正方形（題型匯編）-2021-2022學(xué)年人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期復(fù)習(xí)（解析版）

專題08正方形（一題三變）

【思維導(dǎo)圖】

◎考點(diǎn)題型1：根據(jù)性質(zhì)求角

例.（2021?天津市實(shí)驗(yàn)中學(xué)濱海學(xué)校八年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)￡、尸分別在正方形N8CD的邊DC、3c上,

AGVEF,垂足為G,^.AG=AB,貝（）度

A.30°B.45°C.50°D.60°

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)正方形的性質(zhì)以及HL判定，可得出A4EWA4GR故有的/”G4R再證明A4GE三八4。￡,有

乙GAE=3AE,艮|3可求乙功尸=45。

【詳解】

解：在正方形48c。中，4=5=乙BAD=9。。,AB=AD,

??,AGLEF,,??乙4GF=UGE=90。,

''AG=AB,G=AB=AD,

在RtAABF與RtAAGF中,

jAB=AG

[AF=AF

??.△ABF三AAGF,

???乙BAF=^GAF,

同理可得：AAGE^AADE,

；/GAE=〃）AE；

10

???乙EAF=LEAG+乙FAG=—/BAD=45,

2

."/b=45。

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、解題的關(guān)鍵是得出

變式1.（2021?全國?八年級(jí)期中）如圖，正方形/BCD的兩條對(duì)角線ZC,3。相交于點(diǎn)。，點(diǎn)￡在3。上,

且BE=AD,則乙4CE的度數(shù)為（）

-------

A.22.5°B.27.5°C.30°D.35°

【答案】A

【解析】

【分析】

利用正方形的性質(zhì)證明人必。=45。和BE=BC,進(jìn)而證明MEC=67.5。.

【詳解】

解：??,四邊形4SCZ)是正方形，

???BC=AD,乙DBC=45。,

?:BE=AD,

-'-BE=BC,

:.乙BEC=^BCE=(180°-45°)-2=67.5°,

??,AC1BD,

.?ZCOE=90。，

山CE=9。。-乙BEC=90。-67.5°=22.5°,

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查正方形的性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)，掌握正方形的性質(zhì)并加以利用是解決本題的關(guān)鍵.

變式2.(2021?山西?壽陽縣教研室九年級(jí)階段練習(xí))如圖，四邊形N8CD是正方形，延長(zhǎng)8C到￡,使CE

AC,連接NE交CD于點(diǎn)?貝吐E=()

A.22.5°B.30°C.35°D.45°

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)正方形的性質(zhì)可得"C8=45。，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)果.

【詳解】

解：???四邊形48co是正方形，

山。2=45°,

:.乙E=「CAE=45°,

■■■CE=AC,

:.乙E=￡CAE=g^ACB=22.5°.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握正方形的性質(zhì).

變式3.（2021?山東?青島市城陽第九中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在正方形/BCD的外側(cè)，作等邊△/BE,

則N/ED為（）

A.15°B.35°C.45°D.55°

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角，等邊三角形的三條邊都相等，三個(gè)角都是60。求出

AD=AE,乙CUE的度數(shù)，然后根據(jù)等腰三角形兩個(gè)底角相等求出N/ED即可.

【詳解】

解：???四邊形/BCD是正方形，

AB=AD,/BAD=90°,

---AABE是等邊三角形，

AB=AE,ZBAE=ZAEB=60°,

在AIDE中，AD=AE,ZDAE=ABAD+ZBAE=90°+60°=150°,

NNED=；（180°-150°）=15°,

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等邊對(duì)等角的性質(zhì)，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

◎考點(diǎn)題型2：根據(jù)性質(zhì)求線段長(zhǎng)

例.（2021?福建三元?九年級(jí)期中）如圖，。是正方形48CD內(nèi)一點(diǎn)，四邊形。的E與OGD尸也都是正方形,

圖中陰影部分的面積是10,則EG長(zhǎng)為（）

C.10D.20

【答案】B

【解析】

【分析】

先證四邊形尸是矩形，可得/由三角形的面積公式可得OG2+O印=20,即可求解.

【詳解】

解：???四邊形N5CD,四邊形O//8E,四邊形OG￡＞尸都是正方形，

：.AD\（BC^HG,43IIE尸||C￡）,FO=OG,HO=OE,

???四邊形AHOF是平行四邊形，

又?"AD=90o,

???四邊形N//C下是矩形，

：.AH=OF,

???陰影部分的面積是10,

—xOGxOF+—xOExOH=10,

22

OG1+OE2=20,

EG2=OG1+OE2=20,

???EG=275,

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，多邊形的面積等知識(shí)，求出EG2=OG?+O爐=20

是解題的關(guān)鍵.

變式1.（2021?四川?隆昌市第二初級(jí)中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，在正方形4BCD中，AB=2血,E,尸分別

為邊AB,8c的中點(diǎn)，連接/凡DE,點(diǎn)、N,M分別為NR的中點(diǎn)，連接則的長(zhǎng)為（）

8

C.42D.2

【答案】B

【解析】

【分析】

連接延長(zhǎng)/河交。于G,連接尸G,由正方形/BCD推出/8=CD=3C=2后，AB\\CD,zC=90°,證

得△AEMmGDM,得到/〃=MG,AE=DG=^AB,根據(jù)三角形中位線定理得到MV=g尸G,由勾股定理求出

FG即可得到MN.

