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文檔簡介
湘贛粵名校2025屆高考仿真模擬數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù)在上有兩個零點(diǎn),則的取值范圍是()A. B. C. D.2.已知函數(shù)(,且)在區(qū)間上的值域?yàn)椋瑒t()A. B. C.或 D.或43.直角坐標(biāo)系中,雙曲線()與拋物線相交于、兩點(diǎn),若△是等邊三角形,則該雙曲線的離心率()A. B. C. D.4.已知集合,,若,則實(shí)數(shù)的值可以為()A. B. C. D.5.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體中的最長棱長為()A. B. C. D.6.下圖是民航部門統(tǒng)計(jì)的某年春運(yùn)期間,六個城市售出的往返機(jī)票的平均價格(單位元),以及相比于上一年同期價格變化幅度的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)圖,以下敘述不正確的是()A.深圳的變化幅度最小,北京的平均價格最高B.天津的往返機(jī)票平均價格變化最大C.上海和廣州的往返機(jī)票平均價格基本相當(dāng)D.相比于上一年同期,其中四個城市的往返機(jī)票平均價格在增加7.如圖,棱長為的正方體中,為線段的中點(diǎn),分別為線段和棱上任意一點(diǎn),則的最小值為()A. B. C. D.8.設(shè)過點(diǎn)的直線分別與軸的正半軸和軸的正半軸交于兩點(diǎn),點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱,為坐標(biāo)原點(diǎn),若,且,則點(diǎn)的軌跡方程是()A. B.C. D.9.某調(diào)查機(jī)構(gòu)對全國互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì),得到整個互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分布餅狀圖,90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分布條形圖,則下列結(jié)論中不正確的是()注:90后指1990年及以后出生,80后指1980-1989年之間出生,80前指1979年及以前出生.A.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中90后占一半以上B.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)超過總?cè)藬?shù)的C.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事運(yùn)營崗位的人數(shù)90后比80前多D.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)90后比80后多10.已知空間兩不同直線、,兩不同平面,,下列命題正確的是()A.若且,則 B.若且,則C.若且,則 D.若不垂直于,且,則不垂直于11.在的展開式中,的系數(shù)為()A.-120 B.120 C.-15 D.1512.已知四棱錐的底面為矩形,底面,點(diǎn)在線段上,以為直徑的圓過點(diǎn).若,則的面積的最小值為()A.9 B.7 C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,,,,則______.14.已知,則__________.15.定義在封閉的平面區(qū)域內(nèi)任意兩點(diǎn)的距離的最大值稱為平面區(qū)域的“直徑”.已知銳角三角形的三個點(diǎn),,,在半徑為的圓上,且,分別以各邊為直徑向外作三個半圓,這三個半圓和構(gòu)成平面區(qū)域,則平面區(qū)域的“直徑”的最大值是__________.16.已知函數(shù),若關(guān)于x的方程有且只有兩個不相等的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù)有兩個極值點(diǎn),.(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)證明:.18.(12分)在△ABC中,角所對的邊分別為向量,向量,且.(1)求角的大??;(2)求的最大值.19.(12分)已知關(guān)于的不等式解集為().(1)求正數(shù)的值;(2)設(shè),且,求證:.20.(12分)某校為了解校園安全教育系列活動的成效,對全校學(xué)生進(jìn)行一次安全意識測試,根據(jù)測試成績評定“合格”、“不合格”兩個等級,同時對相應(yīng)等級進(jìn)行量化:“合格”記分,“不合格”記分.現(xiàn)隨機(jī)抽取部分學(xué)生的成績,統(tǒng)計(jì)結(jié)果及對應(yīng)的頻率分布直方圖如下所示:等級不合格合格得分頻數(shù)624(Ⅰ)若測試的同學(xué)中,分?jǐn)?shù)段內(nèi)女生的人數(shù)分別為,完成列聯(lián)表,并判斷:是否有以上的把握認(rèn)為性別與安全意識有關(guān)?是否合格性別不合格合格總計(jì)男生女生總計(jì)(Ⅱ)用分層抽樣的方法,從評定等級為“合格”和“不合格”的學(xué)生中,共選取人進(jìn)行座談,現(xiàn)再從這人中任選人,記所選人的量化總分為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望;(Ⅲ)某評估機(jī)構(gòu)以指標(biāo)(,其中表示的方差)來評估該校安全教育活動的成效,若,則認(rèn)定教育活動是有效的;否則認(rèn)定教育活動無效,應(yīng)調(diào)整安全教育方案.