四川天府新區(qū)某中學2024-2025學年高一年級上冊期中考試數(shù)學試題

四川天府新區(qū)實外高級中學2024-2025學年高一上學期期中

考試數(shù)學試題

學校:.姓名：班級：—考號:

一、單選題

1.全稱量詞命題“VXER,x2>0的否定是()

2B22

A.VXER，x<0-玉eR，x<0C?3xeR,x>0

2

D?VXER，X<0

2.已知集合4=|x|(x+l)(x-l)<01JB=x|x>0)'則/c2等于

A-(-1,0)B-(T，Dc-[-1,0]D-(oa)

3.下列各組函數(shù)表示同一函數(shù)的是()

A.〃x)=x,g(x)=￡B.〃x)=l,g(x)=x°

Cf(X)=2xff{m)=2mD-/(x)=x+l，g(x)=X-l

函數(shù)/(x)=Jx?l,3］的值域為(

4.)

A.[1同B.C.。，3)D.9

5.已知函數(shù)>=/(%)的圖象如圖所示，則該函數(shù)的減區(qū)間為()

試卷第11頁，共33頁

A.(-3,-1)U(1,4)B-(-5,-3)U(-1,1)

C.(-3,-1),(1,4)D.(-5,-3),(-1,1)

6.若不等式工2+履+4>0對一切實數(shù)R都成立，則實數(shù)左的取值范圍為（）

A-[-4,4](-4,4)

C.(一嗎_4)“4,+8)D.(-oo,-4]u[4,+oo)

二、多選題

7.已知滿足_L+_L=1,則下列結論正確的是（）

XV

A.孫有最小值4B.中有最大值5

C.x+y有最小值4D.x+y有最大值4

三、單選題

8.定義一種新的運算符號“九"：a?b=ab+\，已知〃x）=x，g（x）=x-2「且

〃元）8g（x）的最小值是-1.則/的所有取值是（）

A.±1B.收C.1D.土夜

四、多選題

9.下列命題是真命題的為（）

A.若a>b，則/>〃

B.若。屋>6屋，貝！k/>b

試卷第21頁，共33頁

^^a>b>0m<0mm

C.右且n，則mil一

a2b2

D-若。>b且c<"'則q_c>6-d

10.已知集合4=｛1,2,4｝，3=｛L〃+2｝，若4U8=4,則。的取值可以是（）

A.1B.0C.2D.-2

H.下列說法正確的有（）

A.>=x+；1（x>0）的最小值為/9

B.已知X>1,貝I］y=2x+/--1的最小值為4血+1

X—1

C.函豹）,一封+5的曷小值為2

■V774

D.若正數(shù)x,>滿足x+2y=3xy,則2x+y的最小值為3

五、填空題

12.函數(shù)/（x尸」二的定義域為.

X-1

13.設記:則函數(shù)〃"）=max"-3,6-2x｝的最小值為一.

1，［b,a<b

ax2—x+5,%V1再W%

14.已知函數(shù)〃x）=2'-滿足對任意實數(shù)‘，都有

一,X>1

-占）［/（々）-/（占）］<0成立，則實數(shù)。的取值范圍是一

試卷第31頁，共33頁

六、解答題

15.設°=O￡R}為全集,集合Z=30?%?2}，集合3={%］加一1<%<5},

(1)冽=2,求集合/UB和集合(吩/)c5；

⑵若“yd”是“yr的充分不必要條件，求加的取值范圍?

At71At19

A

16.已知函數(shù)f(x)=x+」(x-0).

⑴判斷并證明函數(shù)〃x)的奇偶性；

(2)判斷函數(shù)/(x)在區(qū)間(2,+oo)的單調性，并用定義法證明.

2

17.已知函數(shù)〃x)是R上的偶函數(shù)，當xWO時，f(x)^x-x-

⑴求函數(shù)/(x)的解析式，并畫出具體函數(shù)圖象；

(2)若/(2加_1)</(加+1)，求實數(shù)力的取值范圍.

18.某公司注重技術創(chuàng)新，今年加大了對產品研發(fā)的投入.通過市場分析，該公司生產的一

款產品全年需投入固定成本100萬元，每生產X千件該產品，需另投入成本R(x)萬元，且

試卷第41頁，共33頁

5x2+400x,0<x<30

滿足：R（x）=J25000，由市場調研知，每件產品售價萬元，且全

'610x+』“-3300,x230

.x

年內該產品能全部銷售完.

