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2025屆信陽(yáng)市重點(diǎn)中學(xué)高考仿真模擬數(shù)學(xué)試卷請(qǐng)考生注意:1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上,請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2.答題前,認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知等差數(shù)列的公差為,前項(xiàng)和為,,,為某三角形的三邊長(zhǎng),且該三角形有一個(gè)內(nèi)角為,若對(duì)任意的恒成立,則實(shí)數(shù)().A.6 B.5 C.4 D.32.已知集合A,B=,則A∩B=A. B. C. D.3.過(guò)雙曲線(xiàn)左焦點(diǎn)的直線(xiàn)交的左支于兩點(diǎn),直線(xiàn)(是坐標(biāo)原點(diǎn))交的右支于點(diǎn),若,且,則的離心率是()A. B. C. D.4.函數(shù)的大致圖像為()A. B.C. D.5.的展開(kāi)式中的系數(shù)為()A. B. C. D.6.已知函數(shù),為的零點(diǎn),為圖象的對(duì)稱(chēng)軸,且在區(qū)間上單調(diào),則的最大值是()A. B. C. D.7.已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足:(為虛數(shù)單位),則()A. B. C. D.8.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),函數(shù)滿(mǎn)足,且時(shí),,則()A.2 B. C.1 D.9.高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家,近代數(shù)學(xué)奠基者之一,享有“數(shù)學(xué)王子”的稱(chēng)號(hào),用其名字命名的“高斯函數(shù)”為:設(shè),用表示不超過(guò)的最大整數(shù),則稱(chēng)為高斯函數(shù),例如:,,已知函數(shù)(),則函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.10.在中,在邊上滿(mǎn)足,為的中點(diǎn),則().A. B. C. D.11.在正方體中,E是棱的中點(diǎn),F(xiàn)是側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),且與平面的垂線(xiàn)垂直,如圖所示,下列說(shuō)法不正確的是()A.點(diǎn)F的軌跡是一條線(xiàn)段 B.與BE是異面直線(xiàn)C.與不可能平行 D.三棱錐的體積為定值12.已知實(shí)數(shù)集,集合,集合,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,在中,已知,為邊的中點(diǎn).若,垂足為,則的值為_(kāi)_.14.已知函數(shù),令,,若,表示不超過(guò)實(shí)數(shù)的最大整數(shù),記數(shù)列的前項(xiàng)和為,則_________15.函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)____.16.的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為,離心率,右準(zhǔn)線(xiàn)為,是上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),.(Ⅰ)若,求的值;(Ⅱ)證明:當(dāng)取最小值時(shí),與共線(xiàn).18.(12分)如圖所示,在四棱錐中,底面是棱長(zhǎng)為2的正方形,側(cè)面為正三角形,且面面,分別為棱的中點(diǎn).(1)求證:平面;(2)求二面角的正切值.19.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓:()的左、右焦點(diǎn)分別為、,且點(diǎn)、與橢圓的上頂點(diǎn)構(gòu)成邊長(zhǎng)為2的等邊三角形.(1)求橢圓的方程;(2)已知直線(xiàn)與橢圓相切于點(diǎn),且分別與直線(xiàn)和直線(xiàn)相交于點(diǎn)、.試判斷是否為定值,并說(shuō)明理由.20.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線(xiàn)l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,圓C的極坐標(biāo)方程為.(1)求直線(xiàn)l的普通方程和圓C的直角坐標(biāo)方程;(2)直線(xiàn)l與圓C交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P(2,1),求|PA|?|PB|的值.21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,以為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為;直線(xiàn)的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線(xiàn)與曲線(xiàn)分別交于兩點(diǎn).(1)寫(xiě)出曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程和直線(xiàn)的普通方程;(2)若點(diǎn)的極坐標(biāo)為,,求的值.22.(10分)如圖,在三棱錐中,平面平面,,.點(diǎn),,分別為線(xiàn)段,,的中點(diǎn),點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn).(1)求證:平面.(2)判斷與平面的位置關(guān)系,并證明.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
