAH,故③正確；

NACE=ZBAF,NAEH=ZAEC,

：.AAEHsACEA,

???-A-E~-A-H-,

ECAC

：.AE'AC=AH-EC,

：.AE'AD=AH'AF,

故④正確；

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形

的判定與性質(zhì).此題難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）

7.（4分）cos30°=.

—2—

【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可求解.

【解答】解：cos30。=返.

_2

故答案為：叵.

2

【點(diǎn)評(píng)】考查了特殊角的三角函數(shù)值，是基礎(chǔ)題目，比較簡(jiǎn)單.

8.（4分）把長(zhǎng)度為4c的線段進(jìn)行黃金分割，則較長(zhǎng)線段的長(zhǎng)是（275-2）cm.

【分析】根據(jù)黃金分割的定義得到較長(zhǎng)線段的長(zhǎng)=1二1義4,然后進(jìn)行二次根式的運(yùn)算即可.

2

【解答】解：較長(zhǎng)線段的長(zhǎng)=逅二1義4=（275-2）cm.

2

故答案為（K石-2）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了黃金分割：把線段A8分成兩條線段AC和8c（AOBC）,且使AC是A8和

的比例中項(xiàng)（即AB：AC^AC：BC）,叫做把線段AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，其

1

中AC=V^-AB^0.618AB,并且線段AB的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè).

2

9.（4分）如果兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)角平分線之比為1：4,那么它們的周長(zhǎng)之比是1：4.

【分析】直接根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答.

【解答】解：???兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)角平分線之比為1：4,

那么它們的周長(zhǎng)之比是1：4.

故答案為：1：4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，即相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比、周長(zhǎng)的比等

于相似比.

10.（4分）如果拋物線y=（加-1）/+2/nx+l的圖象開口向下，那么加的取值范圍是m<l.

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)拋物線開口向下時(shí)，二次項(xiàng)系數(shù)機(jī)-1<0,然后解一元一次不等

式即可求出機(jī)的取值范圍.

【解答】解：???拋物線丫=（m-I）/+2〃優(yōu)+1的圖象開口向下，

：?m-1V0,

解得：m<l.

故答案為：m<l.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，明確二次函數(shù)圖象的開口方法有二次項(xiàng)系數(shù)決定是解

題的基礎(chǔ).

11.（4分）將二次函數(shù)y=-2?的圖象向右平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，所得圖象的解析式為y

=-2G--1）2-2.

【分析】根據(jù)“左加右減，上加下減”的法則即可得出結(jié)論.

【解答】解：二次函數(shù)y=-2/的圖象向右平移1個(gè)單位，再向下平移2單位后，所得二次函數(shù)的解

析式為y=-2（x-1）2-2.

故答案為：y=-2（x-1）2-2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知”上加下減，左加右減”的法則是解答此題的

關(guān)鍵.

12.（4分）二次函數(shù)y=（1，+6尤+c中，函數(shù)y與自變量x的部分對(duì)應(yīng)值如表，則一的值為-1.

尤-2-101234

y72-1-2m27

【分析】利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式，即可求解.

【解答】解：把點(diǎn)（-2,7）（-1,2）,（0,-1）代入y="+c,得：

a-b+c=2

<c=_l，

4a-2b+c=7

解得：<b=-2，

c=-l

二次函數(shù)的解析式為尸/-2廠1,

當(dāng)x=2時(shí)，y—m—21-2X2-1=-1.

故答案為：-L

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了求二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握用待定系數(shù)法求

出二次函數(shù)的解析式的方法是解題的關(guān)鍵.

13.（4分）在RtZXABC中，ZC=90°,ZB=a,AB=2,那么BC=2cosa.（結(jié)果用a的銳角三角

函數(shù)表示）

【分析】根據(jù)余弦的定義可得BC=AB-cosB=2cosa.

