數(shù)列綜合大題歸類：求和放縮不等式（16題型提分練）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識清單

專題17數(shù)列綜合大題歸類：求和，放縮不等式

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目錄

題型一：分組求和：公式法........................................................................1

題型二：分組求和：奇偶分段型....................................................................3

題型三：分組求和：正負(fù)相間型....................................................................5

題型四：倒序求和型..............................................................................7

題型五：裂項相消1：函數(shù)型......................................................................9

題型六：裂項相消2：指數(shù)型......................................................................12

題型七：裂項相消3：無理根號型..................................................................14

題型八：裂項相消4：分子分母齊次分離型.........................................................17

題型九：裂項相消5：等差指數(shù)混合型.............................................................20

題型十：裂項相消6：正負(fù)相間裂和型.............................................................22

題型十一：裂項相消7：三角函數(shù)型...............................................................25

題型十二：裂項型證明數(shù)列不等式.................................................................28

題型十三：三角函數(shù)型數(shù)列不等式證明.............................................................30

題型十四：先求和再放縮證明數(shù)列不等式...........................................................35

題型十五：先放縮再求和證明數(shù)列不等式...........................................................39

題型十六：利用導(dǎo)數(shù)不等式證明數(shù)列不等式.........................................................43

^突圍?錯;住蝗分

題型一：分組求和：公式法

指I點I迷I津

等差等比求和是求和的基礎(chǔ)。等差等比求和公式：

等差:前w項和公式：喀口4=血抖.

,q=1,

等比：前〃項和公式：a。-q"）與一。應(yīng)

1.（23-24高三?河北唐山?模擬）己知數(shù)列｛q｝,%=%=1,an+2-5an+1+6an=0.

⑴證明：數(shù)列｛%+「3q,｝為等比數(shù)列；

⑵求數(shù)列｛4｝的通項公式；

⑶求數(shù)列｛。,｝的前〃項和S,.

【答案】⑴證明見解析（2）為=2〃-⑶"=2W+1----

22

【分析】（1）根據(jù)已知條件得到4+2-2q+i=3（%+i-2%）,%+2-34+1=2（4+I-3%）,即可證明答案.

a.-2a=—3K1

（2）根據(jù)題意得到向Jc?一，再解方程組即可.

K+i-3a?=-2-2

（3）利用分組求和的方法求解即可.

【詳解】(1)因為％=。2=1，。,+2-5?！?1+62=。，

所以%+2-2為+1=34+1-2(),an+2-3an+l=2(a?+1-3a?).

a

而。2—2。[=—1w0,a2—3q=—2w0,所以n+i~2an。0,an+l—3anw0,

2+2]%=3,%+2=2.所以數(shù)列｛4+「2?！保且允醉棥?,公比為3的等比數(shù)列.

an+\"nan+\

數(shù)列｛a“+「3q｝是以首項—2,公比為2的等比數(shù)列.

⑵由⑴知：小一"一:"％=2"-3一

&+1-3氏=-2.2

(3)因為。"=2"-3"1,所以￡,=21+22+…+20—(3°+。+…+3.T)=2(1-2")-'=？…3"3

1-21-322

2.(2024?山東?二模)已知數(shù)列｛%｝,｛么｝中，q=4,々=一2,｛%｝是公差為1的等差數(shù)歹|,數(shù)歹

是公比為2的等比數(shù)列.

⑴求數(shù)列也｝的通項公式；

(2)求數(shù)列出｝的前〃項和卻

【答案】(1也=2"-〃-3⑵1=2向-史-乂-2

22

【分析】(1)先根據(jù)題意及等差數(shù)列的通項公式計算出數(shù)列｛%｝的通項公式，再根據(jù)等比數(shù)列的通項公式計

算出數(shù)列｛%+〃』的通項公式，即可計算出數(shù)列他」的通項公式；

(2)根據(jù)數(shù)列｛2｝的通項公式的特點運用分組求和法，以及等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式即可計算出前〃

項和

【詳解】(1)由題意，可得%=4+(〃-1)X1=〃+3,

故4=〃+3,neN*,

:數(shù)列｛%+2｝是公比為2的等比數(shù)列,且-—2=2,二緣+"=2-2"-1=2",

bn=2"-an=2"-n-3,〃eN*.