【詳解】

解：連接延長(zhǎng)交C。于G,連接尸G,

???四邊形/BCD是正方形，

：.AB=CD=BC=1y[l,ABWCD,zC=90°,

：.^AEM=/-GDM,AEAM=^DGM,

???”為。￡的中點(diǎn)，

:?ME=MD,

在八4區(qū)以和GDVf中，

ZEAM=ZDGM

<ZAEM=ZGDM,

ME=MD

???△AEMzAGDM(44S),

'.AM=MGAE=DG=-AB=-CD,

f22

：.CG;cD=6,

,??點(diǎn)N為/尸的中點(diǎn)，

1

：.MN=-FG,

2

???尸為2c的中點(diǎn),

:CF=；BC=6，

■■FG=ylcF2+CG2=2,

：.MN=\,

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，三角形的中位線定理，正確作出輔

助線且證出AM=MG是解決問題的關(guān)鍵.

變式2.(2021?山東?濟(jì)南市章丘區(qū)第四中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí))根據(jù)四邊形的不穩(wěn)定性，當(dāng)變動(dòng)m的度數(shù)時(shí),

菱形N8C。的形狀會(huì)發(fā)生改變，當(dāng)48=60。時(shí)，如圖1,AC=亞;當(dāng)乙B=90。時(shí)，如圖2,AC=()

A.y/2B.2C.272D.V3

【答案】B

【解析】

【分析】

在圖1中求出菱形的邊長(zhǎng)，再在圖2中利用勾股定理求出AC即可解決問題.

【詳解】

解：如圖1、2中連接/C.

在圖1中，-：AB=BC,乙8=60。，

.■.AABC是等邊三角形，

-'-AB=BC=AC=y/2，

在圖2中，???乙8=90。，AB=BC=41，

；.AC=YAB*BC?=2.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了菱形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些知識(shí)解決問題，屬

于基礎(chǔ)題，中考?？碱}型.

變式3.（2021?陜西臨漳?八年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)E在正方形4BCD的邊CO上，若的面積為8,CE=

3,則線段BE的長(zhǎng)為（）

A.5B.1C.4D.6

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)正方形的性質(zhì)，可求出正方形的面積，從而確定邊長(zhǎng)，然后在必△BCE中利用勾股定理求解即可.

【詳解】

解：???四邊形48co為正方形，

'''^^ABE=-AB-AD,S正方形=AB?AD,

S正方物BC?=2s/BE=2x8=16,

正方形的邊長(zhǎng)8c=4,

在用ABCE中，BC=4,CE=3,

■■BE=ylBC2+CE2=5，

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查正方形的性質(zhì)，理解正方形的性質(zhì)以及熟練運(yùn)用勾股定理是解題關(guān)鍵.

◎考點(diǎn)題型3：根據(jù)性質(zhì)求面積

例.（2021?山東省青島第二十六中學(xué)九年級(jí)期中）正方形/BCD的一條對(duì)角線長(zhǎng)為6,則這個(gè)正方形的面積

是（）

A.972B.18C.24D.36

【答案】B

【解析】

【分析】

正方形對(duì)角線長(zhǎng)相等，因?yàn)檎叫斡质橇庑?，所以正方形的面積可以根據(jù)（a、6是正方形對(duì)角線

長(zhǎng)度）計(jì)算.

【詳解】

解：在正方形中，對(duì)角線相等，所以正方形/BCD的對(duì)角線長(zhǎng)均為6,

,?,正方形又是菱形，菱形的面積計(jì)算公式是S=g劭（°、6是正方形對(duì)角線長(zhǎng)度）

...S=-x6x6=18,

2

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形對(duì)角線相等的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是清楚正方形面積可以按照菱形面積計(jì)算公式計(jì)算，

并熟記菱形的面積計(jì)算公式.

變式1.（2021?內(nèi)蒙古赤峰?七年級(jí)階段練習(xí)）下圖中，每個(gè)小正方形的面積均為lcm2,陰影部分的面積是

多少平方厘米？（）

A.4B.4.5C.5D.9

【答案】A

【解析】

【分析】

陰影部分的面積等于正方形的面積減去三個(gè)直角三角形的面積和.

【詳解】

???每個(gè)小正方形的面積均為1cm2，

二小正方形的邊長(zhǎng)為1,

???陰影部分的面積為：3x3-（gxlx3+gx2x2+gxlx3）

=9-5=4.

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形網(wǎng)格上的面積計(jì)算，靈活運(yùn)用圖形分割法計(jì)算面積是解題的關(guān)鍵.

變式2.（2007?江蘇連云港?中考真題）如圖，直線/上有三個(gè)正方形，若。，。的面積分別為5和11,貝防的

面積為（）

A.4B.6C.16D.55

【答案】C

【解析】

【分析】

運(yùn)用正方形邊長(zhǎng)相等，結(jié)合全等三角形和勾股定理來求解即可.

【詳解】

解：b、c都是正方形,

：.AC=CD,^ACD=90°；

???AACB+Z-DCE=/-ACB+ABAC=90°,

:.乙BAC=^DCE,

?:乙4BC=￡CED=90°,AC=CD,

■■.AACB=ADCE,

：.AB=CE,BC=DE；

在QZv48c中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=AB2+DE2,

即S6=Sa+Sc=l1+5=16,

故選c.