【解答】解：在RtZXABC中，ZC=90°,NB=a,AB=2,

cosB=^-,

AB

.,.BC=AB*cosB=2cosa.

故答案為：2cosa.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是關(guān)鍵.

14.（4分）如圖，點(diǎn)。、E、尸分別是AABC三邊的中點(diǎn)，那么與布相等的向量是—而和近一

【分析】由點(diǎn)。、E、尸分別是aABC三邊的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，即可得。尸〃AC,DF=

CE=EA=1CA,從而可得與正相等的向量.

2

【解答】解：B分別是BC、BA的中點(diǎn),

尸是△ABC的中位線，

：.DF//AC,DF=CE=EA=^CA,

2

故與正相等的向量是誣和通.

故答案為：誣和正.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量及三角形的中位線定理，屬于基礎(chǔ)題，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形中位

線的性質(zhì)及向量相等的含義.

15.（4分）已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=Vx2+bx+c與x軸交于點(diǎn)&-%0）和點(diǎn)3,與

y軸交于點(diǎn)C（0,3）,拋物線的對(duì)稱軸與無(wú)軸交于點(diǎn)D點(diǎn)尸是直線AC上方拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸

作尸軸，垂足為點(diǎn)G,PG與直線AC交于點(diǎn)如果尸8=AH則點(diǎn)尸的坐標(biāo)是（/，生）.

【分析】用待定系數(shù)法可得y=-^x2'x+3,由A（-4,0）,C（0,3）可得直線AC解析式為y/_x+3,

444

AcWoA^C^B,設(shè)P（m，4m2券毗3），可得PH=-^m2-3ir由△AHGSAAC。，可得

444

AH=^-m+5,故即可解得尸點(diǎn)坐標(biāo)，

444

【解答】解：把A(-4,0),C(0,3)代入y=_^x2+bx+c得:

-12-4b+c=0

c=3

b=

解得4,

c=3

如圖:

設(shè)直線AC解析式為y=px+q,由A(-4,0),C(0,3)可得:

f-4p+q=0

IQ=3，

解得(PR,

q=3

...直線AC解析式為y4x+3，

AC=VoA2-H3C2=5*

設(shè)P(m,-^m+3),則

444

,,PH=(-T-in2^7-m+3)-諄m+3)=~^-iu2-3n,HG^-m+3，

44444

,：ZHAG=ZCAO,ZAGH=9Q°=ZAOC,

：.AAHG^AACO,

???A--Hz:---G-H,

AC0C

3c

-rm+3

即A膽U，一，

53

；?AH-rm+5'

4

'：PH=AH,

.32.5”

,,—rm-3m=vm+5,

44

解得m=R或機(jī)=-4(與A重合，舍去)，

3

?“514、

??P(工，

oo

故答案為：(至，生).

、337

【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線與X軸的交點(diǎn)，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待

定系數(shù)法，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定定理.

16.（4分）如圖，在回ABC。中，點(diǎn)尸在邊上，AF=2FD,直線8尸與對(duì)角線AC相交于點(diǎn)E,交CD

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,如果BE=2,那么EG的長(zhǎng)是3.

G

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得AD//BC,AD=BC,再證求出EF的長(zhǎng)，然后證△

GFDs^GBC,求出GF的長(zhǎng)，即可解決問(wèn)題.

【解答】解：：四邊形ABC。是平行四邊形，

：.AD//BC,AD=BC,

'：AF^2FD,

:.AF^2LAD=2.BC,Z)F=AAD=ABC,

3333

,JAD//BC,

???E-F_-A-F_2,

EBBC3

:.EF=2LEB=二義2=生,

333

'：AD//BC,

:AGFDs^GBC,

?-?GF_DF_—1—,

GBCB3

解得：GP=§,

3

EG=EF+GF=9+5=3,

33

故答案為：3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和相

似三角形的性質(zhì)，求出EF和GF的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵.

