條件概率專項(xiàng)練習(xí)-2025屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

2024-2025學(xué)年度高三一輪復(fù)習(xí)37--條件概率專項(xiàng)練習(xí)

一、單選題

1.（2024?河北?模擬預(yù)測(cè)）若事件A,B發(fā)生的概率分別為尸（A）,尸⑻，（P（A）＞O,P（B）＞O）,

則“尸（3⑶=P（3）”是“尸（A|B）=P（A）”的（）條件.

A.充分不必要B.必要不充分

C.充分且必要D.既不充分又不必要

11o

2.（24-25高三上?浙江?階段練習(xí)）若P（A）=-,P（A|B）=-,P（B|A）=-,則P（A+B）=（）

A2「11-13-3

A.—B.—C.—D.一

515155

3.（24-25高三上?上海?期中）已知事件A與8相互獨(dú)立，且0＜P（A）P（3）＜1,則下列選項(xiàng)

不一定成立的是（）

A.P（AB）=（1-P（A））P（B）；B.P（AB）=P（A）+P（B）；

C.P（AB）=P0）P（耳;D.P（A|B）P（B|A）=P（AnB）.

4.（24-25高三上?廣東湛江?期中）已知某條線路上有A,2兩輛相鄰班次的BRT（快速公交

13

車），若A準(zhǔn)點(diǎn)到站的概率為耳，在B準(zhǔn)點(diǎn)到站的前提下A準(zhǔn)點(diǎn)到站的概率為:，在A準(zhǔn)點(diǎn)

7

到站的前提下5不準(zhǔn)點(diǎn)到站的概率為7,則B準(zhǔn)點(diǎn)到站的概率為（）

16

A.—B.-C.—D.-

164168

5.（24-25高三上?安徽?階段練習(xí)）某次跳水比賽甲、乙、丙、丁、戊5名跳水運(yùn)動(dòng)員進(jìn)入

跳水比賽決賽，現(xiàn)采用抽簽法決定決賽跳水順序，在“運(yùn)動(dòng)員甲不是第一個(gè)出場(chǎng)，運(yùn)動(dòng)員乙

不是最后一個(gè)出場(chǎng)”的前提下，“運(yùn)動(dòng)員丙第一個(gè)出場(chǎng)”的概率為（）

A.—B.-C.-D.—

135413

6.（24-25高三上?北京?階段練習(xí)）高二某班共有50名學(xué)生，其中女生有30名，“三好學(xué)生”

人數(shù)是全班人數(shù)的g,且“三好學(xué)生”中女生占一半，現(xiàn)從該班學(xué)生中任選1人參加座談會(huì),

則在已知沒有選上女生的條件下，選上的學(xué)生是“三好學(xué)生”的概率為（）

7.（24-25高三上?甘肅白銀?階段練習(xí)）質(zhì)監(jiān)部門對(duì)某種建筑構(gòu)件的抗壓能力進(jìn)行檢測(cè)，對(duì)

3

此建筑構(gòu)件實(shí)施打擊，該構(gòu)件有A5兩個(gè)易損部位，每次打擊后，A部位損壞的概率為歷，

B部位損壞的概率為：，則在第一次打擊后就有部位損壞（只考慮兩個(gè)易損部分）的條

2

件下，兩個(gè)部位都損壞的概率是（）

3「5-17

A.—B.—C.—D.—

13132020

8.（2024.全國(guó).模擬預(yù)測(cè)）學(xué)業(yè)成績(jī)是否優(yōu)秀與日均體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)有關(guān).據(jù)調(diào)查，某校大約

有40%的學(xué)生學(xué)業(yè)成績(jī)優(yōu)秀，大約有20%的學(xué)生日均體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)超過1.5h,且其中日均

體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)超過L5h的學(xué)生學(xué)業(yè)成績(jī)的優(yōu)秀率約為50%.現(xiàn)從日均體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)不超過

L5h的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，則他的學(xué)業(yè)成績(jī)優(yōu)秀的概率約為（）