BCE

【點(diǎn)睛】

此題主要考查對(duì)全等三角形和勾股定理的綜合運(yùn)用，結(jié)合圖形求解，對(duì)圖形的理解能力要比較強(qiáng).

變式3.（2021?山東?嘉祥縣第三中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，正方形/3CZ）的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)E是邊上任

一點(diǎn)，以為邊向外作正方形MG8,則的面積是（）

B.2.4D.S與8E長(zhǎng)度有關(guān)

【答案】A

【解析】

【分析】

延長(zhǎng)。/、GF交于Q,則四邊形。GC。是矩形，根據(jù)矩形面積，三角形面積求出即可.

【詳解】

延長(zhǎng)D/、G尸交于0,則四邊形0GCD是矩形，

0.....4

GBC

設(shè)正方形EFGB的邊長(zhǎng)是X,

貝EF=EB=BG=FG=x,

???正方形ABCD的邊長(zhǎng)是2,

；,AD=DC=BC=AB=2,

CG=x+2,FQ=2—x

=（x+2）?2—x,（2—x）—x2x2-----（x+2）,x

222

=2.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)、三角形的面積的應(yīng)用，關(guān)鍵是能把求不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化成求規(guī)則圖形的面

積.

◎考點(diǎn)題型4：正方形折疊問題

例.（2021?全國?八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，把正方形紙片N2CD沿對(duì)邊中點(diǎn)所在的直線對(duì)折后展開，折痕為

MN,再過點(diǎn)8折疊紙片，使點(diǎn)N落在上的點(diǎn)尸處，折痕為BE,若的長(zhǎng)為2,則尸加■的長(zhǎng)為（）

A.2B.V3C.V2D.1

【答案】B

【解析】

【分析】

由折疊的性質(zhì)可得=320=348=1,ABMN=90°,FB=AB=2,由此利用勾股定理求解即可.

【詳解】

解：???把正方形紙片/BCD沿對(duì)邊中點(diǎn)所在的直線對(duì)折后展開，折痕為MN,AB=2,

.-.BM=-BC=-AB=l,乙BMN=9Q°,

22

???四邊形/BCD為正方形，48=2,過點(diǎn)8折疊紙片，使點(diǎn)/落在上的點(diǎn)尸處，

：.FB=AB=2,

則在必ZiAWF中，F(xiàn)MZBF?-BM?=5

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了正方形與折疊，勾股定理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握折疊的性質(zhì).

變式1.（2021?全國?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，將一邊長(zhǎng)為12的正方形紙片/BCD的頂點(diǎn)/折疊至DC邊上

的點(diǎn)E,使?！?5,若折痕為尸。，則尸。的長(zhǎng)為（）

DEC

A.13B.14C.15D.16

【答案】A

【解析】

【分析】

過點(diǎn)尸作于點(diǎn)河，由折疊得到PQL4E,從而得到乙乙4尸。，可得△尸0MSA4DE,從而得到

PQ=AE,再由勾股定理，即可求解.

【詳解】

解：過點(diǎn)尸作尸M18C于點(diǎn)

由折疊得至I]PQLAE,

：.ADAE+AAPQ=9G°,

在正方形48CD中，ADWBC,")=90。，CD1BC,

:.乙DAE+UED=90°,

■?■/-AED=/-APQ,

.-.AAPQ=APQM,

■■■Z.PQM=Z.APQ=Z-AED,

"PM1BC,

：.PM=AD,

?.?AD=Z.PMQ=90°,

■■.APQM^AADE,

：.PQ=AE,

在及△/￡>￡中，DE=5,AD=\2,

由勾股定理得：

AE=yl52+n2=13，

.?.PQ=13.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，得到△尸0gA4OE是解題的關(guān)

鍵.

變式2.（2021?福建?重慶實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）如圖，將正方形/BCD沿直線D尸折疊，使得點(diǎn)C落在

對(duì)角線3。上的點(diǎn)￡處，則/DEC的度數(shù)是（）

【答案】B

【解析】

【分析】

由正方形的性質(zhì)，則48OC=45。，由折疊的性質(zhì)，得DE=DC,即可得到/DEC得角度.

【詳解】

解：；四邊形/BCD是正方形，8。是正方形的對(duì)角線，

ZBDC=45°,

；折疊，

DE=DC,

NDEC=NDCE,

1go。_45。

.../DEC=NDCE=------------=67.5°,

2

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是掌握所

學(xué)的知識(shí)，正確得到N5DC=45。.

變式3.（2021?湖南祁陽?八年級(jí)期末）如圖，正方形N3CD的邊長(zhǎng)為6,將正方形折疊，使頂點(diǎn)。落在2c

邊上的點(diǎn)￡處，折痕為G8,若BE：EC=2：1,則線段CH的長(zhǎng)是（）

58

A.-B.-C.3D.3.5

23

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)題意求出CE,根據(jù)折疊的性質(zhì)得到根據(jù)勾股定理列方程，解方程得到答案.

