新高考數(shù)學多選題專項練習及答案

一、函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)多選題

x1-kx+\,x<Q

1.已知函數(shù)，(x)=＜，下列關(guān)于函數(shù)y=/[/(%)]+1的零點個數(shù)的說

log2x,x>0

法中，正確的是()

A.當左＞1,有1個零點B.當左=—2時，有3個零點

C.當1＞左＞0,有4個零點D.當左=T時，有7個零點

【答案】ABD

【分析】

令尸。得/[/(x)]=—l，利用換元法將函數(shù)分解為〃尤)=/和/(f)=—1，作出函數(shù)

/(無)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論.

【詳解】

令尸。，得/[/(x)]=T，設(shè)/'(%)=，則方程=等價為/(/)=一1，

函數(shù)丁=必—履+1,開口向上，過點(0,1),對稱軸為x=g

11

“/)=—1,此時方程/⑺=一1有一個根t=e，由〃x)=5可知，此時x只有一

解，即函數(shù)y=/[/(x)]+l有1個零點，故A正確；

11

/(/)=—1,此時方程/⑺=—1有一個根t=Q,由〃x)=5可知，此時x有3個

解，即函數(shù)y=/[/(x)]+l有3個零點，故B正確；

對于C,當1>左>0時，圖像如A,故只有1個零點，故C錯誤；

對于D,當左=-4時，作出函數(shù)/(X)的圖象：

/(?)=-1,此時方程有3個根，其中％=g,/2€(-1,0),/3€(-4,一3)由

/(x)=|■可知，此時X有3個解，由/(x)=，2e(—L°)，此時X有3個解，由

/(x)=r3e(^,-3),此時x有1個解，即函數(shù)y=/[/(x)]+l有7個零點，故D正

確；

故選：ABD.

【點睛】

方法點睛：本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，考查復合函數(shù)的零點的判斷，利用換元法和數(shù)形結(jié)

合是解決本題的關(guān)鍵，已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；

(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；

(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫

出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解，屬于難題.

'l-\2x-3\,l<x<2

2.已知函數(shù)/(%)="1，卜(X、〉°2,則下列說法正確的是()

A.若函數(shù)y=/(%)-區(qū)有4個零點，則實數(shù)k的取值范圍為

1*

B.關(guān)于x的方程/(%)—--=0(〃wN,)有2〃+4個不同的解

C.對于實數(shù)xw[l,+co),不等式2^(x)—340恒成立

D.當xe[2"T,2"]5eN*)時，函數(shù)f(x)的圖象與x軸圍成的圖形的面積為1

【答案】AC

【分析】

根據(jù)函數(shù)的表達式，作出函數(shù)的圖像，對于A,C利用數(shù)形結(jié)合進行判斷，對于B,D利用

特值法進行判斷.

【詳解】

33

當—時，/(%)=2x-2；當一<x<2時，/(無)=4一2無;

222

Y31

當2<%W3,則1<產(chǎn)；，/(x)=-/

E3%x

當3<xW4,則一<一(2,

222

X

當4<x<6,WJ2<-<3,

2

X

當6<%W8,則3<—V4,

2

對于A,函數(shù)y=/(x)-近有4個零點，即y=/(%)與＞=自有4個交點，如圖，直線

y=質(zhì)的斜率應(yīng)該在直線之間，又km，

6

對于B,當〃=1時，/(x)=1■有3個交點，與2〃+4=6不符合，故B錯誤；

3

對于C,對于實數(shù)xw[l,+8),不等式24'(%)—340恒成立，即恒成立，由圖

2x

33

知函數(shù)/(x)的每一個上頂點都在曲線y=—上，故/(%)〈一恒成立，故c正確；

2x2x

對于D,取〃=1,XG[1,2],此時函數(shù)/(%)的圖像與x軸圍成的圖形的面積為

—xlxl=—,故D錯誤;

22

故選：AC

【點睛】

方法點睛：已知函數(shù)有零點（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；

（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；

（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫

出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.

函數(shù)小）=而

3.xeR）,以下四個結(jié)論正確的是（）

A.“X）的值域是（T1）

B.對任意xeR,都有"石）―/（々）>。

%一工2

%

C.若規(guī)定X（x）=/（%）/+］（力=/（力（力），則對任意的“€W,力（同=4兩

D.對任意的若函數(shù)2成+g恒成立，則當時，區(qū)―2或

t>2

【答案】ABC

【分析】

由函數(shù)解析式可得函數(shù)圖象即可知其值域、單調(diào)性；根據(jù)C中的描述結(jié)合數(shù)學歸納法可推

得結(jié)論成立；由函數(shù)不等式恒成立，利用變換主元法、一元二次不等式的解法即可求參數(shù)

范圍.

