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文檔簡介
湖南省瀏陽市三中2025屆高三壓軸卷數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在中,,,,為的外心,若,,,則()A. B. C. D.2.已知集合,,則()A. B.C. D.3.若實(shí)數(shù)滿足不等式組則的最小值等于()A. B. C. D.4.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度,得到的函數(shù)為偶函數(shù),則的值為()A. B. C. D.5.已知函數(shù),若函數(shù)的圖象恒在軸的上方,則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.6.已知函數(shù),若所有點(diǎn),所構(gòu)成的平面區(qū)域面積為,則()A. B. C.1 D.7.已知拋物線C:,過焦點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于A,B兩點(diǎn)(A在x軸上方),且滿足,則直線l的斜率為()A.1 B.C.2 D.38.某校為提高新入聘教師的教學(xué)水平,實(shí)行“老帶新”的師徒結(jié)對(duì)指導(dǎo)形式,要求每位老教師都有徒弟,每位新教師都有一位老教師指導(dǎo),現(xiàn)選出3位老教師負(fù)責(zé)指導(dǎo)5位新入聘教師,則不同的師徒結(jié)對(duì)方式共有()種.A.360 B.240 C.150 D.1209.已知函數(shù)在區(qū)間有三個(gè)零點(diǎn),,,且,若,則的最小正周期為()A. B. C. D.10.執(zhí)行程序框圖,則輸出的數(shù)值為()A. B. C. D.11.已知的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、,且,,為邊上的中線,若,則的面積為()A. B. C. D.12.設(shè)a=log73,,c=30.7,則a,b,c的大小關(guān)系是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知向量,且,則實(shí)數(shù)的值是__________.14.已知,復(fù)數(shù)且(為虛數(shù)單位),則__________,_________.15.已知,則__________.16.為了了解一批產(chǎn)品的長度(單位:毫米)情況,現(xiàn)抽取容量為400的樣本進(jìn)行檢測,如圖是檢測結(jié)果的頻率分布直方圖,根據(jù)產(chǎn)品標(biāo)準(zhǔn),單件產(chǎn)品長度在區(qū)間的一等品,在區(qū)間和的為二等品,其余均為三等品,則樣本中三等品的件數(shù)為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)若函數(shù)為奇函數(shù),且時(shí)有極小值.(1)求實(shí)數(shù)的值與實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)若恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.(12分)如圖,四棱錐的底面為直角梯形,,,,底面,且,為的中點(diǎn).(1)證明:;(2)設(shè)點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)直線與直線所成的角最小時(shí),求三棱錐的體積.19.(12分)設(shè)都是正數(shù),且,.求證:.20.(12分)已知拋物線的焦點(diǎn)為,點(diǎn)在拋物線上,,直線過點(diǎn),且與拋物線交于,兩點(diǎn).(1)求拋物線的方程及點(diǎn)的坐標(biāo);(2)求的最大值.21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(是參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.(1)求直線與曲線的普通方程,并求出直線的傾斜角;(2)記直線與軸的交點(diǎn)為是曲線上的動(dòng)點(diǎn),求點(diǎn)的最大距離.22.(10分)橢圓:的左、右焦點(diǎn)分別是,,離心率為,左、右頂點(diǎn)分別為,.過且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長為1.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)、(不與點(diǎn)、重合),直線與直線相交于點(diǎn),求證:、、三點(diǎn)共線.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
首先根據(jù)題中條件和三角形中幾何關(guān)系求出,,即可求出的值.【詳解】如圖所示過做三角形三邊的垂線,垂足分別為,,,過分別做,的平行線,,由題知,則外接圓半徑,因?yàn)?,所以,又因?yàn)?,所以,,由題可知,所以,,所以.故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形外心的性質(zhì),正弦定理,平面向量分解定理,屬于一般題.2、C【解析】
求出集合,計(jì)算出和,即可得出結(jié)論.【詳解】,,,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查交集和并集的計(jì)算,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】
首先畫出可行域,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求的最小值.【詳解】解:作出實(shí)數(shù),滿足不等式組表示的平面區(qū)域(如圖示:陰影部分)由得,由得,平移,易知過點(diǎn)時(shí)直線在上截距最小,所以.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了簡單線性規(guī)劃問題,求目標(biāo)函數(shù)的最值先畫出可行域,利用幾何意義求值,屬于中檔題.4、D【解析】
