數據的分析 知識歸納與題型突破（六類題型清單） （原卷版）-2024-2025學年八年級數學上冊復習（北師版）

第六章數據的分析知識歸納與題型突破（六類題型清單）

01思維導圖

02知識速記

一、算術平均數和加權平均數

一般地，對于〃個數X1、/、七、…天，我們把!（不出2出3+…+%）叫做這〃個數的算術平均數，簡

n

稱平均數，記作了.計算公式為亍=工（西+%2+%3+…+工〃）?

n

要點：

平均數表示一組數據的“平均水平”，反映了一組數據的集中趨勢.

（1）當一組數據較大時，并且這些數據都在某一常數。附近上、下波動時，一般選用簡化計算公式

元=元，+。.其中三為新數據的平均數，。為取定的接近這組數據的平均數的較“整”的數.

（2）平均數的大小與一組數據里的每個數據均有關系，其中任一數據的變動都會相應引起平均數的變動.

所以平均數容易受到個別特殊值的影響.

若〃個數七、的權分別是％、叫、…、叱,貝I]"I"+"2叱+—+X'叱.叫做這.個數的加權

W]+TV2+...+TV“

平均數.

要點：

(1)相同數據玉的個數叱叫做權，叱越大，表示玉的個數越多，“權”就越重.數據的權能夠反映數據的

相對“重要程度”.

(2)加權平均數實際上是算術平均數的另一種表現形式，是平均數的簡便運算.

二、中位數和眾數

1.中位數

一般地，n個數據按照大小順序排列，處于最中間位置的一個數據(或最中間兩個數據的平均數)叫做

這組數據的中位數.

要點：

(1)一組數據的中位數是唯一的；一組數據的中位數不一定出現在這組數據中.

(2)由一組數據的中位數可以知道中位數以上和以下數據各占一半.

2.眾數

一組數據中出現次數最多的那個數據叫做這組數據的眾數.

要點：

(1)一組數據的眾數一定出現在這組數據中；一組數據的眾數可能不止一個.

(2)眾數是一組數據中出現次數最多的數據而不是數據出現的次數.

三、平均數、中位數與眾數的聯(lián)系與區(qū)別

聯(lián)系：平均數、眾數、中位數都是用來描述數據集中趨勢的量，其中以平均數最為重要.

區(qū)別：平均數的大小與每一個數據都有關，任何一個數的波動都會引起平均數的波動，當一組數據中

有個別數據太高或太低，用平均數來描述整體趨勢則不合適，用中位數或眾數則較合適.中位數與數據排列

位置有關，個別數據的波動對中位數沒影響；眾數主要研究各數據出現的頻數，當一組數據中不少數據多

次重復出現時，可用眾數來描述.

四、極差、方差和標準差

1.極差

一組數據中最大數據與最小數據的差，稱為極差，極差=最大數據一最小數據.

要點：

極差是最簡單的一種度量數據波動情況的量，它受極端值的影響較大.一組數據極差越小，這組數據就

越穩(wěn)定.

2.方差

方差是各個數據與平均數差的平方的平均數.方差/的計算公式是：

2222

S=—[(xj-X)+(x2-x)+...+(%?-X)],其中，又是xrX2，…Xn的平均數.

n

要點：

(1)方差反映的是一組數據偏離平均值的情況.方差越大，數據的波動越大；方差越小，數據的波動越

小.

(2)一組數據的每一個數都加上(或減去)同一個常數，所得的一組新數據的方差不變.

(3)一組數據的每一個數據都變?yōu)樵瓉淼淖蟊?，則所得的一組新數據的方差變?yōu)樵瓉淼淖?倍.

3.標準差

方差的算術平方根叫做這組數據的標準差，用符號s表示，即:

S=￡[5一-三/+…+&-I）?]；標準差的數量單位與原數據一致.

4.極差、方差和標準差的聯(lián)系與區(qū)別

聯(lián)系：極差與方差、標準差都是表示一組數據離散程度的特征數.