(2)由題意及(1),可得=2"-(”+3),則北=4+62+634---kb*

=<2i-4)+(22-5)+(23-6)+-+[2"-(〃+3)]=(2'+22+23+...+2,|)-[4+5+6+...+(n+3)]

=2(1-2")5+7)〃_2向17n2

1-22TT

3.(23-24高三?重慶九龍坡?模擬)已知等差數(shù)列｛風(fēng)｝的前〃項和為工，且滿足q=-2,邑=0.

⑴求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)設(shè)吼=a“+3?求數(shù)列也｝的前〃項和九

9"-1

【答案】(1)4=4九-6(2)"(2〃-4)+

24

【分析】(1)利用等差數(shù)列的概念計算公差，再求通項即可；

(2)利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式，分組求和計算即可.

【詳解】(1)由題意可知S?=4+%=-2+g=。，所以的=2,

設(shè)｛4｝的公差為d,則d=%-4=4,所以％,=-2+(〃-l)x4=4〃-6；

(2)由題意知，b?=a?+32n-3,

?,〃(一2+4〃-6)

易矢口%+%+.??+%=----------=2n9-4〃,

如,13〃(4+%)3一;(1一9"),八9"-1

故7＞卬+%+。3+…+4,+3T+3i+33+i+32"-3=_l^」L2+_三1=妝2"-4)+f

4.(22-23高三?河南鄭州?期中)已知數(shù)列｛”“｝的前〃項和為S,,且滿足S"+”=2a"(〃eN*).

⑴求證:數(shù)列｛4+1｝為等比數(shù)列；

（2）求數(shù)列｛6｝的前”項和

【答案】⑴證明見解析⑵5“=2.-〃-2

【分析】⑴由S“和%的關(guān)系式消去S“得遞推式a“=2a,T+1,由此構(gòu)造等比數(shù)列｛?！?1｝；

（2）法一、由（1）求出數(shù)列通項，再分組求和；法二、由（1）求出數(shù)列通項，代入已知式，整理即得.

【詳解】（1）當(dāng)”=1時，％+1=2%,解得％=1.因5“+”=2%①，

當(dāng)“22時，S,i+5-l）=2a,T②

①-②得，an+l=2an-2a?_j,ipan=2an_1+1,貝Ija0+1=2（a._]+1）,即一--=2,（n>2）,又q+l=2.

a

n-i+1

所以。+1｝是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列.

=（21-1）+（22-1）+（23-1）+---+（2"-1）

（2）法一、由（1）可得%+]=2-2恒=2"，即氏=2"—1,=（2'+22+23+...+2"）-?

法二、由(1)可知a“+l=2-2i=2",即a"=2"-l,

又由題知：S,+〃=2a“(weN*).代入可得5“=2%-〃=2M-九-2.

題型二：分組求和：奇偶分段型

;指I點I迷I津

：分組求和法：

1.形如%=b“（等差）+c“（等比），用分組求和法，分別求和而后相加減

；2.形如a,=b“（等差比）+c”（裂項），用分組求和法，分別求和而后相加減

3.形如a,=b”+c“，（b?,"為可以求和的常見數(shù)列），用分組求和法，分別求和而后相加減

如果涉及到分段數(shù)列，則.要注意處理好奇偶數(shù)列對應(yīng)的項：

（1）可構(gòu)建新數(shù)列；（2）可“跳項”求和

1?"63-24曬：育靠麻贏丁藐零薪司褊幣：々二17iis~~

數(shù)列，4=2,且4+邑=7,%+4TO.⑴求％與或;

為奇數(shù)）

（2）定義新數(shù)列｛Q｝滿足￡,=<如僅為偶數(shù)j;〃eN*),求｛C“｝前20項的和7M.

11

【答案】（1）%="，2=2"（2）等7Q6+?4

【分析】（1）設(shè)出公差和公比，根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本量運算，列出方程組，解之即得數(shù)列通項;

（2）根據(jù)數(shù)列｛CJ的奇偶性特征，運用分組求和法計算5。，利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式計算即

得.

【詳解】(1)設(shè)數(shù)列｛廝｝的公差為d，數(shù)列｛%｝的公比為4,

\b+S=10f2g+2+d=7ft/=1,

則由2/2s可得，c2S，解得：。故%=1+5—1)=22=2〃.

