2025屆河南省新鄉(xiāng)一中等四校高考數(shù)學二模試卷含解析

2025屆河南省新鄉(xiāng)一中等四校高考數(shù)學二模試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，則（）A．1 B．2 C．3 D．42．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的的值為（）A． B．C． D．3．過橢圓的左焦點的直線過的上頂點，且與橢圓相交于另一點，點在軸上的射影為，若，是坐標原點，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．4．已知是第二象限的角，，則()A． B． C． D．5．設集合，，則()A． B．C． D．6．已知向量與的夾角為，，，則()A． B．0 C．0或 D．7．若滿足約束條件則的最大值為（）A．10 B．8 C．5 D．38．記其中表示不大于x的最大整數(shù)，若方程在在有7個不同的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍()A． B． C． D．9．已知變量x，y間存在線性相關關系，其數(shù)據(jù)如下表，回歸直線方程為，則表中數(shù)據(jù)m的值為（）變量x0123變量y35.57A．0.9 B．0.85 C．0.75 D．0.510．如圖，是圓的一條直徑，為半圓弧的兩個三等分點，則（）A． B． C． D．11．已知是圓心為坐標原點，半徑為1的圓上的任意一點，將射線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到交圓于點，則的最大值為（）A．3 B．2 C． D．12．拋物線的焦點為，點是上一點，，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．集合，，若是平面上正八邊形的頂點所構成的集合，則下列說法正確的為________①的值可以為2；②的值可以為；③的值可以為；14．已知實數(shù)，滿足約束條件則的最大值為________．15．若x，y滿足，且y≥?1，則3x+y的最大值_____16．在中，角的對邊分別為，且，若外接圓的半徑為，則面積的最大值是______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設函數(shù)f（x）=ax2–a–lnx，g（x）=，其中a∈R，e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù).（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）證明：當x＞1時，g（x）＞0；（Ⅲ）確定a的所有可能取值，使得f（x）＞g（x）在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)恒成立.18．（12分）我國在2018年社保又出新的好消息，之前流動就業(yè)人員跨地區(qū)就業(yè)后，社保轉(zhuǎn)移接續(xù)的手續(xù)往往比較繁瑣，費時費力.社保改革后將簡化手續(xù)，深得流動就業(yè)人員的贊譽.某市社保局從2018年辦理社保的人員中抽取300人，得到其辦理手續(xù)所需時間（天）與人數(shù)的頻數(shù)分布表：時間人數(shù)156090754515（1）若300名辦理社保的人員中流動人員210人，非流動人員90人，若辦理時間超過4天的人員里非流動人員有60人，請完成辦理社保手續(xù)所需時間與是否流動人員的列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認為“辦理社保手續(xù)所需時間與是否流動人員”有關.列聯(lián)表如下流動人員非流動人員總計辦理社保手續(xù)所需時間不超過4天辦理社保手續(xù)所需時間超過4天60總計21090300（2）為了改進工作作風，提高效率，從抽取的300人中辦理時間為流動人員中利用分層抽樣，抽取12名流動人員召開座談會，其中3人要求交書面材料，3人中辦理的時間為的人數(shù)為，求出分布列及期望值.附：0.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.87919．（12分）設函數(shù).（1）時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，設的最小值為，若恒成立，求實數(shù)t的取值范圍.20．（12分）在直角坐標系中，點的坐標為，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，為常數(shù)，且）.以直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸，且兩個坐標系取相等的長度單位，建立極坐標系，圓的極坐標方程為.設點在圓外.（1）求的取值范圍.（2）設直線與圓相交于兩點，若，求的值.21．（12分）已知橢圓：（），點是的左頂點，點為上一點，離心率.（1）求橢圓的方程；（2）設過點的直線與的另一個交點為（異于點），是否存在直線，使得以為直徑的圓經(jīng)過點，若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.22．（10分）已知.（1）若是上的增函數(shù)，求的取值范圍；（2）若函數(shù)有兩個極值點，判斷函數(shù)零點的個數(shù).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

