指對(duì)運(yùn)算（解析版）-2025年天津高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第06講指對(duì)運(yùn)算

（6類核心考點(diǎn)精講精練）

I他.考情探究?

1.5年真題考點(diǎn)分布

5年考情

考題示例考點(diǎn)分析

充分條件的判定及性質(zhì)必要條件的判定及性質(zhì)、比較指數(shù)塞的大小、判斷

2024年天津卷，第2題,5分

一般事函數(shù)的單調(diào)性

2024年天津卷，第5題,5分比較指數(shù)幕的大小、比較對(duì)數(shù)式的大小

2023年天津卷，第3題,5分比較指數(shù)幕的大小、比較對(duì)數(shù)式的大小

2022年天津卷，第5題,5分對(duì)數(shù)的運(yùn)算、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用

2022年天津卷，第6題,5分比較指數(shù)幕的大小、比較對(duì)數(shù)式的大小

2021年天津卷，第5題,5分比較指數(shù)幕的大小、比較對(duì)數(shù)式的大小

2021年天津卷，第7題,5分運(yùn)用換底公式化簡(jiǎn)計(jì)算

2020年天津卷，第6題,5分比較指數(shù)幕的大小、比較對(duì)數(shù)式的大小

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度中檔，分值為5分

【備考策略】1.理解、掌握指對(duì)運(yùn)算法則，能夠靈活運(yùn)用指對(duì)互化

2.能掌握對(duì)數(shù)的換底公式

3.具備數(shù)形結(jié)合的思想意識(shí)，會(huì)借助函數(shù)圖進(jìn)行比較大小的計(jì)算

【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，一般給出等式，做指對(duì)化簡(jiǎn)計(jì)算，或者比較大小。

12?考點(diǎn)梳理，

1實(shí).數(shù)指數(shù)幕運(yùn)算法則｛考點(diǎn)一、根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)幕運(yùn)算

C知識(shí)點(diǎn)一.指數(shù)運(yùn)算2.分?jǐn)?shù)指數(shù)鬲的意義與運(yùn)算法則

3.兩個(gè)根號(hào)的區(qū)別

指對(duì)運(yùn)算考點(diǎn)二、對(duì)數(shù)運(yùn)算

1對(duì).數(shù)與指數(shù)的關(guān)系考點(diǎn)三、指對(duì)運(yùn)算綜合

知識(shí)點(diǎn)二.對(duì)數(shù)運(yùn)算2.對(duì)數(shù)的基本性質(zhì)考點(diǎn)四、指數(shù)函數(shù)中的條件等式

3.對(duì)數(shù)恒等式：考點(diǎn)五、指對(duì)等式比較大小

考點(diǎn)六、指對(duì)最值問題

知識(shí)講解

知識(shí)點(diǎn)一.指數(shù)運(yùn)算

L實(shí)數(shù)指數(shù)事運(yùn)算法則

(1)aras=ar+s(a>0,r,sGR).

⑵==。…(心。，乙eR)

ass

(3)(ar)s=Q(a>0,r,sGR).

(4)(abY=arbr(a>0,b>0,r￡R).

2.分?jǐn)?shù)指數(shù)塞的意義與運(yùn)算法則

m__m11

(1)。元沆，a~n=-^=—(其中a>0,m,T?￡N*,且刀>1).

anir7a

(2)0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)累等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)累沒有意義.

3.距瓦與(礪)”的區(qū)別

(1)府是實(shí)數(shù)心的〃次方根，是一個(gè)恒有意義的式子，不受〃的奇偶限制，但這個(gè)式子的值受〃的奇偶限

制.

其算法是對(duì)a先乘方，再開方(都是〃次)，結(jié)果不一定等于a,

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，

__[a,己20,

當(dāng)?shù)稙榕紨?shù)時(shí)，y/a^=Ia|=\

[—a,水0.

(2)(版)〃是實(shí)數(shù)a的〃次方根的〃次累，其中實(shí)數(shù)a的取值范圍由〃的奇偶決定.其算法是對(duì)a先開方，后

乘方(都是〃次)，結(jié)果恒等于a.

知識(shí)點(diǎn)二.對(duì)數(shù)運(yùn)算

1.對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系

當(dāng)a>0,且a豐1.時(shí)，a*=A-x=Log/

2.對(duì)數(shù)的基本性質(zhì)

(1)負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù)，即N>0；

(2)logal=0(a>0,aWl)；

(3)logaa=1(a>0,aWl).