A.-B.-C.-D.-

8828

二、多選題

9.（24-25高三上?江蘇南通?期中）隨機(jī)事件A,B滿足P（A）=：,尸（8）=:，尸（A忸）=（,則

下列說法正確的是（）

A.事件A與與才8互斥B.事件A與B相互獨(dú)立

C.P（A+B）=P（B）D.P（B\A）=P（A）

10.（2024高三.全國(guó).專題練習(xí)）現(xiàn)有一顆質(zhì)地均勻的骰子，將其先后拘擲兩次，A表示事

件“第一次擲出點(diǎn)數(shù)為2”，B表示事件“第二次擲出點(diǎn)數(shù)為4”，C表示事件“兩次擲出點(diǎn)數(shù)之

和是8”，。表示事件“兩次擲出點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值為0”，則（）

A.事件B與事件?；コ釨.事件A與事件。相互獨(dú)立

C.P（n|C）＞P（C|D）D.P（B|C）＜P（C|A）

11.（2024?浙江?一模）現(xiàn)有一個(gè)抽獎(jiǎng)活動(dòng)，主持人將獎(jiǎng)品放在編號(hào)為1、2、3的箱子中，甲

從中選擇了1號(hào)箱子，但暫時(shí)未打開箱子，主持人此時(shí)打開了另一個(gè)箱子（主持人知道獎(jiǎng)品

在哪個(gè)箱子，他只打開甲選擇之外的一個(gè)空箱子）.記4（7=1,2,3）表示第，號(hào)箱子有獎(jiǎng)品，

約0=2,3）表示主持人打開第/號(hào)箱子.則下列說法正確的是（）

A.尸（圖4）=；

B.尸（R四）=）

C.若再給甲一次選擇的機(jī)會(huì)，則甲換號(hào)后中獎(jiǎng)概率增大

D.若再給甲一次選擇的機(jī)會(huì)，則甲換號(hào)后中獎(jiǎng)概率不變

三、填空題

12.（2024.全國(guó).模擬預(yù)測(cè)）已知隨機(jī)事件A,凡若尸（臺(tái)⑶],尸曰忸）=,尸⑻=5；則

尸（田=.

13.（24-25高三上?天津西青?期中）已知甲、乙、丙三人參加射擊比賽，甲、乙、丙三人射

擊一次命中的概率分別為:，（，；，且每個(gè)人射擊相互獨(dú)立，若每人各射擊一次，則至少

有一人命中的概率為；在三人中恰有兩人命中的前提下，甲命中的概率為.

14.（24-25高三上?河北滄州?階段練習(xí)）中國(guó)是瓷器的故鄉(xiāng)，瓷器的發(fā)明是中華民族對(duì)世界

文明的偉大貢獻(xiàn),瓷器傳承著中國(guó)文化，有很高的欣賞和收藏價(jià)值.現(xiàn)有一批同規(guī)格的瓷器，

由甲、乙、丙三家瓷廠生產(chǎn)，其中甲、乙、丙瓷廠分別生產(chǎn)300件、300件、400件，而且

甲、乙、丙瓷廠的次品率依次為4%、3%、3%.現(xiàn)從這批瓷器中任取一件，若取到的是次

品，則其來(lái)自甲廠的概率為.（結(jié)果保留兩位小數(shù)）

四、解答題

15.（24-25高三上?遼寧?期中）甲乙兩人進(jìn)行〃（"22,〃eN*）場(chǎng)羽毛球比賽，甲每場(chǎng)比賽獲

勝的概率為P,乙每場(chǎng)比賽獲勝的概率為1-。，記事件A為“"比賽中既有甲獲勝也有乙獲

勝”，事件8為“〃比賽中甲至多獲勝一場(chǎng)”

（1）若p=；,〃=3,求尸（AB）和尸（B|A）；

（2）若P=g,證明：事件A,B獨(dú)立的充要條件為〃=3.

16.（24-25高三上?廣西?期中）某校A、3兩家餐廳，某同學(xué)每天都會(huì)在這兩家餐廳中選擇

3

一家用餐，已知該同學(xué)第一天選擇A餐廳的概率是若在前一天選擇A餐廳的條件下，后

2

一天繼續(xù)選擇A餐廳的概率為彳，而在前一天選擇B餐廳的條件下，后一天繼續(xù)選擇B餐廳

的概率為也如此往復(fù).