區(qū)別：極差表示一組數據波動范圍的大小，它受極端數據的影響較大；方差反映了一組數據與其平均

值的離散程度的大小.方差越大，穩(wěn)定性也越小；反之，則穩(wěn)定性越好.所以一般情況下只求一組數據的

波動范圍時用極差，在考慮到這組數據的穩(wěn)定性時用方差.

五、用樣本估計總體

在考察總體的平均水平或方差時，往往都是通過抽取樣本，用樣本的平均水平或方差近似估計得到總

體的平均水平或方差.

要點：

（1）如果總體數量太多，或者從總體中抽取個體的試驗帶有破壞性，都應該抽取樣本.取樣必須具有盡可

能大的代表性.

（2）用樣本估計總體時，樣本容量越大，樣本對總體的估計也越精確.樣本容量的確定既要考慮問題本身

的需要，又要考慮實現的可能性所付出的代價.

03題型歸納

題型一平均數

例題

1.一組數據10,9,10,12,9的平均數是（）

A.11B.12C.9D.10

鞏固訓練

2.若一組數1,3,xj5,6的平均數為4,則工的值為（）

A.3B.4C.5D.6

3.在一次編程比賽中，8位評委給參賽選手小李的打分如下:

9.0,9.0,9.2,10.0,9.0,9.2,9.0,9.2.

規(guī)定去掉一個最高分和一個最低分后的平均值做為選手的最后得分.小李的最后得分是（）

A.9.0B.9.1C.9.2D.9.3

4.某次射擊訓練中，一個小組的成績如下表所示：

環(huán)數789

人數23

已知該小組的平均成績?yōu)?.1環(huán)，那么成績?yōu)?環(huán)的人數是（）

A.4B.5C.6D.7

5.在一次演講比賽中，甲的演講內容90分、演講能力80分、演講效果90分，若按照演講內容占50%,演

講能力占40%,演講效果占10%,計算選手的綜合成績，則該選手的綜合成績?yōu)?

6.有m個數的平均數是x,n個數的平均數是y,則這（m+n）個數的平均數為（）

A%+ycmx+Dmx+ny

2m+nm+n2

7.有20個數據，其中8個數的平均數為11,另12個數的平均數是12,則這20個數的平均數是（）

A.11.5B.11.6C.23.2D.232

題型二中位數和眾數

例題

8.已知一組數據：15,13,15,16,17,16,14,15,則這組數據的中位數與眾數分別是（）

A.14,15B.15,15C.14,16D.15,16

鞏固訓練

9.在學校的體育訓練中，小杰投實心球的7次成績就如統(tǒng)計圖所示，則這7次成績的中位數和眾數分別是

D.9.8m,9.8m

10.一組數據1,2,5,3,。的平均數是3,則中位數是.

11.李老師為了了解本班學生每周課外閱讀文章的數量，抽取了7名同學進行調查，調查結果如下（單位:

篇/周）：4,25,543,其中有一個數據不小心被墨跡污損.已知這組數據的平均數為4,那么這組數據

的眾數與中位數分別為（）

A.5,4B.3,5C.4,4D.4,5

12.一組數據4,6,4,x的眾數只有一個，則x的值不能為.

13.某校初中三個年級進行衛(wèi)生大評比，其中一個評委對初三年級20個班的成績匯總并繪制如下表格:

平均數眾數中位數方差

9.29.09.10.7

學校規(guī)定三個年級評比要求：去掉一個最高分，去掉一個最低分進行評比，去掉后表中數據一定不發(fā)生變

化的是（）

A.平均數B.中位數C.眾數D.方差

14.兩臺/、2型號的大米自動封裝機包裝的質量為50km的袋食品中各封裝了10袋大米，測得其實際質量

如下表（單位：km）：

A50.150.650.849.750.849.650.550.349.549.9

B50.550.249.850.149.950.349.850.250.149.9

由上表可以判斷______型號自動封裝機性能更好.

