圓錐曲線（練習(xí)）（解析版）-2025年上海高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)重難點(diǎn)題型突破

專題16圓錐曲線(練習(xí))

一、填空題

1.已知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(26,0),短軸長(zhǎng)為4,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

r2v2

【答案】—+^=1

164

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)，求得瓦c的值，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【解析】由橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2g,0),可得c=2出，

又由橢圓的短軸長(zhǎng)為4,可得力=4,即2=2,貝/+°2=16,

22

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為三+J=L

164

22

故答案為：2r+^v=1.

164

2.雙曲線、-丁=1的右焦點(diǎn)坐標(biāo)是.

【答案】(2,0)

【分析】根據(jù)雙曲線的定義求解.

【解析】因?yàn)椤?=儲(chǔ)+/=4,所以0=2,

且焦點(diǎn)在x軸上，所以右焦點(diǎn)為(2,0).

故答案為：(2,0).

3.拋物線＞=3/的準(zhǔn)線到焦點(diǎn)的距離為

【答案】|

O

【分析】根據(jù)題意，化為拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求得P的值，即可得到答案.

【解析】由題意，拋物線y=3d可化為尤2=：y,可得0=

36

所以拋物線y=3Y的準(zhǔn)線到焦點(diǎn)的距離為5.

6

故答案為：~~.

6

22

4.已知雙曲線"點(diǎn)=1的左右兩個(gè)焦點(diǎn)分別是片，匕雙曲線上一點(diǎn)尸滿足|尸制=10,則附|=

【答案】18

【分析】首先根據(jù)|尸團(tuán)＜。+?？膳袛帱c(diǎn)尸只能在左支上，再根據(jù)雙曲線的定義即可得結(jié)果.

【解析】在雙曲線］一捻=1中，a=4,b=4拒,c=8,因?yàn)閨尸周=10＜a+c=12,

所以點(diǎn)尸只能在左支上，則歸到-I尸司=2。，得|「閶=18,

故答案為：18

2

5.若雙曲線/=l(b＞0)的一條漸近線與直線V=2x-1平行，則人=.

【答案】2

2

【分析】根據(jù)雙曲線V一與=1S＞0)的漸近線為y-+bx求解即可.

b

2

【解析】雙曲線尤2-卓=1("0)的漸近線為〉=±a，

2

又因?yàn)殡p曲線f-4=1。＞0)的一條漸近線與直線y=2尤-1平行，

b

所以b=2.

故答案為：2.

6.斜率為1的直線/被橢圓二+y2=l截得的弦長(zhǎng)為逑，則直線/的方程為

4-5

【答案】y=x±2

【分析】設(shè)直線/：＞=x+〃z,聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理結(jié)合弦長(zhǎng)公式運(yùn)算求解.

【解析】設(shè)直線/：＞=尤+7",直線/與橢圓的交點(diǎn)為4(%,%),8(%2，%)，

y=x+m

聯(lián)立方程</，消去y得5x2+8mx+4m2—4=0,

——+y=1

14,

貝|JA=64>-20（4>-4）>0,解得—石<m<A/5，

2

8m4（m-l

可得玉+x2=-

244^/2牙=逑,

由題意可得：\AB\=^J1+1-4x-

555

解得m=±2,

所以直線/的方程為y=X±2.

故答案為：y=x±2.

fx=4cos^z、_、,

7.已知橢圓的參數(shù)方程為06wR，則該橢圓的離心率為_(kāi)____.

[y=5smg

3

【答案】1/0.6

【分析】根據(jù)給定的參數(shù)方程求出橢圓的長(zhǎng)短半軸長(zhǎng)，再利用離心率公式計(jì)算作答.

【解析】依題意，橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)。=5,短半軸長(zhǎng)6=4,則該橢圓半焦距c=7?二^=3，

一3

所以該橢圓的離心率6=丁

3

故答案為：—

8.極坐標(biāo)系中，點(diǎn)11,^]與點(diǎn)（1,。），2勸表示同一個(gè)點(diǎn)，則。=.

