圓錐曲線中的三角形（四邊形）面積問題（學(xué)生版）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

重難點(diǎn)29圓錐曲線中的三角形（四邊形）面積問題【六大題型】

【新高考專用】

?題型歸納

【題型1三角形面積問題】.....................................................................2

【題型2四邊形面積問題】.....................................................................2

【題型3三角形面積之比問題】.................................................................4

【題型4三角形面積之和、之差問題】..........................................................5

【題型5已知面積求其他量】...................................................................7

【題型6三角形（四邊形）面積的最值、范圍問題】..............................................8

?命題規(guī)律

1、圓錐曲線中的三角形（四邊形）面積問題

圓錐曲線是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)內(nèi)容，從近幾年的高考情況來看，圓錐曲線中的三角形（四邊形）面積

問題考查熱度較高，考查形式多種多樣，主要考查三角形、四邊形的面積及其最值（范圍）問題、面積之

比問題、已知面積求其他量等問題，各種題型都有考查，在解答題中，計(jì)算量大，難度較高；復(fù)習(xí)時(shí)要加

強(qiáng)此類問題的訓(xùn)練，靈活求解.

?方法技巧總結(jié)

【知識(shí)點(diǎn)1圓錐曲線中的面積問題及其解題策略】

1.三角形面積問題的解題策略

（1）利用三角形面積公式求解：

①底=1??底X高（一般選弦長做底，點(diǎn)到直線的距離為高）;

②品=J-水平寬X鉛垂高.

2.四邊形面積問題的解題策略

面積的拆分：不規(guī)則的多邊形的面積問題通常考慮拆分為多個(gè)三角形的面積和，對(duì)于三角形如果底和

高不便于計(jì)算，則也可以考慮拆分成若干個(gè)易于計(jì)算的三角形.

3.三角形面積之比問題的解題策略

（1）三角形面積公式：利用三角形面積公式分別求出各個(gè)三角形的面積，再研究它們之間的比值問題.

（2）面積的關(guān)系的轉(zhuǎn)化：尋找這些三角形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特點(diǎn)，從而可將面

積的關(guān)系轉(zhuǎn)化為線段的關(guān)系，使得計(jì)算得以簡化.

4.圓錐曲線中面積的最值（范圍）問題的解題策略

一般都是利用三角形面積公式表示面積，然后將面積的關(guān)系式轉(zhuǎn)化為某個(gè)變量的一個(gè)函數(shù)，再求解函

數(shù)的最值（常用方法有：單調(diào)性法、換元法、基本不等式、三角函數(shù)求最值、利用導(dǎo)數(shù)求最值等），在計(jì)算面

積的過程中，優(yōu)先選擇長度為定值的線段參與運(yùn)算，靈活求解，簡化計(jì)算.

?舉一反三

【題型1三角形面積問題】

【例1】（2024?湖北武漢?二模）已知拋物線C:y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F,過尸作直線交拋物線C于48兩

點(diǎn)，過4B分別作準(zhǔn)線［的垂線，垂足分別為M,N,若△力FM和4BF'的面積分別為8和4,則aAlFN的面

積為（）

A.32B.16C.8V2D.8

2

【變式1-1］（2024?湖南長沙?三模）已知點(diǎn)/為雙曲線?-y=1的左頂點(diǎn)，點(diǎn)2和點(diǎn)c在雙曲線的左支

匕若△力BC是等腰直角三角形，則△力BC的面積是（）

A.4B.-C.-D.-

999

【變式1-2］（2024?陜西商洛?模擬預(yù)測）已知橢圓。5+，=1（口>8>0）的長軸長為2（）,離心率為5，左

、右焦點(diǎn)為尸1，尸2，若。上的點(diǎn)P滿足NF1PF2=泉?jiǎng)t的面積是（）

64V3n64"128V3-128

AA.-----B.——C.-------D.—

3333

【變式1-3］（2024?全國?模擬預(yù)測）已知點(diǎn)4為橢圓M：9+［=1的一點(diǎn)，F(xiàn)i，分別為橢圓M的左，右

焦點(diǎn)，NF遇尸2的平分線交y軸于點(diǎn)B（O,—J，則的面積為（）

A.-B.—C.1D.2

22

【題型2四邊形面積問題】

【例2】（2024?貴州畢節(jié)?二模）在橢圓C：9+［=1上任取一點(diǎn)P,過點(diǎn)P作x軸的垂線段PD,。為垂足，

點(diǎn)M在線段PD上，且滿足|DP|=&|DM|.