【詳解】

/⑺的值域是（-1,1）,且單調(diào)遞增即“不）—"/）>0（利用單調(diào)性定義結(jié)合奇偶性

玉一X2

也可說明），即有AB正確；

對于C,有力（上而，若兀（小用匚而，

X

..￡/、￡/￡,、、1+（H—1）IXIX

當“22時，力（X）=/（力T（X））=-----------------=-一~—,故有

1+IXI]+〃IXI

1+（〃-1）1x|

“cN*,力（力=丁^^.正確.

l+n|x|

11

對于D,xe[-l,l]±/（x）max=/（l）=-,若函數(shù)/（力4產(chǎn)—2成+萬恒成立，即有

t2-2at+2~,/一2成20恒成立，令丸（a）=-2。。+/，即ae[—1,1]上丸⑷上0,

.,“〉0時，/i（l）=-2z+?2>0,有或/W0（舍去）；

7=0時，"。）=。故恒成立；

f<0時，/z（—l）=2f+戶20,有fW—2或/之0（舍去）；

綜上，有或/=0或rw—2；錯誤.

故選：ABC

【點睛】

方法點睛：

1、對于簡單的分式型函數(shù)式畫出函數(shù)圖象草圖判斷其值域、單調(diào)性.

2、數(shù)學歸納法：當〃=1結(jié)論成立，若〃-1時結(jié)論也成立，證明”時結(jié)論成立即可.

3、利用函數(shù)不等式恒成立，綜合變換主元法、一次函數(shù)性質(zhì)、一元二次不等式解法求參數(shù)

范圍.

4.下列結(jié)論正確的是（）

A.函數(shù)y=/（x）的定義域為[1,3],則函數(shù)y=/（2x+l）的定義域為[0』

B.函數(shù)“X）的值域為[1,2],則函數(shù)的值域為[2,3]

C.若函數(shù)y=-必+。％+4有兩個零點，一個大于2,另一個小于-1,則。的取值范圍是

（0,3）

D.已知函數(shù)八了）=卜2+34％€尺，若方程/（x）-a|xT|=0恰有4個互異的實數(shù)

根，則實數(shù)。的取值范圍為（0,l）u（9,y）

【答案】ACD

【分析】

根據(jù)抽象函數(shù)定義域及代換的方法可求函數(shù)的定義域，判斷A,利用函數(shù)圖象的平移可判

斷函數(shù)值域的變換情況，判斷B,利用數(shù)形結(jié)合及零點的分布求解判斷C,作出函數(shù)

〃%）=卜2+3耳與丁=小—1]的圖象，數(shù)形結(jié)合即可判斷D.

【詳解】

對于A,y=/（x）的定義域為[1,3],則由1W2X+1W3可得y=/（2x+l）定義域為

[0,1],故正確；

對于B,將函數(shù)/（尤）的圖象向左平移一個單位可得函數(shù)/（X+1）的圖象，故其值域相

同，故錯誤；

對于C,函數(shù)丁=8（%）=-*2+以+4有兩個零點，一個大于2,另一個小于-1只需

g⑵＞0

〈，解得故正確；

[g（-1）＞0

對于D,作出函數(shù)/（尤）=卜2+3耳與丁=小一1]的圖象，如圖，

由圖可以看出，“V0時，不可能有4個交點，找到直線與拋物線相切的特殊位置。=1或

a=9,觀察圖象可知，當0＜。＜1有4個交點，當9＜。時，兩條射線分別有2個交點，

綜上知方程/（X）—4%—1|=0恰有4個互異的實數(shù)根時，ae（O,l）（9,轉(zhuǎn)）正確.

故選：ACD

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：對于方程實根問題，可轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點問題，本題中，/（X）=|X2+3X|

圖象確定，而y1|是過（L0）關(guān)于x=l對稱的兩條射線，參數(shù)a確定兩射線張角的

大小，首先結(jié)合圖形找到關(guān)鍵位置，即。=1時左邊射線與拋物線部分相切，a=9時右邊

射線與拋物線相切，然后觀察圖象即可得出結(jié)論.

5.已知函數(shù)/(%)=%+'

,且（九）=爐,+二1則下列結(jié)論中正確的是（）

XX

A./(x)+g(x)是奇函數(shù)B./(x>g(x)是偶函數(shù)

C./(x)+g(x)的最小值為4D./(x)-g(x)的最小值為2

【答案】BC

【分析】

利用奇偶性的定義可得A錯B對；利用均值不等式可得C對；利用換元求導可得D錯.