【詳解】

解：設(shè)CH=x,則。由6-x,

■■■BE：EC=2：1,BC=6,

■■.CE=2,

由折疊的性質(zhì)可知：EH=DH=6-x,

在RtACEH中,EH2=CH2+CE2,即（6-x）W+22,

OQ

解得：X=|,即CH",

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用、正方形的性質(zhì)，根據(jù)翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)得到是解題

的關(guān)鍵.

◎考點(diǎn)題型5：求正方形重疊部分面積

例.（2021?全國?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)都為2.其中一個(gè)正方形的一頂點(diǎn)在另一個(gè)正方

形的中心，則兩個(gè)正方形重疊部分的面積是（）

A.0.5B.1C.2D.無法確定

【答案】B

【解析】

【分析】

如圖：連接/BCD的對(duì)角線，根據(jù)題意可以推出g△DOE,所以重合部分的面積為△OCD的面積.

【詳解】

解：如圖，

:四邊形48CD是正方形，

：.BO=CO=DO,ZBDC=ZBCO=45°,ACLBD,

；.NDOC=/EOF=90°,

ZDOE=ZCOF,

在△CO產(chǎn)和△DOE中，

2cOF=NDOE

<OC=OD,

ZCOF=ZDOE

:.XCOFQXDOE(ASA),

:.S4COF=S4DOE,

,11

???四邊形OEW的面積=SZ\OCO=—S正方形ABCD=-^229=1,

44

故選：B.

本題主要考查了正方形的性質(zhì)、三角形的面積、全等三角形的判定和性質(zhì).解題關(guān)鍵在于找到全等三角形

進(jìn)行代換.

變式1.（2019?全國?八年級(jí)專題練習(xí)）將4個(gè)邊長(zhǎng)都是2的正方形按如圖所示的樣子擺放，點(diǎn)A,B,C分

別是三個(gè)正方形的中心，則圖中三塊重疊部分的面積的和為（）.

A.2B.3C.6D.8

【答案】B

【解析】

【分析】

如圖：連接4P,NN,點(diǎn)/是正方形的對(duì)角線的交點(diǎn)，易證APAFWANAE,可得尸的面積是正方形的

面積的:即每個(gè)陰影部分的面積都等于正方形面積的;，即可解答.

【詳解】

解：如圖，

二0p

G

連接/P,AN,點(diǎn)/是正方形的對(duì)角線的交點(diǎn)，

則4P=/N,ZAPF=ZANE=45°,

NPAF+ZFAN=ZFAN+ZNAE=90°,

ZPAF=ZNAE,

:.aPAFm^NAE,

■-?四邊形4KVF的面積等于△防尸的面積，

而尸的面積是正方形的面積的;，而正方形的面積為4,

4

四邊形的面積為1c加2,三塊陰影面積的和為3c/.

故選反

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了正方形的特性及面積公式，由圖形的特點(diǎn)可知，每個(gè)陰影部分的面積都等于正方形面積的

據(jù)此解題?解答本題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)每個(gè)陰影部分的面積都等于正方形面積的J.

4

變式2.（2020?湖南?長(zhǎng)沙市中雅培粹學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，三個(gè)邊長(zhǎng)均為2的正方形重疊在一起，

M、N是其中兩個(gè)正方形對(duì)角線的交點(diǎn)，則兩個(gè)陰影部分面積之和是（）

A.1B.2C.V2D.4

【答案】B

【解析】

【分析】

連接/N,DN,易證A^VEwAZWF,那么可得陰影部分的面積與正方形面積的關(guān)系，同理得出另兩個(gè)正方

形的陰影部分面積與正方形面積的關(guān)系，從而得出答案.

【詳解】

解：連接WV,DN,如圖所示：

???三個(gè)邊長(zhǎng)均為2的正方形重疊在一起，M.N是其中兩個(gè)正方形對(duì)角線的交點(diǎn),

ZANE+ZEND=90°,NDNF+ZEND=90°,

/.ZANE=NDNF,

?一四邊形/BCD是正方形，

/./EAN=/FDN=45°,AN=DN

在MNE和ADNF中

/EAN=AFDN

<AN=DN

ZANE=ZDNF

\ANE=\DNF{ASA）,

二?兩個(gè)正方形陰影部分瓦VFZ）的面積=；S正方形,

同理另外兩個(gè)正方形陰影部分的面積也是;S正方形回，

S網(wǎng)影部分=/品方形=-x2x2=2.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了正方形的性質(zhì)及全等三角形的綜合，把陰影部分進(jìn)行合理轉(zhuǎn)移，得出，兩個(gè)正方形陰影部分

ENFD的面積是正方形面積的;是解決本題的難點(diǎn).

變式3.（2019?廣東?江門市第二中學(xué)一模）如圖.邊長(zhǎng)為1的兩個(gè)正方形互相重合，按住其中一個(gè)不動(dòng)，將

另一個(gè)繞頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。，則這兩個(gè)正方形重疊部分的面積是（）

A.yB.辿C.1--D.V2-1

233

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及正方形的性質(zhì)分別求得A/8C與△CD'E的面積，從而不難求得重疊部分的面積.

【詳解】

繞頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。,

??.AD'CE=45°,

??.CD'=DE,

??,EDrLAC,

ZCZ)^=90°,

vAC=712+12=6，

CD'=4i-\，

???正方形重疊部分的面積是gxlxl-gx(a-1)(血-1)=a-1.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題綜合考查了三角形的面積求法、正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，主要培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用

性質(zhì)進(jìn)行推理的能力.