（1）當(dāng)點(diǎn)P在橢圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡E的方程；

（2）若曲線E與久，y軸的正半軸分別交于點(diǎn)4B,點(diǎn)N是E上第三象限內(nèi)一點(diǎn)，線段2N與y軸交于點(diǎn)口，線段BN

與x軸交于點(diǎn)G,求四邊形ABGH的面積.

【變式2-1］（2024?安徽蕪湖?模擬預(yù)測）如圖，直線11：%=根丫+?11與直線/2：%=爪丫+九2，分別與拋物線

T-.y1=2px(p>0)交于點(diǎn)和點(diǎn)在x軸同側(cè)).當(dāng)人經(jīng)過T的焦點(diǎn)尸且垂直于x軸時(shí)，|A8|=1.

(1)求拋物線T的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)線段/。與2。交于點(diǎn)X,線段N8與CO的中點(diǎn)分別為M,N

①求證：M,H,N三點(diǎn)共線；

②若2\HM\=\HN\=2,求四邊形48。的面積.

【變式2-2](2024?全國?模擬預(yù)測)已知橢圓E5+/=l(a>b>0)的離心率為當(dāng)且點(diǎn)(1,第在橢圓E

上.

(1)求橢圓E的方程；

(2)已知4B,C為橢圓上三個(gè)點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若四邊形。4BC為矩形，求四邊形04BC的面積.

2

【變式2-3](2024?山東濟(jì)南?二模)已知點(diǎn)3(4,可)是雙曲線T京一步=1上一點(diǎn)，T在點(diǎn)B處的切線與工

軸交于點(diǎn)4

(1)求雙曲線T的方程及點(diǎn)4的坐標(biāo)；

(2)過力且斜率非負(fù)的直線與T的左、右支分別交于N,M.過N做NP垂直于x軸交7于P(當(dāng)N位于左頂點(diǎn)時(shí)認(rèn)為N

與P重合).C為圓E:(x-1)2+(y+2/=1上任意一點(diǎn)，求四邊形M8PC的面積S的最小值.

【題型3三角形面積之比問題】

[例3](2024?重慶?模擬預(yù)測)已知%(―c,0)/2(c,0)分別是橢圓的「+，=l(a＞。，＞0)的左右焦點(diǎn),

如圖，拋物線C2：V=—2px(p＞0)的焦點(diǎn)為Fi(-c,0),且與橢圓在第二象限交于點(diǎn)P,|PF/=*,延長PF1

與橢圓交于點(diǎn)Q.

(1)求橢圓的離心率；

(2)設(shè)4PFi/MSQF14的面積分別為Si，52,求蓑

【變式3-1](2024?四川南充?二模)如圖，已知四邊形2BCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線d=4y上，且N,B

在第一象限，力C〃久軸，拋物線在點(diǎn)/處的切線為/,且BD〃L

(1)設(shè)直線CB,CD的斜率分別為左和k',求k+1的值;

(2)尸為AC與BD的交點(diǎn)，設(shè)△BCD的面積為Si，△PAD的面積為S2,若tanNBG4=2,求2的取值范圍.

*

【變式3-2](2024?遼寧?模擬預(yù)測)設(shè)動(dòng)點(diǎn)G(x,y)到點(diǎn)F(1,0)的距離與它到直線/:久=4的距離之比為點(diǎn)記

點(diǎn)G的軌跡為曲線C.