結合分段函數(shù)的解析式,先求出,進而可求出.【詳解】由題意可得，則.故選:C.【點睛】本題考查了求函數(shù)的值,考查了分段函數(shù)的性質(zhì),考查運算求解能力,屬于基礎題.2、B【解析】

列出循環(huán)的每一步，進而可求得輸出的值.【詳解】根據(jù)程序框圖，執(zhí)行循環(huán)前：，，，執(zhí)行第一次循環(huán)時：，，所以：不成立．繼續(xù)進行循環(huán)，…，當，時，成立，，由于不成立，執(zhí)行下一次循環(huán)，，，成立，，成立，輸出的的值為.故選：B．【點睛】本題考查的知識要點：程序框圖的循環(huán)結構和條件結構的應用，主要考查學生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力，屬于基礎題型．3、D【解析】

求得點的坐標，由，得出，利用向量的坐標運算得出點的坐標，代入橢圓的方程，可得出關于、、的齊次等式，進而可求得橢圓的離心率.【詳解】由題意可得、.由，得，則，即.而，所以，所以點.因為點在橢圓上，則，整理可得，所以，所以.即橢圓的離心率為故選：D.【點睛】本題考查橢圓離心率的求解，解答的關鍵就是要得出、、的齊次等式，充分利用點在橢圓上這一條件，圍繞求點的坐標來求解，考查計算能力，屬于中等題.4、D【解析】

利用誘導公式和同角三角函數(shù)的基本關系求出,再利用二倍角的正弦公式代入求解即可.【詳解】因為,由誘導公式可得,,即,因為,所以,由二倍角的正弦公式可得,,所以.故選:D【點睛】本題考查誘導公式、同角三角函數(shù)的基本關系和二倍角的正弦公式;考查運算求解能力和知識的綜合運用能力;屬于中檔題.5、D【解析】

利用一元二次不等式的解法和集合的交運算求解即可.【詳解】由題意知,集合,,由集合的交運算可得,.故選:D【點睛】本題考查一元二次不等式的解法和集合的交運算;考查運算求解能力;屬于基礎題.6、B【解析】

由數(shù)量積的定義表示出向量與的夾角為，再由，代入表達式中即可求出.【詳解】由向量與的夾角為，得，所以，又，，，，所以，解得.故選：B【點睛】本題主要考查向量數(shù)量積的運算和向量的模長平方等于向量的平方，考查學生的計算能力，屬于基礎題.7、D【解析】

畫出可行域,將化為,通過平移即可判斷出最優(yōu)解,代入到目標函數(shù),即可求出最值.【詳解】解:由約束條件作出可行域如圖,化目標函數(shù)為直線方程的斜截式,.由圖可知當直線過時,直線在軸上的截距最大,有最大值為3.故選:D.【點睛】本題考查了線性規(guī)劃問題.一般第一步畫出可行域,然后將目標函數(shù)轉(zhuǎn)化為的形式,在可行域內(nèi)通過平移找到最優(yōu)解,將最優(yōu)解帶回到目標函數(shù)即可求出最值.注意畫可行域時,邊界線的虛實問題.8、D【解析】

做出函數(shù)的圖象，問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象在有7個交點，而函數(shù)在上有3個交點，則在上有4個不同的交點，數(shù)形結合即可求解.【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖所示，由圖可知方程在上有3個不同的實數(shù)根，則在上有4個不同的實數(shù)根，當直線經(jīng)過時，；當直線經(jīng)過時，，可知當時，直線與的圖象在上有4個交點，即方程，在上有4個不同的實數(shù)根.故選:D.【點睛】本題考查方程根的個數(shù)求參數(shù)，利用函數(shù)零點和方程之間的關系轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點是解題的關鍵，運用數(shù)形結合是解決函數(shù)零點問題的基本思想，屬于中檔題.9、A【解析】

計算，代入回歸方程可得．【詳解】由題意，，∴，解得．故選：A.【點睛】本題考查線性回歸直線方程，解題關鍵是掌握性質(zhì)：線性回歸直線一定過中心點．10、B【解析】

