浙江省溫州2024-2025學(xué)年高三年級上冊一模數(shù)學(xué)試卷（含解析）

溫州市普通高中2025屆高三第一次適應(yīng)性考試

數(shù)學(xué)試題卷2024.11

本試卷共4頁，19小題、滿分150分、考試用時120分鐘.

注意事項：

1、答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卷上，將條

形碼橫貼在答題卷右上角“條形碼粘貼處”、

2、作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卷上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；

如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他谷類，答案不能答在試題卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卷各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置

上：如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上斷的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液，不按以上要術(shù)

作答的答案無效。

4、考生必須保持答題卷的整潔，不要折疊，不要弄破、

選擇題部分(共58分)

一、選擇題：本大題共8小題、每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的、

1.己知集合A={XGN|-KX<4},B={x|y=怖}，則ACB=()

A.{1,2,3}B.{-1,1,2,3}C.{0,1,2,3}D.{-1,0,1,2,3}

2.若i2025z=1+i,則復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點位于第()象限

A.-B.二C.三D.四

3.己知平面向量a,6滿足||a|=|6|=l,(a,b)=60°,則|a+261=()

A.1B.V3C.2DS

4.若方向向量為(1,-2)的直線1與圓((￡—l)2+y2=5相切，則直線1的方程可以是()

A.x+2y+7=0B.2x+y+3=0

C.x+2y--6=0D.2x+y--6=0

5.己知sin(a+0)=1,sin(a-/?)=則翳=()

11

A.-B.--C.5D.-5

[ex,x>0

6.己知函數(shù)八即一卜3-3X+WO的值域為R,則實數(shù)。的取值范圍為()

A.[-1,+°°)B.[3,+°°)C.(-°0,-1]D.(-8,3]

7.己知數(shù)列an的通項公式an=2口-1,在其相鄰兩項冊，冊+工之間插入2左個3(k6N*),得到新的數(shù)

列bn,記垢的前〃項和為.S”則使Sn2100成立的〃的最小值為（）

A.28B.29C.30D.31

8.飛行棋是一種家喻戶曉的競技游戲，玩家根據(jù)骰子（骰子為均勻的正六面體）正面朝上的點數(shù)確定

飛機(jī)往前走的步數(shù)，剛好走到終點處算“到達(dá)”，如果玩家投擲的骰子點數(shù)超出到達(dá)終點所需

的步數(shù)，則飛機(jī)須往加走超出點數(shù)對應(yīng)的步數(shù).在一次游戲中，飛機(jī)距終點只剩3步（如圖所示）,

設(shè)該玩家到達(dá)終點時投擲骰子的次數(shù)為X,則E(X)=()

0

0

?

0

0

A.3B.4C.5D.6

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.

全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.觀察下列散點圖的分布規(guī)律和特點，其中兩個變量存在相關(guān)關(guān)系的有（）

A.B.C.D.

10.己知2(-a，0),B(a，0)，k：aK-y=0,l2ax+y=0,其中a>1,點P為平面內(nèi)一點，記點P到人心的

距離分別為(*d2,,則下列條件中能使點P的軌跡為橢圓的是()

A.\PA\+\PB\=4aB.\PA\2+\PB\2=4a2

2

C.di+d2—4aD.dj+周=4a

11.己知函數(shù)f(x)=sin2x—則()

A.f(2)+f(4)<0B.當(dāng)0V6時，f(x)<|,

C.當(dāng)3<rV4時，/(%)>/(|+2)D.當(dāng)0<r<2時，

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上.

12.己知橢圓蓑+―=M7n>。)和雙曲線/一器=1的焦點相同，則?n=

13.如圖所示的五面體ABCDEF為《九章算術(shù)》中記載的羨除.它指的是墓道或隧道.其中

四邊形ADEF,ADCB,EFBC均為等腰梯形，平面2DEF1平面ADCB,EF=

2,BC=3,AD=4,BC和AD間的距離為2,EF和AD間的距離為4,則該羨除的體積為

11111

14.己知正項數(shù)列an滿足亂+右+…+嬴二+嬴丁9且的=。3,則。2。24=

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.記△2BC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,己知2bcosC=ac-2ccosB.