,4,4萬(wàn)

【答案】—

【分析】與點(diǎn)11，三|表示同一個(gè)點(diǎn)滿足（ig+Z"AeZ,根據(jù)。€[0,2兀），對(duì)上賦值即可求解.

【解析】由題，與點(diǎn)表示同一個(gè)點(diǎn)滿足“。+2丘+4,keZ,

TT

所以夕=—+2上乃+不，keZ,

3

4

因?yàn)椤[0,2兀），所以當(dāng)左=0時(shí)，

4

故答案為：

9.動(dòng)點(diǎn)P在曲線y=2d+3上移動(dòng)，則點(diǎn)P和定點(diǎn)4（0,-1）連線的中點(diǎn)的軌跡方程是.

【答案】y=4x2+l

【分析】設(shè)尸（再,％）,點(diǎn)P和定點(diǎn)A（O,-l）連線的中點(diǎn)坐標(biāo)為（x,y）,求出坐標(biāo)之間的關(guān)系，結(jié)合y=2/+3,

即可求得答案.

【解析】設(shè)尸（為，%）,點(diǎn)尸和定點(diǎn)4（。,-1）連線的中點(diǎn)坐標(biāo)為（x,y）,

x-五

x1=2x

則％=2"+3,又一回

?=2y+l

代入％=2x；+3得，2y+l=8.d+3,

回y=4尤2+1,即點(diǎn)尸和定點(diǎn)A（0,-1）連線的中點(diǎn)的軌跡方程是y=4x2+l,

故答案為團(tuán)u.

2222

10.已知雙曲線3-1=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為K，F(xiàn)2,若橢圓二+與=1的兩個(gè)焦點(diǎn)是線段片鳥(niǎo)的三

abab

等分點(diǎn),則該雙曲線的漸近線方程為

【答案】

5

【分析】由已知條件求出。與6的關(guān)系，即可得雙曲線的漸近線方程.

【解析】由題意可知，雙曲線的焦距是橢圓焦距的3倍,

.___________A

則有=3,片一萬(wàn),化簡(jiǎn)得4/=5萬(wàn)2,則有一=

a

所以該雙曲線的漸近線方程為y=±竽X.

故答案為：y=±2心x

5

22

11.已知橢圓L+匕=1的左、右焦點(diǎn)分別為々、工.若P為橢圓上一點(diǎn)，且|尸耳卜|尸鳥(niǎo)|=14,貝IJ片尸耳的面

167

積為.

【答案】7

【分析】根據(jù)橢圓定義確定|尸耳|+|尸月|=8,結(jié)合條件歸耳卜|尸閶=14,利用余弦定理求出/可尸8=90。，進(jìn)

而利用面積公式求出刀尸耳的面積.

【解析】

。=3,因?yàn)辄c(diǎn)尸在橢圓上，所以有

167

怛町+|尸乙|=8,忸耳卜|尸圓=14,

在,尸耳工中，由余弦定理有

|P￡『+|p段2一店周2_（尸團(tuán)+|尸閭丫―2怛團(tuán).|尸引一山閭2

cosAFPF=

X22附卜|明2|尸胤?|尸《|

82-2x14-36

cosZFPF==0,所以/與尸旦=90。，所以「EPF2的面積為:

X22x14

?質(zhì)1=7

故答案為：7

12.已知乙、尸2分別是雙曲線C:?-y2=l的左、右焦點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)尸在雙曲線的左支上，點(diǎn)。為圓

G：f+(y+2)2=1上一動(dòng)點(diǎn)，則IPQI+]”I的最小值為.

【答案】6

【分析】結(jié)合雙曲線的定義以及圓的幾何性質(zhì)求得正確答案.

【解析】雙曲線C：；-y2=l,a=2,b=l,c=非,4-后0),凡(60),

圓6：%2+(》+2)2=1的圓心為6(0,-2),半徑廠=1,

尸在雙曲線的左支上，|「引一忸耳|=24=4,|%|=4+忸耳|,

所以|「°|+|尸聞=歸°|+|尸耳|+4,

根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知，|PQ|+|尸耳|的最小值是|G4|-r=^/^-l=2,

所以「。|+伊區(qū)|的最小值是2+4=6.