3.對(duì)數(shù)恒等式：

①/。斕=N(a>0且aAl,N>0)；②logaaN=N(a>0且aHl).

4.對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則

(1)如果a>0,且M>0,N>0,那么：

n

loga(MN)=logaM+logaN：loga-=logaM-logaN；logaM=nlogaM(neR)；

(2)換底公式：logg=鬻史>0,且aWl；c>0,且cWl；b>0).

(3)可用換底公式證明以下結(jié)論：

?。成=六；

@loga,死=1；

③log"=loga；

④log器=爭(zhēng)。成；

⑤log：=-Io或.

a

考點(diǎn)一、根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)募運(yùn)算

典例引領(lǐng)

1.(2024?廣東?模擬預(yù)測(cè))若盯=3,則比J|+yJ|=

【答案】±2V3

【分析】

分工>0,y>0和％V0,y<0兩種情況分類計(jì)算.

【詳解】當(dāng)?shù)?gt;0,y>0時(shí)，=y/xy+^fxy=2A/3,

當(dāng)久<0,y<0時(shí)，久+y=—y[xyH——yfxy=-2A/3.

故答案為：±2百

2.(2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))化簡(jiǎn)下列各式：

2

⑴弛.064,251伺_(tái)“。二

Ja3b2Vab2

(2)/ii\4(a>0,b>0=

\aib2]a~3b3

ii

(3)設(shè)%5+%-5=3,則%+%-1的值為

【答案】o/ab-17

【分析】（1）根據(jù)指數(shù)塞的運(yùn)算性質(zhì)，化簡(jiǎn)求值，即得答案;

（2）將根式化為指數(shù)累的形式，結(jié)合指數(shù)暴的運(yùn)算，即可求得答案;

11

（3）將蓊+乂-5=3平方，即可求得答案.

2

[詳解](1)[(0.064)2'53-隹一JI°

12

3X-25X

□/4xX5()3

3

--1

2

|-|-1=0.

11

(3)因?yàn)檩?久一5=3,

x+X-1—(X2+-2=32-2=7.

故答案為：⑴。；⑵去（3）7

即時(shí)性測(cè)

1.（23-24高三上?北京豐臺(tái)?期末）已知/（%）=空-4-工，則f（一|）+/（1）=.

【答案】0

【分析】由解析式直接代入求解即可.

【詳解】因?yàn)?（｝=*-4號(hào)=2-|=|,

1111a

所以=0.

故答案為：0.

2.（23-24高三上?上海奉賢?階段練習(xí)）已知a>0,將向后化為分?jǐn)?shù)指數(shù)哥#形式，貝必=【答

案】|

【分析】利用根式轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)事，再根據(jù)指數(shù)幕的運(yùn)算法則即可.

【詳解】y/ayJa=Ja?成=

故答案為：:

4

3.(23-24高三上?上海閔行?期中)已知函數(shù)f(x)=高?若實(shí)數(shù)m,n滿足27n+71=3mn,且/(m)=

則f(n)=.

【答案】4

【分析】由題設(shè)可得4?2巾=—3m>0,結(jié)合2m+n=3nm得—；■2"=n,即可求/(n).

77n1

【詳解】由題設(shè)/(m)=2.+37n=則4?2血=一3m>0,故zn<0,

O-1

又27n+九=3mn,則——m?2n=3mn=---2n=n,

44

所以/⑺=-^―=——=4.

)''2n+3n2n---2n

4

故答案為：4

4.(20-21高三上?天津?yàn)I海新?階段練習(xí))計(jì)算：

_1

⑴(V2xV3)6+(-2019)°一4x得)2+7(3-7T)4

(2)log2.56.25+IgO.OOl+21nVe-21+10^3

【答案】(1)99+兀；(2)-6

【分析】(1)根據(jù)指數(shù)幕的運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)整理，即可得答案.

(2)根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，計(jì)算化簡(jiǎn)，即可得答案.

【詳解】⑴(V2XV3)6+(-2019)°-4x+V(3-7T)4=22X33+1-4|3-TT|

7

=4x27+1—4x—+兀-3=99+兀；

4

(2)log2.56.25+IgO.OOl+21n五一2i+1°g23

=log2,52.524-IglO-3+Ine—2X2Iogz3

=2—3+1—2x3=-6

【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)為：在化簡(jiǎn)歷時(shí)，，需注意括號(hào)內(nèi)a的正負(fù)，考查計(jì)算化簡(jiǎn)的能力.