(1)求C的方程；

(2)力為C與乂軸的負(fù)半軸的交點(diǎn)，B為直線尤=1與C在第一象限的交點(diǎn)，直線廠過點(diǎn)(-2,3),且與C相交于M,N

兩點(diǎn)，過點(diǎn)N作垂直于x軸的直線分別與直線相交于點(diǎn)P,Q,分別記aANQ與△4PQ的面積為Si與S2,

求證：Si=2s2.

【變式3-3](2024?新疆?三模)己知橢圓小真+，=1(￡1>6>0)的左右焦點(diǎn)分別為尸1，F(xiàn)2,離心率為

過拋物線。2：步=2ax焦點(diǎn)的直線交拋物線于M,N兩點(diǎn)，|MN|的最小值為4.連接M。，N。并延長分別交g

MN

于4,8兩點(diǎn)，且點(diǎn)A與點(diǎn)M,點(diǎn)B與點(diǎn)N均不在同一象限，△OMN與404B的面積分別記為S^，SAOAB.

⑴求CI和C2的方程；

(2)記4=沁匕求久的最小值.

【題型4三角形面積之和、之差問題】

【例4】(23-24高二下?福建泉州?期中)已知拋物線C:y2=2px(0<p<3),其焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)Q(m,2舊)在

拋物線C上，且|QF|=4.

(1)求拋物線C的方程；

(2)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，4B為拋物線上不同的兩點(diǎn)，且。

(i)求證直線4B過定點(diǎn)；

(ii)求△AFO與△力80面積之和的最小值.

【變式4-1](2024?上海?模擬預(yù)測)如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓+=1的左，右焦點(diǎn)外

別為％,%，設(shè)P是第一象限內(nèi)「上的一點(diǎn)，P%、P4的延長線分別交「于點(diǎn)色、Q2-

(1)求4P%Q2的周長；

⑵求△PF1Q2面積的取值范圍；

(3)求S^pFiQz-S^PFZQI的最大值.

【變式4-2](23-24高二下?四川瀘州?階段練習(xí))已知拋物線C:y2=2p久(p>0)的焦點(diǎn)為凡M(m,—|)為C

上一點(diǎn)，且|MF|=:

⑴求C的方程；

(2)過點(diǎn)P(4,0)且斜率存在的直線l與C交于不同的兩點(diǎn)4B,且點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為D,直線2。與K軸交于

點(diǎn)Q.

(i)求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

(ii)求△OAQ與aOAB的面積之和的最小值.

【變式4-3](2024?陜西西安?模擬預(yù)測)在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M(x,y)到定點(diǎn)F(l,0)

的距離和它到定直線=4的距離之比是常數(shù)點(diǎn)設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程；

(2)過點(diǎn)N(-1,0)的直線與曲線C相交于點(diǎn)N,8(不在x軸上)，記線段/尸的中點(diǎn)為P,連接尸。，并延長

交曲線C于點(diǎn)0,求^FPl^ABND的面積之和的取值范圍.

【題型5已知面積求其他量】

【例5】(2024?全國?模擬預(yù)測)己知橢圓后:a+左=1(。>匕>0)的左、右焦點(diǎn)分別為%,外，離心率為券,

點(diǎn)2在橢圓E上，且=2|力/21，的面積為4夕，則橢圓E的焦距為()

A.4V2B.8V2C.6D.12

【變式5-1](2024?四川德陽?模擬預(yù)測)己知雙曲線/：捺―《=1(a>0,6〉0)的焦距為2,，右頂點(diǎn)為力,

過/作x軸的垂線與E的漸近線交于M、N兩點(diǎn)，若SMONNc2,則E的離心率的取值范圍是()

與4

A.[苧2]B.殍回C.[V2<V3]D.[V3,2]

【變式5-2](2024?山東?二模)已知雙曲線的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)。，點(diǎn)P(2,-&)在雙曲線上，且其兩條漸近

線相互垂直.

(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若過點(diǎn)Q(0,2)的直線1與雙曲線交于E,F兩點(diǎn)，△。5尸的面積為2a,求直線[的方程.