◎考點(diǎn)題型6：根據(jù)正方形的性質(zhì)證明

例點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2,3),則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為()

A.(-2,3)B.(—1,5)C.(5,-2)D.(-3,5)

【答案】B

【解析】

【分析】

過點(diǎn)￡作軸于點(diǎn)D,過點(diǎn)G和點(diǎn)產(chǎn)分別作y軸和x軸的平行線，交y軸和x軸于點(diǎn)3和4兩線相

交于點(diǎn)C,證明△EODgZkOGB,可得ED=OB=3,OD=BG=2,可得△￡。。且△/GC(AAS)可得

CG=3,OD=CF=2,進(jìn)而可得點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【詳解】

解：如圖，過點(diǎn)￡作即，x軸于點(diǎn)。，過點(diǎn)G和點(diǎn)廠分別作歹軸和x軸的平行線，交y軸和x軸于點(diǎn)5和

A,兩線相交于點(diǎn)G

I.四邊形4c50是矩形，

：?AC=OB,AO=CB,

???點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2,3）,

:.ED=3,8=2,

四邊形OEFG是正方形，

:?NEOG=/FGO=90°,

：.ZEOD+ZGOB=90°,

'：ZGOB+ZOGB=90°,

/EOD=/OGB,

在△EOD和△OGB中，

'ZEOD=/OGB

<ZEDO=ZOBG=90°,

EO=OG

:?△EOD^AOGB(44S),

:?ED=OB=3,OD=BG=2,

同理可證：△EODQXFGC(AAS)f

:?ED=CG=3,OD=CF=2,

:?AO=CB=BG+CG=3+2=5,AF=AC-CF=OB-CF=3-2=1,

：.F(-1,5).

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是證明

△EOD經(jīng)XOGB,AEOD^AFGC.

變式1.(2021?重慶巴蜀中學(xué)八年級(jí)期中)如圖，正方形O/BC,頂點(diǎn)A在x軸上，0/=3近，將正方形。N8C

繞原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)105。至正方形的位置，則點(diǎn)夕的坐標(biāo)為()

A.(—3,3)B.3,3^/3jC.^—3^/3,3jD.^――-\/2,—V6J

【答案】C

【解析】

【分析】

連接。8',并作3力口軸于。點(diǎn)，綜合正方形以及旋轉(zhuǎn)變化的性質(zhì)，得到。3'=6,ZB'OD=30°,從而在

RNBQD中,27)=3,OD=36，即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：如圖所示，連接08',并作B'OLx軸于。點(diǎn)，

?.?正方形048C繞原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)105。至正方形048'。，OA=3母,

.-.ZAOA'=105°,OA'=A'B'=372,OB'=6,

???由正方形的性質(zhì)得：ZA'OB'=45°,

???408=150°,NB'OD=3Q。,

則在RtVB'OD中，B，D=；OB'=3,OD=y[3B'D=373,

???點(diǎn)/的坐標(biāo)為卜3百,3),

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查正方形的性質(zhì)，以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，理解基本性質(zhì)，熟悉特殊直角三角形中的三邊關(guān)系是解題關(guān)

鍵.

變式2.(2021?福建廈門?七年級(jí)期末)在平面直角坐標(biāo)系xQy中，A(-2,2),B(0,4),C(2,2),則

正方形ABCD的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是()

A.(-2,4)B.(2,4)C.(0,0)D.(0,-2)

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)A、B、C的坐標(biāo)和正方形的性質(zhì)，由平移即可確定點(diǎn)。的坐標(biāo).

【詳解】

解：結(jié)合正方形對(duì)邊平行且相等的性質(zhì)，

4(-2,2)向右平移2個(gè)單位、向上平移2個(gè)單位可得到8(0,4),

同理：C(2,2)向左平移2個(gè)單位、向下平移2個(gè)單位可得到。，

。的坐標(biāo)為(0,0),

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查的是正方形的性質(zhì)，由正方形的對(duì)邊平行且相等的性質(zhì)、平移得到。的坐標(biāo)是本題的關(guān)鍵.

變式3.(2021?全國?九年級(jí)專題練習(xí))如圖，在扇形048中，已知乙405=90。，OA=2,過標(biāo)的中點(diǎn)C

作CD，。/,CEYOB,垂足分別為點(diǎn)D,E,則圖中陰影部分的面積為()

71

A.7i-lB.兀-2C.K-4D.1

2

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)矩形的判定定理得到四邊形ODCE是矩形，連接OC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到OD=OE,然后得到

矩形ODCE是正方形，最后利用扇形和正方形的面積公式計(jì)算即可.