考點(diǎn)二、對(duì)數(shù)運(yùn)算

典例引領(lǐng)

1.(23-24高三上?天津和平?期末)計(jì)算31+1嗚2+lg5+log32xlog49xlg2的值為()

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【分析】直接由指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)運(yùn)算即可.

【詳解】由題意3】+i°g32+ig5+log32Xlog49xlg2

log32*23

=3x3+lg5+log32xlog223xlg2

=3x2+lg5+log32xlog23xlg2

=6+(lg5+lg2)=6+1=7.

故選：C.

2.(2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))求值：lg(727+10V2+727-10V2)=.

【答案】1

【分析】根據(jù)給定條件，利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即得.

【詳解】lg“27+10&+727-10V2)=lg(J(5+V2)2+J(5—位產(chǎn))=lg(5+V2+5-V2)=IglO=

1.

故答案為：1

即時(shí)檢測(cè)

1.(全國(guó)?高考真題)已知函數(shù)/(無(wú))=log2(>2+a),若/(3)=1,則。=.

【答案】-7

【詳解】分析：首先利用題的條件?3)=1,將其代入解析式，得到〃3)=log2(9+a)=1,從而得到9+a=

2,從而求得。=-7,得到答案.

詳解：根據(jù)題意有f(3)=/0比(9+￡1)=1,可得9+a=2,所以a=-7,故答案是一7.

點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)已知某個(gè)自變量對(duì)應(yīng)函數(shù)值的大小，來(lái)確定有關(guān)參數(shù)值的問題，在求解的過程中，

需要將自變量代入函數(shù)解析式，求解即可得結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題目.

2.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))在等差數(shù)列｛a九｝中，已知的與是方程2/一%+根=。的兩根，則

?log(a+a+",+aii)

412=()

A.叵B.2C.旦D.U

111142

【答案】B

【分析】由韋達(dá)定理得到5再由等差數(shù)列的性質(zhì)得到的+。2+???+的］的值，結(jié)合指數(shù)、對(duì)數(shù)的

運(yùn)算法則可求值.

【詳解】因?yàn)榕c。9是方程2/-X+m=0的兩根，由韋達(dá)定理得&3+=｝

a

因?yàn)閿?shù)列｛即｝為等差數(shù)列，所以的+=a?+io==2a6=3,a6=

24

4

所以G常&+劭+…+aQ=(工產(chǎn)1。6=常=210g4±=2iog2^p=造

故選：B.

3.(2024?北京?三模)使Iga+\gb=lg(a+6)成立的一組a,b的值為a=,b=.

【答案】2(答案不唯一)2(答案不唯一)

ab=a+b

【分析】根據(jù)題意結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算分析可得a>0,取特值檢驗(yàn)即可.

、b>0

ab=a+b

【詳解】若Iga+Igb=lg（a+b）,則Igab=lg（a+b）,可得a>0，

、b>0

例如a=b=2符合上式.

故答案為：2；2.（答案不唯一）

4.（22-23高三上?天津靜海?期末）lg4+lg25+￡x/=-

【答案】5

［分析］根據(jù)對(duì)數(shù)和分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的運(yùn)算法則即可求得結(jié)果.

【詳解】由題可知，

121

lg4+lg25+93xV3=lg（4x25）+3$x3$=IglOO+3=2+3=5

故答案為：5

5.（23-24高三上?山東?階段練習(xí)）己知1,2,2,2,3,4,5,6的中位數(shù)是a,第75百分位數(shù)為6,則

也4+也。+（嬴）功=---------

【答案】蔡

【分析】由中位數(shù)、百分位數(shù)的概念結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算、幕運(yùn)算即可求解.

【詳解】由題意得。=等=2.5,6=手=4.5,

所以lg4+Iga+島『=Igio+1

故答案為：林.

考點(diǎn)三、指對(duì)運(yùn)算綜合

典例引領(lǐng)

X

1.（2023?北京?高考真題）已知函數(shù)f=4+log2x,則fQ=.

【答案】1

【分析】根據(jù)給定條件，把x=?弋入，利用指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算計(jì)算作答.

X

【詳解】函數(shù)/'（x）=4+log2x,所以/'（I）=45+log2|=2-1=1.

