北師版九年級數學上冊期末復習考題猜想 專題07 二次函數（考題猜想易錯必刷50題9種題型專項訓練）

專題07二次函數（易錯必刷50題9種題型專項訓練）二次函數的圖象二次函數的性質二次函數圖象與系數的關系二次函數圖象上點的坐標特征二次函數圖象與幾何變換拋物線與x軸的交點二次函數與不等式（組）二次函數的應用二次函數綜合題一．二次函數的圖象（共2小題）1．在同一平面直角坐標系中，一次函數y＝ax+c和二次函數y＝ax2+c的圖象大致為（）A．B．C．D．2．函數y＝與y＝﹣kx2+k（k≠0）在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（）A．B． C．D．二．二次函數的性質（共5小題）3．小明在學習函數后，在“幾何畫板”軟件中繪制了函數y＝x2（x﹣3）的圖象，如圖所示．通過觀察此圖象，下列說法錯誤的是（）A．點（2，﹣4）在y＝x2（x﹣3）的圖象上 B．若x＜3，則y＜0 C．x3﹣3x2﹣kx+2k＝0最多有三個實數根 D．當0＜x＜2時，y隨x的增大而減小4．對于拋物線y＝3（x﹣2）2﹣1，下列說法正確的是（）A．y隨x的增大而減小 B．當x＝2時，y有最大值﹣1 C．若點A（3，y1），B（1，y2）都在拋物線y＝3（x﹣2）2﹣1上，則y1＞y2 D．經過第一、二、四象限5．如圖，“愛心”圖案是由函數y＝﹣x2+10的部分圖象與其關于直線y＝x的對稱圖形組成．點A是直線y＝x上方“愛心”圖案上的任意一點，點B是其對稱點．若，則點A的坐標是．6．已知關于x的二次函數y＝﹣（x﹣5）2+1，當1≤x≤4時，函數的最大值為．7．對任意實數a，b，記min{a，b}＝已知實數t＞0，若定義函數：f（x）＝min{x2，x2﹣x+t}．（1）求使得等式f（x）＝x2﹣x+t成立的x的取值范圍；（2）求函數f（x）的最小值；（3）求函數f（x）當﹣1≤x≤1時的最大值．三．二次函數圖象與系數的關系（共5小題）8．二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖，圖象過點（﹣1，0），下列結論：①b2＞4ac；②4a+b＝0；③4a+c＞2b，④﹣3b+c＞0，⑤若頂點坐標為（2，4），則方程ax2+bx+c＝5沒有實數根．其中正確的結論有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個9．二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖所示，其對稱軸為直線x＝﹣，且與x軸的一個交點坐標為（﹣2，0）．下列結論：①abc＞0；②a＝b；③a﹣b+c＞0；④關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有兩個不相等的實數根．其中正確結論的個數是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個10．在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y＝x2﹣2mx+m2﹣1，直線y＝﹣x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，過點B作垂直于y軸的直線l與拋物線y＝x2﹣2mx+m2﹣1有兩個交點，在拋物線對稱軸右側的交點記為P，當△OAP為銳角三角形時，則m的取值范圍是（）A．m＞﹣1 B．m＜﹣2 C．m＜﹣2或m＞1 D．﹣2＜m＜111．已知二次函數y＝x2+2x+2m﹣1的圖象只經過三個象限，則m的取值范圍是（）A．m＜1 B．m≥ C．＜m＜1 D．≤m＜112．已知二次函數y＝ax2+bx+c的圖象經過（﹣1，3），（1，﹣1）兩點．（1）求b的值；（2）求證該二次函數的圖象與x軸的總有兩個公共點；（3）設該函數圖象與x軸的兩個公共點分別為（m，0）、（n，0）．當mn＜0時，直接寫出a的取值范圍．四．二次函數圖象上點的坐標特征（共2小題）13．