（1）求該同學(xué)第一天和第二天都選擇A餐廳的概率;

（2）求該同學(xué)第二天選擇A餐廳的概率；

（3）記該同學(xué)第"天選擇A餐廳的概率為P”,求數(shù)列｛夕,｝的通項(xiàng)公式.

17.（23-24高二下?江蘇南京.階段練習(xí)）甲、乙兩人進(jìn)行象棋比賽，賽前每人有3面小紅旗.

一局比賽后輸者需給贏者一面小紅旗；若是平局就不需要給紅旗，當(dāng)其中一方無(wú)小紅旗時(shí)，

比賽結(jié)束，有6面小紅旗者最終獲勝.根據(jù)以往兩人的比賽結(jié)果可知，在一局比賽中甲勝的

概率為0.5,乙勝的概率為0.4.

（1）設(shè)第一局比賽后甲的紅旗個(gè)數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（2）求比賽共進(jìn)行五局且甲獲勝的概率；

（3）若比賽一共進(jìn)行五局且第一局是乙勝，求此條件下甲最終獲勝的概率（結(jié)果保留兩位有

效數(shù)字）.

18.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）甲、乙兩位乒乓球愛好者進(jìn)行一次對(duì)抗賽，第一個(gè)球的發(fā)

球權(quán)通過擲硬幣確定，從第二個(gè)球開始，上一個(gè)球誰(shuí)贏誰(shuí)發(fā)球.由歷史數(shù)據(jù)可知，甲發(fā)球甲

31

贏的概率為了，乙發(fā)球甲贏的概率為

⑴求第1個(gè)球甲贏的概率B；

⑵求第〃個(gè)球甲贏的概率P“；

⑶定義第“個(gè)球甲贏的期望E”=吵”，求f耳.

i=\

19.（24-25高三上?廣東惠州?期中）若數(shù)列｛4,｝（1<〃<憶"€河,0江）滿足見€｛0,1｝,則稱

數(shù)列｛%｝為上項(xiàng)0-1數(shù)列，由所有七項(xiàng)0-1數(shù)列組成集合"…

⑴若｛凡｝是12項(xiàng)0—1數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)〃=3p（peN*,pW4）時(shí)，4=0,求數(shù)列｛（T）"%｝的

所有項(xiàng)的和；

⑵從集合此中任意取出兩個(gè)數(shù)列｛??｝,｛&?｝，記X=￡>-可.

k

①求隨機(jī)變量X的分布列，并證明：￡（x）>|；

②若用某軟件產(chǎn)生22）項(xiàng)0T數(shù)列，記事件4=，，第一次產(chǎn)生數(shù)字1，，，3="第二次產(chǎn)生

數(shù)字產(chǎn),且°〈尸（A）<1，0〈尸⑻<1若尸（砌）（砸），比較P（A⑻與尸（即）的大小

參考答案:

1.C

,,、P（AB）/,、P（AB）

【分析】轉(zhuǎn)化P（用力=才/，P（A|B）=方研根據(jù)充分性必要性的定義，以及條件

概率公式，分析即得解.

若所以尸（AB）=尸（A）.P（B）,

【詳解】因?yàn)槭?A）=P（B）,所以尸國(guó)力=

所以「心黯二

反之由「（A|B）=P（A）能推出尸國(guó)A）=尸（3）,

所以“P（B|A）=「⑻”是"P（A|B）=尸（A）”的充分且必要條件.

故選：C

2.D

【分析】利用條件概率公式和并事件概率性質(zhì)求解即可.

1o17?

【詳解】由尸（A）=§,P（B|A）=j,可知，P（AB）=P（A）P（B|A）=-x-=^,

/?\1/、P（AB）22

又尸（砌）=丁所以尸（B）=網(wǎng)砸J=/x3=1,

1223

所以「（4+2）=尸（4）+尸（2）—尸（A2）=g+y—石=M.

故選：D

3.B

【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件的乘法公式和條件概率公式，結(jié)合對(duì)立事件的定義逐一判斷即可.