（1）求出今年該產品的利潤P（x）（萬元）關于年產量x（千件）的函數(shù)關系式（利潤=銷售

額-成本）；

（2）今年產量為多少千件時，企業(yè)所獲利潤最大？最大利潤是多少？

19.“函數(shù)p（x）的圖像關于點（根,〃）對稱”的充要條件是“對于函數(shù)0（x）定義域內的任意

X，都有夕（x）+a（2機-x）=2〃”?若函數(shù)/（x）的圖像關于點（1,2）對稱，且當xe[0,l]時，

f（x）=x2—ax+a+\,

⑴求/（一l）+/（3）的值;

⑵設函數(shù)g（x）=a.

2-x

（i）證明：函數(shù)g（x）的圖像關于點（2,-2）對稱；

（仃）若對任意西式°，2],總存在]2,3]，使得/（』）=g（X2）成立，求實數(shù)a的取值

2L3.

范圍.

試卷第51頁，共33頁

參考答案:

題號12345678910

答案BDCDCBACDBCDBC

題號11

答案ABD

1.B

【分析】由全稱命題的否定是特稱直接求出即可；

【詳解】全稱量詞命題“VxeR，/NO”的否定是土eR,/<0,

故選：B.

2.D

【分析】求出集合人，再進行交集運算即可.

【詳解】結合題意可知/={x|(x+l)(x-l)<o}={xH<x<l}，

因為3={小>0}，所以/C5={X|0<X<1}=(0,1),

故選：D.

3.C

【分析】利用同一函數(shù)的定義逐個選項分析求解即可.

【詳解】對于A,y(x)的定義域為R，

g⑺的定義域為xe(-叫0)5。,+8)，兩個函數(shù)定義域不一致，故A錯誤,

對于B,/(x)的定義域為R，

8(天)的定義域為工€(-00,0)50,+00)，兩個函數(shù)定義域不一致，故B錯誤,

對于C,滿足同一函數(shù)的所有條件，故C正確，

對于D,/(x)和g(x)的解析式不同，所以它們不是同一函數(shù)，故D錯誤.

故選：C

4.D

【分析】由反比例函數(shù)的單調性求值域即可.

答案第11頁，共22頁

【詳解】因為函數(shù)是反比例函數(shù)，在xe[l,3]上單調遞減，所以

A3

所以值域為1,1.

_3_

故選：D

5.C

【分析】由圖象上升下降的情況判斷即可.

【詳解】函數(shù)y=/(x)的圖象在區(qū)間(-3,-1)和(1,4)是下降的，在區(qū)間(-5,-3)和(T1)是上

升的，

故該函數(shù)的減區(qū)間為(-3,-1),(1,4).

故選：C.

6.B

【分析】利用一元二次不等式的性質建立不等式，求解參數(shù)范圍即可.

【詳解】因為不等式尤2+履+4>()對一切實數(shù)x都成立，

所以左2_16<0，解得后e(-4,4)，故B正確.

故選：B

7.AC

【分析】利用基本不等式的乘“1”法即可求解x+y的最值，直接利用基本不等式即可求解

中的最值.

【詳解】()(LL}yi>庫=4,

x+y=x+y+y)=2+%+2+2y

當且僅當上='，即x=>=2時取等號，故x有最小值4

xy

答案第21頁，共22頁

1+1=1>2E-故工4工，進而可得個*4,當且僅當工=工，即”=了=2時取等號，

xyyxyxv4xy

故中有最小值4,

故選：AC

8.D

【分析】利用題中的定義得到/(x)(g)g(x)=x2_2a+1，再結合一元二次函數(shù)的性質即可

求解.

【詳解】由定義知,f(x)?g(x)=xi-2tx+\,

結合二次函數(shù)的性質知，當x=f時，③g(x)取得最小值為產+1=_尸+1，

則一產+1=_1，解得”土友，

故選：D.

【點睛】關鍵點睛：

本題的關鍵是讀懂定乂,求出/(x)gg(x)=x?一2tc+l,

9.BCD

【分析】根據(jù)不等式的性質逐項判斷即可.

【詳解】對于A：當.=1,6=-2時，12<(_2廣故A錯誤;

對于B：由〃/可知/>0,即￡>0,所以由a屋?)>6屋?'可得">，，故B正

確；

對于C：因為帥>°,所以a.J->6.J->0,即1>L>o,

ababba

答案第31頁，共22頁

由不等式的性質可得人>二，又機所以2<4，故C正確；

baba

對于D：因為,<"，所以_c>"，由不等式的性質可得°_c>6_d，故D正確；

故選：BCD.

10.BC

【分析】由/U8=/可得BQ/，結合條件列方程求。，結合元素互異性檢驗所得結果.

【詳解】因為/U3=4

所以Bq/，又/={1,2,力}，8={1,“+2}，

所以。+2=2或a+2=a?，

解得“_（?）或或“一［,

u—va—乙a——1

當a=0時，/={1,2,0}，8={1,2},滿足要求，

當a=2時，N={1,2,4},3={1,4},滿足要求，

當a=T時，/=i=a+2,與元素互異性矛盾，

故選：BC.