故答案為：6

22

13.已知點(diǎn)P為雙曲線器-方=1右支上一點(diǎn)，耳B分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，/為-P耳鳥(niǎo)的內(nèi)心，若

S叢IPF'=尸2+1SAIRF?成立,貝!JA的值為.

【答案】1/0.8

【分析】由條件結(jié)合內(nèi)心的定義及三角形面積公式可得;|以訃r=]尸用"+京九再根據(jù)雙曲線的定義化簡(jiǎn)

可求2.

【解析】設(shè)尸耳工的內(nèi)切圓半徑為「，

由雙曲線的定義得|WH尸閶=2"，陶閶=2c

S陽(yáng)=^PF\-r,S叫=^\PF2\-r,S=^-2c-r=cr

由題意得=尸用"+笈廣，

^^，二一

22

2cc^a+b

又雙曲線三—匕=1的。=4/=3,

169

4

代入上式得：4=],

4

故答案為：—.

14.已知某橢圓的焦點(diǎn)是耳（-4,0）,鳥(niǎo)（4,0）,過(guò)點(diǎn)尸2并垂直于入軸的直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為B，且

\FiB\+\F2B\=W9橢圓上不同的兩點(diǎn)A、。滿足條件：I鳥(niǎo)A|,\F2B\f|工。|成等差數(shù)列，則弦AC中點(diǎn)的

橫坐標(biāo)是，設(shè)弦AC的垂直平分線的方程為了=履+根，求根的取值范圍是

【答案】4一段＜根＜當(dāng)

【分析】第一問(wèn)：先求出橢圓方程，再由等差數(shù)列的性質(zhì)及橢圓的焦半徑公式求解;

第二問(wèn)：由點(diǎn)差法求出左=3為,即可求解.

36

【解析】由橢圓的定義及條件知，2〃=山到+|E卻=10,得〃=5,又c=4,

所以6=1a2_c?-3,

22

得橢圓的方程為工+匕=1,

259

由點(diǎn)8（4,%）在橢圓上，得怛⑷=聞=

0

254

因?yàn)闄E圓的右準(zhǔn)線方程為：X離心率為：y,

45

設(shè)4（為，/），以巧，為），（為w巧）

根據(jù)橢圓性質(zhì)，有上d=g一占],怛q=得1與-巧；

由怛從阿|,后。成等差數(shù)列，得*-占）+弁f=2x|,

由此得出%+工2=8,

設(shè)弦AC的中點(diǎn)為尸（%0，%），

X]+4_8

則X。------一1一4；

22

%+

一291

X\\/2_22_2

由I

!%A1王25

7^\22,兩式相減得，-―N+—72=0,

%%

一259

+9一

25

出七+巧

+ZL±A^21=0,

19天-巧

將』+2幾，曰'=--。）代入上式，得導(dǎo)今。，

nk=—y（當(dāng)左=0時(shí)也成立）,

360

由點(diǎn)P（4,%）在弦AC的垂直平分線上，得%=4K+根,

所以r=九一4"=幾~—y0=一了幾，

QQ

由p（4,%）在線段班，（？與3關(guān)于九軸對(duì)稱）的內(nèi)部，得

汨1616

侍一百<九T

M..1616

故答案為：4,——<y<-—

505

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：第一問(wèn)中，要用要橢圓的焦半徑公式：怛月|=養(yǎng)胃-為］,歸q=］胃-%］（右

焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)右準(zhǔn)線）求解.

二、單選題

22

15.方程L+匕=1表示橢圓的充要條件是（）

4m

A.m>0B.m<0

C.m>4D.0<機(jī)<4或機(jī)>4

【答案】D

【分析】利用橢圓定義與充要條件的定義計(jì)算即可得.

