2021-2022學年新教材高中數(shù)學第五章一元函數(shù)的導數(shù)及其應用21基本初等函數(shù)的導數(shù)學案新人教A版選擇性必修2

基本初等函數(shù)的導數(shù)必備知識·自主學習導思1.如何用導數(shù)的定義求基本初等函數(shù)的導數(shù)？2．基本初等函數(shù)的導數(shù)公式是什么？1.幾個常用函數(shù)的導數(shù)函數(shù)f(x)＝cf(x)＝xf(x)＝x2f(x)＝x3f(x)＝eq\f(1,x)f(x)＝eq\r(x)導數(shù)f′(x)＝0f′(x)＝1f′(x)＝2xf′(x)＝3x2f′(x)＝－eq\f(1,x2)f′(x)＝eq\f(1,2\r(x))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(2))))′等于()A.eq\f(1,\r(2))B．1 C．0D．eq\f(1,2\r(2))【解析】選C.常數(shù)的導數(shù)等于0.2.基本初等函數(shù)的導數(shù)公式函數(shù)導數(shù)函數(shù)導數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))f′(x)＝0f(x)＝ax(a>0，且a≠1)f′(x)＝axlnaf(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)f′(x)＝αxα－1f(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝sinxf′(x)＝cos__xf(x)＝logax(a>0，且a≠1)f′(x)＝eq\f(1,xlna)f(x)＝cosxf′(x)＝－sin__xf(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)(1)函數(shù)f(x)＝ax的導數(shù)與函數(shù)f(x)＝ex的導數(shù)之間有什么關系？提示：f(x)＝ex是底數(shù)為e的指數(shù)函數(shù)，是特殊的指數(shù)函數(shù)，所以其導數(shù)f′(x)＝ex也是f′(x)＝axlna當a＝e時的特殊情況．(2)函數(shù)f(x)＝logax與f(x)＝lnx的導數(shù)之間有何關系？提示：f(x)＝lnx是f(x)＝logax的一個特例，f(x)＝lnx的導數(shù)也是f(x)＝logax的導數(shù)的特例．(3)若f′(x)＝ex，則f(x)＝ex這種說法正確嗎？提示：不正確．由導數(shù)定義可知f(x)＝ex＋C(其中C為任意實數(shù))，都有f′(x)＝ex.1．辨析記憶(對的打“√”，錯的打“×”).(1)f(x)＝0，則f′(x)＝0.(√)提示：因為f(x)＝0是一個常數(shù)函數(shù)，所以f′(x)＝0.(2)若f(x)＝lnx，則f′(e)＝1.(×)提示：f(x)＝lnx時，f′(x)＝eq\f(1,x)，所以f′(e)＝eq\f(1,e)≠1.(3)若(3x)′＝x·3x－1.(×)提示：函數(shù)y＝3x是指數(shù)函數(shù)，其導數(shù)應為(3x)′＝3xln3.(4)(x4)′＝x4ln4.(×)提示：函數(shù)y＝x4是冪函數(shù)，其導數(shù)為(x4)′＝4x3.2．若函數(shù)y＝10x，則y′|x＝1等于()A.eq\f(1,10) B．10 C．10ln10 D．eq\f(1,10ln10)【解析】選C.因為y′＝10xln10，所以y′|x＝1＝10ln10.3．(教材練習改編)曲線f(x)＝x3在點(1，f(1))處的切線的斜率為________．【解析】k＝eq\o(lim,\s\do9(Δx→0))eq\f(f（1＋Δx）－f（1）,Δx)＝eq\o(lim,\s\do9(Δx→0))eq\f(（1＋Δx）3－13,Δx)＝eq\o(lim,\s\do9(Δx→0))eq\f(13＋3Δx＋3（Δx）2＋（Δx）3－1,Δx)＝eq\o(lim,\s\do9(Δx→0))[3＋3Δx＋(Δx)2]＝3.答案：3關鍵能力·合作學習類型一利用導數(shù)公式計算導數(shù)(數(shù)學抽象、數(shù)學運算)1．f(x)＝a3(a>0，a≠1)，則f′(2)＝()A.8 B．12 C．8ln3 D．