(1)求c；

(2)若D為AB中點，CD=&./ACB=60°,求△ABC的周長.

5

16.點A(切,2)在拋物線必=2Px(0Vp<2)上，且到拋物線的焦點F的距離為5.

(1)求拋物線C的方程;

(2)過點F的直線交拋物線于B,C兩點，且.L.BAC=90。,求直線BC的方程.

17.如圖，在三棱柱4BC—418也1中，平面ABC11平面4BC,4Ci1平面BCCiBr

(1)求證：BCi1BC,

(2)若二面角A-ACi-/的正弦值為?且AB=2BC=2,求4cl.

18.己知函數(shù)/(x)=(4x+d)ln(x+1)國(九)=x2+bx.

(1)當(dāng)a=4時，求/(x)的最小值；

(2)若y=/(＞：)與y=g(%)在原點處的切線重合，且函數(shù)以冗)=/(x)-gO)有且僅有三個極值點,

求實數(shù)。的取值范圍.

19.己知集合A={123,…，2祀2n+l}(neN*).

(1)集合BUA”且B中的任意三個不同的元素x,y,z都有z+yHz.

(i)當(dāng)zi=3時，寫出一個滿足條件的恰有四個元素的集合B；

(ii)對于任意給定的n(neN*，n>2),求集合B中的元素個數(shù)的最大值.

(2)己知集合P={C|CcA],Q={CiG，……3UP，且同時滿足以下條件：

①VG,CjGQ,都有CinCj豐0,(其中i,je{i>2>--k],i豐j)；

②V。eCpQ,mqeQ,使得DnCP=0(其中sG{12…，k}).求集合。中的元素個數(shù)k.

浙江省溫州市普通高中2025屆高三第一次適應(yīng)性考試

數(shù)學(xué)試題一模數(shù)學(xué)試題

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分,在每小題給出的四個選項

中，只有一項是符合題目要求的.

1.己知集合/={%CN|—1W%V4},B-[x\y-yfx],則4nB=(C)

A.{1,2,3}B.{-1,1,2,3}C.{0,l,2,3}D.{-1,0,1,2,3}

【解析】A=[xeN\—l<x<4}={0,1,2,3},B=[x\y=Vx}=[x\x>0),

:，A￡8.故選C.

2.若/。252=1+h則復(fù)數(shù)Z對應(yīng)的點位于第(D)象限

A.-B.二C.三D.四

【解析】???i2025z=l+i,=J.z對應(yīng)的點為(1,一1).故選D.

3.己知平面向量a,b滿足|a|=|b|=l,{a,b)=60°,則|a+2bl=(D)

A.lB.V3C.2D.V7

【解析】|a+2b\2=a2+4b2+4a-b=l+4+4xlxlxcos60°=7,

|a+2bl=V7.故選D.

4.若方向向量為(1,一2)的直線/與圓(％—1)2+y2=5相切，則直線1的方程可以是

(B)

A.x+2y+7=0B.2x+y+3=0

C.x+2y-6=0D.2x+y-6=0

【解析】依題意可設(shè)直線心y--2x+m,即2%+y+m=0,

由直線與圓相切可得d=坦歲=V5,解得m=3或m=-7.故選B.

V5

5.己知sin(a+0)=:sin(a-/?)=則黑^=(C)

A$B.-1C.5D.-5

sin(a+/?)=j=sinacosp4-cosasinpsinacosp=

【解析】???.1,

sin(a—/?)=|=sinacosp—cosasinpcosasinpo=—

7=陋.駕=金=5故選?

tanpcosastnp點

6.己知函數(shù)/(%)=e：%c的值域為凡則實數(shù)a的取值范圍為

、％—ix十a(chǎn),%su

(A)

A.[—1,+8)B.[3,4-oo)C.(—8,—1]D.(-8,3]

【解析】當(dāng)》>。時，/(x)=ex>1,

而當(dāng)％<0時，f(x)=x3-3x+a,fz(x)=3x2-3=3(x+l)(x—1),

???ya)在(一8,-1)上單調(diào)遞增，在(一i,o)上單調(diào)遞減，

其中f(-1)=2+a,/(0)=a,

???當(dāng)4W0時，f(x)<a4-2,從而a+221,即。之一1.故選A.