【詳解】

11

y(x)+g(x)=x-i—\-x9~+—

XX'

-x+2+(-xf+-1+Y+!

f(-x)+g(-x)=XH--

—X(-"XX

/(x)+g(x)=/(-x)+g(-x)

.?J(x)+g(x)是偶函數(shù)，A錯；

/(x)-g(x)=》+曰］犬+：］

?，T)-g(T)=k+T卜姨+4)=卜4卜+!

.."(-%)?g(-x)=/(x)?g(x)

，/(x)-g(x)是偶函數(shù),B對;

f(x)+g(x)=x+-+x2+^>2+2=4,當且僅當x=L和％2=二時，等號成立,

xxxx

即當且僅當f=l時等號成立，c對；

y(x)，g(x)=

令/=xH—(/22),則/(%)?g(x)=t,(廠—2)=r—2,

X

.?.[/(x).g(x)]'=3『—2,令3,一2>0,得t>與或t<_號

.”22時，/(x>g(x)單調(diào)遞增

二當f=2有最小值，最小值為4,D錯

故選：BC.

【點睛】

本題綜合考查奇偶性、均值不等式、利用導數(shù)求最值等，對學生知識的運用能力要求較

高，難度較大.

JI

6.設(shè)函數(shù)g(x)=5/T73X(3>0)向左平移一個單位長度得到函數(shù)/(x),已知/(x)在[0,2兀]上有

5。

且只有5個零點，則下列結(jié)論正確的是()

A./)的圖象關(guān)于直線x=標對稱

B./(x)在(0,2m上有且只有3個極大值點，/(x)在(0,2兀)上有且只有2個極小值點

JT

c./(x)在(0,而)上單調(diào)遞增

1229

D.3的取值范圍是[不，京)

【答案】CD

【分析】

利用正弦函數(shù)的對稱軸可知，A不正確；由圖可知“無)在(。,2萬)上還可能有3個極小值

37r

點，5不正確；由乙＜2〃解得的結(jié)果可知，。正確；根據(jù)/(幻在(0,——)上遞

10a)

TT37r

增，且一＜——，可知C正確.

1010。

【詳解】

JIH

依題意得了(x)=g(x+——)=sinM%+——)]=sinOx+—),T=——，如圖：

5(D505co

jrjrK7TJTT

對于A,令+—=左乃+一,keZ,得%=——+——，keZ,所以/a)的圖象關(guān)于

52310①

k437r

直線%=一十一(左6Z)對稱，故A不正確;

G)10口

對于6,根據(jù)圖象可知，XA＜27KXB,/(%)在(0,21)有3個極大值點，/(X)在(0,21)

有2個或3個極小值點，故3不正確，

|丁兀5eTC5In24萬

對于。，因為%A=----+—7=----+-X—=----

5G25a)2a)5G

—J3T=-二+3x^=小24萬29711229

,所以——<2^<解得U<G<一,

45G5①co5a)5①5co510

所以。正確;

Jr1TT127r37r37r

對于C,因為——+—T=——+—x——二——,由圖可知/(?在(0,——)上遞增,

5G45G4G10a)10G

2937r3冗

因為?！炊?,所以土—二=土(1—二)＜0,所以Ax)在(0,乃)上單調(diào)遞增，故

101010?10。10

C正確；

故選：CD.

【點睛】

本題考查了三角函數(shù)的相位變換，考查了正弦函數(shù)的對稱軸和單調(diào)性和周期性，考查了極

值點的概念，考查了函數(shù)的零點，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.

7.德國著名數(shù)學家狄利克雷(。萬c〃et,1805~1859)在數(shù)學領(lǐng)域成就顯著.19世紀，狄利克雷定

,、［l,xeQ

義了一個"奇怪的函數(shù)"y=/(x)=八「八其中R為實數(shù)集,Q為有理數(shù)集.則關(guān)于函

0,xeCRQ

數(shù)〃尤)有如下四個命題，正確的為()

A.函數(shù)/(九)是偶函數(shù)

B.V玉CCRQ,/(%+W)=/(菁)+/(9)恒成立

C.任取一個不為零的有理數(shù)7,/(X+T)=/(x)對任意的xeR恒成立

D.不存在三個點4(%,/(%)),5(9,/(%2))，。(七，/(七))，使得4^0為等腰直角三

角形

【答案】ACD

【分析】

根據(jù)函數(shù)的定義以及解析式，逐項判斷即可.