利用三角函數(shù)的圖象變換求得函數(shù)的解析式,再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì),即可求解,得到答案.【詳解】將將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度,可得函數(shù)又由函數(shù)為偶函數(shù),所以,解得,因?yàn)?,?dāng)時(shí),,故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象變換,以及三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,其中解答中熟記三角函數(shù)的圖象變換,合理應(yīng)用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】
函數(shù)的圖象恒在軸的上方,在上恒成立.即,即函數(shù)的圖象在直線上方,先求出兩者相切時(shí)的值,然后根據(jù)變化時(shí),函數(shù)的變化趨勢,從而得的范圍.【詳解】由題在上恒成立.即,的圖象永遠(yuǎn)在的上方,設(shè)與的切點(diǎn),則,解得,易知越小,圖象越靠上,所以.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象與不等式恒成立的關(guān)系,考查轉(zhuǎn)化與化歸思想,首先函數(shù)圖象轉(zhuǎn)化為不等式恒成立,然后不等式恒成立再轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象,最后由極限位置直線與函數(shù)圖象相切得出參數(shù)的值,然后得出參數(shù)范圍.6、D【解析】
依題意,可得,在上單調(diào)遞增,于是可得在上的值域?yàn)?,繼而可得,解之即可.【詳解】解:,因?yàn)?,,所以,在上單調(diào)遞增,則在上的值域?yàn)椋驗(yàn)樗悬c(diǎn)所構(gòu)成的平面區(qū)域面積為,所以,解得,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,理解題意,得到是關(guān)鍵,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.7、B【解析】
設(shè)直線的方程為代入拋物線方程,利用韋達(dá)定理可得,,由可知所以可得代入化簡求得參數(shù),即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè),(,).易知直線l的斜率存在且不為0,設(shè)為,則直線l的方程為.與拋物線方程聯(lián)立得,所以,.因?yàn)椋?,得,所以,即,,所?故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系,考查韋達(dá)定理及向量的坐標(biāo)之間的關(guān)系,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.8、C【解析】
可分成兩類,一類是3個(gè)新教師與一個(gè)老教師結(jié)對(duì),其他一新一老結(jié)對(duì),第二類兩個(gè)老教師各帶兩個(gè)新教師,一個(gè)老教師帶一個(gè)新教師,分別計(jì)算后相加即可.【詳解】分成兩類,一類是3個(gè)新教師與同一個(gè)老教師結(jié)對(duì),有種結(jié)對(duì)結(jié)對(duì)方式,第二類兩個(gè)老教師各帶兩個(gè)新教師,有.∴共有結(jié)對(duì)方式60+90=150種.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的綜合應(yīng)用.解題關(guān)鍵確定怎樣完成新老教師結(jié)對(duì)這個(gè)事情,是先分類還是先分步,確定方法后再計(jì)數(shù).本題中有一個(gè)平均分組問題.計(jì)數(shù)時(shí)容易出錯(cuò).兩組中每組中人數(shù)都是2,因此方法數(shù)為.9、C【解析】
根據(jù)題意,知當(dāng)時(shí),,由對(duì)稱軸的性質(zhì)可知和,即可求出,即可求出的最小正周期.【詳解】解:由于在區(qū)間有三個(gè)零點(diǎn),,,當(dāng)時(shí),,∴由對(duì)稱軸可知,滿足,即.同理,滿足,即,∴,,所以最小正周期為:.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)的最小正周期,涉及函數(shù)的對(duì)稱性的應(yīng)用,考查計(jì)算能力.10、C【解析】
由題知:該程序框圖是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量的值,計(jì)算程序框圖的運(yùn)行結(jié)果即可得到答案.【詳解】,,,,,滿足條件,,,,,滿足條件,,,,,滿足條件,,,,,滿足條件,,,,,不滿足條件,輸出.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu),屬于簡單題.11、B【解析】
延長到,使,連接,則四邊形為平行四邊形,根據(jù)余弦定理可求出,進(jìn)而可得的面積.【詳解】解:延長到,使,連接,則四邊形為平行四邊形,則,,,在中,則,得,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理的應(yīng)用,考查三角形面積公式的應(yīng)用,其中根據(jù)中線作出平行四邊形是關(guān)鍵,是中檔題.12、D【解析】
,,得解.【詳解】,,,所以,故選D【點(diǎn)睛】比較不同數(shù)的大小,找中間量作比較是一種常見的方法.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】∵=(1,2),=(x,1),則=+2=(1,2)+2(x,1)=(1+2x,4),=2﹣=2(1,2)﹣(x,1)=(2﹣x,3),∵∴3(1+2x)﹣4(2﹣x)=1,解得:x=.點(diǎn)睛:由向量的數(shù)乘和坐標(biāo)加減法運(yùn)算求得,然后利用向量共線的坐標(biāo)表示列式求解x的值.若=(a1,a2),=(b1,b2),則⊥?a1a2+b1b2=1,∥?a1b2﹣a2b1=1.14、【解析】∵復(fù)數(shù)且∴∴∴∴,故答案為,15、【解析】
首先利用,將其兩邊同時(shí)平方,利用同角三角函數(shù)關(guān)系式以及倍角公式得到,從而求得,利用誘導(dǎo)公式求得,得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?,所以,即,所以,故答案?【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)三角函數(shù)化簡求值問題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有同角三角函數(shù)關(guān)系式,倍角公式,誘導(dǎo)公式,屬于簡單題目.16、100.【解析】分析:根據(jù)頻率分布直方圖得到三等品的頻率,然后可求得樣本中三等品的件數(shù).詳解:由題意得,三等品的長度在區(qū)間,和內(nèi),根據(jù)頻率分布直方圖可得三等品的頻率為,∴樣本中三等品的件數(shù)為.點(diǎn)睛:頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)為,因此每一個(gè)小矩形的面積表示樣本個(gè)體落在該區(qū)間內(nèi)的頻率,把小矩形的高視為頻率時(shí)常犯的錯(cuò)誤.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1),;(2)【解析】