11.ABD

【分析】利用基本不等式即可判斷A；變形后利用基本不等式判斷B；結合對勾函數(shù)的單

調性可判斷C；將、+2丁=3個化為工+工=3,結合，，1”的巧用，即可判斷D.

xy

【詳解】對于A,由則”=、+，22晨1=2,當且僅當工=工，即是等號成

x~\x%

立，

答案第41頁，共22頁

Y=117

則XT時，y=x+?x>0）取得最小值為，因此A正確;

對于B，m時，xT>0,則

444/—

y=2x+--------1=2（1）+——+1>22（x-l）-------+1=4丁2+1，

x-1x1VX1

當且僅當2（x-l）=/一，即％=行+1時取等號，

X—1

則》=行+1時，y=2x+——-1取得最小值為4亞+1,因此B正確;

x-1

對于C,X?+5+4+1

令"J/+4JN2,則》=/+1在［2，+8）上單調遞增,

故一+；的最小值為2+>|,因此C錯誤;

對于D,正數(shù)x/滿足"+2^=3肛，即工+工=3,

%y

，當且僅當*=>=1時

則4+寸⑵+加療+￡+5"2^^+5〉

取等號,

則當尤=y=l時，龍+2〉取得最小值為3,因此D正確,

故選：ABD.

【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構成和的二項之積轉化成定值；要求積的最大

答案第51頁，共22頁

值，則必須把構成積的因式的和轉化成定值；

(3)“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則

這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方

12.{小片1}

【分析】根據(jù)分母不為0,直接列不等式求解即可.

【詳解】函數(shù)/(X尸二7有意義則

x-l

解得X型

所以函數(shù)/(X尸工的定義域為{小二1}

故答案為：

【點睛】本題考查了具體函數(shù)的定義域，是基礎題.

13.0

【分析】根據(jù)題意，由所給的定義化簡函數(shù)/(x),再結合分段函數(shù)的性質，代入計算，即

可求解.

【詳解】當>326-2尤時，解得轉3，

當x-3<6-2x時，解得x<3，

貝=—2x,x<3,

'7"3,無23

因為y=6-2x在(-8,3)上單調遞減，

y=x-3在［3,+oo)上單調遞增，

所以x=3時,/(x)有最小值,且〃3)=3-3=0-

故答案為：0

答案第61頁，共22頁

14.OWW1

【分析】根據(jù)條件得到〃x)在定義域上單調遞減，再利用分段函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)

及反比例函數(shù)的性質，即可求解.

【詳解】因為&-占)[/&)-/(*)]<0，且再f

不妨設再<々，貝U龍2-西>0，y(x2)-/(X1)<o,

所以“X)在定義域上單調遞減，

當”>1時，〃x)=2在區(qū)間(1，+°°)上單調遞減，

X

當xW1時，/(x)=ax2-x+5，

當4=0時，/(x)=-％+5在區(qū)間上單調遞減，

又/(1)=_1+5=4>2,所以q=0滿足題意，

Q>0c/1

0<a<—

當時，由題有人21，解得2,

2a

tz+4>2

綜上，實數(shù)。的取值范圍是0WW

故答案為：oww

15.(1)4口8=何0Wxv5｝，(稔4)cB=｛x[2<x<5｝；

(2)m<1

答案第71頁，共22頁

【分析】（1）將代入集合8求解，利用集合的并集和補集、交集運算求解即可;

ffl一乙

（2）利用充分不必要條件的定義，根據(jù)真子集關系列不等式可求實數(shù)優(yōu)的取值范圍.

【詳解】（1）當加=2時,5={X|1<X<5},

又力=詞04》42「所以守/={x|x<0或x>2}，

所以/口8=卜|0"<5}'（吻4）c3={x[2<x<5}；

（2）因為“xe/”是“xeB”的充分不必要條件，所以A是8的真子集，

又8={x|機-l<x<5「B*0，

m-l<5m<1

所以,所以

2<5

16.（1）奇函數(shù)，證明見解析

（2）函數(shù)〃尤）在區(qū)間（2,+oo）上單調遞增，證明見解析

【分析】（1）根據(jù)條件，利用奇偶函數(shù)的判斷方法，即可求解；

（2）根據(jù)條件，利用函數(shù)單調性的定義，通過作差/（/）_/（灰），變形化簡得到

fM<f（x2）>即可求解?

【詳解】（1）奇函數(shù)，證明如下，

易知，函數(shù)的定義域為（-8,0）U（0,+8），關于原點對稱，

X/（-%）=-x+—=-（%+-）=-f（x）,所以函數(shù)/（X）的奇函數(shù).

