七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)壓軸題攻略湘教版-專題07 解題技巧專題：平方差公式與完全平方公式的靈活運(yùn)用壓軸題六種模型全攻略（解析版）

專題07解題技巧專題：平方差公式與完全平方公式的靈活運(yùn)用壓軸題六種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一項(xiàng)的位置變換】 1【考點(diǎn)二項(xiàng)數(shù)的變換】 2【考點(diǎn)三簡(jiǎn)便運(yùn)算變換】 6【考點(diǎn)四新定義型乘法公式運(yùn)算】 8【考點(diǎn)五連續(xù)相乘應(yīng)用】 9【考點(diǎn)六整體代換應(yīng)用】 15【典型例題】【考點(diǎn)一項(xiàng)的位置變換】例題：（2023上·福建莆田·八年級(jí)校考期末）計(jì)算：．【答案】/【分析】根據(jù)平方差公式即可得．【詳解】解：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式，解題的關(guān)鍵是掌握平方差公式．【變式訓(xùn)練】1．（2022上·八年級(jí)單元測(cè)試）計(jì)算：．【答案】【分析】根據(jù)平方差公式計(jì)算即可．【詳解】解：．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式，能熟練運(yùn)用平方差公式進(jìn)行整式的乘法是本題的關(guān)鍵．2．（2023下·湖南婁底·七年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算：．【答案】/【分析】利用平方差公式進(jìn)行求解即可．【詳解】解：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方差公式，熟知平方差公式是解題的關(guān)鍵：．3．（2022上·上海黃浦·七年級(jí)統(tǒng)考期中）計(jì)算：=．【答案】【分析】根據(jù)多項(xiàng)式乘法法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】．故答案是．【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式的乘法，解答關(guān)鍵是平方差公式的應(yīng)用．4．（2022上·上海寶山·七年級(jí)?？计谥校┯?jì)算：；【答案】/【分析】利用平方差公式計(jì)算即可．【詳解】解：，故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查了乘法公式，熟練掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)二項(xiàng)數(shù)的變換】例題：（2023上·全國(guó)·八年級(jí)課堂例題）利用乘法公式簡(jiǎn)化運(yùn)算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】此題考查了乘法公式，熟練掌握公式是解答本題的關(guān)鍵．完全平方公式是；平方差公式是．（1）把原式變形為，把其中的作為一個(gè)整體看成完全平方公式中的“”，把看成完全平方公式中的“”，這樣本小題就轉(zhuǎn)化為與這兩項(xiàng)的和的平方的形式了．（2）包含相同項(xiàng)：．符號(hào)相反的項(xiàng)：與；與．把轉(zhuǎn)化為，即可轉(zhuǎn)化為與這兩項(xiàng)的差乘這兩項(xiàng)的和的形式．【詳解】（1）．（2）．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·河南信陽(yáng)·八年級(jí)校考階段練習(xí)）用乘法公式計(jì)算(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了平方差公式和完全平方公式，熟知是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)完全平方公式進(jìn)行求解即可；（2）先把看做一個(gè)整體利用平方差公式去中括號(hào)，再根據(jù)完全平方公式去小括號(hào)即可得到答案．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式．2．（2023上·天津和平·八年級(jí)天津市第二南開(kāi)中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）運(yùn)用乘法公式計(jì)算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）本題考查整式的乘法公式，把看成一個(gè)整體，然后根據(jù)乘法公式：，即可；（2）本題考查整式的乘法公式，把看成一個(gè)整體，然后根據(jù)乘法公式：，即可．【詳解】（1）；（2）．3．（2023上·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本題考查整式混合運(yùn)算，熟練掌握平方差公式和完全平方公式是解題的關(guān)鍵，注意整體思想的運(yùn)用．平方差公式和完全平方公式．（1）把看做為一個(gè)整體，運(yùn)用平方差公式計(jì)算，再運(yùn)用完全平方公式計(jì)算即可；（2）把看做為一個(gè)整體，運(yùn)用完全平方公式計(jì)算，再運(yùn)用完全平方公式計(jì)算即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．4．（2023上·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算題：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了整式的乘法，乘法公式；（1）根據(jù)完全平方公式進(jìn)行計(jì)算即可求解；（2）根據(jù)平方差公式與完全平方公式進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】（1）解：原式；（2）原式．【考點(diǎn)三簡(jiǎn)便運(yùn)算變換】例題：（2024下·全國(guó)·七年級(jí)假期作業(yè)）計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)89996；(2)4012009.【詳解】解：（1）．（2）．【變式訓(xùn)練】1．