若對(duì)任意的恒成立,則為的最大值,所以由已知,只需求出取得最大值時(shí)的n即可.【詳解】由已知,,又三角形有一個(gè)內(nèi)角為,所以,,解得或(舍),故,當(dāng)時(shí),取得最大值,所以.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題,考查學(xué)生的計(jì)算能力,是一道基礎(chǔ)題.2、A【解析】
先解A、B集合,再取交集?!驹斀狻?所以B集合與A集合的交集為,故選A【點(diǎn)睛】一般地,把不等式組放在數(shù)軸中得出解集。3、D【解析】
如圖,設(shè)雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為,連接并延長(zhǎng)交右支于,連接,設(shè),利用雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)可以得到,,結(jié)合、可求離心率.【詳解】如圖,設(shè)雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為,連接,連接并延長(zhǎng)交右支于.因?yàn)?,故四邊形為平行四邊形,?又雙曲線(xiàn)為中心對(duì)稱(chēng)圖形,故.設(shè),則,故,故.因?yàn)闉橹苯侨切危?,解?在中,有,所以.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線(xiàn)離心率,注意利用雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性(中心對(duì)稱(chēng)、軸對(duì)稱(chēng))以及雙曲線(xiàn)的定義來(lái)構(gòu)造關(guān)于的方程,本題屬于難題.4、D【解析】
通過(guò)取特殊值逐項(xiàng)排除即可得到正確結(jié)果.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?,?dāng)時(shí),,排除B和C;當(dāng)時(shí),,排除A.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查圖象的判斷,取特殊值排除選項(xiàng)是基本手段,屬中檔題.5、C【解析】由題意,根據(jù)二項(xiàng)式定理展開(kāi)式的通項(xiàng)公式,得展開(kāi)式的通項(xiàng)為,則展開(kāi)式的通項(xiàng)為,由,得,所以所求的系數(shù)為.故選C.點(diǎn)睛:此題主要考查二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式的應(yīng)用,以及組合數(shù)、整數(shù)冪的運(yùn)算等有關(guān)方面的知識(shí)與技能,屬于中低檔題,也是常考知識(shí)點(diǎn).在二項(xiàng)式定理的應(yīng)用中,注意區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù),先求出通項(xiàng)公式,再根據(jù)所求問(wèn)題,通過(guò)確定未知的次數(shù),求出,將的值代入通項(xiàng)公式進(jìn)行計(jì)算,從而問(wèn)題可得解.6、B【解析】
由題意可得,且,故有①,再根據(jù),求得②,由①②可得的最大值,檢驗(yàn)的這個(gè)值滿(mǎn)足條件.【詳解】解:函數(shù),,為的零點(diǎn),為圖象的對(duì)稱(chēng)軸,,且,、,,即為奇數(shù)①.在,單調(diào),,②.由①②可得的最大值為1.當(dāng)時(shí),由為圖象的對(duì)稱(chēng)軸,可得,,故有,,滿(mǎn)足為的零點(diǎn),同時(shí)也滿(mǎn)足滿(mǎn)足在上單調(diào),故為的最大值,故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象的特征,正弦函數(shù)的周期性以及它的圖象的對(duì)稱(chēng)性,屬于中檔題.7、A【解析】
利用復(fù)數(shù)的乘法、除法運(yùn)算求出,再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念即可求解.【詳解】由,則,所以.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】
說(shuō)明函數(shù)是周期函數(shù),由周期性把自變量的值變小,再結(jié)合奇偶性計(jì)算函數(shù)值.【詳解】由知函數(shù)的周期為4,又是奇函數(shù),,又,∴,∴.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與周期性,掌握周期性與奇偶性的概念是解題基礎(chǔ).9、B【解析】