在(Ⅱ)的條件下,判斷該校是否應(yīng)調(diào)整安全教育方案?附表及公式:,其中.21.(12分)如圖,已知橢圓的右焦點(diǎn)為,,為橢圓上的兩個動點(diǎn),周長的最大值為8.(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(Ⅱ)直線經(jīng)過,交橢圓于點(diǎn),,直線與直線的傾斜角互補(bǔ),且交橢圓于點(diǎn),,,求證:直線與直線的交點(diǎn)在定直線上.22.(10分)已知拋物線的準(zhǔn)線過橢圓C:(a>b>0)的左焦點(diǎn)F,且點(diǎn)F到直線l:(c為橢圓焦距的一半)的距離為4.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過點(diǎn)F做直線與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),P是AB的中點(diǎn),線段AB的中垂線交直線l于點(diǎn)Q.若,求直線AB的方程.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
對函數(shù)求導(dǎo),對a分類討論,分別求得函數(shù)的單調(diào)性及極值,結(jié)合端點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)行判斷求解.【詳解】∵,.當(dāng)時,,在上單調(diào)遞增,不合題意.當(dāng)時,,在上單調(diào)遞減,也不合題意.當(dāng)時,則時,,在上單調(diào)遞減,時,,在上單調(diào)遞增,又,所以在上有兩個零點(diǎn),只需即可,解得.綜上,的取值范圍是.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)的問題,考查了函數(shù)的單調(diào)性及極值問題,屬于中檔題.2、C【解析】
對a進(jìn)行分類討論,結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及值域求解.【詳解】分析知,.討論:當(dāng)時,,所以,,所以;當(dāng)時,,所以,,所以.綜上,或,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)函數(shù)的值域問題,指數(shù)函數(shù)的值域一般是利用單調(diào)性求解,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).3、D【解析】
根據(jù)題干得到點(diǎn)A坐標(biāo)為,代入拋物線得到坐標(biāo)為,再將點(diǎn)代入雙曲線得到離心率.【詳解】因?yàn)槿切蜲AB是等邊三角形,設(shè)直線OA為,設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為,代入拋物線得到x=2b,故點(diǎn)A的坐標(biāo)為,代入雙曲線得到故答案為:D.【點(diǎn)睛】求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍),常見有兩種方法:①求出,代入公式;②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于的齊次式,結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式,然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式),解方程(不等式)即可得(的取值范圍).4、D【解析】
由題意可得,根據(jù),即可得出,從而求出結(jié)果.【詳解】,且,,∴的值可以為.故選:D.【點(diǎn)睛】考查描述法表示集合的定義,以及并集的定義及運(yùn)算.5、C【解析】
根據(jù)三視圖,可得該幾何體是一個三棱錐,并且平面SAC平面ABC,,過S作,連接BD,,再求得其它的棱長比較下結(jié)論.【詳解】如圖所示:由三視圖得:該幾何體是一個三棱錐,且平面SAC平面ABC,,過S作,連接BD,則,所以,,,,該幾何體中的最長棱長為.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查三視圖還原幾何體,還考查了空間想象和運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.6、D【解析】
根據(jù)條形圖可折線圖所包含的數(shù)據(jù)對選項(xiàng)逐一分析,由此得出敘述不正確的選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng),根據(jù)折線圖可知深圳的變化幅度最小,根據(jù)條形圖可知北京的平均價格最高,所以A選項(xiàng)敘述正確.對于B選項(xiàng),根據(jù)折線圖可知天津的往返機(jī)票平均價格變化最大,所以B選項(xiàng)敘述正確.對于C選項(xiàng),根據(jù)條形圖可知上海和廣州的往返機(jī)票平均價格基本相當(dāng),所以C選項(xiàng)敘述正確.對于D選項(xiàng),根據(jù)折線圖可知相比于上一年同期,除了深圳外,另外五個城市的往返機(jī)票平均價格在增加,故D選項(xiàng)敘述錯誤.故選:D【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)條形圖和折線圖進(jìn)行數(shù)據(jù)分析,屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】
