數值分析 試題及答案 共2套

第2頁共2頁試卷3(10分)已知反映某實際問題的數學模型為，經測量所得,測量儀器的誤差限為0.002，試求出的誤差限和相對誤差限；2、判定近似函數值有幾位有效數字.解：………6分…………8分因為的誤差限，所以有1位有效數字.…………10分二、（18分）設節(jié)點用Langrange插值和牛頓插值求三個節(jié)點的二次插值多項式；當增加一個條件：時，求對應的三次Hermite插值多項式解：1、…………6分0-1-2******10-3-1***21032…………12分設…………18分三、(10分)求函數在給定區(qū)間上對于權函數，的最佳平方逼近多項式.解：，，，.解法方程得，因此所求多項式.…………10分四、（10分）方程，討論如下幾種迭代求根公式在區(qū)間上的斂散性：1、改寫方程為，相應的迭代格式為；2、改寫方程為，相應的迭代格式為.解：1、令，則，由于，因此迭代發(fā)散.2、令，則，由于，當時，，因此迭代收斂?！?0分五、（10分）已知(1)推導以這三點為求積節(jié)點在上的插值型求積公式（即求系數）；(2)該求積公式所具有的代數精度是多少？解：(1)所求插值型的求積公式形如：故。或：由三點插值型求積公式的代數精度至少為2，將代入上述公式，可得所以…6分（2）所求的求積公式是插值型，故至少具有2次代數精度，再將代入上述公式，可得………8分故代數精度是3次.……………10分六、（10分）取,用改進的Euler方法求初值問題在處的近似值.（計算過程保留5位小數.）解：改進的Euler公式為得到；………7分得xy0.51.12511.390625………10分七、（10分）利用矩陣的LU分解法解方程組.解：6分令得，得.10分八、（11分）利用龍貝格公式計算定積分(計算到即可)：將計算結果填入下表(*號處不填).（小數點后保留5位小數）0*********1******2***3解，, ,,, ,,, ,,.016*********116.9442817.25904******217.2277417.3222317.32644***317.3060017.3320917.3327517.33285………10分九、（12分）分別寫出用雅可比（Jacobi）迭代，高斯—賽德爾迭代求解方程組：的迭代公式.并判斷用高斯—賽德爾迭代法求解該方程組的收斂性。解:Jacibo迭代公式為:Gauss-Seidel迭代公式為:………8分(2)解:設矩陣可分解為三個矩陣的和,即,其中,所以,Gauss-Seidel迭代的迭代矩陣.可求得所以,所以,用Gauss-Seidel迭代法求解該方程組是發(fā)散的.………12分試卷4一、填空(54=20分)1.的相對誤差約是的相對誤差的倍.2.對于個節(jié)點的插值求積公式至少具有＿n＿次代數精度。3.用二分法求非線性方程在區(qū)間內的根時，二分次后的誤差限為..4.已知,則條件數=_____9____.5.設，則差商1.二、(14分)給定數表-1012-11201.用Lagrange插值求滿足的三次插值多項式；2.當增加一個條件：時，求對應的四次Hermite插值多項式.解：1、8分2.得四次插值多項式14分（12分）1.用Romberg方法計算,將計算結果填入下表(*號處不填).02.73205*********12.780242.79630******22.793062.797342.79740***32.796342.797432.797442.797446分2.求使求積公式的代數精度盡量高,并求其代數精度。解：是精確成立，即8分得。求積公式為9分當時，公式顯然精確成立；當時，左=，右=。所以代數精度為3。12分四、（6分）解：牛頓迭代公式為4分取初值進行迭代，得6分五、（10分）設有求解初值問題的如下公式：假設，試確定使該格式的局部截斷誤差精度盡量高.解：，，，4分所以從而，且，10分該格式的局部截斷誤差精度為3階。六、(10分)x012y1250解：設多項式為7分解方程組得9分則的最佳平方逼近多項式為：.10分七、（10分）取步長，用改進的Euler法（預估-校正法）解常微分方程初值問題（保留小數點后4位）.解：即6分步長，所以7分，代入迭代公式得，，，，.10分八、（8分）利用矩陣的LU分解法解方程組。解：6分令得，得