【詳解】因?yàn)锳與B相互獨(dú)立，所以A與石、口與3、口與不也相互獨(dú)立，

A選項(xiàng)，P（AnB）=P（A）P（B）=（l-P（A））F（B）,故A一定成立；

B選項(xiàng),P（Au3）=P（A）+P（3）-P（AB）,

而尸（AB）=尸（A）尸（3）＞0,所以尸（ADB）HP（A）+P（3）,故B不成立;

c選項(xiàng),P(AUB)=I-P(AUB)=I-P(AS)-P(AJB)-P(AB)=P(AB)=P(A)P(B),

故C一定成立;

D選項(xiàng)，尸（4忸）尸（叫力=黯.播=丑黑普=P（AC2）,

故D一定成立.

故選：B.

4.B

【分析】根據(jù)已知條件以及條件概率列方程，從而求得B準(zhǔn)點(diǎn)到站的概率.

【詳解】設(shè)事件A為“A準(zhǔn)點(diǎn)到站”，事件8為“B準(zhǔn)點(diǎn)到站”，

依題意，尸（A）=],尸（A⑻=（瓦4）=記，

/_\P（AB\7/一\7

而P（硒=尤）=而，解得可叫=欣，

ffi3P（A）=P（ABuAB）=P（AB）+P（AB）=1,

則人幽=得，而“的=%）=：,解得

故選：B

5.A

【分析】先甲最后一個(gè)出場(chǎng)或甲在中間出場(chǎng)分類討論求出方法數(shù)，再求出此時(shí)運(yùn)動(dòng)員丙第一

個(gè)出場(chǎng)的方法數(shù)，然后由概率公式計(jì)算.

【詳解「'運(yùn)動(dòng)員甲不是第一個(gè)出場(chǎng)，運(yùn)動(dòng)員乙不是最后一個(gè)出場(chǎng)”可分為甲最后一個(gè)出場(chǎng)或

甲在中間出場(chǎng)，

方法數(shù)為A：+C；C；A；=78,

在“運(yùn)動(dòng)員甲不是第一個(gè)出場(chǎng)，運(yùn)動(dòng)員乙不是最后一個(gè)出場(chǎng)”的前提下，“運(yùn)動(dòng)員丙第一個(gè)出

場(chǎng)”,

即“運(yùn)動(dòng)員丙第一個(gè)出場(chǎng)，運(yùn)動(dòng)員乙不是最后一個(gè)出場(chǎng)”，方法數(shù)為C；A；=18,

1QQ

因此所求概率為P=^l=].

故選：A.

6.D

【分析】分別計(jì)算“三好學(xué)生”人數(shù)，女“三好學(xué)生”與男“三好學(xué)生”人數(shù)，再利用條件概率計(jì)

算公式即可得出結(jié)論.

【詳解】“三好學(xué)生”人數(shù)是全班人數(shù)的g,“三好學(xué)生”人數(shù)是gx50=10人，男生人數(shù)為

20人,

；?“三好學(xué)生”中女生占一半，，女，三好學(xué)生，，與男“三好學(xué)生，，各是5人.

，現(xiàn)從該班學(xué)生中任選1人參加座談會(huì)，則在已知沒有選上女生的條件下，

選上的學(xué)生是“三好學(xué)生”的概率=』=L

204

故選：D.

7.A

【分析】求得第一次打擊后就有部位損壞的概率和兩個(gè)部位都損壞的概率，再由條件概率公

式代入即可求解.

【詳解】解題分析記事件E：第一次打擊后就有部位損壞，事件GA,B兩個(gè)部位都損壞，

則尸（0=1-11-2][1-"，尸（￡町=2><!=』，

V'I10大2J2010220

由條件概率公式可得P（川=g

故選：A

8.D

【分析】解法一：先求出日均體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)不超過L5h且學(xué)業(yè)成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生，再結(jié)合條

件概率公式求解即可；

解法二：設(shè)該?？?cè)藬?shù)為1000人，分析可得日均體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)不超過L5h的學(xué)生有800

人，其中學(xué)業(yè)成績(jī)優(yōu)秀的有300人，進(jìn)而結(jié)合古典概型的概率公式求解即可.

【詳解】解法一：日均體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)不超過L5h且學(xué)業(yè)成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生有

40%-20%x50%=30%.