17.（4分）如圖，己知在四邊形ABC。中，ZADC=90°,點(diǎn)￡、尸分別在線段C￡>、AD±.如

>AE±BF,型上，那么cot/AB￡）=.

AE3-2一

【分析】過(guò)8作BG_LA。于G,交AE于點(diǎn)H,證明△BGps△人。￡,即可得地圖1上，設(shè)BG=2f,

ADAE3

則AB=AD=3t,由勾股定理可得AG=VAB2-BG2=而t，最后求出cot/ARD的值即可.

【解答】解：如圖，過(guò)B作8GLAO于G,交AE于點(diǎn)8,

VBG±AD,AELBF,

：.ZBOA^ZBGA^90°,

,：ZBHO^ZAHG,

：.ZGBF=ZDAE,

又；NBGF=/ADE.

.?.△BGF^AADE.

?BGBF2

,?而加而，

設(shè)BG=2r,則AB=AD=3f,

AG=VAB2-BG2=7(3t)2-(2t)2=V5t，

，

?.DG=AD-AG=(3-V5)tJ

U：AB=AD.

：.ZABD=ZADB,

??."ABD，cotNADB辟⑶然工3嗜.

DvNtN

故答案為：

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，解題的關(guān)

鍵是作輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問(wèn)題.

18.(4分)如圖，已知在矩形A8C。中，連接AC,cot/ABD/，將矩形ABC。繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)8

4

恰好落在對(duì)角線AC上的點(diǎn)次處，點(diǎn)4、。分別落在點(diǎn)A'、D'處，邊A'B'、A'C分別與邊

交于點(diǎn)M、N,MN-AM=5,那么線段MN的長(zhǎng)為15

【分析】連接8。，作A'EL4D于E,設(shè)A8=CZ)=3x,AO=BC=4x,貝"AC=5x,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可

得：B'C=BC=4x,A'B'=AB=3x,ZA'B'C=ZABC=90°,證明△8'AM^/\DAC,得出

由勾股定理得出B，J(=—?推出￡H=—＞證明△AA"'sME,求出A，g=—，

44x4x5X

得到DE」^，證明ENsACDN,得出EN《DE嗡x，求出MN卷x，結(jié)合MN-

AM=5得到關(guān)于x的方程，求出尤的值即可得解.

【解答】解：如圖，連接BD,作A'￡，4。于￡,

:四邊形ABC。為矩形,

AZBAD=ZADC=ZABC=90°,AB=CD,AD=BC,

???cot/ABD嗡4，

???設(shè)AB=3x,AD=4x,

.'.AB=CD=3x,AD—BC=4x,

；?AC=VAB2+BC2=5X，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：B'C=BC=4x,A'B'=AB=3x,ZA'B'C=/A2C=90°,

：.AB'=AC-B'C=x,ZAB'M=180°-NA'B'C=90°,

'：ZB'AM^ZDAC,

:.AB'AM^^XDAC,

-AM_AC_5x_5,

?'AB，=ADWT

?5

,,AM=vx,

4

???B，M=VAM2-ABy2=TX)

4

.Q

??A，M=A/B，-Bz—x，

4

VA,E±AD,

：.ZA'EM=ZAB'M=90°,

VZAMB'=NA'ME,

：.AAMB's匕NME,

5_

.AM二AB，尸M尸=5

‘'A'M=A'E=ME=93'

7X

*E《x,ME喑

?■?DE=AD-AM-ME-^>

VZA7EN=ZCDN=90°,ZA'NE=ZCND,

.?.△A'ENsMDN,

.CD=DN=3x=5

"A7E=EN"?-'3,

Tx

MN=ME+EN=777xxx'

9

：MN-AM=5f

?755

’.瓦x?=5r

...x=8,

MN-^-X8=15>

故答案為：15.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)、解直角三角形，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此

題的關(guān)鍵.