利用換元法化簡(jiǎn)解析式為二次函數(shù)的形式,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得的取值范圍,由此求得的值域.【詳解】因?yàn)椋ǎ?,所以,令(),則(),函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸方程為,所以,,所以,所以的值域?yàn)?故選:B【點(diǎn)睛】本小題考查函數(shù)的定義域與值域等基礎(chǔ)知識(shí),考查學(xué)生分析問(wèn)題,解決問(wèn)題的能力,運(yùn)算求解能力,轉(zhuǎn)化與化歸思想,換元思想,分類(lèi)討論和應(yīng)用意識(shí).10、B【解析】
由,可得,,再將代入即可.【詳解】因?yàn)椋?,?故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算性質(zhì)以及平面向量基本定理的應(yīng)用,是一道基礎(chǔ)題.11、C【解析】
分別根據(jù)線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理以及異面直線(xiàn)的定義,體積公式分別進(jìn)行判斷.【詳解】對(duì)于,設(shè)平面與直線(xiàn)交于點(diǎn),連接、,則為的中點(diǎn)分別取、的中點(diǎn)、,連接、、,,平面,平面,平面.同理可得平面,、是平面內(nèi)的相交直線(xiàn)平面平面,由此結(jié)合平面,可得直線(xiàn)平面,即點(diǎn)是線(xiàn)段上上的動(dòng)點(diǎn).正確.對(duì)于,平面平面,和平面相交,與是異面直線(xiàn),正確.對(duì)于,由知,平面平面,與不可能平行,錯(cuò)誤.對(duì)于,因?yàn)?,則到平面的距離是定值,三棱錐的體積為定值,所以正確;故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、空間位置關(guān)系、空間角、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.12、A【解析】
可得集合,求出補(bǔ)集,再求出即可.【詳解】由,得,即,所以,所以.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了集合的補(bǔ)集和交集的混合運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
,由余弦定理,得,得,,,所以,所以.點(diǎn)睛:本題考查平面向量的綜合應(yīng)用.本題中存在垂直關(guān)系,所以在線(xiàn)性表示的過(guò)程中充分利用垂直關(guān)系,得到,所以本題轉(zhuǎn)化為求長(zhǎng)度,利用余弦定理和面積公式求解即可.14、4【解析】
根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算,結(jié)合數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法,求得,,,進(jìn)而得到,再利用放縮法和取整函數(shù)的定義,即可求解.【詳解】由題意,函數(shù),且,,可得,,又由,可得為常數(shù)列,且,數(shù)列表示首項(xiàng)為4,公差為2的等差數(shù)列,所以,其中數(shù)列滿(mǎn)足,所以,所以,又由,可得數(shù)列的前n項(xiàng)和為,數(shù)列的前n項(xiàng)和為,所以數(shù)列的前項(xiàng)和為,滿(mǎn)足,所以,即,又由表示不超過(guò)實(shí)數(shù)的最大整數(shù),所以.故答案為:4.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的計(jì)算,以及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,累加法求解數(shù)列的通項(xiàng)公式,以及裂項(xiàng)法求數(shù)列的和的綜合應(yīng)用,著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力,屬于中檔試題.15、【解析】
利用配方法化簡(jiǎn)式子,可得,然后根據(jù)觀察法,可得結(jié)果.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)樗院瘮?shù)的值域?yàn)楣蚀鸢笧椋骸军c(diǎn)睛】本題考查的是用配方法求函數(shù)的值域問(wèn)題,屬基礎(chǔ)題。16、3【解析】
分別用1和進(jìn)行分類(lèi)討論即可【詳解】當(dāng)?shù)谝粋€(gè)因式取1時(shí),第二個(gè)因式應(yīng)取含的項(xiàng),則對(duì)應(yīng)系數(shù)為:;當(dāng)?shù)谝粋€(gè)因式取時(shí),第二個(gè)因式應(yīng)取含的項(xiàng),則對(duì)應(yīng)系數(shù)為:;故的展開(kāi)式中的系數(shù)為.故答案為:3【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理中具體項(xiàng)對(duì)應(yīng)系數(shù)的求解,屬于基礎(chǔ)題三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(Ⅰ)(Ⅱ)證明見(jiàn)解析.【解析】由與,得,,的方程為.設(shè),則,由得.①(Ⅰ)由,得,②,③由①、②、③三式,消去,并求得,故.(Ⅱ),當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí),取最小值,此時(shí),,故與共線(xiàn).18、(1)見(jiàn)證明;(2)【解析】