(1)由奇函數(shù)可知在定義域上恒成立,由此建立方程,即可求出實(shí)數(shù)的值;對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),,通過導(dǎo)數(shù)求出,若,則恒成立不符合題意,當(dāng),可證明,此時(shí)時(shí)有極小值.(2)可知,進(jìn)而得到,令,通過導(dǎo)數(shù)可知在上為單調(diào)減函數(shù),由可得,從而可求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】(1)由函數(shù)為奇函數(shù),得在定義域上恒成立,所以,化簡可得,所以.則,令,則.故當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,故在上遞減,在上遞增,若,則恒成立,單調(diào)遞增,無極值點(diǎn);所以,解得,取,則又函數(shù)的圖象在區(qū)間上連續(xù)不間斷,故由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理知在區(qū)間上,存在為函數(shù)的零點(diǎn),為極小值,所以,的取值范圍是.(2)由滿足,代入,消去可得.構(gòu)造函數(shù),所以,當(dāng)時(shí),,即恒成立,故在上為單調(diào)減函數(shù),其中.則可轉(zhuǎn)化為,故,由,設(shè),可得當(dāng)時(shí),則在上遞增,故.綜上,的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值,考查了奇函數(shù)的定義,考查了轉(zhuǎn)化的思想.對(duì)于恒成立的問題,常轉(zhuǎn)化為求的最小值,使;對(duì)于恒成立的問題,常轉(zhuǎn)化為求的最大值,使.18、(1)見解析;(2).【解析】
(1)要證明,只需證明平面即可;(2)以C為原點(diǎn),分別以的方向?yàn)檩S、軸、軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法求,并求其最大值從而確定出使問題得到解決.【詳解】(1)連結(jié)AC、AE,由已知,四邊形ABCE為正方形,則①,因?yàn)榈酌?,則②,由①②知平面,所以.(2)以C為原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,,,,所以,,,設(shè),,則,所以,設(shè),則,所以當(dāng),即時(shí),取最大值,從而取最小值,即直線與直線所成的角最小,此時(shí),則,因?yàn)?,,則平面,從而M到平面的距離,所以.【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直證線線垂直、異面直線直線所成角計(jì)算、換元法求函數(shù)最值以及等體積法求三棱錐的體積,考查的內(nèi)容較多,計(jì)算量較大,解決此類問題最關(guān)鍵是準(zhǔn)確寫出點(diǎn)的坐標(biāo),是一道中檔題.19、證明見解析【解析】
利用比較法進(jìn)行證明:把代數(shù)式展開、作差、化簡可得,,可證得成立,同理可證明,由此不等式得證.【詳解】證明:因?yàn)?,所以,∴成立,又都是正數(shù),∴,①同理,∴.【點(diǎn)睛】本題考查利用比較法證明不等式;考查學(xué)生的邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力;把差變形為因式乘積的形式是證明本題的關(guān)鍵;屬于中檔題。20、(1),;(2)1.【解析】
(1)根據(jù)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的距離相等,可得p值,即可求拋物線C的方程從而可得解;(2)設(shè)直線l的方程為:x+my﹣1=0,代入y2=4x,得,y2+4my﹣4=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=﹣4m,y1y2=﹣4,x1+x2=2+4m2,x1x2=1,(),(x2﹣2,),由此能求出的最大值.【詳解】(1)∵點(diǎn)F是拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),P(2,y0)是拋物線上一點(diǎn),|PF|=3,∴23,解得:p=2,∴拋物線C的方程為y2=4x,∵點(diǎn)P(2,n)(n>0)在拋物線C上,∴n2=4×2=8,由n>0,得n=2,∴P(2,2).(2)∵F(1,0),∴設(shè)直線l的方程為:x+my﹣1=0,代入y2=4x,整理得,y2+4my﹣4=0設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1,y2是y2+4my﹣4=0的兩個(gè)不同實(shí)根,∴y1+y2=﹣4m,y1y2=﹣4,x1+x2=(1﹣my1)+(1﹣my2)=2﹣m(y1+y2)=2+4m2,x1x2=(1﹣my1)(1﹣my2)=1﹣m(y1+y2)+m2y1y2=1+4m2﹣4m2=1,(),(x2﹣2,),(x1﹣2)(x2﹣2)+()()=x1x2﹣2(x1+x2)+4=1﹣4﹣8m2+4﹣4+8m+8=﹣8m2+8m+5=﹣8(m)2+1.∴當(dāng)m時(shí),取最大值1.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線方程的求法,考查向量的數(shù)量積的最大值的求法,考查拋物線、直線方程、韋達(dá)定理等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,考查函數(shù)與方程思想,是中檔題.21、(1),,直線的傾斜角為(2)【解析】
(1)由公式消去參數(shù)得普通方程,由公式可得直角坐標(biāo)方程后可得傾斜角;(2)求出直線與軸交點(diǎn),用參數(shù)表示點(diǎn)坐標(biāo),求出,利用三角
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