【詳解】

對于A,若xeQ,則—xw。，滿足/'(xX/Jx)；若XCCRQ,則一xeQQ,滿足

/(%)=/(-%)；故函數(shù)八尤)為偶函數(shù)，選項A正確；

對于IXXJ則/(玉+/)=()，

B,=^-eCRQ,X2=-7r&CRQ,/0=1

/(玉)+/(%2)=0,故選項B錯誤；

對于C,若xeQ,則x+Te。，滿足/(x)=/(x+T)；若XCCR。，則

x+TeCRQ,滿足〃%)=/(%+7)，故選項C正確；

對于D,要為等腰直角三角形，只可能如下四種情況：

①直角頂點A在y=l上，斜邊在X軸上，此時點3,點C的橫坐標為無理數(shù)，則3C中

點的橫坐標仍然為無理數(shù)，那么點A的橫坐標也為無理數(shù)，這與點A的縱坐標為1矛盾，

故不成立；

②直角頂點A在y=l上，斜邊不在X軸上，此時點3的橫坐標為無理數(shù)，則點A的橫坐

標也應(yīng)為無理數(shù)，這與點A的縱坐標為1矛盾，故不成立;

③直角頂點A在X軸上，斜邊在y=l上，此時點8,點C的橫坐標為有理數(shù)，則3c中

點的橫坐標仍然為有理數(shù)，那么點A的橫坐標也應(yīng)為有理數(shù)，這與點A的縱坐標為0矛

盾，故不成立；

④直角頂點A在x軸上，斜邊不在y=l上，此時點A的橫坐標為無理數(shù)，則點3的橫坐

標也應(yīng)為無理數(shù)，這與點3的縱坐標為1矛盾，故不成立.

綜上，不存在三個點人（//（玉）），5（%,/（9）），。（七，/（電）），使得AABC為等腰

直角三角形，故選項D正確.

故選：ACD.

【點睛】

本題以新定義為載體，考查對函數(shù)性質(zhì)等知識的運用能力，意在考查學生運用分類討論思

想，數(shù)形結(jié)合思想的能力以及邏輯推理能力，屬于難題.

2,-1,%<1,,

8.已知/(%)=<1,則關(guān)于X的方程—/(x)+2左—1=0,下列正

Inx,x>1,

確的是（）

A.存在實數(shù)左，使得方程恰有1個不同的實數(shù)解；

B.存在實數(shù)左，使得方程恰有2個不同的實數(shù)解；

C.存在實數(shù)左，使得方程恰有3個不同的實數(shù)解；

D.存在實數(shù)左，使得方程恰有6個不同的實數(shù)解；

【答案】ACD

【分析】

令“力=桂0,根據(jù)判別式確定方程產(chǎn)T+2左-1=0根的個數(shù)，作出“X)的大致圖

象，根據(jù)根的取值，數(shù)形結(jié)合即可求解.

【詳解】

令"X)=/20,則關(guān)于X的方程[f(x)]2-f(x)+2k-l=0,

可得「一t+2左一1=0，

當左=*時，A=l—4(2左—1)=0,此時方程僅有一個根?=!；

82

當左<2時，A=l-4(2Z:-l)>0,此時方程有兩個根公弓，

8

且乙+12=1,此時至少有一個正根；

當左〉：時，A=l—4(2左—1)<0,此時方程無根;

作出了(九)的大致圖象，如下：

當左<3時，此時方程有兩個根乙,馬，且4+/2=1，此時至少有一個正根，

8

當％e(O,l)、e(O,l),且6/馬時，/(%)=九有6個不同的交點，D正確;

當方程有兩個根。/2，一個大于1，另一個小于0，

此時/(%)=/,僅有1個交點，故A正確；

當方程有兩個根小12,一個等于I，另一個等于0，=有3個不同的交點，

當左〉|時，A=l—4(2左一1)<0,此時方程無根.

故選：ACD

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：本題考查了根的個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，解題的關(guān)鍵是利用換元法將方程化

為產(chǎn)-/+2左-1=0,根據(jù)方程根的分布求解，考查了數(shù)形結(jié)合的思想，分類討論的思想.

9.高斯是德國著名數(shù)學家、物理學家、天文學家、大地測量學家，近代數(shù)學奠基者之一.

高斯被認為是歷史上最重要的數(shù)學家之一，并享有"數(shù)學王子”之稱.有這樣一個函數(shù)就是以

他名字命名的：設(shè)xeR,用[可表示不超過大的最大整數(shù)，則/(x)=[x]稱為高斯函

數(shù)，又稱為取整函數(shù).如：/(2.3)=2,/(—3.3)=T.則下列正確的是()

A.函數(shù)/(%)是尺上單調(diào)遞增函數(shù)

B.對于任意實數(shù)都有/(a)+/(?</("+勿

C.函數(shù)gO)=/(x)-依(xwO)有3個零點，則實數(shù)a的取值范圍是

<341「43、

D.對于任意實數(shù)x,y,則/(x)=/(y)是卜-丁|<1成立的充分不必要條件

【答案】BCD

【分析】

取反例可分析A選項，設(shè)出a,b的小數(shù)部分，根據(jù)其取值范圍可分析B選項，數(shù)形結(jié)合

可分析C選項，取特殊值可分析。選項.