故答案為：1

2.（2024?全國(guó)?三模）若a>1,貝卜電（3）-（但外做的值是（）

A.零B.正數(shù)C.負(fù)數(shù)D.以上皆有可能

【答案】A

【分析】b=Iga,則。=10%代入已知利用指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算化簡(jiǎn)求解即可.

【詳解】令b=Iga,則a=10b,由a>1得b>0,

所以aigOga)-(lga)3=-bb=101g.-bb=0.

故選：A.

即時(shí)檢測(cè)

I_________L__________

1.(2024?廣東?二模)已知正實(shí)數(shù)771,幾滿足工Inm=ln(zn—2幾)—工Irm,則巴=()

22m

A.1B.C.4D.1或2

【答案】B

【分析】利用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)等式，列出關(guān)于烏的方程求解即得.

m

【詳解】由[In血=ln(zn—2幾)一1In幾，得InSnn=ln(m—2幾),因此Snr=?n—2=>0,

整理得2(腎+2-i=o,解得戶=L,即2=工，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，

、m7mvTn2m4

所以2=3

m4

故選：B

2.(2024高三下?河南?專題練習(xí))已知實(shí)數(shù)幾滿足zn+Inm=4,nlnn+n=e3,則nm的值為()

A.e2B.e3C.e4D.e5

【答案】B

【分析】利用指對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)將式子等價(jià)變形，構(gòu)造函數(shù)fQ)=/+%-4,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得Irrni=

3-Inn,進(jìn)而可求解.

【詳解】由Tn+Inm=4,?21rm+n=e3,得e1117n+Inm—4=0,e3-lnn+3—Inn—4=0.

令/(%)=ex+%—4,由于y=ex,y=x—4均為單調(diào)遞增函數(shù)，所以/(%)在(―8,+8)上單調(diào)遞增，

又/(Inm)=/(3—Inn),所以Inzn=3—Inn,所以In(rzm)=3,所以nm=e3.

故選：B.

3.(2024?江蘇?模擬預(yù)測(cè))已知％1+2X1=4,牝+1og2%2=4,則％】+冷的值為()

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】利用函數(shù)/(%)=%+2%的單調(diào)性結(jié)合指數(shù)對(duì)數(shù)的轉(zhuǎn)化可得%1=log2%2,再計(jì)算即可.

【詳解】令f(%)=x+2x,顯然函數(shù)f(%)=久+2%為R上單調(diào)遞增函數(shù)，

log2%2

又f(%i)=%i+2%i=4,/(log2%2)=1og2%2+2=4,

以％i—】Og2%2nX]+%2=4.

故選：C

4.(2024?江蘇南通?模擬預(yù)測(cè))方程無(wú)皿3+xln4=%垣5正實(shí)數(shù)解為

【答案】e2

【分析】運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)先證/og"=clog&a,可得原方程為31nx+41nx=51nx,%>0,可得glnx十

(i)lnX=1,再由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性和指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可得到方程的解.

【詳解】先證a1°gbc=clogz?a(a>0且aH1,b>0且bH1,c>0且cH1),

令小g"=m,cXogba=n,兩邊取b為底的對(duì)數(shù)，

log&a

可得logb?n=log》Qi°gbC=log》c?log》。，log匕九=loghc=log^a-logbc,

所以logb?n=log>幾，所以m=n,即a1°g匕c=丑8匕。，

lnXlnx

則”3+xln4=”5(x>0)即為31n%+4=5(%>0),

可得鏟+暖=1,

由于y=lnx在(0,+8)上單調(diào)遞增，y=(l)X，y=(￡)”在R上單調(diào)遞減，

InxxInx

?,y=/6A)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

Inx/八Inx

?+g)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

22

又Inx=2時(shí)，即x=e2時(shí)，有6)+(。=1，

則原方程的解有且只有一個(gè)為x=e2.

故答案為：e2

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)：本題關(guān)鍵是對(duì)數(shù)恒等式aiog"=ciog/的應(yīng)用.

5.(23-24高三上?天津南開?階段練習(xí))設(shè)。="820+年西”=1。843,貝Ua+2b的值為()

A.1+V3B.1+V5C.26D.27

【答案】A

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則及性質(zhì)化簡(jiǎn)求值即可.

【詳解】因?yàn)閍=?g20+1g4=lgV20+lgV5=lg(V20xV5)=IglO=1,

2b=21Og43=421Og43=4，log4b-W，

所以Q+2b=1+V3.