22

【解析】若方程上+匕=1表示橢圓，

4m

則。Im>“0解得。<，"4或心4,

所以方程上+乙=1表示橢圓的充要條是。＜m＜4或相＞4.

4m

故選：D.

2

16.已知雙曲線G：x?+匕=1（相40）與C?:/一^=2共焦點(diǎn)，則C1的漸近線方程為（）.

m

A.%±y=0B.yflx土y=0C.x+y/3y-0D.±y=0

【答案】D

【分析】利用雙曲線的性質(zhì)計(jì)算即可.

22

【解析】易知C2：/-y2=2=5一'=1，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±2，。），

2_______

對(duì)于雙曲線￡:￡+匕=1（機(jī)/0）,可得利＜0,其焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±5/匚加0）,

故1一機(jī)=4n機(jī)=—3，

2_

此時(shí)G：f一（=i,則其漸近線方程為6x±y=。.

故選：D

17.方程尤2_2Gx+l=0的兩個(gè)根可分別作為（）

A.橢圓和雙曲線的離心率B.兩雙曲線的離心率

C.兩橢圓的離心率D.以上皆錯(cuò)

【答案】A

【分析】求出方程的根，根據(jù)橢圓和雙曲線的離心率取值范圍得到.

【解析】由方程尤2-2&x+l=0解得，

x=26±2應(yīng)=?！篮?因?yàn)闄E圓的離心率為（0,1）,雙曲線的離心率為（1,+8）,

2

故可以作為雙曲線和橢圓的離心率.

故選：A

18.已知直線/經(jīng)過(guò)拋物線無(wú)2=32y的焦點(diǎn)凡交拋物線于M,N兩點(diǎn),若在y軸負(fù)半軸上存在一點(diǎn)T（（V）,

使得4W7N為鈍角，則f的取值范圍為（）

A.（-8,0）B.（-00,-8）

C.（-4,0）D.（-8,-4）

【答案】A

【分析】求出點(diǎn)尸坐標(biāo)并設(shè)出直線/的方程，聯(lián)立直線/與拋物線方程，利用韋達(dá)定理結(jié)合向量數(shù)量積的坐

標(biāo)表示求解作答.

【解析】拋物線f=32y的焦點(diǎn)尸(0,8),顯然直線/的斜率存在，設(shè)其方程為>=履+8,

fy=區(qū)+8

2

由《2”消去y得：x-32fcc-256=0,設(shè)"(％,%),N(%,%),則玉電=-256,

[X=32y

%%=1?三=64,%+%=±+三2上、2|士々|=16,當(dāng)且僅當(dāng)I±1=1%1=16且占馬<0時(shí)取等號(hào),

TM=(xl,y1-t),TN=(x2,y2-t),t<0,則ZM-TTVn%%+(%—7)(%-力=芯9+%%—?%+為)+/

22

=/-/(j1+y2)-192>/-16z-192,而存在一點(diǎn)T(01),使得〃ffiV為鈍角,

即存在一點(diǎn)T(OJ),使得TM-TN<0，因此產(chǎn)一16/-192<0,則。+8)?-24)<0,即有一8<f<0,

所以f的取值范圍為(-8,0).

故選：A

19.已知方程次"42因尤-6)1-462=0e>。>0)的根大于。，則實(shí)數(shù)上滿足()

A.\k\>-B.\k\<-

aa

C.1^1>-D.\k\<-

11b11b

【答案】A

【分析】利用換元，令丁=左(％-勾，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為過(guò)定點(diǎn)的直線與拋物線的交點(diǎn)問(wèn)題，即可求解.