0【解析】選D.f(x)＝a3(a>0，a≠1)是常數(shù)函數(shù)，所以f′(x)＝0，所以f′(2)＝0.2．已知f(x)＝eq\f(1,x3)，則f′(1)＝()A.1 B．－1 C．3 D．－3【解析】選D.f(x)＝eq\f(1,x3)＝x－3，所以f′(x)＝－3x－4，所以f′(1)＝－3.3．(多選)下列結論正確的為()A.y＝ln2，則y′＝eq\f(1,2)B.y＝eq\f(1,x2)，則y′|x＝3＝－eq\f(2,27)C.y＝2x，則y′＝2x·ln2D.y＝log2x，則y′＝eq\f(1,xln2)【解析】選BCD.由導數(shù)的運算公式可知，有y＝ln2，則y′＝0，所以選項A錯誤，其它選項均正確．運用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式求導的注意事項(1)對于簡單的函數(shù)，直接套用公式；(2)對于較為復雜，不能直接套用公式的，可先把題中函數(shù)恒等變形為基本初等函數(shù)，再求導．【補償訓練】1.已知f(x)＝xα(α∈Q*)，若f′(1)＝eq\f(1,4)，則α等于()A.eq\f(1,3) B．eq\f(1,2) C．eq\f(1,8) D．eq\f(1,4)【解析】選D.因為f(x)＝xα，所以f′(x)＝αxα－1，所以f′(1)＝α＝eq\f(1,4).2．函數(shù)f(x)＝sinx，則f′(6π)＝________．【解析】f′(x)＝cosx，所以f′(6π)＝1.答案：1類型二導數(shù)公式的應用(數(shù)學抽象、數(shù)學運算)【典例】求過曲線y＝sinx上點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(1,2)))且與過這點的切線垂直的直線方程．四步內容理解題意條件：①曲線y＝sinx；②曲線y＝sinx上點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(1,2)))結論：求與過這點的切線垂直的直線方程思路探求先求切線的斜率，再求垂線的斜率，最后求出垂線的方程書寫表達因為y＝sinx，所以y′＝cosx，曲線在點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(1,2)))處的切線斜率是：y′|x＝coseq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2)，所以過點P且與過這點的切線垂直的直線的斜率為－eq\f(2,\r(3))，故所求的直線方程為y－eq\f(1,2)＝－eq\f(2,\r(3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))，即2x＋eq\r(3)y－eq\f(\r(3),2)－eq\f(π,3)＝0.題后反思導數(shù)的幾何意義是曲線在某點處的切線的斜率，相互垂直的直線斜率乘積等于－1是解題的關鍵利用導數(shù)的幾何意義解決切線問題的兩種情況(1)若已知點是切點，則在該點處的切線斜率就是該點處的導數(shù)．(2)如果已知點不是切點，則應先設出切點，再借助兩點連線的斜率公式進行求解．1．(2020·全國Ⅰ卷)函數(shù)f(x)＝x4－2x3的圖象在點(1，f(1))處的切線方程為()A.y＝－2x－1 B．y＝－2x＋1C.y＝2x－3 D．y＝2x＋1【解析】選B.因為f(x)＝x4－2x3，所以f′(x)＝4x3－6x2，所以f(1)＝－1，f′(1)＝－2，因此，所求切線的方程為y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.2．曲線y＝eq\f(9,x)在點M(3，3)處的切線方程是________．【解析】因為y′＝－eq\f(9,x2)，所以y′|x＝3＝－1，所以過點(3，3)的斜率為－1的切線方程為y－3＝－(x－3)，即x＋y－6＝0.答案：x＋y－6＝03．水波的半徑以0.5m/s的速度向外擴張，當半徑為25m時，水波面積的膨脹率是________．【解析】因為水波的半徑擴張速度為0.5m/s，故水波面積為S＝πr2＝π(vt)2＝eq\f(1,4)πt2，故水波面積的膨脹率為S′＝eq\f(1,2)πt.當水波的半徑為25m時，由vt＝25，解得t＝50，即可得S′＝eq\f(1,2)π×50＝25π.