[a2+b3=10[l+6?+2(7=10[q=2,

%（幾為奇數(shù)）

（2）由（1）得,

2",（〃為偶數(shù)）

2420

則^20=(G+C3T-----FC]9)+(C2+C4+—FC20)=(1+34----1-19)+(2+2+—+2)

10(1+19)4(1-410)_4411_296411

21-43333

2.(2024?山西?三模)已知等差數(shù)列｛〃〃｝的公差d>0,前〃項和為且%。6=-5,S8=-16.

⑴求數(shù)列｛4｝的通項公式；

[a,n=2k—l/*、,、

⑵若么=°：akeN*,求數(shù)列也的前2〃項和匕.

[2,〃=2化'/

4〃+1_4

【答案】⑴氏=2〃-11(2)2"一11"+^_1

【分析】（1）依題意得到關(guān)于6、d的方程組，解得生、d,即可求出通項公式;

（2）由（1）可得化eN*,利用分組求和法計算可得.

[2,〃=2上'7

【詳解】（1）因為％。6=-5,s8=-16,

(%+2d)(%+5d)=—5

所以8x(8—1)，解得

8%T-----——-d=-16

n——9

因為d＞。，所以Jc,貝！|a“=q+(〃-l)d=2〃-n；

a=2

a,n=2k—\2〃—11,〃=2女—1

（2）由（1）可得〃=nwN*

2n,n=2k2n,n=2k

所以(“=[_9-5-l+3+7+…+(4〃-13)]+(22+2，+26+-+22")=〃[-9+(4〃-13)]+2。(1-：”)

4?+1_4

=2n2-lln+

-3~

3.（23-24高三下?廣東?模擬）已知數(shù)列｛的J是公差不為0的等差數(shù)列，其前幾項和為5“，S3=3,出，?，

4成等比數(shù)列.

⑴求｛&J的通項公式；

[a+3,n=2k,

⑵若2=1]，獲N*,求數(shù)列也｝的前100項和小.

[2n,n=027k—l,

【答案】⑴見=2〃-3（2）%=5100+^^

【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列基本量的計算可得公差和首項，即可求解通項，

（2）利用等差等比求和公式，結(jié)合分組求和即可求解.

【詳解】（1）設(shè)數(shù)列｛&J的首項為4,公差為d,根據(jù)題意得；即/一、2/八/一、

[a3=a2a6,[（q+2d）=（%+d）（q+5d）,

解得?二'或夕:.又因d-0,所以夕所以5｝的通項公式為4，=2-3.

\d=2,[d=。[d=2

f2幾〃—2人

（2）由（1）得2=c2；3一；?keN.即數(shù)列｛如｝的偶數(shù)項是以4為首項，4為公差的等差數(shù)列，

[2,YI—■2k+1,

奇數(shù)項是以!為首項，16為公比的等比數(shù)列.

數(shù)列｛%｝的前100項中偶數(shù)項有50項，奇數(shù)項有50項，

數(shù)列｛bn｝的前10°項和北=濟(jì)+匕2+仄+.......+Z?99+b100.

：(1-165。)_220°T,4+々+4+50x49

+698+0100=50x4+--------x4=5100

4+4+&++方97+d9=2

1-1630

2200-1

所以小=5100+

30

4.(23-24高三?江蘇鹽城?期末)已知等差數(shù)列｛%｝的首項為1,公差d=2.數(shù)列也｝為公比q=2的等比數(shù)

列，且久也+3,4成等差數(shù)列.

⑴求數(shù)列也｝和數(shù)列也｝的通項公式；

為奇數(shù)()

(2)若c.=…數(shù)'求數(shù)列間的前2,項和

【答案】(1)%=2〃-1,b"=3-2"T(2)2“2—〃一2+22角

【分析】(1)直接根據(jù)等差數(shù)列，等比數(shù)列基本量的運算即可得結(jié)果；

(2)分為奇數(shù)項和偶數(shù)項結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的前〃項和即可得結(jié)果.