22

【解析】令》=可X-6),原方程轉(zhuǎn)化為5-「=1,

ab

問(wèn)題轉(zhuǎn)化為過(guò)定點(diǎn)(瓦0)的直線與實(shí)軸在X軸上的雙曲線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)要大于。的問(wèn)題，

因?yàn)橹本€過(guò)。,0),所以只需要保證直線和右支相交，而與左支不相交，即可,

觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)兩條漸近線的斜率是臨界情況，所以閑

故選：A

20.中國(guó)結(jié)是一種傳統(tǒng)的民間手工藝術(shù)，帶有濃厚的中華民族文化特色，它有著復(fù)雜奇妙的曲線.用數(shù)學(xué)

的眼光思考可以還原成單純的二維線條，其中的"切"形對(duì)應(yīng)著數(shù)學(xué)曲線中的雙紐線.在平面直角坐標(biāo)系

中，把與定點(diǎn)片(-。，0)、鳥(niǎo)(a,0)(。>0)距離之積等于/的動(dòng)點(diǎn)的軌跡稱為伯努利雙紐線，記為曲線C.關(guān)于

曲線C,有下列兩個(gè)命題:

①曲線C上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是[-2a,2句；

②若直線、=丘與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)上的取值范圍為(y,T][L心).

貝U()

A.①為真命題，②為假命題B.①為假命題，②為真命題

C.①為真命題，②為真命題D.①為假命題，②為假命題

【答案】B

【分析】利用定義求得曲線C的軌跡方程為丁+(2/+2/卜2+尤4-2〃/=。，由關(guān)于y的方程有解，求尤

的取值范圍判斷命題①；先判斷得直線>=區(qū)與曲線C必有一個(gè)公共點(diǎn)，再將y=近代入曲線C得到無(wú)非

零解方程，求實(shí)數(shù)%的取值范圍判斷命題②.

【解析】對(duì)于①：由伯努利雙紐線的定義可知，曲線C的方程為：

J(x+a)-+，?J(尤—a)-+y2=片，

化簡(jiǎn)得/+(2x2+2a2卜之+尤4-2a2x2=0,

設(shè)y?=f,貝I]f20

方程化為產(chǎn)+(2f+2/)/+尤4-2a2x2=0

設(shè)上述方程的兩個(gè)根為:,L則。心至少有一個(gè)大于等于0

貝I]需有A=(2元②+2a?『一4(x4-2a2x2)=4o4+16/元？>0

由于％+灰=-(2x?+2a2)<0,

A

tx-t2—x-2a~x'<0,解得—y/2a<x<yf2a，

①為假命題；

對(duì)于②：直線>與曲線c一定有公共點(diǎn)(0,0),若直線y=H與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)，

將V=近代入曲線C方程中得[(1+k2了%2+2a2k2-2a2]-x2=Q,方程無(wú)非零解，

即(1+k2)2%2+2/3-2/=0無(wú)實(shí)數(shù)解，故有2a2k2-2a2>0,

所以解得心-1或Q1,故②為真命題.

故選：B

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是利用平面軌跡方程的求法求得曲線C的軌跡方程，橫坐標(biāo)的取值

范圍由方程有解判斷,直線與曲線的交點(diǎn)問(wèn)題一般通過(guò)聯(lián)立方程分析判斷.

三、解答題

21.已知雙曲線C：L-y2=i,尸為雙曲線c上的任意點(diǎn).

4'

⑴求雙曲線C的兩條漸近線方程及漸近線夾角的大??；

(2)求證：點(diǎn)尸到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積是一個(gè)常數(shù).

【答案】⑴答案見(jiàn)解析

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)利用雙曲線的性質(zhì)，結(jié)合向量夾角公式或直線的夾角公式計(jì)算即可;

(2)利用點(diǎn)到直線的距離結(jié)合點(diǎn)在雙曲線上化簡(jiǎn)即可.

【解析】(1)雙曲線的漸近線方程為＞=土;尤,x+2y=。和x-2y=0,

法一：在兩漸近線上分別取點(diǎn)(2,-1),(2,1),

|2x(-2)+lxl|33

則cos。==M，二漸近線的夾角為arccos-；

A/22+12X7(-2)2+12

法二：tan”(；2=J=［，?.?夾角為arctang；

HA4

(2)設(shè)Pt；/,乃)是雙曲線上任意一點(diǎn)，由(1)及點(diǎn)到直線的距離公式可知:

該點(diǎn)到兩條漸近線的距離分別是

P&，x)為雙曲線C上的點(diǎn)，，點(diǎn)P的坐標(biāo)需要符合雙曲線C的方程,

即：^一4寸=4,

,它們的乘積是匕/匕3=中弓

點(diǎn)尸到雙曲線的兩條漸線的距離的乘積是一個(gè)常數(shù).