【變式5-3］（2024?廣東茂名?一模）已知拋物線=2px（p>0）,尸為拋物線的焦點(diǎn)，P,Q其為準(zhǔn)線上的

兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且PF1QF.當(dāng)|PF|=2|QF|時(shí)，|PQ|=5.

（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若線段。吃（2尸分別交拋物線（7于點(diǎn)48,記的面積為Si，△4BF的面積為52,當(dāng)SI=952時(shí)，求|PQ|

的長.

【題型6三角形（四邊形）面積的最值、范圍問題】

【例6】（2024?陜西安康?模擬預(yù)測）已知橢圓C：《+y2=1（a>1）的離心率為.，橢圓C的動(dòng)弦過橢

圓C的右焦點(diǎn)F,當(dāng)4B垂直支軸時(shí)，橢圓C在A,B處的兩條切線的交點(diǎn)為M.

（1）求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（2）若直線AB的斜率為過點(diǎn)M作x軸的垂線I,點(diǎn)N為I上一點(diǎn)，且點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為-直線NF與橢圓C交

于P，Q兩點(diǎn)，求四邊形力PBQ面積的最小值.

【變式6-1］（2024?北京?模擬預(yù)測）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓。/+4丫2=2上一點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為1,斜

率存在的直線/交橢圓C于/,B兩點(diǎn),且直線94,的斜率之和等于1.

⑴求|。。|;

（2）若點(diǎn)。在第一象限，探究△AB。的面積是否有最大值？若有，求出最大值；若沒有，請(qǐng)說明理由.

【變式6-2］（2024?全國?模擬預(yù)測）已知雙曲線。5—3=1（。>0,6>0）過點(diǎn)以］,其中c=7出+爐）,

且雙曲線C上的點(diǎn)到其兩條漸近線的距離之積為詈.

⑴求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）記。為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線C的左、右頂點(diǎn)分別為4SP為雙曲線C上一動(dòng)點(diǎn)（異于頂點(diǎn)），M為線段4P的中

點(diǎn)，Q為直線x=g上一點(diǎn)，且力P〃OQ,過點(diǎn)Q作QN10M于點(diǎn)N,求面積的最大值.

【變式6-3］（2024?江蘇南通?三模）已知拋物線C:/=2py（p〉0）的焦點(diǎn)為F,直線I過點(diǎn)F交C于48兩點(diǎn),

C在4B兩點(diǎn)的切線相交于點(diǎn)P,4B的中點(diǎn)為Q,且PQ交C于點(diǎn)E.當(dāng)/的斜率為1時(shí)，\AB\=8.

⑴求C的方程；

（2）若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2,求|QE|；

⑶設(shè)C在點(diǎn)E處的切線與P4PB分別交于點(diǎn)M,N,求四邊形4BNM面積的最小值.

?過關(guān)測試

一、單選題

1.（2024?內(nèi)蒙古赤峰?二模）設(shè)點(diǎn)尸是橢圓C：盤+*=1上一點(diǎn)，%,6分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn)，且