【詳解】

解：對于A選項，/(1)=/(1.2)=1,故A錯誤；

對于B選項，令。=同+r，〃=回+[(廠,q分別為a,b的小數(shù)部分)，

可知0,,r=a-[a]<l,0?q=b-[b]<l,[r+^]>0,

則/(a+。)=[[a]+回+r+q[=[a]+回+[r+q]..[a]+回=/(a)+/,故B錯

誤；

對于C選項，可知當左左+1,左eZ時，則/(x)=[%]=左，

可得了(%)的圖象，如圖所示：

函數(shù)8（%）=/（"-依（為，0）有3個零點，

二函數(shù)/（X）的圖象和直線，=存有3個交點，且（0,0）為/（九）和直線，=依必過的

點，

<3443、

由圖可知，實數(shù)0的取值范圍是[],二]。[§，5卜故c正確；

對于D選項，當/（x）=/（y）時，即r,q分別為x,V的小數(shù)部分，可得0?廠<1,

0<^<1,

|x-y|=|[x]+r-[y]-^|=|r-^|<|l-0|=l；

當上一力<1時，取x=-0.9,y=0.09,可得國=—1,3=0,此時不滿足

〃x）=/（y），

故/（x）=/（y）是|無一y|<1成立的充分不必要條件，故D正確；

故選：BCD.

【點睛】

本題考查函數(shù)新定義問題，解答的關(guān)鍵是理解題意，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)問題，利用數(shù)形結(jié)合

思想；

XY-I-1Y+2

10.已知函數(shù)/（%）=」一+—+——，下列關(guān)于函數(shù)"X）的結(jié)論正確的為（）

x+1x+2x+3

A.Ax）在定義域內(nèi)有三個零點B.函數(shù)/（x）的值域為R

C./（尤）在定義域內(nèi)為周期函數(shù)D.〃龍）圖象是中心對稱圖象

【答案】ABD

【分析】

將函數(shù)變形為/a)=3-1二+」7+工],求出定義域，結(jié)合導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性

(x+lx+2x+3J

即可判斷BC,由零點存在定理結(jié)合單調(diào)性可判斷A,由〃x)+/(T-x)=6可求出函數(shù)

的對稱點，即可判斷D.

【詳解】

解：由題意知，/(x)=l----+1------+1-=3-f彳H----,

x+lx+2x+31元+1x+2x+3)

定義域為(TO,-3)D(-3,-2)D(-2,-1)u(-l,+00),

f\x)=——-~~y+——-~~y+——--y>0

(x+1)2(x+2)2(x+3)2'

所以函數(shù)在—3),(-3,-2),(-2-1),(-1,收)定義域上單調(diào)遞增，C不正確；

(3、3712

當犬》一1時，/--=-3+—+—<0,/(0)=—+—>0,貝!](一1,+8)上有一個零點,

\i-JJ.J.J乙J

當XG(_2,—1)時，/^-―^<0,/>0,所以在XG(—2,—1)上有一個零點，

當xe(—3,—2)時，￡|〉°，所以在3,—2)上有一個零點，

當x<-3,/(無)>0,所以在定義域內(nèi)函數(shù)有三個零點，A正確；

當x<0,%——1+時，/(x)ffo,當Xf+2O時，/(X)—>+8,

又函數(shù)在(-1,+8)遞增，且在(-1,+8)上有一個零點，則值域為R,B正確；

/(Tr)=3+[」-+，+，]=6—[3—1」-+，+，]]=6—"力，

U+1%+2x+3)[_U+1%+2x+3j]V'

所以/(x)+/(T—x)=6,所以函數(shù)圖象關(guān)于(—2,3)對稱，D正確；

故選:ABD.

【點睛】

結(jié)論點睛：

1、y=/(X)與y=-/(對圖象關(guān)于x軸對稱；

2、丁=/(力與y=/(70圖象關(guān)于丫軸對稱；

3、y=/(X)與y=/(2。一力圖象關(guān)于x=。軸對稱；

4、y=/(x)與y=2a—/(x)圖象關(guān)于y=。軸對稱；

5、y=/(%)與y=28一〃勿一x)圖象關(guān)于(a,。)軸對稱.