題型三數據的離散程度

例題

15.在某次射擊訓練中，甲、乙、丙、丁4人各射擊10次，平均成績相同，方差分別是品=0.32,

^=0.15,S需=0.26,4=0.47,這4人中成績發(fā)揮最穩(wěn)定的是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

鞏固訓練

16.為了解同一型號50輛汽車每耗油1L所行駛路程的情況，現從中抽出5輛汽車在同一條件下進行耗油1L

所行路程的試驗，得到如下數據（單位：km）：11,15,9,12,13.該樣本的方差是（）

A.20B.12C.4D.2

17.某班級舉辦了一次背誦古詩競賽，滿分100分，這次競賽中，甲、乙兩組學生成績如下（單位：分）:

甲：40,60,70,90,90,100；乙：60,60,80,80,80,90其中90分以上為優(yōu)秀，則下列說法正確的

是（）

A.甲組平均成績高于乙組

B.甲組成績比乙組更穩(wěn)定

C.甲組成績中位數與乙組相同

D.乙組成績優(yōu)秀率更高

18.小明同學分析某小組成員身高的數據（單位：cm）：155,162,173,162,17>,160,發(fā)現其中一個

數據的個位數被墨水抹黑了，則以下統(tǒng)計量不受影響的是（）

A.中位數B.眾數C.平均數D.方差

19.九（2）班要在甲、乙、丙、丁四位同學中選擇一個代表班級參加學校“春季運動會”的50米跑項目，班

委利用課余時間對4位同學進行了50米跑的選拔.將四位同學的測試數據整理在下表中，為了選出一名成

績較好且穩(wěn)定的同學為班級爭光，應該選擇（）

甲乙丙T

平均用時/秒8.27.97.98.2

方差2.21.42.41.4

A.甲B.乙C.丙D.丁

題型四利用統(tǒng)計圖分析數據的集中趨勢和離散程度

例題

20.下面是甲、乙兩人10次射擊成績（環(huán)數）的條形統(tǒng)計圖，通常新手的成績不太確定，根據圖中的信息,

估計這兩人中的新手是

甲10次射擊成績統(tǒng)計圖乙10次射擊成績統(tǒng)計圖

次數次數

f0lil

訕誠/環(huán)

8910成績/環(huán)8910

鞏固訓練

21.七（1）班舉行投籃比賽,每人投5球.如圖是全班學生投進球數的扇形統(tǒng)計圖，則投進球數的眾數

是.

七（1）班學生投進

球數的扇形統(tǒng)計圖

22.某住宅小區(qū)六月份中1日至6日每天用水量變化情況如圖所示，那么這6天的平均用水量是噸.

用水量/噸

37--------------------,

34r

32

I-

31

I-

30Ia-

期

s日

23.如圖是根據某次射擊比賽中甲、乙兩人5次射擊的成績（環(huán)數）制作的折線統(tǒng)計圖，成績更穩(wěn)定的是

()

A.甲B.一■樣C.乙D.不能確定

24.甲、乙兩地今年4月份前5天的日最低氣溫如圖所示，則下列描述正確的是（）

B.甲地最低氣溫的眾數是4°C

C.乙地最低氣溫相對比較穩(wěn)定D.乙地最低氣溫的平均數是5°C

題型五數據的分析難點

例題

25.如果將一組數據中的每個數都減去25,那么所得的一組新數據（）

A.眾數改變，方差改變B.眾數不變，平均數改變

C.中位數改變，方差不變D.中位數不變，平均數不變

鞏固訓練

26.已知一組數據即，a2,的，..，。"的方差為3,則另一組數田+1,a2+\,a3+l,....,的方差

為

27.已知一組數據為,%2，苫3，匕，%的平均數是4,方差是3,那么另一組數據2%-3,2X2-3,2X3-3,

2匕-3,2%-3的平均數和方差分別是（）

A.5,12B.5,3C.6,12D.6,3

28.五個互不相等的正偶數X],x2,七，x4,X5的平均數和中位數都是A,且六個數X],X],演，看，

天，〃2的眾數是6,平均數還是A,則這五個互不相等的正偶數為，X”x3,5，X5的方差為.