【詳解】

如圖所示，連接OC

??,/AOB=90。,CDLOA,CELOB

???四邊形ODC￡是矩形

???點(diǎn)。是蕊的中點(diǎn)

??.ZCOA=/COB

.NCOD3cOE

/.OD=OE

四邊形ozx更是正方形

OD=CD

■■-OD2+CD2=*

■■OD2=2

即S正方形COCE=2

由扇形的面積公式可得：S扇物翁=萬

S陰影="-2

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查矩形的判定定理和性質(zhì)、正方形的判定定理和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、扇形面積的

計(jì)算公式，熟練掌握相應(yīng)的判定定理和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

◎考點(diǎn)題型7：判定定理的理解

例.（2021?山東東明?九年級(jí)期中）如圖，將長(zhǎng)方形紙片折疊，使/點(diǎn)落8c上的尸處，折痕為8E,若沿

所剪下，則折疊部分是一個(gè)正方形，其數(shù)學(xué)原理是（）

A.鄰邊相等的矩形是正方形

B.對(duì)角線相等的菱形是正方形

C.兩個(gè)全等的直角三角形構(gòu)成正方形

D.軸對(duì)稱圖形是正方形

【答案】A

【解析】

【分析】

將長(zhǎng)方形紙片折疊，使/點(diǎn)落8c上的尸處，可得到24=8/，折痕為BE,沿￡尸剪下，故四邊形N8也為

矩形，且有一組鄰邊相等，故四邊形/8FE為正方形.

【詳解】

解：,??將長(zhǎng)方形紙片折疊，/落在8c上的尸處，

；.BA=BF,

?.?折痕為BE,沿跖剪下，

二四邊形N5尸E為矩形，

???四邊形尸為正方形.

故用的判定定理是；鄰邊相等的矩形是正方形.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的判定定理，關(guān)鍵是根據(jù)鄰邊相等的矩形是正方形和翻折變換解答.

變式1.(2021?湖南?長(zhǎng)沙市南雅中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí))下列條件中，能判定四邊形是正方形的是

()

A.對(duì)角線相等的平行四邊形B.對(duì)角線互相平分且垂直的四邊形

C.對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形D.對(duì)角線相等且互相垂直的平行四邊形

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)正方形的判定定理進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

解：A、對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，不符合題意；

B、對(duì)角線互相平分且垂直的四邊形是菱形，不符合題意；

對(duì)角線相等且互相垂直的平行四邊形是正方形，故C選項(xiàng)不符合題意；

D選項(xiàng)符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的判定，熟知正方形的判定定理是解本題的關(guān)鍵.

變式2.（2021?廣東?佛山市華英學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）下列命題中，真命題是（）

A.兩條對(duì)角線相等的四邊形是矩形

B.兩條對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形

C.兩條對(duì)角線互相垂直平分四邊形一定是正方形

D.連接對(duì)角線相等的四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定和平行四邊形的判定解答即可.

【詳解】

A、兩條對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，原命題是假命題，不符合題意；

B、兩條對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，原命題是假命題，不符合題意；

C、兩條對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形，原命題是假命題，不符合題意；

D、連接對(duì)角線相等的四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形，是真命題，符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了命題與定理，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握這些命題與定理是解題關(guān)鍵.

變式3.（2021?陜西?西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，如果要證明四邊形為正方形，那么

我們需要在四邊形/5C0是平行四邊形的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步證明（）

A.AB=BDB.AC1BDB.ABAD=90°5.ABAD

C.NBAD=90*AC=BDD./C和AD互相垂直平分

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定逐項(xiàng)分析即可.

【詳解】

A.:四邊形力8C。是平行四邊，AC1BD,AB=BD

四邊形/BCD是菱形，

B」.?四邊形48co是平行四邊，AB=AD

四邊形/BCD是菱形

?-?ABAD=90°

四邊形/BCD是正方形

C.ABAD=90。且4C=只能判定四邊形ABCD是矩形；

D.根據(jù)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，所以不能判斷四邊

形/3CD是正方形.

故選B

【點(diǎn)睛】

本題考查了菱形，矩形，正方形的性質(zhì)與判定，掌握特殊四邊形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

◎考點(diǎn)題型8：添加條件成為正方形

例.(2021?山東城陽?九年級(jí)期中)如圖，四邊形是平行四邊形，從下列條件：①AB=BC,②UBC

=90°,?AC=BD,④NC18D中，選出其中兩個(gè)，使平行四邊形48C。變?yōu)檎叫?下面組合錯(cuò)誤的是

()

A.①②B.①③C.③④D.①④

【答案】D

【解析】

【分析】

由題意根據(jù)要判定四邊形是正方形，則需能判定它既是菱形又是矩形進(jìn)而分別分析即可得出答案.

【詳解】

解：/、由①得有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，由②得有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形,

所以平行四邊形/BCD是正方形，正確，故本選項(xiàng)不符合題意；

B、由①得有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，由③得對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，

所以平行四邊形/BCD是正方形，正確，故本選項(xiàng)不符合題意；

C、由③得對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，由④得對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，

所以平行四邊形/BCD是正方形，正確，故本選項(xiàng)不符合題意；

D、由①得有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，由④得對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，

所以不能得出平行四邊形/BCD是正方形，錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查正方形的判定方法：先判定四邊形是菱形，再判定四邊形是矩形；或先判定四邊形是矩形，再判

定四邊形是菱形；那么四邊形一定是正方形；熟練掌握正方形的判定方法是解題的關(guān)鍵.