三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）

19.（10分）計(jì)算：｛（l-cot30°~）^-2sin45°+（cos45°）。+1

tan60°-V2

【分析】先將各個(gè)特殊角度的銳角三角函數(shù)值化簡(jiǎn)，再進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：原式E-2x4+1+「二

2V3-V2

=(V3-D-V2+1W3W2

=^/3-l-V2+l+V3+V2

=0.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，零指數(shù)幕，特殊角的三角函數(shù)值，掌握相應(yīng)的運(yùn)算法則是關(guān)鍵.

20.（10分）如圖，在梯形ABC。中，AD//BC,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,BC=2AD,OD=1.

（1）求8。的長(zhǎng):

一......_.

(2)如果AB=a，BC=b)試用a、b表示向量0B.

【分析】（1）由題意可得△AOOS2\COB,則毀誓虹即可得OB=2,根據(jù)BD=OB+OD

OBBC2AD2

可得答案.

（2）由題意得，AD=—?jiǎng)tDB=AB-AD=；」［，由（1）知，進(jìn)而可得答案.

223

【解答】解：（1）,：AD//BC,

J.ZDAO^ZBCO,ZADO^ZCBO,

：.△AODs/\cOB,

-0D=AD=AD=1

"OB=BC"2AD"2

OB=2,

；.BD=0B+0D=3.

(2)VBC=b-BC^2AD,

；.標(biāo)=與，

2

DB=AB-AD=a，"b，

由(1)知，0B=—￡)g,

3

?不=2尸2f1-*

?,Ub-w(a-^b)一百aFb?

o/oo

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握三角形法則、相似三角形的判定與性

質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

21.（10分）如圖所示，8A和CD表示前后兩幢樓，按照有感規(guī)定兩幢樓間的間距不得小于樓的高度，即

圖中AC大于等于CD小明想測(cè)量一下他家所著A8樓與前面C。樓是否符合規(guī)定，于是他在AC間的

點(diǎn)〃處架了測(cè)角儀，測(cè)得C。樓頂〃的仰角為45°,已知AM=4米，測(cè)角儀距地面MN=1.5米.

（1）問(wèn)：兩樓的間距是否符合規(guī)定？并說(shuō)出你的理由；

（2）為了知道前面CD樓的高度，小明又到家里（點(diǎn)P處），用測(cè)角儀再次測(cè)得樓頂。的仰角為a,

如果AP=7.5米，sina=0.6,請(qǐng)你來(lái)計(jì)算一下CD樓的高度.

【分析】（1）過(guò)點(diǎn)N作NGLDC于點(diǎn)G,在RtADNG中,由ZDNG=45°得到NG=DG,比較AM+NG

與DG+GC即可；

（2）延長(zhǎng)。P,GN交于H,由sina=0.6,可得tana=旦，由正切函數(shù)可求得上",設(shè)NG=DG=x,則

4

HG—8+4+X—12+X,tana=Ui,列方程可求得結(jié)論.

HG

【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)N作NGLOC于點(diǎn)G,

在RtZvDNG中，YNDNG=45°

：.NG=DG,

'：AC=AM+NG,DC=DG+GC,AM^4m,MN=L5m,

AODC,

.?.兩樓的間距符合規(guī)定；

(2)延長(zhǎng)。尸，GN交手H,

則N”=a,PJ=AP-MN=1.5m-1.5/7?=6m,

?sina=0.6,

??+?ta.n_ct—3—f

4

HJ———=8m,

tanCI

設(shè)NG=DG=x,則HG=8+4+x=12+x,

*.*tana=-5^-,

HG

???3---_------x---,

412+x

解得+x=36,即DG=36m,

AZ）C=Z）G+GC=36+1.5=37.5（米），

??.CZ）樓的高度為37.5米.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，題目中涉及到了仰俯角和坡度角的問(wèn)題，解答本題的關(guān)鍵是

根據(jù)仰角構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)的知識(shí)求解.