【詳解】(1)由于等差數(shù)列｛%｝的首項為1,公差d=2

所以4,=2〃T,

由數(shù)列他,｝為公比是2的等比數(shù)列且打也+3,打成等差數(shù)列，

知2(4+3)=。+處2(曲+3)=改+跖,解得仇=3,所以么=3?2。

為奇數(shù)31

(2)由(1)知，c=,北“=1+3-2+5+3?23+…+4”-3+3.22"T

n3為偶數(shù)'

32n1

7；n=(l+5+9+---+4/7-3)+(3-2+3-2+--.+3-2-)

/i(l+4?-3)2(1-4")2

=」-------L+3-△--------=2n2-n-2+22n+2n1+.1

21-4

題型三：分組求和：正負(fù)相間型

指I點I迷I津

正負(fù)相間求和：

1.奇偶項正負(fù)相間型求和，可以兩項結(jié)合構(gòu)成“常數(shù)數(shù)列”。

2.如果需要討論奇偶，一般情況下，先求偶，再求奇。求奇時候，直接代入偶數(shù)項公式，再加上最后的

奇數(shù)項通項。

1.(24-25高三?全國?練習(xí))已知數(shù)列氏求數(shù)列｛0｝的前幾項和S".

3"為偶數(shù)，

2

【答案】s“=

_山，〃為奇數(shù).

2

【分析】分奇偶討論，結(jié)合分組(并項)求和即可.

【詳解】若〃是偶數(shù)，貝iJS.=(-l+2)+(—3+4)+(—5+6)+…("一l)+”]=g.

若n是奇數(shù)，貝11S“=(―1+2)+(—3+4)+(—5+6)H----F(―?)=——n=——.

為偶數(shù)，

2

綜上所述，S,=.

-小，〃為奇數(shù).

2

2.(2023?廣西南寧?模擬預(yù)測)已知數(shù)列｛%｝的前"項和為S"，S“=?-g,〃eN*.

⑴求｛見｝的通項公式；

H

⑵設(shè)％=(R)g34)2,Cn=(-l)7^-+-^—J,求數(shù)列匕｝的前〃項和

%2)

【答案】⑴a"=3"("wN*)(2)7；=/^V

【分析】(1)根據(jù)?！迸cS”的關(guān)系直接求通項公式即可;

(2)根據(jù)(1)中｛&J的通項公式得到么=(log3a“)2=(log33"『=/，分奇偶討論「并整合即可得到答案.

323

【詳解】(1)由題意，當(dāng)〃=1時，a,=S,=-----=3,

1122

當(dāng)心2時,冊=—“=([3向丁出3、萬(3"一3、尸，

當(dāng)〃=1時，上式也符合,

所以｛&J的通項公式為%=3〃(〃￡N*).

11

(2)由(1)得，an=3",所以=(logs)2=(logs3")2=1,%=(-1)〃(

、(,+1)2w+2)2、

1111111111

(0)當(dāng)〃為偶數(shù)時，T=++…++

n一級一三n2"+1)1(〃+2力n+2f4

1111-11

(團(tuán))當(dāng)〃為奇數(shù)時，T“=T”+「c向

("+3)24("+2『(71+3)"(“+2)24'

_㈠)"1

綜上所述,

(n+2)24

3.(2024?遼寧沈陽?模擬預(yù)測)已知數(shù)列｛0｝滿足％=1,an>0,凡是數(shù)列｛《,｝的前〃項和，對任意“6N*,

有250=2%+%-1

⑴求數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)設(shè)=(-1尸4,求也｝的前100項的和.

【答案】⑴?！?頡+1);(2)-25

【分析】(1)根據(jù)q=4-5”_1(〃22)作差得到(%+%T)(24-2%_「1)=0,從而得到風(fēng)一47=；(〃22),

結(jié)合等差數(shù)列的定義計算可得；一

(2)由⑴可得b“=(T)"Txg(〃+l),記％則％=-；，利用并項求和法計算可得.

【詳解】(1)由2s“=2*+%-1,2sM=2。"+4--1(〃22),

兩式相減得2%=2a；-+4-,即(%+)(2為一—1)=0,

因為a.>0,所以2a“-2a,1-1=。，即4-%、=；(w22),

故｛%｝是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，所以為=；(〃+1);

L乙

(2)由(1)知勿=(-1)"-1%=(T)Ig("+1),所以應(yīng)T+處=一；，

cn=bln_1+b2n,貝i]c“=_g,:,bx+b2+……+b｝W=cx+c2+……+c50=^-^x50=-25

4.(23-24高三?廣東深圳?期末)已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，S9=81,且/T,a4+l,%+3成等

比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)若％eN*,么=(-!)%,+1,。是數(shù)列低｝的前〃項和.求應(yīng)

2

【答案】⑴見=(九+7或4=2〃-1(2)或=4〃

【分析】(1)設(shè)出公差，根據(jù)條件求解公差，即可求出通項公式；

(2)利用并項求和法求解即可.