（2022下·湖南郴州·七年級(jí)?？计谥校┯煤?jiǎn)便方法計(jì)算下列各題．(1)；(2)．【答案】(1)39991(2)【分析】（1）利用平方差公式進(jìn)行求解即可；（2）利用完全平方差公式進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式，完全平方差公式，解題的關(guān)鍵是掌握相應(yīng)的公式進(jìn)行變形．2．（2023上·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)校考期中）用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：(1)(2)【答案】(1)1(2)10000【分析】本題考查的是平方差公式及完全平方公式，（1）利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可；（2）利用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．3．（2024下·全國(guó)·七年級(jí)假期作業(yè)）用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【詳解】解：（1）原式．（2）原式．（3）原式．【考點(diǎn)四新定義型乘法公式運(yùn)算】例題：（2023上·甘肅蘭州·七年級(jí)蘭州市第五十五中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）對(duì)于任意的代數(shù)式a，b，c，d，我們規(guī)定一種新運(yùn)算：．根據(jù)這一規(guī)定，計(jì)算．【答案】【分析】按照規(guī)定的運(yùn)算方法把化為，利用平方差公式計(jì)算整理即可．【詳解】解：根據(jù)題意得：，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算，立意較新穎，讀懂規(guī)定運(yùn)算的運(yùn)算方法并列出算式是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·重慶南岸·七年級(jí)校聯(lián)考期中）對(duì)于實(shí)數(shù)a、b、c、d，規(guī)定一中運(yùn)算，那么當(dāng)時(shí)，．【答案】2018【分析】根據(jù)新定義列出方程，然后依據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則及合并同類項(xiàng)的法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，最后解關(guān)于的一元一次方程．【詳解】解：根據(jù)題意得：,整理得：，解得：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是定義新運(yùn)算，多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則，合并同類項(xiàng)的法則，解一元一次方程，掌握多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則是解題的關(guān)鍵．2．（2023下·廣東揭陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期中）現(xiàn)定義一種運(yùn)算“⊕”，對(duì)任意有理數(shù)m，n規(guī)定：，如：，則的值是．【答案】/【分析】先根據(jù)新運(yùn)算進(jìn)行變形，再根據(jù)整式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：===．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算，新定義的運(yùn)算，能正確根據(jù)整式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)五連續(xù)相乘應(yīng)用】例題：（2023下·湖南常德·七年級(jí)統(tǒng)考期中）計(jì)算：．【答案】4【分析】在前面乘一個(gè)，然后再連續(xù)利用平方差公式計(jì)算.【詳解】解：．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式的運(yùn)用，添加是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·天津和平·八年級(jí)天津市第二南開(kāi)中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，在邊長(zhǎng)為a的正方形上裁去邊長(zhǎng)為b的正方形．（1）圖1，陰影面積是；（2）圖2是將圖1中的陰影部分裁開(kāi)，重新拼成梯形，根據(jù)圖形可以得到乘法公式；（3）運(yùn)用得到的公式，計(jì)算：【答案】【分析】本題考查平方差公式的證明和應(yīng)用．理解平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是正確應(yīng)用的前提．（1）利用大正方形的面積減小正方形的面積即可求得；（2）根據(jù)圖1陰影面積和圖2面積相等即可直接填空；（3）根據(jù)平方差公式計(jì)算即可．【詳解】解：（1）陰影面積是：，故答案為：；（2）根據(jù)梯形的面積公式可知圖2中陰影部分的面積為：，∴可以得到的乘法公式為，故答案為：；（3）．故答案為：．2．（2023上·河南新鄉(xiāng)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）觀察下面解題過(guò)程，解答問(wèn)題：題目：化簡(jiǎn)解：原式問(wèn)題：化簡(jiǎn)．【答案】【分析】本題考查了平方差公式的應(yīng)用：根據(jù)題干，先整理原式，再模仿算式算法，即可作答．【詳解】解：．3．（2023上·福建泉州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）乘法公式的探究及應(yīng)用．(1)如圖1，可以求出陰影部分的面積是________（寫成兩數(shù)平方差的形式）；(2)如圖2，若將陰影部分裁剪下來(lái)，重新拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，它的寬是________，長(zhǎng)是________，面積是________．