二、導數(shù)及其應(yīng)用多選題

11.關(guān)于函數(shù)/(x)=ae*—cosx,%?-兀,兀)下列說法正確的是()

A.當。=1時，/(無)在％=o處的切線方程為y=x

B.若函數(shù)/(九)在(一兀,兀)上恰有一個極值，則4=0

C.對任意。>0,〃X)N。恒成立

D.當°=1時，/(%)在(—兀㈤上恰有2個零點

【答案】ABD

【分析】

直接逐一驗證選項，利用導數(shù)的幾何意義求切線方程，即可判斷A選項；利用分離參數(shù)

法，構(gòu)造新函數(shù)和利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值、最值，即可判斷BC選項；通過構(gòu)

造新函數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的交點個數(shù)來解決零點個數(shù)問題，即可判斷D選項.

【詳解】

解：對于A,當4=1時，/(X)=eA-COSX,XG(-7T,7l),

所以/(o)=e°—cos0=0,故切點為(0,0),

則/'(x)=e*+sinx,所以/''(O)=e°+sin0=l,故切線斜率為1,

所以/(x)在％=0處的切線方程為：y-O=lx(x-O),即丁=%,故A正確；

對于B,/(x)=aev-cosx,xe(一兀，兀)，則/'(xjuae*+sinx,

若函數(shù)/(x)在(-兀,兀)上恰有一個極值，即/"(x)=0在(-兀，兀)上恰有一個解，

令/'(力=。,即aex+sinx=0在(一兀㈤上恰有一個解，

則a=一：?x在(-71,71)上恰有一個解，

即>=。與g(x)=二歲的圖象在(―兀,兀)上恰有一個交點，

,/、sinx-cosx/\

g⑺="，兀,兀)，

71

令g'(x)=0,解得：玉=——‘x2—，

4

當xe［一肛一音｝時'g'(x)

>0,當時，g'(x)〈0，

g(x)在［—肛—上單調(diào)遞增，在1—乎上單調(diào)遞減，在［上單調(diào)遞增，

V2V2

所以極大值為?3兀3>o，極小值為

?5<0'

而g(—?)=O,g⑺=O,g(O)=。,

即函數(shù)/(x)在(—兀，兀)上恰有一個極值，則a=0,故B正確；

對于C,要使得2。恒成立，

即在兀6(—兀,兀)上，-cosxNO恒成立，

/、COSX、(cos

即在1￡(-兀㈤上，a>一「恒成立，即〃斗一—I,

CVJmax

、7/\cosx/\E7,/\-sinx-cosx(、

設(shè)n,(%)二——,%￡(—兀兀)，貝%(尤)=------------,%￡(一兀，兀)，

令〃(x)=。，解得：石=一5，%2=?，

當xe［一%,一時，〃(x)>0,當時，〃(x)<0,

在1-萬上單調(diào)遞增，在［-“彳］上單調(diào)遞減，在萬］上單調(diào)遞增,

V2

所以極大值為工、三〉°,欠―乃)=白,丸(1)=4，

4--ee

''e4

也

所以/i(x)=土在xe(-兀,兀)上的最大值為//_工］=N_〉°,

eI4、

所以?！?_時，在光?-兀,兀)上，/(x)=ae*-cosx2。恒成立，

-71

e，

V2

即當。2王時，〃x)20才恒成立，

兀

所以對任意。＞0,〃x)20不恒成立，故C不正確；

對于D,當a=l時，/(%)=6￥-COSX,xe(-7i,7C),

令/"(九)=0,則/(x)=e*—cosx=0,即e'=cos無，

作出函數(shù)y="和y=cosx的圖象，可知在xe(—兀,兀)內(nèi)，兩個圖象恰有兩個交點，

則/(九)在(-兀，兀)上恰有2個零點，故D正確.

【點睛】

本題考查函數(shù)和導數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導數(shù)的幾何意義求切線方程，考查分離參數(shù)法

的應(yīng)用和構(gòu)造新函數(shù)，以及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值最值、零點等，考查化簡運

算能力和數(shù)形結(jié)合思想.

12.對于定義城為R的函數(shù)/(x),若滿足：①/(0)=0；②當xeR,且XW0時，都

有礦(x)>0；③當X]<0<%2且1芯1<也I時，都有/(占)</(々)，則稱/(龍)為"偏對

稱函數(shù)”.下列函數(shù)是"偏對稱函數(shù)”的是()

32x

A.fx(X)=-X+%B.f2^x)=e-x-1

ln(-x+l),x<0

c.力(x)=D.f4(x)-xsinx

lx,x>0

【答案】BC

【分析】

運用新定義，分別討論四個函數(shù)是否滿足三個條件，結(jié)合奇偶性和單調(diào)性，以及對稱性,

即可得到所求結(jié)論.