【詳解】(1)㈤｝為等差數(shù)列，設(shè)公差為4,-59=9"&)=9%=81,二%=9,

%+1，%+3成等比數(shù)列，/.3+1)2=3-1)(%+3)，

即(9—d+l)2=(9—2d—l)(9+2d+3),整理得5d2—121+4=0,解得d=|或d=2,

?372

當(dāng)d=E時，％=■—，cin=—n+7,當(dāng)d=2時，％=1,a〃=2n—1,

???數(shù)列｛4｝的通項公式為凡=("+7或4=2〃-1；

(2)?,?qeN*,由(1)知，.?.》“=(—1)"%+1=(—1)"(2〃-1)+1,

12

Vk+b2n=(4〃-3)+1]+[(-I)"(4?-1)+1]=4,

&=(=+b2)+(b3+fe4)+---+(^2?_i+Z>2?)=4+4+?-H-4=4M.^T2K-4n.

題型四：倒序求和型

指I點I迷I津

倒序求和：

倒序求和，多是具有中心對稱的“函數(shù)型”，此類函數(shù)具有“和定”的特征，滿足“和定”特征的還有組

合數(shù)。

1Y

1.（2022高三?全國?模擬）設(shè)4a,%）,3（孫％）是函數(shù)"xH=+log,一^的圖象上任意兩點，且

21—x

___,1.—.1

OM=-（OA+OB）,已知點〃的橫坐標(biāo)為萬.

⑴求證：M點的縱坐標(biāo)為定值；

（2）若S,=/…/eN*,且〃22求S“；

【答案】⑴證明見解析；（2）S“=—（〃》2,〃eN*）.

【分析】（1）利用中點坐標(biāo)公式的表示，得到%+9=1，然后代入求中點的縱坐標(biāo)的過程，根據(jù)對數(shù)運算

法則，可以得到常數(shù)；

（2）利用（1）中所求，當(dāng)%+%=1時，y,+y2=l,可以采用倒序相加法，求和即可.

【詳解】（1）證明：設(shè)"（x，y）,因為兩=g（E+時，故可得苫=受產(chǎn)》=上產(chǎn)，

由X知5+兀2=1，故F=1-%，%2=1一%，

故_%+為?。??。?含+陶吠1+啕之+9人」.

,22222

故M點的縱坐標(biāo)為定值;.

(2)由(1)知玉+%2=1，/(石)+/(無2)=1=/(―)+f(-)4F/()

nnn

Sn=/(^)+/(^)+...+/(-),兩式相加得：

nnn

2s“o⑺+&小4]…+[/R+4小-1，

故s“=%^(〃》2,〃eN*).

2.(20-21高三?全國?模擬)已知函數(shù)〃尤)=：/+；x,數(shù)列｛g｝的前〃項和為S“，點(〃,S,X〃eN*)均在函

數(shù)〃x)的圖象上.

(1)求數(shù)列｛0｝的通項公式；

(2)若函數(shù)g(x)=]g，令聶[〃eN*),求數(shù)列出｝的前2020項和以2。.

【答案】(1)a?=n；(2)^020=1010.

1clfS,,n=1,、

【分析】(1)由題意可得當(dāng)=:川+:“，然后利用?！?|、。可求出數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)由題意可得g(x)+g(l-x)=l,然后利用倒序相加法可求得結(jié)果

【詳解】⑴回點(1)均在函數(shù)的圖象上，ES?=|n2+|?.

當(dāng)〃22時，%=S“一=n；

當(dāng)〃=1時，/=耳=1,適合上式，回

(2)Sg(x)=-^—,回g(x)+g(l-x)=l.又由(1)知。，=〃，^bn=g[-^-].