-XX

（2）函數(shù)/（x）在區(qū)間僅,+oo）上單調遞增，證明如下，

答案第81頁，共22頁

任取3V%2'且石,工2￡（2,+8），

則/⑺-/區(qū)）=%+&-馬-3=區(qū)^2）+慢士="1義工父，

再x2x1x2x{x2

因為再<%,且工1，工2￡（2,+°°），所以xx—x2<0,xxx2>4,xxx2-4>0,

得到/（不）-/（七）<0，即/（占）</（>2），所以函數(shù)/（X）在區(qū)間（2,+00）上單調遞增?

17.（l）〃x）=F：+x，x>0,圖象見解析；

lx-x,x0

⑵（0,2）.

【分析】（1）根據(jù)題意結合偶函數(shù)的定義，求出x>0時，函數(shù)/（x）的解析式，結合二次

函數(shù)及偶函數(shù)的性質畫出圖象即可；

（2）根據(jù)函數(shù)的圖象以及奇偶性分析函數(shù)的單調性，結合單調性和對稱性可得

|2m-l|<|m+l|,運算求解即可,

【詳解】（1）當x>°時，則一x<0，

由題意可得：〃_x）=（r）2_（_x）=x2+x，

因為函數(shù)〃x）是R上的偶函數(shù)，所以,

所以/（X）=f（-x）—x2+x,

所以函數(shù)/⑺的解析式為〃x）=；x；+x,x>0,

結合二次函數(shù)知識易畫出了（X）圖象如圖所示：

答案第91頁，共22頁

X

（2）結合該函數(shù)/（x）的圖象可知：/（X）在（一%0）上單調遞減，在￡0，國°°。上單調遞

增.

又因為函數(shù)“X）是R上的偶函數(shù),且/（2m-l）</（加+1）,

所以|2加-1|<帆+11

整理可得：〃尸-2根<。，解得：0<,?<2-

故實數(shù)加的取值范圍為曾0,2。.

-5x2+200x-100,0<x<30

18.⑴尸(x)={25000

-10x-+--3--2-0--0-,-%>30

（2）產量為50千件時，獲得的利潤最大，最大利潤為2200萬元.

【分析】（1）利用分段函數(shù)即可求得全年的利潤尸卜）萬元關于年產量％千件的函數(shù)關系

式；

（2）利用二次函數(shù)求值域和均值定理求值域即可求得該企業(yè)全年產量為50千件時，所獲

利潤最大為2200萬元.

【詳解】(1)尸(x)=600x_T?(x)-100,

答案第101頁，共22頁

當0<x<30時’

P(x)=6Q0x-(5X2+400X)-100=-5X2+200x-100'

當x?30時，

尸(x)=600x-(610無+空W-3300,100=一lOx一變％3200,

-5x2+200x-100,0<x<30

所以P(x)=J25000

')-lOx----------+3200,x>30

、x

⑵當0<x<3。時，

尸(x)=-5尤2+200x-100=-5(x-20)2+1900'

當xG20時，P(x)max=1900；

當xN30時'

尸(x)=-10x-^^+3200=-10[x+^^]+3200

<-10x2jx-^^+3200=2200-

當且僅當x=50時等號成立，

所以當x=50時，=2200-

所以該公司今年該產品的產量為50千件時，獲得的利潤最大，最大利潤為2200萬元.

1%⑴/(一1)+〃3)=4

⑵(i)證明見解析；(ii)卜1,3].

【分析】(1)由函數(shù)/(x)的圖像關于點(1,2)對稱，可得/(-1)+/(3)=4;

答案第111頁，共22頁

(2)(i)證明g(x)+g(4r)=-4即可；(近)由名⑴在一2事的值域為［-利，設

/(x)在［0,2］上的值域為/，問題轉化為Nq［-1,4］，先求解A,分類討論軸與區(qū)間的關系,

研究二次函數(shù)的值域即可.

【詳解】(1)因為函數(shù)/(力的圖像關于點(1,2)對稱，

則/(x)+/(2_x)=2x2=4，

令x=-l，可得/(7)+/⑶=4.

0y

(2)(i)證明:由g(x)=會,

2x+2（4—x）2x8-2x4x-8

得g（x）+g（4f）=-4=2x（-2）＞

2—x2-（4-x）2—x2—x2-x

所以函數(shù)g(x)的圖像關于(2,-2)對稱?

/..、/、2x_4_4

(U)g(小二一2+寸-2不

則g@2)在％e1-2,與上單調遞增，

2L3.

所以g(%)的值域為［T，4「

設/(x)在［0,2］上的值域為4,

對任意王e［0,2］,總存在力，使得〃xj=g(x2)成立,