7.己知數(shù)列｛aj的通項公式冊=2九一1,在其相鄰兩項以，以+1之間插入2k個3

(kWN*),得到新的數(shù)列｛%｝,記?｝的前n項和為Sn,則使SnZ100成立的九的

最小值為()

A.28B.29C.30D.31

【解析】由題可得=1,。2=3,。3=7，。4=15，。5=31，

在%,。2之間插入2個3,在。2,。3之間插入4個3,在。3,。4之間插入8個3,

在。4，。5之間插入16個3,

2個4個8個

3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3?3?3

'-----------------------------------------------，,J1,,,,>

16個

:.Si=1,S4=10,S9=29,S18=68,S35=147,S34=116,S2Q=98,

S29=101,故選B.

8.飛行棋是一種家喻戶曉的競技游戲，玩家根據(jù)骰子(骰子為均勻的正六面體)

正面朝上的點數(shù)確定飛機(jī)往前走的步數(shù)，剛好走到終點處算“到達(dá)”，如果玩家

投擲的骰子點數(shù)超出到達(dá)終點所需的步數(shù)，則飛機(jī)須往加走超出點數(shù)對應(yīng)的步數(shù).

在一次游戲中，飛機(jī)距終點只剩3步(如圖所示)，設(shè)該玩家到達(dá)終點時投擲骰子

的次數(shù)為X,則E(X)=(D)

A.3B.4C.5D.6

【解析】依題意知P(X=l)=gP(X=2)=5x士…，

6oo

P(X=n)=(1)^x1=

?-E(X)=nZimo1[lxa+2x(鏟+…+n鈔],

1

其中可設(shè)％=1X(I)+2X?2+…+n(|)n,

則洱=[1X(乎+2X電3+...+嗯)

兩式相減得溫=(i)1+Q)2+…+?)n—九("S=-n(!)n+1

6

n+1

=5-(n+6)(1)?Sn=30-6(n+6)弓)“十\

:.E(X)=Um16—(n+6)(意)j=6.故選D.

備注：其實此概型為幾何分布，且￡(*)=；=4=P.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有

多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.

9.觀察下列散點圖的分布規(guī)律和特點，其中兩個變量存在相關(guān)關(guān)系的有

(ABC)

【解析】顯然選項A的圖呈負(fù)線性相關(guān)，對于B、C、D由教材來解讀.希望閱者

喜歡！故選ABC.

散點圖是描述成對數(shù)據(jù)之間關(guān)系的一種宜觀方法.觀察散點圖8.1-1,從中我們不僅

可以大致看出脂肪含量和年齡呈現(xiàn)正相關(guān)性，而且從整體上可以看出散點落在某條直線附

近.一般地，如果兩個變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且散點落在一條直線附近，我

們就稱這兩個變量線性相關(guān)（linearcorrelation）.

觀察散點圖8.1-2,我們發(fā)現(xiàn)：圖（D中的散點落在某條曲線附近，而不是落在一

條直線附近，說明這兩個變量具有相關(guān)性，但不是線性相關(guān)；類似地，圖（2）中的散點

落在一條折線附近，這兩個變量也具有相關(guān)性，但它們既不是正相關(guān)，也不是負(fù)相關(guān)；圖

（3）中的散點雜亂無章，無規(guī)律可言，看不出兩個變量有什么相關(guān)性.

(1)(2)(3)

10.己知A(-a,0),8(a,0),k：ax-y=0,l2：ax+y=0,其中a>1,點P為

平面內(nèi)一點，記點P到/1，%的距離分別為由，d2,則下列條件中能使點P的軌跡

為橢圓的是（AD）

A.\PA\4-\PB\=4aB.\PA\2+\PB\2=4a2

222

Cd】+d2=4aD.d1+d2=4a

【解析】不妨設(shè)P(x,y),則由|P川+\PB\=4a>2a=|A8|可知動點P的軌跡為

以4(一a,0),B(a,0)為焦點，且長軸長為4a的橢圓；

由d/+d?2=4a2得!^+=2a2產(chǎn)=4a2,

1/a2+la2+la2+l

22

即r即+Wv西=1，顯然2a2(a2+i)>2(M+i),

故動點P的軌跡為為焦點在y軸上的橢圓.故選AD.