4+2<2021y

*2。"+%+…+源2°=g[焉)+g[嘉卜-+g(翳)，①

立.777/2020、/2019、/11

又(020=62020+82019+…+4=s\+g—~r+…+gTT7T，②

①+②，26。=20201(焉[+8]工)=2020,0^=1010.

3.(20-21高三?江蘇蘇州?期中)已知/⑺=4+a￡+…+H鎮(zhèn)+…%C：(neN*).

(1)若。，=〃一1,求/(")；

(2)若a,=3"L求"20)除以5的余數(shù)

【答案】(1)f(n)=n-2n-l；(2)余數(shù)為1.

【分析】(1)根據(jù)倒序相加法，結(jié)合二項式系數(shù)和公式進(jìn)行求解即可;

(2)根據(jù)二項式定理進(jìn)行求解即可.

【詳解】(1)因為/m=0&+iy+2C；+3.C：…

所以/(〃)=〃&+(〃-1)。丁+("-2)。尸+…+1C+0C

2/⑺="C；+”C+“C；+…+仁=〃(端+&+戲+…+&)=〃?20,

(2)因為/⑺=3°d+3y+32第+…+3”￡；=(1+3)"=4".

20202019182

/(20)=4=(5-1)=C^o5-C^05+C^5----+C^5-以51+C；；5°

除以5余數(shù)為1,所以〃20）除以5的余數(shù)為1.

4.（23-24高三?四川成都?模擬）己知數(shù)列｛%｝滿足：爭墨+段+…+墨=小=*）,數(shù)列出｝滿足

bn=六.⑴求數(shù)列｛風(fēng)｝的通項公式；

a〃十,

⑵求a+如0一〃的值；

⑶求4+b2+b3-\---的值.

199

【答案】（1）。“=2"（2）酒⑶聲

【分析】（1）根據(jù)題意，當(dāng)心2時，可得多+$+號+.-+畀="-1,兩式相減，求得q=2“，再由〃=1,

得到4=2,即可求得數(shù)列｛廝｝的通項公式.

（2）由（1）得包=彳占7,結(jié)合指數(shù)幕的運算法則，即可求得2+九。一"的值；.

（3）由（2）知=。，結(jié)合倒序相加法，即可求解.

【詳解】（1）由數(shù)列｛0｝滿足:++—---H而■=,當(dāng)Z1N2時,可得寸+或+才H-----F—=n-l

乙乙乙乙乙乙乙乙

兩式相減，可得梟=1，所以。“=2”,當(dāng)〃=1,可得?=1,所以％=2,適合上式，

所以數(shù)列｛&J的通項公式為??=2".

(2)由數(shù)列｛%｝滿足a=&'5。=2」25。，

川〃11_12"_1?2"2"+2$。_]

_n50100-n50n5010050n50n5050n505050

人」Dn+"100—〃2_1_22+2~2+22+2,22〃+2(2+2)2-(2+2)2-2,

(3)由(2)矢口4+仇00.〃=表，

可得4+4+&+-+如=7^+^^+.“+?^’

貝I49+48+勾7+…+4=299+250+298+250+…+'

9999

-

兩式相加可得2sl+b2+b3-\----4處)=-50'所以4+>2+&■1-----4，99—~^51,

題型五：裂項相消1:函數(shù)型

指I點I迷I津

函數(shù)型，指的是3型

pq

（1）f（n）=t（q-p）,差型;

（2）f（n）是分離常數(shù)型；

1.（24-25高三?廣東?開學(xué)考試）已知數(shù)列｛%｝的各項均為正數(shù)，4=LS”為｛q｝的前〃項和，且

⑴求｛4｝的通項公式;

（2）設(shè)2=與爭

記他,｝的前〃項和為1,求證：

【答案】（1）??⑵證明見解析

■\12rl-1-A/ZH—3,〃22.

【分析】（1）由題意知，當(dāng)心2時，an=S?-S,^,代入題干表達(dá)式可得S；-S3=2（〃22）,通過計算數(shù)

列｛S；｝的通項公式即可計算出前〃項和S“的表達(dá)式，最后結(jié)合公式即可計算出數(shù)列

｛。九｝的通項公式；

（2）由（1）計算出數(shù)列｛匕｝的通項公式，再運用裂項相消法計算出前〃項和北的表達(dá)式，最后根據(jù)不等式

的性質(zhì)即可證明結(jié)論成立.