(1)取PD中點(diǎn)G,可證EFGA是平行四邊形,從而,得證線(xiàn)面平行;(2)取AD中點(diǎn)O,連結(jié)PO,可得面,連交于,可證是二面角的平面角,再在中求解即得.【詳解】(1)證明:取PD中點(diǎn)G,連結(jié)為的中位線(xiàn),且,又且,且,∴EFGA是平行四邊形,則,又面,面,面;(2)解:取AD中點(diǎn)O,連結(jié)PO,∵面面,為正三角形,面,且,連交于,可得,,則,即.連,又,可得平面,則,即是二面角的平面角,在中,∴,即二面角的正切值為.【點(diǎn)睛】本題考查線(xiàn)面平行證明,考查求二面角.求二面角的步驟是一作二證三計(jì)算.即先作出二面角的平面角,然后證明此角是要求的二面角的平面角,最后在三角形中計(jì)算.19、(1)(2)為定值.【解析】
(1)根據(jù)題意,得出,從而得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)根據(jù)題意設(shè)直線(xiàn)方程:,因?yàn)橹本€(xiàn)與橢圓相切,這有一個(gè)交點(diǎn),聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程得,則,解得①把和代入,得和,,的表達(dá)式,比即可得出為定值.【詳解】解:(1)依題意,,,.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)為定值.①因?yàn)橹本€(xiàn)分別與直線(xiàn)和直線(xiàn)相交,所以,直線(xiàn)一定存在斜率.②設(shè)直線(xiàn):,由得,由,得.①把代入,得,把代入,得,又因?yàn)?所以,,②由①式,得,③把③式代入②式,得,,即為定值.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的定義、方程、和性質(zhì),主要考查橢圓方程的運(yùn)用,考查橢圓的定值問(wèn)題,考查計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想,是中檔題.20、(1)直線(xiàn)的普通方程,圓的直角坐標(biāo)方程:.(2)【解析】
(1)直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系的應(yīng)用,把參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換.(2)將直線(xiàn)的參數(shù)方程代入圓的直角坐標(biāo)方程,利用一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式即可求解.【詳解】(1)直線(xiàn)l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為x+y﹣3=0.圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2﹣4ρcosθ=3,轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為x2+y2﹣4x﹣3=0.(2)把直線(xiàn)l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),代入圓的直角坐標(biāo)方程x2+y2﹣4x﹣3=0,得到,所以|PA||PB|=|t1t2|=6.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)換,一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用,主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力,屬于基礎(chǔ)題型.21、(1)曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為即,直線(xiàn)的普通方程為;(2).【解析】
(1)利用代入法消去參數(shù)方程中的參數(shù),可得直線(xiàn)的普通方程,極坐標(biāo)方程兩邊同乘以利用即可得曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程;(2)直線(xiàn)的參數(shù)方程代入圓的直角坐標(biāo)方程,根據(jù)直線(xiàn)參數(shù)方程的幾何意義,利用韋達(dá)定理可得結(jié)果.【詳解】(1)由,得,所以曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為,即,直線(xiàn)的普通方程為.(2)將直線(xiàn)的參數(shù)方程代入并化簡(jiǎn)、整理,得.因?yàn)橹本€(xiàn)與曲線(xiàn)交于,兩點(diǎn).所以,解得.由根與系數(shù)的關(guān)系,得,.因?yàn)辄c(diǎn)的直角坐標(biāo)為,在直線(xiàn)上.所以,解得,此時(shí)滿(mǎn)足.且,故..【點(diǎn)睛】參數(shù)方程主要通過(guò)代入法或者已知恒等式(如等三角恒等式)消去參數(shù)化為普通方程,通過(guò)選取相應(yīng)的參數(shù)可以把普通方程化為參數(shù)方程,利用關(guān)系式,等可以把極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化,這類(lèi)問(wèn)題一般我們可以先把曲線(xiàn)方程
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