22.(10分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線M：y=-f+bx+c過(guò)點(diǎn)A(2,2)、點(diǎn)8(0,2),

頂點(diǎn)為點(diǎn)C,拋物線〃的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D

(1)直接寫出拋物線M的表達(dá)式和點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)尸在無(wú)軸上，當(dāng)△AO尸與△AC。相似時(shí)，求點(diǎn)P坐標(biāo).

1-

1——?——

0------1x

【分析】(1)由待定系數(shù)法即可求解；

(2)當(dāng)時(shí)，則史?，即史上且，即可求解；當(dāng)△OAPs/^c/M時(shí)，同理可解.

CDCA3V2

【解答】解:(1)由題意得：

(c=2

1-4+2b+c=2

解得:(b=2,

Ic=2

...拋物線的表達(dá)式為＞=-/+2x+2,

-，+2x+2=-(x-1)2+3,

頂點(diǎn)C(1,3)；

(2)由(1)知，y=-/+2x+2=-(x-1)2+3,

又；拋物線M的對(duì)稱軸交了軸于點(diǎn)。，如圖，

點(diǎn)。(1,0),

VA(2,2)、B(0,2),C(1,3),D(1,0),

AC=V(2-l)2+(2-3)2=V2)CD=3,^=7(2-l)2+22=V5>0A=V22+22=2>/2)^AOD

=ZDCA=45°,

又AAOP與△AC。相似,

.,.點(diǎn)。與點(diǎn)C對(duì)應(yīng)，

分兩種情況討論：

當(dāng)△OAPS^CA。時(shí)，

則空旦L,即近_金@_,

CDCA3V2

解得：OP=6,

即點(diǎn)尸(6,0)；

當(dāng)△OAPs/^cD4時(shí)，

則點(diǎn)p仔，0),

綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為4，0)或(6,0).

3

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象性質(zhì),

相似三角形的判定性質(zhì)等知識(shí)，熟練運(yùn)用分類討論的思想解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵.

23.(12分)已知：如圖，在梯形ABC。中，AD//BC,A2_LBC,點(diǎn)M在邊BC上，且/MDB=NADB,

BD1=AD'BC.

(1)求證：BM=CM；

(2)作垂足為點(diǎn)E,并交。于點(diǎn)尸.求證：2AD?DM=DF?DC.

【分析】(1)首先證明BM=DM,再根據(jù)已知條件證明△AOBS/VJBC,由相似的性質(zhì)可得N3OC=

ZA=90°,進(jìn)而證明。M=CM,所以

(2)由(1)可知M是BC的中點(diǎn)，所以。M是三角形BOC斜邊上的中線，由直角三角形的性質(zhì)可知

BC=2DM,證明RtZ\Z)EBsRtZ\￡)2C可得毀所以尸。C,又因?yàn)樗?/p>

DFBD

B?=AD，BC=AD，(2DM)=2AD?DM.

【解答】證明：(1)'JAD//BC,AB±BC,/MDB=/ADB,

:.NADB=NDBC=NMDB,ZA=90°,

:.BM=DM,

5L'：BD-^AD'BC,即匹L=^_,

BDBC

AADB^/\DBC,

：.ZBDC=ZA=90°,

：.ZC=ZMDC=90°-ZDBC,

：.DM=CM,

:.BM=CM,

(2)VZMDC+ZDFB^90°,

：.ZDFB=ZDBC,

：.RtADFB^RtADBC,

???BD二DC,，

DFBD

：.DF'DC=BD2

,:B0=AD*BC=AD。(2DM)=2AD?DM,

：.2AD'DM^DF'DC.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了梯形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及比例式的證明，題

目的綜合性很強(qiáng)，難度不小.

24.(12分)己知，如圖，拋物線y=一乎2+以+<:與x軸正半軸交于A、3兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,直線y

=x-2經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn).