（寫成多項(xiàng)式乘法的形式）(3)比較兩圖的陰影部分面積，可以得到乘法公式________．（用式子表達(dá)）(4)運(yùn)用你所得到的公式，計(jì)算下列各題：①；②．③計(jì)算：．【答案】(1)(2)，，(3)(4)①99.91；②；③【分析】（1）利用正方形面積的計(jì)算公式并結(jié)合已知表示出陰影部分的面積即可；（2）利用長(zhǎng)方形面積的計(jì)算公式并結(jié)合已知表示出陰影部分的面積即可；（3）由圖②與圖①陰影部分的面積相等即可得到答案，注意乘法公式等號(hào)右邊是展開(kāi)的形式；（4）①改寫成平方差公式的形式計(jì)算；②先利用平方差公式計(jì)算，再利用完全平方公式計(jì)算；③利用平方差公式變形后約分化簡(jiǎn)即可．【詳解】（1）利用正方形的面積公式可知：陰影部分的面積．故答案為；（2）由圖可知矩形的寬是，長(zhǎng)是，所以面積是．故答案為，，；（3）∵兩個(gè)圖形陰影部分面積相等，∴．故答案為：；（4）①；②；③【點(diǎn)睛】本題考查平方差公式的幾何背景，以及平方差公式和完全平方公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，掌握平方差公式．4．（2023上·四川內(nèi)江·八年級(jí)四川省內(nèi)江市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）對(duì)于一些較為復(fù)雜的問(wèn)題，可以先從簡(jiǎn)單的情形入手，然后歸納出一些方法，再解決復(fù)雜問(wèn)題．【簡(jiǎn)單情形】化簡(jiǎn)（1）____________；（2）____________；（3）____________；【復(fù)雜問(wèn)題】化簡(jiǎn)（4）____________；【總結(jié)規(guī)律】（5）觀察以上各式，可以得到：____________；【方法應(yīng)用】（6）利用上述規(guī)律，計(jì)算，并求出該結(jié)果個(gè)位上的數(shù)字．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6），個(gè)位上的數(shù)字是5【分析】（1）利用平方差公式求解即可；（2）利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式運(yùn)算法則求解即可；（3）利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式運(yùn)算法則求解即可；（4）根據(jù)前3個(gè)等式的規(guī)律，即可得出結(jié)論；（5）根據(jù)前4個(gè)等式的變化規(guī)律，即可得出結(jié)論；（6）利用（5）的結(jié)論，進(jìn)行計(jì)算，然后根據(jù)計(jì)算結(jié)果得到個(gè)位上的數(shù)字即可．【詳解】解：（1），故答案為；（2），故答案為；（3），故答案為：；（4）根據(jù)前3個(gè)等式可得，故答案為：；（5）觀察以上各式，可以得到：，故答案為：；（6），∵，，，，，…，又，∴的個(gè)位上的數(shù)字與的個(gè)位上數(shù)字相同，∴的個(gè)位上的數(shù)字為，【點(diǎn)睛】本題考查平方差公式、多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式、數(shù)字類規(guī)律探究，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則并靈活運(yùn)用是解答的關(guān)鍵．【考點(diǎn)六整體代換應(yīng)用】例題：（2023上·甘肅平?jīng)觥ぐ四昙?jí)統(tǒng)考期末）閱讀理解：已知，，求的值．解：∵，∴，即，∵，∴，參考上述過(guò)程解答：(1)若，．①___________；②求的值；(2)已知，，求的值．【答案】(1)①5；②1(2)1【分析】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，熟記公式的形式，掌握整體思想是解題關(guān)鍵．（1）①根據(jù)即可求解；②根據(jù)即可求解；（2）根據(jù)求出即可求解．【詳解】（1）解：①∵，∴，即，∵，∴故答案為：5②（2）解：∵，，∴∵【變式訓(xùn)練】1．（2023上·四川內(nèi)江·八年級(jí)?？计谥校┮阎?，則的值為．【答案】【分析】把看作一個(gè)整體，利用平方差公式將所給條件式變形為，由此求出，則．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了代數(shù)式求值，平方差公式，正確利用平方差公式得到是解題的關(guān)鍵．2．（2023上·山東臨沂·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如果，則的值為．【答案】7【分析】本題考查了平方差公式的運(yùn)用，觀察式子特征，把看作一個(gè)整體，運(yùn)用平方差公式展開(kāi)，即可作答．【詳解】解：∵

∴∴則∵∴（舍去）故答案為：7．3．（2023上·甘肅天水·八年級(jí)校聯(lián)考期中）（1）已知，求的值．（2）已知求：和的值．【答案】（1）28（2），．【分析】（1）利用完全平方公式變形求解即可；（2）利用完全平方公式變形求解即可．【詳解】解：（1），∴，∴；（2）∵∴，即：，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．4．（2023上·上海浦東新·七年級(jí)統(tǒng)考期中）已知，，求下列各式的值：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）把，代入即可得到答案；（2）把，代入即可得到答案；（3）把，代入即可得到答案．【詳解】（1）解：，即，（2），即；（3），即，【點(diǎn)睛】此題考查了利用完全平方公式及其變形求值、多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式變形求值，準(zhǔn)確變形和整體代入是解題的關(guān)鍵．5．（2023上·湖北武漢·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）（1）計(jì)算：（2）已知，求的值．【答案】（1）（2）【分析】本題考查了整式的混合運(yùn)算（1）原式利用平方差公式，以及完全平方公式化簡(jiǎn)即可得到結(jié)果；（2）利用完全平方公式得到，然后利用整體代入的方法計(jì)算．【詳解】解：（1）原式；（2）原式∵，∴