故選:A.

考點(diǎn)四、指數(shù)函數(shù)中的條件等式

典例引領(lǐng)

1.(23-24高三上?天津?期中)已知4a=5,log89=6,則22a-3b=()

525

A.-B.5C.—D.25

99

【答案】A

【分析】根據(jù)指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算求得正確答案.

2

【詳解】4a=22a_5/log89=log233=|log23=b,

23blog29

3b=21og23=log23=log29/2=2=9,

所以22所3〃=募=§.

故選：A

2.（2020?全國(guó)?高考真題）設(shè)alog34=2,則4一。=（）

A.—B.-C.-D.-

16986

【答案】B

【分析】根據(jù)已知等式，利用指數(shù)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)即可得解

【詳解】由alog34=2可得log34a=2,所以4a=9,

所以有4-a=：,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查的是有關(guān)指對(duì)式的運(yùn)算的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，指數(shù)的運(yùn)算法則,

屬于基礎(chǔ)題目.

1.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知m,n,p是均不等于1的正實(shí)數(shù),加工=712y=p3z,z=」竺，則噌=（

x+ypJ

31

A.2B.-C.1D.-

22

【答案】c

【分析】設(shè)m*=n2y=p3z=t,貝/＞。且t羊1,由指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，根據(jù)z=包得到乙+工一工=o,

x+yxyz

2

由換底公式和對(duì)數(shù)運(yùn)算法則得到方程，求出log-詈=0,得到答案.

【詳解】設(shè)zn*=n2y=p3z=t,則方＞0且tW1,

.*.%=logt=—,2y=logt=,3z=logt=

bmbnp

logtm/logtnbPlogtP

顯然居y,zH0,貝！Jlogt/n=210gMi=5310gtp=p

由z=得xz+yz=xy,即yz+xz—xy=0,

等式兩邊同除以孫z得，iA-l=0,

x+yz

其中（+]一]=logt爪+21ogtn-310gtp=logt*

2zmn^7

故logt方mn"=°，^F=1-

故選：C.

2.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知2工=3〃=4z=6,貝壯+三+工=

xyz----

【答案】3

【分析】根據(jù)給定條件，利用指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化關(guān)系，再利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及換底公式計(jì)算得解.

【詳解】依題意，X-log26,y=log36,z=log46,

-1Q1-1O1

則-+-+-=-~

-=log62+31og063+lo0g64=0log6216=3.

xyzlog26log36log460

故答案為：3

3.（2023,全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知b=7^-,則心=.

【答案】e2

【分析】利用指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化關(guān)系及指數(shù)運(yùn)算法則求解即得.

22

【詳解】由6=（9,得Ina=馬9即a=e萬(wàn)，所以力=（*）匕=e2.

故答案為：e2

4.（23-24高三上?天津?期中）若log2（2/）=a,8b=2或，則a+b=.

【答案】2

【詳解】利用指數(shù)運(yùn)算、對(duì)數(shù)運(yùn)算求出瓦a即可得解.

【分析】依題意，a=log???=|,23b=25,即36=|,解得6=%

所以a+b=三+工=2.

22

故答案為：2

5.（23-24高三上?天津和平?階段練習(xí)）已知3a=5〃且？+<=1,則a的值為

【答案】2+log35

【分析】設(shè)3。=5"=>0,可得a=logsKb=logsk，代入已知等式，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算即可求得k,進(jìn)

而求得a的值.

【詳解】由題意3a=5匕，則設(shè)3a=5"=k,k>0,

故a=\og3k,b=log5K

故馬+：=1，即i2+=1,艮口210gze3+logfc5=1,

ablog3klog5/co"0”

故logk45=1,???k=45,所以a=log345=2+log35,

故答案為：2+log35

考點(diǎn)五、指對(duì)等式比較大小

典例引領(lǐng)

1.（2024?河南?二模）"Inx>Iny”是“x1>丫2”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】分別求出兩個(gè)命題的充要條件，結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷即可.

【詳解】因?yàn)镮n%>InyQ汽>y>0,%2>y2<=>|%|>\y\>0,

所以"In%>Iny”是"%2>y2"的充分不必要條件，

故選：A.