取中點(diǎn),過作面,可得為等腰直角三角形,由,可得,當(dāng)時,最小,由,故,即可求解.【詳解】取中點(diǎn),過作面,如圖:則,故,而對固定的點(diǎn),當(dāng)時,最?。藭r由面,可知為等腰直角三角形,,故.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了空間幾何體中的線面垂直、考查了學(xué)生的空間想象能力,屬于中檔題.8、A【解析】
設(shè)坐標(biāo),根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算表示出,從而可利用表示出;由坐標(biāo)運(yùn)算表示出,代入整理可得所求的軌跡方程.【詳解】設(shè),,其中,,即關(guān)于軸對稱故選:【點(diǎn)睛】本題考查動點(diǎn)軌跡方程的求解,涉及到平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算;關(guān)鍵是利用動點(diǎn)坐標(biāo)表示出變量,根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可整理得軌跡方程.9、D【解析】
根據(jù)兩個圖形的數(shù)據(jù)進(jìn)行觀察比較,即可判斷各選項(xiàng)的真假.【詳解】在A中,由整個互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分別餅狀圖得到互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中90后占56%,所以是正確的;在B中,由整個互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分別餅狀圖,90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分布條形圖得到:,互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)技術(shù)崗位的人數(shù)超過總?cè)藬?shù)的,所以是正確的;在C中,由整個互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分別餅狀圖,90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分別條形圖得到:,互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從事運(yùn)營崗位的人數(shù)90后比80后多,所以是正確的;在D中,互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)90后所占比例為,所以不能判斷互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)90后比80后多.故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了命題的真假判定,以及統(tǒng)計(jì)圖表中餅狀圖和條形圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識的應(yīng)用,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】因答案A中的直線可以異面或相交,故不正確;答案B中的直線也成立,故不正確;答案C中的直線可以平移到平面中,所以由面面垂直的判定定理可知兩平面互相垂直,是正確的;答案D中直線也有可能垂直于直線,故不正確.應(yīng)選答案C.11、C【解析】
寫出展開式的通項(xiàng)公式,令,即,則可求系數(shù).【詳解】的展開式的通項(xiàng)公式為,令,即時,系數(shù)為.故選C【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式展開的通項(xiàng)公式,屬基礎(chǔ)題.12、C【解析】
根據(jù)線面垂直的性質(zhì)以及線面垂直的判定,根據(jù)勾股定理,得到之間的等量關(guān)系,再用表示出的面積,利用均值不等式即可容易求得.【詳解】設(shè),,則.因?yàn)槠矫妫矫?,所?又,,所以平面,則.易知,.在中,,即,化簡得.在中,,.所以.因?yàn)?,?dāng)且僅當(dāng),時等號成立,所以.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查空間幾何體的線面位置關(guān)系及基本不等式的應(yīng)用,考查空間想象能力以及數(shù)形結(jié)合思想,涉及線面垂直的判定和性質(zhì),屬中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
由已知利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式可求得,的值,由兩角差的正弦公式即可計(jì)算得的值.【詳解】,,,,,,,,.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角差的正弦公式,需熟記公式,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】解:由題意可知:.15、【解析】
先找到平面區(qū)域內(nèi)任意兩點(diǎn)的最大值為,再利用三角恒等變換化簡即可得到最大值.【詳解】由已知及正弦定理,得,所以,,取AB中點(diǎn)E,AC中點(diǎn)F,BC中點(diǎn)G,如圖所示顯然平面區(qū)域任意兩點(diǎn)距離最大值為,而,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理在平面幾何中的應(yīng)用問題,涉及到距離的最值問題,在處理這類問題時,一定要數(shù)形結(jié)合,本題屬于中檔題.16、【解析】