22.已知點(diǎn)M（〃z,4）在拋物線一丁=20；（。＞0）上，點(diǎn)尸為「的焦點(diǎn)，S.\MF\=5.過(guò)點(diǎn)/的直線/與「及

圓f+（y_l）2=l依次相交于點(diǎn)A,B,C,D,如圖.

⑴求拋物線r的方程及點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（2）證明：?忸口為定值；

【答案】（l）x2=4y,/（4,4）或M（-4,4）

（2）證明過(guò)程見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)拋物線的焦半徑公式結(jié)合條件即得；

（2）求出拋物線「的焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)直線48的方程為、=丘+1,與拋物線方程聯(lián)立，用一元二次方程根與系

數(shù)的關(guān)系，結(jié)合拋物線定義可證明|AC卜忸。為定值.

【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)〃（旭,4）在拋物線「x2=2py（。＞0）上，點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，且|“典=5,

所以：4+與=5=2=2.

所以拋物線「的方程為：x2=4y,

由nr=4x4=16=;〃=±4,

故M點(diǎn)坐標(biāo)為：（4,4）或（-4,4）.

（2）由（1）知：/（0,1）,顯然直線/的斜率存在，所以設(shè)直線方程為：y=kx+\,

[y=kx+\

由n%2_46—4=0,

貝°石+%=4左，XfX2=-4

由拋物線的定義得：|/S|=X+1,怛尸|=%+1，

所以：體0明=（|盟-。（忸尸|-1）=片％=與=H￡=I,

1616

即|4。|比＞|為定值1.

23.如圖所示，一隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路，其截面由長(zhǎng)方形的三條邊和拋物線的一段構(gòu)成，為保證安全，要

求行駛車輛頂部（設(shè)為平頂）與隧道頂部在豎直方向上高度之差至少要有0.5米.

（1）以拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)。，其對(duì)稱軸所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系（如圖），求該拋物線的方

程；

（2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)C和焦點(diǎn)的直線/與拋物線交于另一點(diǎn)。，求|CQ|的值；

⑶若行車道總寬度42為7米，請(qǐng)計(jì)算通過(guò)隧道的車輛限制高度為多少米（精確到0.1米）？

【答案】⑴V=-5y

⑵生

''16

（3）4.0米

【分析】⑴設(shè)該拋物線的方程為幺=-2py（p>0）,代入點(diǎn)C（5,-5）可得答案；

（2）直線y=-3］5與拋物線聯(lián)立求出不、馬可得答案；

44

（3）設(shè)車輛高為人，6.5）代入拋物線方程可得答案.

【解析】（1）如圖所示.

依題意，設(shè)該拋物線的方程為丁=-2外（p>0）,

因?yàn)辄c(diǎn)C（5,-5）在拋物線上，所以25=10。，p=|,

所以該拋物線的方程為Y=-5y；

（2）C（5,-5）,焦點(diǎn)尸］。,一￡|,勺=一;，設(shè)C（%yJ,QO2，%），貝4玉=5,

V——x—5

由，44解得，%=5,x2=——,

k=-5y4

所以％=—5,%=一之，

16

則CQ|=%+艮+。=隹;

1O

(3)設(shè)車輛高為〃，則|。曰=/?+0.5,故。(3.5,/?-6.5),

代入拋物線方程/=_5y,得3S=-5x(/2-6.5),解得力=4.05,

所以通過(guò)隧道的車輛限制高度為4.0米.

22

24.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線C：^-4=1(o>0,&>0)的左、右焦點(diǎn)分別為月、B，

ab

P(2,l)是雙曲線C上一點(diǎn)，且尸耳.正月=-1.