2.（2024?湖南-二模）已知實(shí)數(shù)。>b>0,則下列選項(xiàng)可作為Q-b<1的充分條件的是（

A.yfa—y/b=1B.---=-

ba2

C.2a-2b=1D.log2a—log2b=1

【答案】c

【分析】利用特殊值判斷A、B、D,根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)證明C.

【詳解】取a=4,b=1,滿足正一傷二1,但是推不出a-bV1,故排除A；

取。=2,b=1,滿足:一工=：,但是推不出故排除B；

ba2

取a=4,b=2,滿足log2。一log2b=1，但是推不出Q-bV1，故排除D；

由2。-2b=1,a>b>09可推出2a=2匕+1V2"i,即a<b+l,即a—b<l,故充分性成立.

故選：C.

1

1.（2024?天津南開?二模）已知a=log62,b=logzy，c=G］，則（）,

A.a>b>cB.c>b>aC.a>c>bD.b>c>a

【答案】C

【分析】借助對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得。、氏c范圍，即可判斷.

【詳解】因?yàn)椤?叫序=震>黑=1，

blo3

=g2y=^og22~2=0<c=Q）<Q）=1,

故a>c>b.

故選：C.

2.（2024?天津河北?二模）若a=3。？/）=log。$3,c=0.32,則a,b,c的大小關(guān)系為（）

A.b<a<cB.c<b<a

C.c<a<bD.b<c<a

【答案】D

【分析】利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大小即得.

0,52

【詳解】依題意，a=3>30=l,b=log053<log05l=0,c=0.3=0.09,

所以b<c<a.

故選：D

03

3.（2024高三?天津?專題練習(xí)）若。=4.2-。，3,b=4,2,,c=log420.3,則a,6,c的大小關(guān)系為（）

A.a>b>cB,b>a>cC.c>a>bD.b>c>a

【答案】B

【分析】因?yàn)閥=4.2力在R上遞增，得出0<a<l<6,又因y=log^尤在（0,+8）上遞增，可得c<0.

【詳解】y=4.2久在R上遞增，<-0.3<0<0,3,

所以0<4.2-0-3<4.2°<4.20-3,所以0<4.2-0-3<1<4.203,即0<a<1<b,

因?yàn)閥=log,zX在（0,+8）上遞增，且0<0.3<1,

所以

log4,20.3<log42l=0,

即c<0,所以b>a>c,

故選:B.

4.（2021?全國(guó)?高考真題）己知a=logs2,b=log83,c=|,則下列判斷正確的是（）

A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c

【答案】C

【分析】對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可比較a、b與c的大小關(guān)系，由此可得出結(jié)論.

【詳解】a=log52<log5V5=|=log82V2<log83=b,即a<c<b.

故選：C.

5.（2024?天津?二模）設(shè)a=log23^=1.3°9,0*=1.3,貝加仇c的大小關(guān)系為（）

A.a<b<cB.b<c<a

C.c<b<aD.c<a<b

【答案】C

【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性再結(jié)合兩個(gè)中間量“0”和“!”比較大小即可.

【詳解】log23>log2V8=log225=I，a>I，

0<1.309<1.30<b<-,

22

c

?.?0.9=1.3,-?-c=log091.3<log09l=0,

???c<0,c<b<a.

故選：C.

6.（2024?北京昌平?二模）若0<aVb<1,c>1,貝！J（）

bacc

A.c<cB.logca>logcbC.sin：>sin：D.a<b

【答案】D

【分析】構(gòu)造函數(shù)丫=c%,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷A選項(xiàng)；構(gòu)造函數(shù)y=logc》（%>0）,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性

判斷B選項(xiàng)；構(gòu)造函數(shù)丫=5也%,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷C選項(xiàng)；構(gòu)造函數(shù)y=根據(jù)幕函數(shù)的性質(zhì)，判

斷D選項(xiàng).

【詳解】A：構(gòu)造函數(shù)、=產(chǎn)，因?yàn)閏>l,所以y=c%為增函數(shù)，

又因?yàn)?<aVb<l,則有犬>/,所以A錯(cuò)誤；

B：構(gòu)造函數(shù)y=logc%(x>0),因?yàn)閏>l,所以y=logc%(%>0)為增函數(shù)，

又因?yàn)?<QVb<l,則有l(wèi)og/<log*，所以B錯(cuò)誤；

C：因?yàn)?VaVbV1,所以工>工>1,又c>1,貝！J*>工>1,

abab

構(gòu)造函數(shù)丫=sin%,當(dāng)%>1時(shí)，函數(shù)y=sin%不單調(diào)，

所以無(wú)法判斷$徐￡與5[后的值的大小，C錯(cuò)誤；

D：構(gòu)造函數(shù)y=%c,因?yàn)?VaV力<l,c>1,所以函數(shù)y=汽。在(0,+8)上單調(diào)遞增，

有片</,D正確.