22

【詳解】⑴由.工.得S〃—S〃T即S：-S；T=2（〃22）；

》〃十dn-l凡+兀

又S：==1,

所以｛1｝是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，

所以年=1+2（九-1）=2〃-1,又｛a“｝是正項數(shù)列，所以S,,=而二I.

當(dāng)”22時，an=Sn-=\lln-l-\j2n-3,又當(dāng)〃=1時，q=1不符合〃N2時冊的形式.

1,〃=1,

所以%二B_7B_T>0

72n-y/2n-3,n>2.

（2）證明：

b=S；+S；M=2〃-1+2〃+1=4"=1F111

"S；S：+1（2n-l）2-（2n+l）2（2n-l）2-（2n+l）22（2n-l）2（2n+l）2'

一,,,11~111111"I1］，111

2產(chǎn)323252⑵-if（2〃+1）［2］（2?+l）2J2

2

2.（23-24高三?江西,模擬）已知數(shù)列｛4｝滿足"+，%+???+瘋=與土

⑴求｛q｝的通項公式；

,2n+l,、3

⑵設(shè)“=-----,記數(shù)列出｝的前〃項和為S“，證明：-<5?<1.

anan+l4

【答案】（1）。"=/⑵證明見解析

【分析】（1）利用作差法得到百=%即可求出｛0｝的通項公式；

,11

（2）由（1）可得優(yōu)=/一7~節(jié)，利用裂項相消法求和即可得證.

【詳解】（1）因為用+向+…+向=￡產(chǎn)，當(dāng)”=1時內(nèi)=—=1,所以4=1；

當(dāng)心2時在+瘋+一.+百=（^±^，

所以《=勺1_e_1）；+1=“,所以

經(jīng)檢驗當(dāng)〃=1時%=n2也成立,

所以％=

,2n+l2n+l_11

（2）由（1）可得或=二丁/5+1廣+，

anan+l

所以S“=1+f+…+』一/:八2=1_/L、2<1，當(dāng)”=1時，S|=l-J=],

449〃（〃+1）（〃+1）44

且S"+f=i-1二-1--7-1

（n+2）[（H+1）J（H+1）（n+2）

所以｛s“｝單調(diào)遞增，所以（VS,<1.

3.（2024?陜西西安?模擬預(yù)測）設(shè)數(shù)列｛g｝的前"項和為S”,％=1,且S,=色要.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項公式；

（2）若么=，數(shù)列也｝的前〃項和為&V〃eN*'〈”恒成立，求實數(shù)加的最小值.

an'an+\

【答案】⑴4⑵1

an

【分析】（1）根據(jù)條件，利用?！芭cI間的關(guān)系，得到工=-再利用累積法，即可求出結(jié)果;

??-i"T

（2）根據(jù)（1）中結(jié)果得到勿='一品歹，利用裂項相消法得到北=1-云尸，即可求出結(jié)果.

【詳解】（1）因為S,=（"+1"”①,所以當(dāng)“22時，5,1=殍②，

22

由①一②得到%=比警-生衿，整理得到又4=1,所以。，尸0,得到&=義,

22〃〃-1匕1

ana,an_^a0nn—12

所以當(dāng)“22時，an=—?—?—??---?）=--x--x...x-xl=n,

??-i限an_3q?-ln-21

當(dāng)〃=1,滿足%=〃，所以%=〃.

,a+2〃+111

⑵由⑴知”/不二而可=/一樂,

所以7>4+仇+…+2=1-*+*-:+…+，-春=1-春，

因為而:且N>°'所以I是關(guān)于”的遞增數(shù)列'由V"eN*,7；〈根恒成立'得到m21,

所以實數(shù)加的最小值為1.

4.（23-24高三?河北石家莊?模擬）已知等差數(shù)列｛%J的前"項的和為S”,S2,$3,邑-2成等差數(shù)列，且的,%,%2

成等比數(shù)列.