11.己知函數(shù)f(%)=sin2%—2sinx,則(ACD)

A./(2)+/(4)<0B.當(dāng)0V%V6時，/(x)<|,

C.當(dāng)3V%V4時,/(x)>/(|+2)D.當(dāng)OV%V2時，/(x)</(y-x)

【解析】顯然函數(shù)f(x)=sin2x-2sinx為奇函數(shù)，且其最小周期為2?r,

故只需研究義W［0,用的圖象性質(zhì)即可，

二frM=2cos2x—2cosx=2(2cos2x-cosx-1)=2(2cosx4-l)(cosx—1),

.-.XG［o,y］,<0:xe［y,7r］,尸(幻N0,二/(%)在［o總單調(diào)遞減；

在目同單調(diào)遞增，

由對稱性知/(%)在卜與,o］單調(diào)遞減；在［-7T,—單調(diào)遞增，

且/(x)min=f(y)=-苧，/(x)max=/(-g)=苧,

對于A,/(2)+/(4)=sin4—2sin2+sin8-2sin4=sin8+sin4-2sin2

=2sin2cos6-2sin2=2sin2(cos6-1)<0,故A正確；

對于B,當(dāng)O<%V6時，顯然fa)max=/G9=竽>|，故B錯誤；

對于C,由/(功在［0,g］單調(diào)遞減；在［g,段］單調(diào)遞增；在［半,2石單調(diào)遞減，

.??/?(%)在(3,4)引與壽］單調(diào)遞增，其中有x>：+2,故C正確；

對于D,/(幻</(9—%)，???sin2x—2sinx<sin(T-2x)~2sin(T-x)

<=>sin2x-sin(y—2x)<2［s.inx-sinr)l

02cosYsin(2x—?)V4cos/sin(x—

<=>coscos［x—給>cos/，其中％——》—［—7r,，

有sin(%—￡)<0,

17

；?COSyCOS(x-5)〉COS葛<=>COS(x—Y)<--^1

4

而Xw(-？-》G[一乃,0],

OOO

17

(17、，1,COS?￡117、17c117、c17

二COSIX-----)<cos-<——TyOcos-cos——>cos——o2cos-cos—>2cos——，

\8/8cos?848848

35331735171733

.?.<=>COS----FCOS—>2cos—<=>COS-----COS—>COS------COS—

8888888

91325

<=>-2sin-sin—>2sinlsin—,

848

其中s譏，>0,sin~<°，singVO,sinl>0,上述不等式顯然成立.

848

故D正確.故選ACD.

備注：此題D選項也可以用極值點偏移的作法直觀的得出.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線

上.

222

12.己知橢圓二+夫=1(m>0)和雙曲線/一匕=1的焦點相同，貝IJ

16m28

m=_\/7_.

【解析】依題意知雙曲線％2一9=1的焦點為(±3,0),16-m2=9,

即m?=7,二m=V7.故填近.

13.如圖所示的五面體4BCDEF為《九章算術(shù)》中記載的羨除.它指的是墓道或隧

道.其中EF///D//8C,四邊形40E尸，ADCB,EF8C均為等腰梯形，平面AOEF_L

平面4DCB,EF=2,BC=3,AD=4,BC和AD間的距離為2,EF和4。間的距

離為4,則該羨除的體積為_12_.

【解析】V=VF-ABCD+^D-EFC=VF-ABCD+/D-BFC=^F-ABCD+^F-BCD

=-x4x-x(3+4)x2+-x-x4x-x3x2=—+-=12.故填12.

32'，33233

14.己知正項數(shù)歹K&J滿足/+/+???+、—+、一=[,且%=。3,則

Q[Q2Q2Q3^n^n+1341+16x

a2024=_6069_.