故選：D.

考點(diǎn)六、指對(duì)最值問題

典例引領(lǐng)

1.(2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知m>0,0<幾<2,且log2si+n)=log4(m+九)+log4(2-冗)，貝+(

的最小值是()

A.8B.6C.4D.2

【答案】C

【分析】首先利用對(duì)數(shù)運(yùn)算求得m+2rl=2,再利用“1”的妙用，結(jié)合基本不等式，即可求解.

【詳解】由log2(ni+ri)=log4(m+n)+log4(2-九)得log2(zn+n)=-log2(m+n)(2-n),

2

所以210g2(m+n)=log2(m+幾)(2—n),所以(zn+n)=(m+n)(2—n),

BP(m+n)(m+2n-2)=0.因?yàn)?n>0,0<n<2,

所以m+2n=2,3+[=久m+2n)(3+￡)=]x(4+*(4+2何=4

當(dāng)且僅當(dāng)鯉=―,即m=2n=1時(shí)，等號(hào)成立.

mn

故選：C

2.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))若2、-4'=魚，X,yGR,則％—y的最小值為()

135

A.-B.-C.-D.4

224

【答案】c

-)2X.一

【分析】構(gòu)造4>y=%,變形2'=4，+苗,然后用基本不等式求出結(jié)果即可.

4y

【詳解】因?yàn)?=4*+迎，

所以4>y=絲=9包=44+2調(diào).+2=獷+2+2vL

4y4y4y4y

因?yàn)?y>o,所以4y+5n2J4yx5=2V2.

L5r

所以4%-J>4V2=44,即％—y>-.

174

當(dāng)且僅當(dāng)4y=2,2X=4〉+VL即y=；,久=：時(shí)等號(hào)成立,

4y,42

所以％-y的最小值為

故選：C.

.即_時(shí)__檢__測(cè)___

1.(2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))己知點(diǎn)P(a,b)在直線y=2x—2上，則4。+(今”的最小值為(

)

A.—B.—C.4D.2

48

【答案】c

【分析】根據(jù)點(diǎn)P(a,6)在直線上得a,b關(guān)系，然后由基本不等式可得.

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)P(a,b)在直線y=2刀一2上，則b=2a—2,即2a—b=2,

62ab

所以4a+Q)=22a+2-b>2V2X2-=2M22a-b=2〃=4,

當(dāng)且僅當(dāng)摩;即a=%6=-1時(shí)，其取得最小值4.

故選：C.

2.(2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知正數(shù)％,y滿足lg(2y-％)=lg(2y)-1g%,則y的最小值為()

1

A.-B.1C.2D.4

2

【答案】C

【分析】先根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算得y=再利用基本不等式求解.

2VX-1J

【詳解】由正數(shù)％,y滿足lg(2y-x)=lg(2y)-Igx,得lg(2y-％)=Igy,

所以2y-%=§,y=結(jié)合％>0,y>0,得％-1>0,

所以y=-^―=U)+y=1[(X-1)+J-+21>-(2l(x-l)--+2)=2,

當(dāng)且僅當(dāng)久一1=工時(shí)，即x=2時(shí)取等號(hào)，

x-1

故選：C

3.(2022?河南?模擬預(yù)測(cè))若實(shí)數(shù)x,y滿足>+獷=2X+2^,則x+2y的最小值為(

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】由條件結(jié)合基本不等式求x+2y的最小值.

【詳解】因?yàn)?+4〉=2*+22y>212%+2y,又2》+4>=2X+2^

所以2工+2>>2丁+1

所以x+2yN2,當(dāng)且僅當(dāng)x=1,y=；時(shí)取等號(hào)，

所以久+2y的最小值為2,

故選：C.