【詳解】

解：經(jīng)驗證，/(X),&(X),力(X),力(X)都滿足條件①；

x>0x<0

礦(x)>0o<,或<

Lf(x)>0I

當X]<0<%2且1<1々|時，等價于一4<xl<0<<%2,

即條件②等價于函數(shù)/'(X)在區(qū)間(-8,0)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增;

A中,工(%)=—。+%2,工<％)=-3%2+2尤，則當xwO時，由

2

%/；f(%)=-3x3+2x2=x2(2-3x)<0,得不符合條件②，故《⑴不是"偏對稱

函數(shù)”；

xxr

B中,f2(x)=e-x-1,f2'(x)=e-l,當x>0時，e>1，力'(4)〉0,當％<0

時，0</<1，力'(x)<0,則當xwO時，都有9'(％)>0,符合條件②，

???函數(shù)力(％)="—x—1在(—8,0)上單調(diào)遞減,在(0,+“)上單調(diào)遞增,

由力(x)的單調(diào)性知，當一馬<西<0<一玉<4時，力(%)<力(一看)，

力(占)一人(馬)〈力(1%2)-力(/)=一*+e*+2X2,

令歹(x)=-/+*+2無，x>0,F'(x)=-ev-e-v+2<-^ex.e-x+2=0,

當且僅當e*=er即x=0時，"="成立，

，b(x)在[0,+8)上是減函數(shù)，二尸(%)〈尸(0)=0，即力(石)(力(％)，符合條件③,

故人(x)是"偏對稱函數(shù)"；

,ln(-x+l),x<01

C中，由函數(shù)力(x)=<I7,當了<0時，力'(%)=—<0,當x>0時,

2x,%>0x-1

力'(x)=2>0,符合條件②,

???函數(shù)力(X)在(f,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增，

有單調(diào)性知，當一々<0<一玉時，力(玉)<力(一9)，

設(shè)尸(x)=ln(x+l)-2x,%>0,則尸(幻=」——2<0,

X+1

F(x)在(0,+8)上是減函數(shù)，可得F(x)<F(0)=0,

/(為)-/(%2)</(-々)-/(%)=仙(%2+1)-/(4)=/(9)<0,

即/區(qū))</(%)，符合條件③，故人(%)是"偏對稱函數(shù)"；

D中，力(x)=xsinx,則力(一%)=-有11(一%)=%(%),則力(x)是偶函數(shù)，

而E/(x)=sinx+xcosx=Vl+x2sin(x+^)(tan^?=x),則根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)可

知，當x>0時，力'(X)的符號有正有負，不符合條件②，故力(%)不是"偏對稱函數(shù)”；

故選：BC.

【點睛】

本題主要考查在新定義下利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查計算能力，考查轉(zhuǎn)化與

劃歸思想，屬于難題.

Inx

13.對于函數(shù)/(%)=▼，下列說法正確的是()

x

A.函數(shù)在x=&處取得極大值，B.函數(shù)的值域為1-8,：

c./(尤)有兩個不同的零點D./(2)<y(V^)</(V3)

【答案】ABD

【分析】

求導，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進而研究函數(shù)的極值可判斷A選項，作出函數(shù)〃尤)

的抽象圖像可以判斷BCD選項.

【詳解】

—?X-Inx-2x

函數(shù)的定義域為(0,+")，求導l-21nx,

————

X5

令/'(x)=0,解得：x=&

倒,五)(&,+oo)

f(X)+0—

/(X)極大值

所以當x=加時，函數(shù)有極大值/(G)=(,故A正確;

對于BCD,令f(x)=0,得lnx=O,即九=1,當x—>+?時，lnx>0,%2>0>則

/(x)>0

作出函數(shù)7'(x)的抽象圖像，如圖所示：

故B正確；函數(shù)只有一個零點，故C錯誤；又函數(shù)

〃無)在(&,+可上單調(diào)遞減，且孤〈百<正<2，貝I/(2)</(6)</(石)，故D

正確；

故選：ABD

【點睛】

方法點睛：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，函數(shù)的極值，函數(shù)的值域，及求函數(shù)零點

個數(shù)，求函數(shù)零點個數(shù)常用的方法：

(1)方程法：令/(x)=0,如果能求出解，有幾個解就有幾個零點.

(2)零點存在性定理法：利用定理不僅要求函數(shù)在區(qū)間可上是連續(xù)不斷的曲線，且

/(a)-/(/?)<0,還必須結(jié)合函數(shù)的圖像與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性)才

能確定函數(shù)有多少個零點或零點值所具有的性質(zhì).

(3)數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖像的交點個數(shù)問題.先畫出兩個函數(shù)的圖像，看其

交點的個數(shù)，其中交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點.