(1)直接寫出拋物線的解析式；

(2)尸為拋物線上一點(diǎn)，若點(diǎn)P關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)。落在y軸上，求P點(diǎn)坐標(biāo);

(3)現(xiàn)將拋物線平移，保持頂點(diǎn)在直線y=x-旦，若平移后的拋物線與直線y=x-2交于M、N兩點(diǎn).

4

①求：的長(zhǎng)度；

②結(jié)合(2)的條件，直接寫出△QMN的周長(zhǎng)的最小值」后±2如

【分析】(1)求出A,C點(diǎn)的坐標(biāo)，再將點(diǎn)坐標(biāo)代入y=」f+bx+c,即可得解；

4

(2)先求出/。。4=45°,再由對(duì)稱性可知尸C_Ly軸，即可求出點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)，最后利用二次函數(shù)的

解析式求出結(jié)果；

(3)①先求出平移后的拋物線，再利用工■(x-m)2+m-H-=x-2,得出xi+尤2=2”？-4,x\'xi=nr

44

-4m+3,最后利用兩點(diǎn)間的距離公式求解即可；

②作KQLMN,連接MK,MP,先求出KM+M尸的最小值，即KP的長(zhǎng)，最后根據(jù)△QMN的周長(zhǎng)的最

小值，即KQ+KP,得解.

【解答】解：(1)在y=x-2中，令y=0,得冗=2,令兀=0,得y=-2,

???A(2,0),C(0,-2)；

拋物線y='/+法+c與x軸正半軸交于A、8兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,將A,C點(diǎn)坐標(biāo)代入得：

4

(1

《■X4+2b+c=0

<4，

c=-2

解得fb》=2l，

c=-2

拋物線的解析式為：y=」2+工一2；

42

(2)如圖,

/.ZOCA=45°,

,/點(diǎn)尸關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)。在y軸上，

：.ZOCA=ZPCA=45°,

軸，

.?.點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)為-2,

令，2+&-2=-2,

42

解得％=6或x=0(舍去)，

：.P(6,-2)；

(3)①設(shè)平移后的拋物線的頂點(diǎn)為(m,

4

???平移后的拋物線的解析式為：j=-1(x-/?)2+m-11,

’44

令(x-5)2+?7,-AX=x-2,

44

整理得W+(4-2m)x+m2-4m+3=0,

設(shè)Af(xi,yi),N(x2f”)，

/.xi+x2=2m-4,-4m+3,

222

MN=J(X]-X.)2+一y.)2=^(X1-X2)+(X1-2-X2+2)=^2(x1-x2)-8x1x2=

2V2.

MN的長(zhǎng)度為2如;

②如圖，作KQ〃腦V,并令KQ=MN,連接MK,MP,由題可知，P(6,-2),。(0,4),KQ=MN

=2料，則只需要求QM+QV的最小值即可.

：.KM=QN即KM+MP的最小值，即KP的長(zhǎng)，

：.K(-2,2),

；.KP=4后，

...△QWN的周長(zhǎng)的最小值為4/5+2V2.

故答案為：475+272.

【點(diǎn)評(píng)】本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，拋物線的平移，待定系數(shù)法求

函數(shù)解析式，掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，正確作出圖形是解題關(guān)鍵.

25.(14分)如圖，已知正方形ABC。，點(diǎn)X是邊2C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)2、C重合)，點(diǎn)E在。X上,

滿足AE=A8,延長(zhǎng)BE交C。于點(diǎn)尺

(2)點(diǎn)M、N分別是邊AB、AD的中點(diǎn)，已知點(diǎn)尸在線段上，連結(jié)AP、BP,此時(shí)NAPB=90°,

求：cotAABP；

(3)連結(jié)CE.如果△CEP是以CE為腰的等腰三角形，求NEBC的正切值.

【分析】(1)由正方形的性質(zhì)得ZBAD^9Q°,AE^AD=AB,所以Z

A￡r>=NADE,貝I]2/AEB