4.(2022?遼寧?模擬預(yù)測(cè))已知實(shí)數(shù)a,b滿足a?+logab=1,(0<a<1),則夕og》a-a2的最小值為

()

A.0B.-1C.1D.不存在

【答案】A

【分析】由題設(shè)條件可得logab=1-。2,從而利用換底公式的推論可得，代入要求最小值的

代數(shù)式中，消元，利用均值不等式求最值

22

【詳解】a+logaZ?=1=>logah=1-a=>log6a=

又0<a<1,則0<1-a2<1

22

ilogba-a=+(l-a)-l>2x(1—-1=0

當(dāng)且僅當(dāng)Uw=1-a2即a=學(xué)時(shí)取等號(hào)

4(l-a2)2

故選:A

5.(2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))若3勺+於3丑23,則當(dāng)2取得最小值時(shí)，q=—.

【答案】log3|

【分析】分離參數(shù)，利用基本不等式即可得到答案.

【詳解】根據(jù)指數(shù)函數(shù)值域可知3-q>o,

則依題意得22詈=3勺(3-3勺)，而3勺(3-3勺)<絲笠竺，

當(dāng)且僅當(dāng)31=|,即q=log，時(shí)等號(hào)成立，故％21og3|.

故答案為：logs*

fl好題沖關(guān)

基礎(chǔ)過關(guān)

1.(2024?河南開封?三模)已知aloggd=1,則2一。=()

111

A.-B.-C.-D.3

983

【答案】c

【分析】運(yùn)用對(duì)數(shù)與指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化即可求得.

【詳解】由alog94=1可得4a=9,即(2。)2=9,2a=3,故2"=1.

故選：C.

2.(23-24高三上?山東濰坊?期中)將搐寫成分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的形式為()

Va4

4_47_7

A.ayB.a~C.加D.a~Z

【答案】B

【分析】根據(jù)根式與指數(shù)暴的互化即可求解.

【詳解】將會(huì)寫成分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的形式為

故選：B.

3.(23-24高三上-四川?期末)log3216—310g32=()

7346

A.--B.--C.--D.--

5455

【答案】D

【分析】利用換底公式和對(duì)數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算出答案.

【詳解】10g3216-3幅2=鬻-2=H

故選：D

x

4.(2024?北京豐臺(tái)?二模)已知函數(shù)/(久)=2,g(x)=log2(x+1),那么.

【答案】1

【分析】先求出g(0),再求/'(9(0))即可.

【詳解】易知g(0)=log2(0+1)=0,故/(g(0))=/(0)-2°-1,

故答案為：1

a

5.(23-24高三上?浙江寧波?期末)已知a+2=log2b+b=3,求2。+>=.

【答案】8

【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性解方程，得到a,b的值，問題即可解決.

【詳解】設(shè)八%)=尤+2，，則久久)在(-8,+8)上為增函數(shù)，且外1)=1+21=3,所以a+2a=3只有一

解：a=1；

同理：方程b+log2b=3只有一解：b=2.

所以：2。+〃=23=8.

故答案為：8

6.(2023?四川德陽(yáng)?一模)已知107n=2,10皿=3,則2爪+lg25+IO"1-71=.(用數(shù)字作答)

【答案"

【分析】利用指數(shù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可.

【詳解】10m=2,10n=3,?,.m=lg2,n=lg3.

101g228

??.2m+lg25+10m-n=21g2+lg25+10厄2Tg3=]+]5+-=IglOO+-=

g4g210嗚333

故答案為：?

7.（2024?上海浦東新?三模）已知a=lg5,貝iJlg20=（用a表示）

【答案】2—a/—a+2

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可.

【詳解】由a=lg5,

得lg20=IglOO-lg5=2-a.

故答案為：2-a

B能力提升

1.（2024?四川?模擬預(yù)測(cè)）若實(shí)數(shù)m,n,t滿足5機(jī)==t且工+工=2,貝1=（

mn

A.2V3B.12C.V5D.V35

【答案】D

【分析】根據(jù)指對(duì)數(shù)的互化可得m=logt,n=logt,代入工+工=2,即可計(jì)算得至股的值.

57mn

【詳解】因?yàn)?nl=7n=t且工+工=2,易知t＞。且t中1,

mn

所以m=log53n—log7t,

所以\=logt5,=logt7,

所以A+：=logM4-logt7=logt35=2,貝ijt=V35.

故選：D.

2.(2024?青海?模擬預(yù)測(cè))若a=log35,5b=6,貝！Jab-log32=()

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】A

【分析】本題考查指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化、對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則、換底公式的應(yīng)用.

【詳解】由5b=6=b=log56,

所以ab-log32=log35-