14.已知函數(shù)/(九)對于任意XGR,均滿足/(x)=/(2—X).當時

/(”)={Xn，若函數(shù)8(%)=時乂一2—/(￡)，下列結(jié)論正確的為()

e,x&u

A.若m<0,則g(x)恰有兩個零點

B.若,則g(x)有三個零點

3

C.若0〈加〈耳，則g(x)恰有四個零點

D.不存在機使得g(x)恰有四個零點

【答案】ABC

【分析】

設(shè)/1(%)=777兇一2,作出函數(shù)g(x)的圖象，求出直線y=7HX-2與曲線

、=111%(0<%<1)相切以及直線丁=如一2過點4(2,1)時對應(yīng)的實數(shù)加的值，數(shù)形結(jié)合

可判斷各選項的正誤.

【詳解】

由/(x)=〃2—%)可知函數(shù)〃無)的圖象關(guān)于直線尤=1對稱.

令g(x)=O,即加國—2=/(x),作出函數(shù)〃龍)的圖象如下圖所示：

令//(%)=777k|一2,則函數(shù)g(x)的零點個數(shù)為函數(shù)/(無)、/Z(X)的圖象的交點個數(shù),

?我(無)的定義域為R,且/?(一4)=同一為|—2=時乂-2=/z(x),則函數(shù)/z(x)為偶函

數(shù)，

且函數(shù)/z(x)的圖象恒過定點(0,-2),

當函數(shù)/i(x)的圖象過點4(2,1)時，有欠2)=2加—2=1,解得m=$

過點(0,-2)作函數(shù)丁=111%(0<%<1)的圖象的切線，

設(shè)切點為(尤0/11九0),對函數(shù)y=lnx求導得y'=1,

JC

所以，函數(shù)y=InX的圖象在點(％,In/)處的切線方程為>Tn/=2(X-%,

切線過點(0,—2),所以，—2—ln/=-1,解得x0=L則切線斜率為e,

e

即當〃z=e時，函數(shù)y=〃(尤)的圖象與函數(shù)y=lnx(o(尤<1)的圖象相切.

若函數(shù)g(x)恰有兩個零點，由圖可得m<0或相=e,A選項正確；

3

若函數(shù)g(x)恰有三個零點，由圖可得5<"<e,B選項正確；

3

若函數(shù)g(x)恰有四個零點，由圖可得0C選項正確，D選項錯誤.

故選：ABC.

【點睛】

方法點睛：利用導數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法：

(1)直接法：先對函數(shù)求導，根據(jù)導數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基

本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與X軸的交點問題，突出導數(shù)的工具作用，

體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；

(2)構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點問題；

(3)參變量分離法：由/■(無)=0分離變量得出a=g(x),將問題等價轉(zhuǎn)化為直線丁=。

與函數(shù)y=g(x)的圖象的交點問題.

15.下列不等式正確的有()

A.V31n2<ln3B.lnn<gC.2^<15D.3eln2<4夜

【答案】CD

【分析】

構(gòu)造函數(shù)/(x)=@H,利用導數(shù)分析其單調(diào)性，然后由/(2)>7(囪)、

6)〉/(后)、/(A/15)>/(4)>/(*)</(e)得出每個選項的正誤.

【詳解】

令/(力=皿，則/令/'(x)=0得x=e

XX

易得了(X)在(o,e)上單調(diào)遞增，在(e,+<?)上單調(diào)遞減

所以①/(2)>/(6),即電2>奧普，即由ln2>21n6=ln3,故A錯誤；

2，3

②/(6)〉/(如)，即所以可得In萬〉故B錯誤；

(3)/(715)>/(4),即^^>竽=號，即lnl5=21nA〉A(chǔ)ln2

所以Inl5>ln2岳，所以21<15，故C正確；

3

@/(A/8)</(e),即生點<皿，即24n2,1,即應(yīng)ln2<2忘

瓜eITT；2

所以3eln2<4j^，故D正確;

故選：CD

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：本題考查的是構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是函數(shù)的

構(gòu)造和自變量的選擇.

InY

16.對于函數(shù)?。?/，下列說法正確的有()

1

/Xx)在X=處取得極大值B.7'（x）有兩個不同的零點

A.We

C./(2)</(曰</(匹D.若?。?±在（…）上有解，則

e

<—

2

【答案】ACD

【分析】

利用導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進一步求出函數(shù)的極值可判斷A；利用函數(shù)的單調(diào)性和函

數(shù)值的范圍判斷B；利用函數(shù)的單調(diào)性比較出函數(shù)值的大小關(guān)系判斷C；利用不等式有解

問題的應(yīng)用判斷D.

【詳解】

InY—xx2-Inxx2%

函數(shù)/（x）=F，所以l-21n尤

x(%>0),

令尸（x