變式1.（2021?北京市師達(dá)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）在四邊形N8CD中，乙4=A8=NC=90。，如果再添加一

個(gè)條件，即可推出該四邊形是正方形，這個(gè)條件可以是（）

A.BC=CDB.AB=CDC.zT>=90°D.AD=BC

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)正方形的判定方法即可判定；

【詳解】

解：???A4=NB=NC=90°,

二四邊形/BCD是矩形，

.?.當(dāng)2C=CD時(shí)，四邊形4BCD是正方形，

其余條件均不能推導(dǎo)得出四邊形ABCD是正方形，

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查正方形的判定，解題的關(guān)鍵是記住正方形的判定方法.

變式2.（2021?江蘇吳中?八年級(jí)期末）下列條件中，能使菱形/BCD為正方形的是（）

A.AB=ADB.ABIBCC.AC1BDD.4c平分NBAD

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)有一個(gè)角是90。的菱形是正方形，以及對(duì)角線相等的菱形是正方形進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

解：要使菱形成為正方形，只要菱形滿足以下條件之一即可，

（1）有一個(gè)內(nèi)角是直角（2）對(duì)角線相等.

即乙48c=90?；駻C=BD.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了正方形的判定，正確掌握正方形的判定方法是解題關(guān)鍵.

變式3.（2021?上海?九年級(jí)專題練習(xí)）已知矩形/BCD,下列條件中不能判定這個(gè)矩形是正方形的是（）

A.ACLBDB.AC=BDC.4c平分NB4DD.NADB=NABD

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)矩形的性質(zhì)及正方形的判定進(jìn)行分析即可.

【詳解】

解：.??四邊形/BCD是矩形，AC1BD,

矩形/BCD是正方形；

四邊形/BCD是矩形，

AD//BC,

ZDAC=ZBCA,

??,/C平分ZR4。，

ABAC=ADAC,

ZSAC=ZACB,

AB=BC,

矩形/BCD是正方形；

NADB=NABD,

AB=AD,

???四邊形/BCD是矩形，

矩形/5C0是正方形；

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查矩形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握正方形的判定方法.

◎考點(diǎn)題型9：證明四邊形為正方形

例.(2022?山東南區(qū)?九年級(jí)期末)已知：在平行四邊形4BCZ)中，分別延長(zhǎng)A4,OC到點(diǎn)E,H,使得BE

=2/8,DH=2CD.連接E”，分別交ND,8c于點(diǎn)凡G.

(1)求證：4F=CG；

⑵連接3。交硒于點(diǎn)。，若EHLBD,則當(dāng)線段48與線段AD滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形2磯歸■是正

方形?

【答案】(1)見解析

(2)當(dāng)AD=石AB時(shí)，四邊形BEDH是正方形

【解析】

【分析】

(1)要證明NGCG,只要證明△￡/尸三△〃CG即可；

(2)利用已知可得四邊形AEZ汨是菱形，所以當(dāng)4&2+￡(比=/￡)2時(shí)，^BED=90°,四邊形是正方

形.

(1)

證明：?四邊形N2CD是平行四邊形，

???48IICD,AB=CD,4BAD=LBCD,

:.乙AEF=^CHG,

,:BE=2AB,DH=2CD,

：.BE=DH,

：.BE-AB=DH-DC,

：.AE=CH,

:ZBAD+乙區(qū)4尸=180°,乙BCD+乙GCH=18Q°,

:.乙EAF=KGCH,

■.AEAF=AHCG(ASA),

:.AF=CG；

⑵

解：當(dāng)/。=石/8時(shí)，四邊形8瓦汨是正方形;

理由：?:BENDH,BE=DH,

.?.四邊形仍40是平行四邊形，

■■EH1BD,

.??四邊形￡8”。是菱形，

：.ED=EB=2AB,

當(dāng)AE2+DE2=AD2時(shí)，貝叱8￡7>90°,

???四邊形BEDH是正方形，即AB2+(2AB)2=AD2,

-,-AD=y/5AB,

???當(dāng)AD=45AB四邊形BEDH是正方形.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的判定，菱形的判定，平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，結(jié)合圖形分析并

熟練掌握正方形的判定，平行四邊形的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵.

變式1.（2021?全國?九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，若四邊形的對(duì)角線NC與3。相交于點(diǎn)。，且

OA=OB=OC=OD=^—AB，則四邊形/BCD是正方形嗎？

2

【答案】四邊形/BCD是正方形.

【解析】

【分析】

根據(jù)平行四邊形的判定推出四邊形是平行四邊形，求出/C=AD,得出四邊形是矩形，根據(jù)勾股定理的逆定

理求出NC1AD,根據(jù)正方形的判定推出即可.

【詳解】

解：四邊形/BCD是正方形，

理由是：??,CM=O8=OC=。。，

:.AC=BD,四邊形ABCD是平行四邊形，

???平行四邊形/BCD是矩形，

-：OA=OB^OC=OD=—AB，

2

.■.OA2+OB2^AB2,

山。8=90。，

即ACLBD,

二四邊形/BCD是正方形.

【點(diǎn)睛】

本題考查了勾股定理的逆定理，平行四邊形的判定，矩形的判定，正方形的判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的

推理能力，注意：對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形，難度適中.

變式2.（2021?陜西?咸陽市秦都區(qū)電建學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，四邊形N8C。是矩形，￡是8D上的一

點(diǎn)，連接/E、CE,NBAE=NBCE,NAEB=NCEB,求證：四邊形是正方形.

【答案】見解析

【解析】

【分析】

根據(jù)44s證明AABE烏MBE可得A4=BC,再結(jié)合四邊形ABCD是矩形可得結(jié)論.