⑴求的通項公式；

（2）若母==丁，數(shù)列｛%｝的前幾項的和為1,試比較（與白的大小，并證明你的結(jié)論.

anan+l7。

【答案】⑴/=2〃+1⑵（<，，證明見解析

【分析】（1）根據(jù)題意，利用等差中項和等比中項列出方程組，即可解出首項和公差，進(jìn)而求出｛廝｝的通項

公式；

（2）將“化簡，利用裂項相消法求和，即可得（〈至，從而判斷

f2S?=S2+S4—2

【詳解】（1）設(shè)｛叫的公差為d,由題意得24,

必=%42

2（3q+3d）=（2q+d）+（4%+6d）-2=3

手（〃i+6d）2=（q+d）（q+21d）'解信jd=2'

所以q=4+（〃—Dd=3+（n—1）x2=2n+1.

n+1n+111_________1___

（2）b

n=222Z

%%+1（2a+1）2（2"+3）28（2n+l）（2n+3）

所以7:■"W[三一手+不一尹+…+?^^!7一^7]=45一^7

因為Lr°,所以0狀44,即

題型六：裂項相消2：指數(shù)型

指I點I迷I津

指數(shù)型，類仞的數(shù)型的列項思維

1.（23-24高三?河南?模擬）已知數(shù)列｛%｝滿足q=1。，。用=3%-2.

⑴求｛q｝的通項公式；

Q—11

⑵若么=口；2）a'記數(shù)列也｝的前〃項和為】，求證：工,〈飛.

【答案】⑴4=3加+1；⑵證明見解析.

【分析】（1）構(gòu)造等比數(shù)列結(jié)合等比數(shù)列的通項公式，即可求得結(jié)果;

（2）根據(jù)（1）中所求明,利用裂項求和法，求得（，再證明即可.

【詳解】（1）因為。用=3?！?2,所以。聲—1=3（為-1）,又a/l=9,

Z7—1

所以4T=3,

所以｛。,-1｝是以9為首項，3為公比的等比數(shù)列，

所以4-1=93"T=3用，所以a,=3.+1.

2.（23-24高三下?河南?模擬）已知數(shù)列｛%｝滿足％=3,。,用=34-2〃+1.

⑴求證：為等比數(shù)列；

⑵數(shù)列｛見―〃｝的前九項和為S“，求數(shù)列卜弋的前“項和人

I3〃3〃+IJ

【答案】⑴證明見解析；⑵3r

【分析】（1）變形給定等式，再利用等比數(shù)列定義判斷得解.

（2）由（1）求出數(shù)列｛（一"｝的通項公式及前一項和，再利用裂項相消法求和即得.

【詳解】（1）數(shù)列｛冊｝中，an+l=3an-2n+l,則凡討—（"+1）=3（%—〃），

而〃1=3,即％—1=2,

所以數(shù)列｛見-可是以2為首項，3為公比的等比數(shù)列.

(2)由(1)知，%=2?3"1,%+1—〃—1=2?3",Sn=2'x-------=3〃—1,S〃+i=3'”—1,

1—3

%_”1_2x3"_(3向_1)_(3"_1)_]_1

HH+1n+1

SnSn+l—(3"-1)(3--1)—(3-1)(3-1)―3"-1-3-l

a—幾—1（11

所以數(shù)列｛弋一｝的前〃項和

3角一1

3.（23-24高三?云南曲靖?模擬）設(shè)等差數(shù)列｛q｝的前"項和為S,,且2%-%=2,55=30.

⑴求數(shù)列｛?！保耐椆剑?/p>

b7---------2"-------

⑵若"可。第八，求數(shù)列｛%｝的前“項和&

Z—1Z—1

【答案】⑴見=2"⑵7；=1-0工

Z—1

【分析】（］）設(shè)數(shù)列｛4｝的公差為d,然后由已知條件列方程組求出弓,“，從而可求出其通項公式;

2〃]]

（2）由（1）得“一(2"-1)(2〃+1-1)—2〃一12n+i-l再利用裂項相消法求和.

J2(q+d)-(4+2d)=2%=2,

【詳解】（1）設(shè)數(shù)列｛g｝的公差為心由題意可得。,解得

II+10J=30d=2.

/.冊=%+(H—l)d=2n；

2n

b7----------------T_11

(2)由(1)可知"fI丫等]

22—122—1(2n-l)(2n+1-l)-2n-l

\J\J

T=b,+b-\----Fb=1-+-----------—HF--------------=1-----------.

"12"L22-lJ1^22-123-lJ（2"-12"+1-lJ2"+1-1

4.（23-24高三?湖北武漢?模擬