連接、，即可得到，，再根據(jù)平面向量的數(shù)量積及運算律計算可得；【詳解】解：連接、，，是半圓弧的兩個三等分點，，且，所以四邊形為棱形，．故選：B【點睛】本題考查平面向量的數(shù)量積及其運算律的應用，屬于基礎題.11、C【解析】

設射線OA與x軸正向所成的角為，由三角函數(shù)的定義得，，，利用輔助角公式計算即可.【詳解】設射線OA與x軸正向所成的角為，由已知，，，所以，當時，取得等號.故選：C.【點睛】本題考查正弦型函數(shù)的最值問題，涉及到三角函數(shù)的定義、輔助角公式等知識，是一道容易題.12、B【解析】

根據(jù)拋物線定義得，即可解得結果.【詳解】因為，所以.故選B【點睛】本題考查拋物線定義，考查基本分析求解能力，屬基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、②③【解析】

根據(jù)對稱性，只需研究第一象限的情況，計算：，得到，，得到答案.【詳解】如圖所示：根據(jù)對稱性，只需研究第一象限的情況，集合：，故，即或，集合：，是平面上正八邊形的頂點所構成的集合，故所在的直線的傾斜角為，，故：，解得，此時，，此時.故答案為：②③.【點睛】本題考查了根據(jù)集合的交集求參數(shù)，意在考查學生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力，利用對稱性是解題的關鍵.14、1【解析】

作出約束條件表示的可行域，轉(zhuǎn)化目標函數(shù)為，當目標函數(shù)經(jīng)過點時，直線的截距最大，取得最大值，即得解.【詳解】作出約束條件表示的可行域是以為頂點的三角形及其內(nèi)部，轉(zhuǎn)化目標函數(shù)為當目標函數(shù)經(jīng)過點時，直線的截距最大此時取得最大值1．故答案為：1【點睛】本題考查了線性規(guī)劃問題，考查了學生轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)形結合，數(shù)學運算能力，屬于基礎題.15、5.【解析】

由約束條件作出可行域，令z＝3x+y，化為直線方程的斜截式，數(shù)形結合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標代入目標函數(shù)得答案．【詳解】由題意作出可行域如圖陰影部分所示.設,當直線經(jīng)過點時,取最大值5.故答案為：5【點睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結合的解題思想方法，是中檔題．16、【解析】

由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應用化簡已知等式，結合范圍可求的值，利用正弦定理可求的值，進而根據(jù)余弦定理，基本不等式可求的最大值，進而根據(jù)三角形的面積公式即可求解.【詳解】解：，由正弦定理可得：，，，又，，，即，可得：，外接圓的半徑為，，解得，由余弦定理，可得，又，（當且僅當時取等號），即最大值為4，面積的最大值為.故答案為：.【點睛】本題主要考查了正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應用，余弦定理，基本不等式，三角形的面積公式在解三角形中的應用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）當時，<0，單調(diào)遞減；當時，＞0，單調(diào)遞增；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）.【解析】試題分析：本題考查導數(shù)的計算、利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，解決恒成立問題，考查學生的分析問題、解決問題的能力和計算能力.第（Ⅰ）問，對求導，再對a進行討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性；第（Ⅱ）問，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而證明結論，第（Ⅲ）問，構造函數(shù)=（），利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求解a的值.試題解析：（Ⅰ）<0，在內(nèi)單調(diào)遞減.由=0有.當時，<0，單調(diào)遞減；當時，＞0，單調(diào)遞增.（Ⅱ）令=，則=.當時，＞0，所以，從而=＞0.（Ⅲ）由（Ⅱ），當時，＞0.當，時，=.故當＞在區(qū)間內(nèi)恒成立時，必有.當時，＞1.由（Ⅰ）有,而，所以此時＞在區(qū)間內(nèi)不恒成立.當時，令=（）.當時，=.因此，在區(qū)間單調(diào)遞增.又因為=0，所以當時，=＞0，即＞恒成立.綜上，.【考點】導數(shù)的計算，利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，解決恒成立問題【名師點睛】本題考查導數(shù)的計算，利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，解決恒成立問題，考查學生的分析問題、解決問題的能力和計算能力．求函數(shù)的單調(diào)性，基本方法是求，解方程，再通過的正負確定的單調(diào)性；要證明不等式，一般證明的最小值大于0，為此要研究函數(shù)的單調(diào)性．本題中注意由于函數(shù)的極小值沒法確定，因此要利用已經(jīng)求得的結論縮小參數(shù)取值范圍．比較新穎，學生不易想到，有一定的難度．18、（1）列聯(lián)表見解析，有；（2）分布列見解析，.【解析】