記“該學(xué)生日均體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)不超過L5h”為事件A，“該學(xué)生學(xué)業(yè)成績(jī)優(yōu)秀”為事件B,

則p（4）=l—0.2=0.8,尸（AB）=0.3,

,,、P(AB)0.33

所以P(BA)=--~~—=—=-.

v1'P(A)0.88

解法二：不妨設(shè)該?？?cè)藬?shù)為1000人，則學(xué)業(yè)成績(jī)優(yōu)秀的有1000x40%=400（人）,

日均體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)超過L5h的有1000x20%=200（人），

且其中學(xué)業(yè)成績(jī)優(yōu)秀的有200x50%=100（人），

因此日均體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)不超過L5h的學(xué)生有1000-200=800（人），

其中學(xué)業(yè)成績(jī)優(yōu)秀的有400-100=300（人），

因此，從日均體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)不超過L5h的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，

3

他的學(xué)業(yè)成績(jī)優(yōu)秀的概率約為就8-

800

故選：D.

9.ABC

【分析】根據(jù)互斥事件的定義，結(jié)合獨(dú)立事件的定義、條件概率的公式逐一判斷即可.

【詳解】因?yàn)锳片與一定互斥，所以A對(duì);

P(AB)_P(AB)_1,

P(川8)=p(Ag)=-x-=P(A)P(B),…

P(B)123獨(dú)立，B對(duì).

3

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=工+工一［=工=1-?=P(分),C對(duì).

23633

P(麗)P(B)-P(AB)/(B)(1-P(A))=P(B)=；MP(A),D錯(cuò),

P(B\A)=

P(A)-~l-P(A)—-—l-P(A)-

故選：ABC

10.BC

【分析】由互斥事件的定義即可判斷A,由相互獨(dú)立事件的定義即可判斷B,結(jié)合條件概率

的計(jì)算公式代入計(jì)算，即可判斷CD

【詳解】事件B與事件。可以同時(shí)發(fā)生，即第一次、第二次均擲出4點(diǎn)，

故事件B與事件。不互斥，A錯(cuò)誤.

又尸⑷=3尸⑻=＞尸(C)丁，尸3)=卜(如$=尸(A)尸⑷，

從而事件A與事件。相互獨(dú)立，B正確.

1

1

/1

又n0C36-p(qo)=餡『羊=%p(必c)>p(c⑼成立,c正確.

\--55-

366

則?網(wǎng)C＞尸C|A,D錯(cuò)誤.

故選：BC

11.BC

【分析】根據(jù)給定條件，利用古典概率公式，結(jié)合條件概率和全概率公式及逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】對(duì)于A,甲選擇1號(hào)箱，獎(jiǎng)品在2號(hào)箱里，主持人打開3號(hào)箱的概率為1,即

產(chǎn)(員14)=1,A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,尸（4）=尸（&）=尸（A）=g,P（B3IA）=Pmi4）=1-尸（鳥14）=0,

則尸（員）=尸（A）尸（414）+尸（4）尸（為14）+尸（4）尸（BJ4）=g，+i+o）=g，

11

-y——

因此P⑷4）=3J（A）P⑶A）=一J,B正確；

13

P（B3）P（B3）13

2

對(duì)于CD,若繼續(xù)選擇1號(hào)箱，獲得獎(jiǎng)品的概率為:，主持人打開了無(wú)獎(jiǎng)品的箱子，

若換號(hào)，選擇剩下的那個(gè)箱子，獲得獎(jiǎng)品的概率為：，甲換號(hào)后中獎(jiǎng)概率增大，C正確，D

錯(cuò)誤.

故選：BC

12.-

3

【分析】利用條件概率、獨(dú)立事件的乘法公式結(jié)合事件的關(guān)系與運(yùn)算計(jì)算即可.

【詳解】由題意可得，P（而）=P（8）P（，忸）=（xg=R,

而P（B）=P[BA+BA）=尸（8A）+尸（函），

1

P(AB)11

又尸（卻A）=P⑷”（）一=

尸但A)9一1

5

1

3-

85

9-7-

【分析】根據(jù)對(duì)立事件結(jié)合獨(dú)立事件概率求法求至少有一人命中的概率，記“三人中恰有兩

人命中”為事件“甲命中”為事件N,求P（M）,P（MN）,結(jié)合條件概率公式運(yùn)算求解.