答案：25π類型三與切線方程有關的問題(數(shù)學抽象、數(shù)學運算)角度1求切點坐標及參數(shù)值【典例】若直線y＝x＋b與曲線y＝ex相切于點P，求切點坐標及b的值．【思路導引】由切線的斜率即可求出切點坐標；由切點坐標即可求出b的值．【解析】設P(x0，y0)，由題意可知y′|x＝x0＝ex0，所以ex0＝1，即x0＝0，所以點P(0，1).由點P(0，1)在直線y＝x＋b上可知b＝1.若點P是曲線y＝ex上的任意一點，求點P到直線y＝x的最小距離．【解析】如圖，當曲線y＝ex在點P(x0，y0)處的切線與直線y＝x平行時，點P到直線y＝x的距離最近，則曲線y＝ex在點P(x0，y0)處的切線斜率為1，又y′＝(ex)′＝ex，所以ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0，1).利用點到直線的距離公式得最小距離為eq\f(\r(2),2).角度2與切線有關的簡單應用【典例】曲線y＝ex在點(2，e2)處的切線與坐標軸所圍成的三角形的面積為________．【解析】因為y′＝(ex)′＝ex，所以k＝e2，所以曲線在點(2，e2)處的切線方程為y－e2＝e2(x－2)，即y＝e2x－e2.當x＝0時，y＝－e2，當y＝0時，x＝1，所以切線與坐標軸所圍成的三角形的面積為S＝eq\f(1,2)×1×|－e2|＝eq\f(1,2)e2.答案：eq\f(1,2)e2與切線有關問題的解題策略1．明確切點，若切點為(x0，y0)，則切線的斜率k＝f′(x0).2．切線方程一般可用點斜式求解．3．結合題設條件得出所求的代數(shù)式或方程．1．在曲線f(x)＝eq\f(1,x)上切線的傾斜角為eq\f(3,4)π的點的坐標為()A.(1，1) B．(－1，－1)C.(－1，1) D．(1，1)或(－1，－1)【解析】選D.切線的斜率k＝taneq\f(3,4)π＝－1，設切點為(x0，y0)，則f′(x0)＝－1，又f′(x)＝－eq\f(1,x2)，所以－eq\f(1,xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)))＝－1，所以x0＝1或－1，所以切點坐標為(1，1)或(－1，－1).2．已知函數(shù)y＝f(x)的圖象在M(1，f(1))處的切線方程是y＝eq\f(1,2)x＋2，則f(1)＋f′(1)＝________．【解析】依題意知，f(1)＝eq\f(1,2)×1＋2＝eq\f(5,2)，f′(1)＝eq\f(1,2)，所以f(1)＋f′(1)＝eq\f(5,2)＋eq\f(1,2)＝3.答案：33．直線y＝eq\f(1,2)x＋b是曲線y＝lnx(x＞0)的一條切線，則實數(shù)b＝________．【解析】設切點坐標為(x0，y0)，則y0＝lnx0.因為y′＝(lnx)′＝eq\f(1,x)，由題意知eq\f(1,x0)＝eq\f(1,2)，所以x0＝2，y0＝ln2.由ln2＝eq\f(1,2)×2＋b，得b＝ln2－1.答案：ln2－1課堂檢測·素養(yǎng)達標1．若f(x)＝coseq\f(π,4)，則f′(x)為()A．－sineq\f(π,4) B．sineq\f(π,4)C．0 D．－coseq\f(π,4)【解析】選C.f(x)＝coseq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)，故f′(x)＝0.2．函數(shù)y＝mx2m－n的導數(shù)為y′＝4x3，則()A．m＝－1，n＝－2 B．m＝－1，n＝2C．m＝1，n＝2 D．m＝1，n＝－2【解析】選D.因為y＝mx2m－n，所以y′＝m(2m－n)x2m－n－1，又y′＝4x3，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m（2m－n）＝4，,2m－n－1＝3，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝1，,2m－n＝4，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝1，,n＝－2.))3．(多選)下列選項中是正確結論的有()A．(sinx)′＝cosx B．(xeq\s\up6(\f(5,3)))′＝xeq\s\up6(\f(2,3))C．(log3x)′＝eq\f(1,3