1

【解析】???—+—+??-+―--+—

a2a3廝即+13an+i6,

1.1..1,1.11

1F…+------H---------+-----=―,

ala2--a2a3-------anan^lan+lan+23an+2---6

兩式相減得J-=-7+J—,

“n+ian+ian+2^an+2

二嬴二=3an+i￡：2'即即+2=3+冊+1，?.?％l+2-/i+l=3,

設(shè)Q]=Q3=7719貝U。2=—3,

1.111.113+m1

當(dāng)n=1時,-------F—=----------H-----------=一-----=一.

a1a23a26m(m-3)3(m-3)63m(m-3)6

二nt2-5m-6=0=m=6或m=—1(舍),

Aa2024=%+2021x3=6069.故填6069.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步

驟.

15.記A4BC的內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,己知2bcosC=ac-2ccosB.

(1)求c；

(2)若。為4B中點，CD=&,Z.ACB=60°,求A4BC的周長.

【解析】(1)法一：由2bcosC=ac-2ccosB,

則2b?a2+M《=QC_2c?a±2b：,貝I」2Q=ac,則c=2.

2ab2ac

法二：由2bcosC=ac-2ccosB,則2si〃8cosC=sinA-c-2sinsCcosB,

則2sin(8+2)=sinA-c,則2sin4=sinA-c,則c=2.

(2)由而=：(方+而)，則而2=102+而2+2廳?函，

則2=-(b2+a2+2ab-cos60°),即小+爐+ab=8,①

4

又c?=a2+b2—2abcos60°,即a?+b2—ab=4,②

由①@得ab=2,a2+b2=6,則a+b=7dz+岳+2ab=VTU，

故周長為Q+b+c=2+V10.

AB

16點4(m,2)在拋物線y2=2px(0<p<2)上，且到拋物線的焦點F的距離為

5

2*

(1)求拋物線c的方程；

(2)過點F的直線交拋物線于B,C兩點,且々B4C=90。，求直線8C的方程.

f2pm=4

【解析】(1)由題意知：,巾巳_三，則p?—5p+4=0,

則p=1或p=4(舍)，則m=2,

所以拋物線。的方程為：y2=2x,且以2,2).

(2)設(shè)直線8c方程為：x=ty+1,8(%,%),C(x2,y2),

22

曲“"y—2ty-1=0,則丫1+力=23y^y2——1?

ly2=2x

2

則+x2=t(%+y2)+1=2t+1,xrx2=\yxyz=%

由4氏4C=90°,則說AC=0,貝1」(41一2)(小一2)+(Ji—2)(y[一2)二0,

則內(nèi)犯一2al+x2)+y1y2-2(yi+乃)+8=0,

則2—2(2t24-1)—1—4t4-8=0=>16t2+16t-21=0=^t=?；騮=-

444

故直線BC方程為：x=：y+g或x=-'+/

17.如圖，在三棱柱ABC-4當(dāng)G中，平面4BG1平面4BC,4QJ?平面

BCC1B〉

(1)求證：BC11BC；

(2)若二面角A-416-81的正弦值為孚，且4B=2BC=2,求4cl.

【解析】(1)因為平面48cli平面A8C,平面48Cifl平面48c=48,

過G作Ci”148于H,則QHJ_平面48C,則1BC,

又AC11平面BCG/,貝必q1BC.

又4CinGH=G，則8C_L平面ABC1，則BC18cl.

(2)由(1)知8cl48.由48=28。=2,則AC=百，

易知二面角A-&G-&的正弦值與二面角G-AC-8的正弦值相等，

過”作HGJ.AC于G,連GG，

由C]H_L平面力8C,則GH14C,貝必C1平面Ci”G,則ACIGC1，

則iCiGH為二面角G-AC-8的平面角.

設(shè)AQ=x,則Bq=JAB2-4c/=V4-x2,

則GH=g8G=剋亙,AH=—,

1AB22

在AABC中，貝I」GH=AH-si7i乙B4c=￥?匹=星，

2510

又sin乙GGH=黑=當(dāng)則亡即"@=翳=曰，則C/=苧GH，

則三三=西?比，解得％=迪，故4弓=延.

2210515

18.己知函數(shù)/(%)=(4%+d)ln(x+1),g(x)=x2+bx.

(1)當(dāng)a=4時，求/(%)的最小值；

(2)若y=/(%)與y=g(x)在原點處的切線重合，且函數(shù)九(%)=f(x)-g(x)有

且僅有三個極值點，求實數(shù)a的取值范圍.