11-11-|8

【詳解】記“至少有一人命中”為事件A,所以尸（A）=l-1

29

記“三人中恰有兩人命中”為事件M,“甲命中”為事件N,

x1ki二+1LI」12127

貝”（M）=gx一X-=-----,

332323318

1111

P（MN）=Ixlx1-2+1

23323-318

所以尸（N也卜溜=5

7

故答案為：!;y.

14.0.36

【分析】先由古典概率計(jì)算抽到各廠產(chǎn)品的概率，再由全概率計(jì)算抽到次品的概率，最后由

條件概率計(jì)算即可；

【詳解】設(shè)8表示事件：取得次品.A,表示事件：該產(chǎn)品由第，家工廠生產(chǎn)（，=1,2,3）.第

z?家工廠（z=l,2,3）分別表示甲、乙、丙瓷廠.

尸⑷-一射一二尸（4）-一期一P（AU―則_二

'"300+300+40010*''300+300+40010;…300+300+4005'

尸（對(duì)4）=4%,尸4）=3%,尸4）=3%,

332

P（8）=P（A）P（例4）+P（4）P（冽4）+尸⑷尸（川4）=7x4%+歷x3%+、x3%=0.033

故取到的是次品，則其來(lái)自甲廠的概率為

3

三義4%

-------?0.36-

0.033

故答案為：0.36.

4?

15.（1）P（AB）=-,P（B|A）=-.

⑵證明見解析

【分析】（1）根據(jù)二項(xiàng)分布可求P（AB），根據(jù)條件概率的概率公式可求尸（A3）和P（31A）；

（2）當(dāng)〃=3時(shí)，根據(jù)獨(dú)立事件的概率公式可判斷事件A,8獨(dú)立，而當(dāng)事件A,8獨(dú)立時(shí),

根據(jù)獨(dú)立事件的概率公式結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性可證明〃=3.

【詳解】（1）表示“甲乙比賽3場(chǎng)，甲勝一場(chǎng)輸兩場(chǎng)”，

故P（AB）=C；xgx1|j=：而尸（A）=C；

2

3

(2)若〃=3,貝IJ尸（A）=C；

尸⑷心叫

D1=3

2

而P（AB）=C；xgx故尸（AB）=尸（A）P（B）,

18

所以AB獨(dú)立,

若A,2獨(dú)立，則尸（A）=i_2xC：xg]1

2"-1

而P（B）=C：x

而尸（AB）=C；

所以"G[=（"+l）G[{I-41整理得到：熱=1一（F，

化簡(jiǎn)得到：券=1,設(shè)4=券，則%芥，

3

故當(dāng)〃N2時(shí)，a〃<〃〃-1,而％=2,%=萬(wàn),%=1,

n+1

故尹=1有且只有一個(gè)正整數(shù)解〃=3,

綜上，事件A,3獨(dú)立的充要條件為〃=3.

16.⑴色

25

【分析】（1）利用獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式計(jì)算即可；

（2）利用條件概率公式計(jì)算即得；

（3）利用全概率公式列式，再利用構(gòu)造法證明即得.

【詳解】（1）該同學(xué)第一天和第二天都選擇A餐廳的概率為[x|=卷;

（2）設(shè)4表示第1天選擇A餐廳,為表示第2天選擇A餐廳，則A表示第1天選擇選擇B餐

廳，

根據(jù)題意得尸（4）=1,尸閭尸⑷A）=Q（4囪）=1-；=；,

JJJJ乙乙

所以p（4）=尸⑷尸⑷A）+P閭尸（414）=在1+淑；=4.

JJJN乙J

（3）設(shè)4表示第〃天選擇A餐廳，則匕=P（A）,P（4）=1-匕，

根據(jù)題意得尸（AJ4）=1，尸（AJ4）=1J=：

由全概率公式得，

p（A+J=尸（4）尸（4」A）+P（4）P（4JA）=m匕+萬(wàn)（1一匕）=一而匕+],

即"$匕+1整理得加-尚亮,高，

又6Vm,°，

所以是以2為首項(xiàng)，-士為公比的等比數(shù)列，

所以匕

〃1155I10J

5

所以匕=+一.