（1）根據(jù)題意，結合已知數(shù)據(jù)即可填寫列聯(lián)表，計算出的觀測值，即可進行判斷；（2）先計算出時間在和選取的人數(shù)，再求出的可取值，根據(jù)古典概型的概率計算公式求得分布列，結合分布列即可求得數(shù)學期望.【詳解】（1）因為樣本數(shù)據(jù)中有流動人員210人，非流動人員90人，所以辦理社保手續(xù)所需時間與是否流動人員列聯(lián)表如下：辦理社保手續(xù)所需時間與是否流動人員列聯(lián)表流動人員非流動人員總計辦理社保手續(xù)所需時間不超過4天453075辦理社保手續(xù)所需時間超過4天16560225總計21090300結合列聯(lián)表可算得.有95%的把握認為“辦理社保手續(xù)所需時間與是否流動人員”有關.（2）根據(jù)分層抽樣可知時間在可選9人，時間在可以選3名，故，則，，，，可知分布列為0123可知.【點睛】本題考查獨立性檢驗中的計算，以及離散型隨機變量的分布列以及數(shù)學期望，涉及分層抽樣，屬綜合性中檔題.19、（1）的增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）.【解析】

（1）求出函數(shù)的導數(shù)，由于參數(shù)的范圍對導數(shù)的符號有影響，對參數(shù)分類，再研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）由（1）的結論，求出的表達式，由于恒成立，故求出的最大值，即得實數(shù)的取值范圍的左端點．【詳解】解：（1）解：，當時，，解得的增區(qū)間為，解得的減區(qū)間為.（2）解：若，由得，由得，所以函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為；，因為，所以，，令，則恒成立，由于，當時，，故函數(shù)在上是減函數(shù)，所以成立；當時，若則，故函數(shù)在上是增函數(shù)，即對時，，與題意不符；綜上，為所求．【點睛】本題考查導數(shù)在最大值與最小值問題中的應用，求解本題關鍵是根據(jù)導數(shù)研究出函數(shù)的單調(diào)性，由最值的定義得出函數(shù)的最值，本題中第一小題是求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，第二小題是一個求函數(shù)的最值的問題，此類題運算量較大，轉(zhuǎn)化靈活，解題時極易因為變形與運算出錯，故做題時要認真仔細．20、（1）（2）【解析】

（1）首先將曲線化為直角坐標方程，由點在圓外，則解得即可；（2）將直線的參數(shù)方程代入圓的普通方程，設、對應的參數(shù)分別為，列出韋達定理，由及在圓的上方，得，即即可解得；【詳解】解：（1）曲線的直角坐標方程為.由點在圓外，得點的坐標為，結合，解得.故的取值范圍是.（2）由直線的參數(shù)方程，得直線過點，傾斜角為，將直線的參數(shù)方程代入，并整理得，其中.設、對應的參數(shù)分別為，則，.由及在圓的上方，得，即，代入①，得，，消去，得，結合，解得.故的值是.【點睛】本題考查極坐標方程化為直角坐標方程，直線的參數(shù)方程的幾何意義的應用，屬于中檔題.21、（1）；（2）存在，【解析】

（1）把點代入橢圓C的方程，再結合離心率，可得a,b,c的關系，可得橢圓的方程；（2）設出直線的方程，代入橢圓，運用韋達定理可求得點的坐標，再由，可求得直線的方程,要注意檢驗直線是否和橢圓有兩個交