題型六解答綜合題

例題

29.某公司要在甲、乙兩人中招聘一名職員，對兩人的學歷、能力、經驗這三項進行了測試，各項滿分均

為10分，成績高者被錄用.圖1是甲、乙兩人測試成績的條形統(tǒng)計圖.

圖2

圖1

(1)分別計算甲、乙兩人三項成績之和，則一會被錄用;

(2)若將甲、乙兩人的三項測試成績，分別按照扇形統(tǒng)計圖(圖2)各項所占之比進行計算，甲成績?yōu)橐环?

乙成績?yōu)橐环?，則一會被錄用.

鞏固訓練

30.“直播+電商”作為新興銷售形式，對于拓寬農特產品銷售渠道，助力鄉(xiāng)村振興起到了重要作用、某農村

合作社幫助該村農民利用網絡平臺計劃銷售1000箱蘋果，為確保蘋果質量，檢測人員隨機抽取20箱進行

測量，每箱蘋果的質量統(tǒng)計如下:

抽測蘋果的質量統(tǒng)計圖每箱4.9kg的蘋果的箱數

(1)補全條形統(tǒng)計圖.

(2)抽取20箱蘋果質量的中位數為,眾數為

(3)經調查，蘋果市場的售價為6元/kg,若這批蘋果全部售完，請估計這批蘋果的總銷售額.

31.為了進一步了解七年級學生的身體素質情況，體育老師對七年級(1)班45名學生進行1分鐘跳繩次

數測試，以測試數據為樣本，繪制頻數分布直方圖如圖所示.已知七年級學生1分鐘跳繩次數(x)達標要求

是：x<120為不合格，120Wx<140為合格，140Wx<160為良好，xN160為優(yōu)秀.

(1)求80<100這一組數據的頻率及七年級(1)班1分鐘跳繩的優(yōu)良率(包括良好和優(yōu)秀).

(2)求出這45名學生1分鐘跳繩次數的中位數所在組的組中值，并結合各數據段分布情況對七年級(1)班

的同學提出一些合理的建議.

32.為了讓同學們了解自己的體育水平，八年級1班的體育老師對全班45名學生進行了一次體育模擬測試

(得分均為整數)，成績滿分為10分，1班的體育委員根據這次測試成績，制作了統(tǒng)計圖和分析表如下:

八年級1班全體女生體育測試成績八年級1班全體男生體育測試

分布扇形統(tǒng)計圖成績條形統(tǒng)計圖

八年級1班體育模擬測試成績分析表

平均數方差中位數眾數

男生287

女生7.921.998

根據以上信息，解答下列問題:

(1)這個班共有男生一人，共有女生一人;

(2)補全八年級1班體育模擬測試成績分析表;

(3)你認為在這次體育測試中，1班的男生隊，女生隊哪個表現更突出一些？并寫出你的看法的理由.

33.某校初一開展英語拼寫大賽，愛國班和求知班根據初賽成績，各選出5名選手參加復賽，兩個班各選

出的5名選手的復賽成績如圖所示:

分數

班級平均數（分）中位數（分）眾數（分）

愛國班a85C

求知班85b100

（1）根據圖本直接寫出。、6、c的值；

（2）結合兩班復賽成績的平均數和中位數，分析哪個班級的復賽成績比較好？

（3）已知愛國班復賽成績的方差是70,請求出求知班復賽成績的方差，并說明哪個班成績比較穩(wěn)定？（計算

方差的公式：$2=—［（*—苫）+（X2—X）H-----F（Xa—X）］）

34.某校為了了解初一年級共480名同學對環(huán)保知識的掌握情況，對他們進行了環(huán)保知識測試.現隨機抽

取甲、乙兩班各15名同學的測試成績（滿分100分）進行整理分析，過程如下：

【收集數據】

甲班15名學生測試成績分別為：78,83,85,87,89,90,92,93,94,96,97,98,99,100,100

乙班15名學生測試成績中804x<95的成績如下：90,91,92,93,94

【整理數據工

班級75<x<8080<x<8585<x<9090<x<9595<x<100

甲11346

乙123