⑴求雙曲線C的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)P作直線/與雙曲線C的兩條漸近線分別交于R、S兩點(diǎn).若點(diǎn)尸恰為線段RS的中點(diǎn)，求直線/的方

程；

⑶設(shè)斜率為-2的直線/與雙曲線C交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)8關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為。若直線出、尸。的斜率

均存在且分別為匕、k2,求證：勺&為定值.

【答案】⑴〈-1=1

⑵2尤-y-3=0

⑶證明見(jiàn)解析

【分析】⑴代入P得到，-5=1,由叼尸&=一1得到"+^=6,聯(lián)立即可得解；

(2)由RS在直線上，且P為中點(diǎn)，解出左值即可；

(3)設(shè)出直線/的方程，聯(lián)立直線/與曲線C的方程得到占+%結(jié)合題意解出左右=-1即可.

【解析】(1)因?yàn)槭?2,1)是雙曲線C上一點(diǎn)，所以U=L①，

由耳(―c,。),6(G。)，所以尸耳=(-c—2,-1),尸瑪=?-2,-1),

因?yàn)镻F/PE=-1,所以02_4=2,C2=6,

即Q2+〃=6,②，聯(lián)立解得：a2=3,b2=3,

所以雙曲線的方程為：

（2）由（1）知：雙曲線的漸近線方程為y=±%,由圖象可知直線/的斜率存在并大于1,

不妨設(shè)S（%2，—%2），由/的方程為：y=kx-2k+l,

將R,S代入得：石=kXy—2k+1,%]=2H-----,

k-1

3.

同理馬=2—■---,由P為民S中點(diǎn)，則%+々=2%=4,

k+1

13

所以2+^~T+2----=4,解得左=2,

k-1k+1

所以直線/的方程為2x—y—3=0.

（3）設(shè)點(diǎn)5與點(diǎn)。關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以。（一%2，-%），

設(shè)直線/的方程為y=-2x+〃，

[y=-2x+b,

由＜22一得3d—4ZX+/+3=O,

[1-y=3

由△=16〃—4x3僅2+3）＞0可知人＞3或人v—3,

則玉+%=1,中2=1+?，

所以乂—%=—2X[+b-(―2/+6)=—2%+2x?

2

yry2=(-2%+/?)(—212+&)=4jqx2-2Z?(jq+x2)+Z?

=。+b2小*2=4一？

3

由題意知：尢="，&=鼻,

%—2—%2—2

b2

所以4.7一1）也+1）..”@-2%+2%-1

加以「一-（尤「2）（尤2+2）一個(gè)2+2%-2%-4_]+￡+2芯_2%_4一

所以匕以為定值.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下:

（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（匕,乂）,（工2，%）；

（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于X（或V）的一元二次方程，注意△的判斷；

（3）列出韋達(dá)定理；

（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為玉+尤2、玉々（或%+%、%%）的形式；

（5）代入韋達(dá)定理求解.

22

25.已知橢圓C:土+與=1（0<6<2）,設(shè)過(guò)點(diǎn)41,0）的直線/交橢圓C于N兩點(diǎn)，交直線x=4于點(diǎn)尸,

4b

點(diǎn)E為直線x=l上不同于點(diǎn)A的任意一點(diǎn).

（1）橢圓C的離心率為;，求方的值；

（2）若IAM隹1,求6的取值范圍;

⑶若6=1,記直線EN,EP的斜率分別為尤，k2,%,問(wèn)是否存在勺,右，勺的某種排列和，如，

ki3（其中{334={1,2,3},使得的，ki2,七成等差數(shù)列或等比數(shù)列？若存在，寫出結(jié)論，并加以證明；

若不存在，說(shuō)明理由.

【答案】⑴石

⑵詆2）

（3）片,k3,網(wǎng)或網(wǎng)，%，勺成等差數(shù)列

【分析】（1）根據(jù)題意可得。=2,結(jié)合e=￡=（,求得c,進(jìn)而求得6；

a2

（2）設(shè)點(diǎn)加（和M）,表示出結(jié)合可得玉勺，結(jié)合-24&V2可得不等式，即可求得答