畫出函數(shù)的圖象,再畫的圖象,求出一個交點(diǎn)時的的值,然后平行移動可得有兩個交點(diǎn)時的的范圍.【詳解】函數(shù)的圖象如圖所示:因?yàn)榉匠逃星抑挥袃蓚€不相等的實(shí)數(shù)根,所以圖象與直線有且只有兩個交點(diǎn)即可,當(dāng)過點(diǎn)時兩個函數(shù)有一個交點(diǎn),即時,與函數(shù)有一個交點(diǎn),由圖象可知,直線向下平移后有兩個交點(diǎn),可得,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了方程的跟與函數(shù)的圖象交點(diǎn)的轉(zhuǎn)化,數(shù)形結(jié)合的思想,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)證明見解析【解析】
(1)先求得導(dǎo)函數(shù),根據(jù)兩個極值點(diǎn)可知有兩個不等實(shí)根,構(gòu)造函數(shù),求得;討論和兩種情況,即可確定零點(diǎn)的情況,即可由零點(diǎn)的情況確定的取值范圍;(2)根據(jù)極值點(diǎn)定義可知,,代入不等式化簡變形后可知只需證明;構(gòu)造函數(shù),并求得,進(jìn)而判斷的單調(diào)區(qū)間,由題意可知,并設(shè),構(gòu)造函數(shù),并求得,即可判斷在內(nèi)的單調(diào)性和最值,進(jìn)而可得,即可由函數(shù)性質(zhì)得,進(jìn)而由單調(diào)性證明,即證明,從而證明原不等式成立.【詳解】(1)函數(shù)則,因?yàn)榇嬖趦蓚€極值點(diǎn),,所以有兩個不等實(shí)根.設(shè),所以.①當(dāng)時,,所以在上單調(diào)遞增,至多有一個零點(diǎn),不符合題意.②當(dāng)時,令得,0減極小值增所以,即.又因?yàn)椋?,所以在區(qū)間和上各有一個零點(diǎn),符合題意,綜上,實(shí)數(shù)的取值范圍為.(2)證明:由題意知,,所以,.要證明,只需證明,只需證明.因?yàn)?,,所?設(shè),則,所以在上是增函數(shù),在上是減函數(shù).因?yàn)椋环猎O(shè),設(shè),,則,當(dāng)時,,,所以,所以在上是增函數(shù),所以,所以,即.因?yàn)?,所以,所?因?yàn)?,,且在上是減函數(shù),所以,即,所以原命題成立,得證.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn),由導(dǎo)數(shù)證明不等式,構(gòu)造函數(shù)法的綜合應(yīng)用,極值點(diǎn)偏移證明不等式成立的應(yīng)用,是高考的??键c(diǎn)和熱點(diǎn),屬于難題.18、(1)(2)2【解析】
(1)轉(zhuǎn)化條件得,進(jìn)而可得,即可得解;(2)由化簡可得,由結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】(1),,由正弦定理得,即,又,,又,,,由可得.(2)由(1)可得,,,,,,的最大值為2.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量平行、正弦定理以及三角恒等變換的應(yīng)用,考查了三角函數(shù)的性質(zhì),屬于中檔題.19、(1)1;(2)證明見解析.【解析】
(1)將不等式化為,求解得出,根據(jù)解集確定正數(shù)的值;(2)利用基本不等式以及不等式的性質(zhì),得出,,,三式相加,即可得證.【詳解】(1)解:不等式,即不等式∴,而,于是依題意得(2)證明:由(1)知,原不等式可化為∵,∴,同理,三式相加得,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號綜上.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求絕對值不等式中參數(shù)的范圍以及基本不等式的應(yīng)用,屬于中檔題.20、(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ)詳見解析;(Ⅲ)不需要調(diào)整安全教育方案.【解析】
(I)根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)填寫好列聯(lián)表,計(jì)算出的值,由此判斷出在犯錯誤概率不超過的前提下,不能認(rèn)為性別與安全測試是否合格有關(guān).(II)利用超幾何分布的計(jì)算公式,計(jì)算出的分布列并求得數(shù)學(xué)期望.(III)由(II)中數(shù)據(jù),計(jì)算出,進(jìn)而求得的值,從而得出該校的安全教育活動是有效的,不需要調(diào)整安全教育方案.【詳解】解:(Ⅰ)由頻率分布直方圖可知,得分在的頻率為,故抽取的學(xué)生答卷總數(shù)為,.性別與合格情況的列聯(lián)表為:是否合格性別不合格合格小計(jì)男生女生小計(jì)即在犯錯誤概率不超過的前提下,不能認(rèn)為性別與安全測試是否合格有關(guān).(Ⅱ)“不合格”和“合格”的人數(shù)比例為,因此抽取的人中“不合格”有人,“合格”有人,所以可能的取值為,.的分布列為:20151050所以.(Ⅲ)由(Ⅱ)知:.故我們認(rèn)為該校的安全教育活動是有效的,不需要調(diào)整安全教育方案.【點(diǎn)睛】本小題主要考查列聯(lián)表獨(dú)立
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