36Z5

△PF/2的重心為G,若|P%|=2|PFz|,則的面積為（）

A.16V7B.|V7C.12V7D.1V7

2.（2024?河北?模擬預(yù)測）點(diǎn)％（-2,0）,尸2（2,0）為等軸雙曲線C的焦點(diǎn)，過尸2作刀軸的垂線與C的兩漸近線分

別交于4B兩點(diǎn)，則△AOB的面積為（）

A.2V2B.4C.4V2D.8

3.（2024?四川宜賓?模擬預(yù)測）已知拋物線C:y2=6x,過動(dòng)點(diǎn)P作兩條相互垂直的直線，分別與拋物線C

相切于點(diǎn)4B,則4B面積的最小值是（）

A.6B.9C.12D.18

22

4.（2024?江西九江三模）已知橢圓C邑+專=l（a〉b>0）的左右焦點(diǎn)分別為%,尸2,過尸1且傾斜角為三的

CLD6

直線交C于第一象限內(nèi)一點(diǎn)4若線段力F1的中點(diǎn)在y軸上,△4F1F2的面積為2百，則c的方程為（）

A.^+y2=lB.^+^=1

3y32

C.蘭+g=1D.且+《=1

9396

5.（2024?遼寧?一?模）已知雙曲線C:^?一/=1的下焦點(diǎn)和上焦點(diǎn)分別為％,F2,直線y=%+zn與C交于

4B兩點(diǎn)，若△F2A8面積是面積的4倍，則根=（）

A.3B.-3C.—D.--

33

6.（2024?廣東廣州?一模）雙曲線。％2一產(chǎn)=4的左，右焦點(diǎn)分別為%,92，過尸2作垂直于X軸的直線交雙

曲線于4,8兩點(diǎn)，△力Fi&QBFi&qF遇B的內(nèi)切圓圓心分別為。1，。2，。3，則△。1。2。3的面積是（）

A.6V2-8B.6V2-4C.8-4V2D.6-4V2

7.（2024?云南?模擬預(yù)測）已知拋物線C:y2=4%的焦點(diǎn)為凡過點(diǎn)F的兩條互相垂直的直線幾％分別與拋物

線C交于點(diǎn)4B和D,E,其中點(diǎn)4。在第一象限，則四邊形4DBE的面積的最小值為（）

A.64B.32C.16D.8

8.（2024?重慶?模擬預(yù)測）己知拋物線C:y=4久的焦點(diǎn)為F,過尸且斜率為1的直線與拋物線交于力、B

兩點(diǎn)（4在x軸上方），過點(diǎn)4、B作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為T、B'線段4身'中點(diǎn)為E,四邊形A4'EF和四邊形

BB2F的面積分別記為Si，S2，則2=（）

A.3-2V2B.3-V2C.3+V2D.3+2企

二、多選題

9.（2024?云南?二模）已知點(diǎn)P為雙曲線-9=1上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作E的兩條漸近線的垂線，垂

足分別為N,記△PMN的面積為S,則（）

A.AMPN=yB.\PM\■\PN\=y

C.PM-PN=—

49AS考

10.（2024?江西?模擬預(yù)測）已知力（—2,0）,8（2,0）,C（l,0）,動(dòng)點(diǎn)M滿足MA與MB的斜率之積為—：，動(dòng)點(diǎn)M

4

的軌跡記為r,過點(diǎn)c的直線交r于p,Q兩點(diǎn)，且p,Q的中點(diǎn)為R,則（）

A.M的軌跡方程為9+7=1

B.|MC|的最小值為1

C.若。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OPQ面積的最大值為日

D.若線段PQ的垂直平分線交x軸于點(diǎn)D,則R點(diǎn)的橫坐標(biāo)是D點(diǎn)的橫坐標(biāo)的4倍

11.（2024?廣東?二模）拋物線T：/=2py（p>o）焦點(diǎn)為F，且過點(diǎn)力（4,4）,斜率互為相反數(shù)的直線力C,AD

分別交T于另一點(diǎn)C和。，則下列說法正確的有（）

A.直線CD過定點(diǎn)

B.T在C,。兩點(diǎn)處的切線斜率和為-4

C.T上存在無窮多個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)F和直線y=5的距離和為6

D.當(dāng)C,。都在/點(diǎn)左側(cè)時(shí)，△力CD面積的最大值為空言

三、填空題

12.（2024?海南?模擬預(yù)測）已知拋物線C：儼=20久位>0）的焦點(diǎn)為尸，過尸且斜率為1的直線I交C于力，B

兩點(diǎn)，若△AOB的面積為VL則「=.

13.（2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?二模）已知橢圓M:'+y2=1,經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條直線分別與橢圓M相交于

A、B、C、。四個(gè)點(diǎn)，若該兩條直線的斜率分別為a、k2,且的?他=-5則△力。C的面