【詳解】

證明：在△/BE和△C8E中，

ABAE=NBCE,

<NAEB=ZCEB,

BE=BE,

二AABE咨Z\CBE(AAS),

BA=BC,

又???四邊形48co是矩形，

.,?四邊形48co是正方形.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了正方形的判定，熟練掌握正方形的判定是解答此題的關(guān)鍵.

變式3.(2021?云南昆明?八年級(jí)期末)如圖，在“BC中，NACB=9Q°,ZB>ZA,點(diǎn)。為邊43的中點(diǎn),

DEHBC交AC于點(diǎn)E,CFHAB交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

(1)求證：DE=EF；

(2)當(dāng)滿足什么條件時(shí)，四邊形/DCF是正方形？請(qǐng)證明你的結(jié)論.

【答案】（1）見解析；（2）當(dāng)及△Z5C是等腰直角三角形，四邊形NOW是正方形，見解析.

【解析】

【分析】

（1）先證四邊形8CTO為平行四邊形，再證之△CFE1,可得DE=EF；

（2）先證四邊形/QCb是平行四邊形，再證CD=AD,根據(jù)正方形的判定可得出結(jié)論.

【詳解】

證明：（1）-DEHBC,CF//AB

/.ZADF=ZF,DF//BC,DB//CF

???四邊形5s）是平行四邊形

BD=CF

，??點(diǎn)D是4B的中點(diǎn)，

???BD=AD

.?.AD=CF

在"OE與△CFE中，

ZAED=ZCEF

<AD=CF

ZADF=ZF

,“ADE%CFE（AAS）

DE=EF

（2）當(dāng)必△48C是等腰直角三角形，四邊形4DCF是正方形

???CF//AB,

???AD//CF

???AD=CF,

???四邊形ADCF是平行四邊形

是等腰直角三角形，點(diǎn)。是/B的中點(diǎn)

CD1AB,CD=AD

???四邊形）DCF是正方形.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)，能找到邊與邊之間的關(guān)

系是解題的關(guān)鍵.

◎考點(diǎn)題型10：根據(jù)性質(zhì)與判定求角度

例.（2021?安徽?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在正方形/8CD中，以對(duì)角線8。為邊作菱形8。尸￡,連接8尸,

則乙4/=（）

A.22.5°B.25°C.30°D.不能確定

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)正方形的對(duì)角線平分一組對(duì)角可得NADB=45。，再根據(jù)菱形的四條邊都相等可得BD=DF,根據(jù)等邊對(duì)

等角可得NDBF=NDFB,然后根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和進(jìn)行計(jì)算即可得解.

【詳解】

解：在正方形ABCD中，zADB=y^ADC=yx90°=45°,

在菱形BDFE中，BD=DF,

所以，ZDBF=ZAFB,

dtABDF中，zADB=zDBF+zAFB=2zAFB=45°,

解得NAFB=22.5°.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的四個(gè)角都是直角，對(duì)角線平分一組對(duì)角的性質(zhì)，菱形的四條邊都相等的性質(zhì)，以及等

邊對(duì)等角，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，難度不大，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

變式1.（2019?福建廈門?一模）已知菱形ABCD與線段AE,且AE與AB重合.現(xiàn)將線段AE繞點(diǎn)A逆時(shí)

針旋轉(zhuǎn)180。，在旋轉(zhuǎn)過程中，若不考慮點(diǎn)E與點(diǎn)B重合的情形，點(diǎn)E還有三次落在菱形ABCD的邊上，設(shè)

zB=a,則下列結(jié)論正確的是（）

A.00<a<60"B.a=60°C.60°<a<90°D.90°<a<180°

【答案】C

【解析】

【分析】

通過臨界值的情況結(jié)合圖形分析，可知當(dāng)60。<。<90。時(shí)滿足題意.

【詳解】

解：因?yàn)锳E與AB重合，在旋轉(zhuǎn)過程中必過D點(diǎn)，所以需要滿足AE與邊BC、CD有交點(diǎn)，此時(shí)考慮臨

界值位置：當(dāng)AB=AC時(shí)，旋轉(zhuǎn)過程經(jīng)過C、D兩點(diǎn)，如圖，AB=BC=AC,AABC為等邊三角形，所以

a=60°,易知當(dāng)a>60。時(shí)即有三個(gè)交點(diǎn)，而當(dāng)a=90。時(shí)，菱形ABCD為正方形，此時(shí)AB不會(huì)與BC有交點(diǎn)

（不考慮點(diǎn)E與點(diǎn)B重合的情形），./Oya<90°,

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查菱形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，結(jié)合圖形分析出臨界值情況是解題關(guān)鍵.

變式2.（2019?福建惠安?八年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)E為正方形/BCD內(nèi)一點(diǎn)，AD=ED,ZAED=70°,連結(jié)

EC,那么ZAEC的度數(shù)是（）

D

B------------------

A.105°B.130°C.135°D.140°

【答案】C

【解析】

【分析】

由正方形的性質(zhì)得到AD=CD,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到zDAE=zAED=70°,求得NADE=180。-70。-70。=40。,

得到NEDC=50。，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】

解：VAD=DE,

/DAE=NAED=70°,

NADE=180°-7