11

17.（1）分布列見解析，期望為3.1

（2）0.225

（3）0.48

【分析】（1）求出X的可能取值和相應(yīng)的概率，得到分布列，計(jì)算出數(shù)學(xué)期望;

（2）分兩種情況，計(jì)算出概率相加得到概率；

（3）設(shè)出事件，利用條件概率公式得到答案.

【詳解】（1）X的可能取值為2,3,4,

其中尸（X=2）=0.4,P（X=3）=0.1,P（X=4）=0.5,

所以分布列為

X234

P0.40.10.5

數(shù)學(xué)期望為磁=2x04+3x0.1+4x0.5=3.1

(2)比賽共進(jìn)行五局且甲獲勝，則前4場(chǎng)甲贏2場(chǎng)，平局2場(chǎng)，最后一場(chǎng)甲贏,

或前3場(chǎng)甲贏2場(chǎng)，輸1場(chǎng)，第4場(chǎng)和第5場(chǎng)最后一場(chǎng)甲均贏，

故概率為Cjx0.52x0.1x0.5+Cfx0.52x0.4x0.5=0.225,

(3)設(shè)比賽一共進(jìn)行五局且甲最終獲勝為事件A,

比賽一共進(jìn)行五局且第一局是乙勝為事件B,

故尸(AS)=0.4X05=0.025,

事件3包含三種情況，一共進(jìn)行五局，甲后4局獲勝，

第2場(chǎng)，第3場(chǎng)和第4場(chǎng)中乙勝1場(chǎng)，平局2場(chǎng)，第5場(chǎng)乙勝，

第2場(chǎng)或第3場(chǎng)甲勝，剩余3場(chǎng)乙勝，

P(3)=0.4x0.54+C；0.12x0.43+C；0.5x0.44=0.05252,

故比賽一共進(jìn)行五局且第一局是乙勝，此條件下甲最終獲勝的概率為

尸(必需二燃不。48

18.(1)Pi=—

140

4

⑵?！?+-

9

220+99，711

T'729145820

【分析】(1)設(shè)第1個(gè)球的發(fā)球人為甲為事件4,第1個(gè)球的發(fā)球人為乙為事件綜，第1

31

個(gè)球甲贏為事件4,由條件概率公式可得P(A|4)="P(4|B0)=M，進(jìn)而由全概率公式求

解即可；

(2)先利用全概率公式找到P?與Pe的遞推關(guān)系式,進(jìn)而得到數(shù)列|凡是首項(xiàng)為三，

IyJ360

公比為工的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出P,.;

(3)結(jié)合題意寫出E”的表達(dá)式，進(jìn)而利用分組求和法、錯(cuò)位相減法求心

【詳解】（1）設(shè)第1個(gè)球的發(fā)球人為甲為事件4,第1個(gè)球的發(fā)球人為乙為事件穌,

第1個(gè)球甲贏為事件A,

由題知，P（4）=尸（綜）=/,尸（川人）="尸（A回）=『

由全概率公式知，PI=P（A）=尸（4）尸⑷4）+尸（練）尸（A網(wǎng)）K+；xg=*,

19

.??第1個(gè)球甲贏的概率四=的.

（2）設(shè)事件4：第〃個(gè)球甲贏，事件紇：第〃個(gè)球乙贏，

由題知，當(dāng)〃22時(shí)，尸⑷4T）=1,P⑷紇_J=g,尸（紇_i）=l-P"T，Pi=,,

由全概率公式知，當(dāng)心2時(shí)，PA=P（A）=P（AJ4JP（4T）+P（4I為（與_J

31Z1、111

=4P"T+g（1_P”T）=與P"T+5'

419411

Pl——，

9409360

,數(shù)列1p“-4是首項(xiàng)為2,公比為目的等比數(shù)列,

IyJ36020

411riiv-1

irnY4

?■-A=l8XUj+9-

：4n

(3)由(2)知，E=np=x?+~9'

nn1

，的前"項(xiàng)和為1，

①一②得,

11丫

+1+1

_12o[I20JJ〃rnY_11_iLxfnY__nxrnY

=18X18120；=而一162I20J18120)'

20

.110220+99n/11Y

-n-7291458X|<2oJ'

易知數(shù)列[募，的前n項(xiàng)和為2"(；+D,

..-HO220+99〃.f[丫2〃(〃+l)

R,-7291458Xl2oJ+-9-,