若A（﹣1，y1），B（﹣5，y2），C（0，y3）為二次函數y＝x2+4x﹣m的圖象上的三點，則y1，y2，y3的大小關系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y314．在直角坐標系中，點A的坐標為（3，0），若拋物線y＝x2﹣2x+n﹣1與線段OA有且只有一個公共點，則n的取值范圍為．五．二次函數圖象與幾何變換（共2小題）15．在平面直角坐標系中，將拋物線y＝x2﹣4先向右平移2個單位，再向上平移2個單位，得到的拋物線的解析式是（）A．y＝（x+2）2+2 B．y＝（x﹣2）2﹣2 C．y＝（x﹣2）2+2 D．y＝（x+2）2﹣216．一位同學在畫二次函數y＝2x2﹣bx+3的圖象時，把﹣b看成了+b，結果所畫圖象是由原圖象向左平移6個單位長度所得的圖象，則b的值為（）A．24 B．﹣24 C．﹣12 D．12六．拋物線與x軸的交點（共8小題）17．已知拋物線y＝ax2+bx+c上的某些點的橫坐標x與縱坐標y的對應值如下表：x…﹣7.21﹣7.20﹣7.19﹣7.18﹣7.17…y…﹣0.04﹣0.030.010.020.03…則該函數與x軸的其中一個交點的橫坐標的范圍是（）A．﹣7.21＜x＜﹣7.20 B．﹣7.20＜x＜﹣7.19 C．﹣7.19＜x＜﹣7.18 D．﹣7.18＜x＜﹣7.1718．拋物線y＝﹣x2+bx+c上部分點的橫坐標x，縱坐標y的對應值如表所示：x…﹣2﹣1012…y…04664…從表可知，下列說法中，錯誤的是（）A．拋物線與x軸的一個交點坐標為（﹣2，0） B．拋物線與y軸的交點坐標為（0，6） C．拋物線的對稱軸是直線 D．拋物線在對稱軸左側部分y隨x的增大而減小19．已知函數y＝（k﹣3）x2+2x+1的圖象與x軸有交點，則k的取值范圍是（）A．k≤4且k≠3 B．k＜4且k≠3 C．k＜4 D．k≤420．如圖一段拋物線y＝x2﹣3x（0≤x≤3），記為C1，它與x軸于點O和A1：將C1繞A1旋轉180°得到C2，交x軸于A2；將C2繞旋轉180°得到C3，交x軸于A3，如此進行下去，若點P（2020，m）在某段拋物線上，則m的值為（）A．0 B．﹣ C．2 D．﹣221．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸是直線x＝1，關于x的方程ax2+bx+c＝0的一個根為x＝4，則另一個根為．22．我們定義一種新函數：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函數叫做“鵲橋”函數．小蕾同學畫出“鵲橋”函數y＝|x2﹣2x﹣3|的圖象（如圖所示），并寫出下列四個結論：①圖象與坐標軸的交點為（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；②當x＝1時，函數有最大值4；③當﹣1≤x≤1或x≥3時，函數值y隨x值的增大而增大；④函數與直線y＝m有4個公共點，則m的取值范圍是0＜m≤4．其中所有正確結論的序號是．23．如圖，拋物線y＝x2﹣4x+3與y軸交于點C，與x軸交于A、B兩點（A在B的左側），點C關于拋物線對稱軸的對稱點為點D，動點E在y軸上，點F在以點B為圓心，半徑為1的圓上，則DE+EF的最小值是．24．已知函數y＝|x2﹣2x﹣3|的大致圖象如圖所示，如果方程|x2﹣2x﹣3|＝m（m為實數）有2個不相等的實數根，則m的取值范圍是．七．二次函數與不等式（組）（共3小題）25．如圖，拋物線y＝ax2+c與直線y＝kx+m交于A（﹣3，y1）、B（1，y2）兩點，則關于x的不等式ax2+c≥﹣kx+m的解集是．26．如圖是二次函數y＝ax2+bx+c圖象的一部分，對稱軸為直線x＝1，若其與x軸一交點為A（3，0），則由圖象可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集是．27．如圖，直線y＝x+m和拋物線y＝x2+bx+c都經過點A（1，0）和B（3，2），不等式x2+bx+c＞x+m的解集為．八．二次函數的應用（共15小題）28．擲實心球是中學生體質健康檢測中的一項，體育老師給出標準示范圖，小明發(fā)現實心球飛行路線是一條拋物線，若不考慮空氣阻力，實心球的飛行高度y（米）與飛行的水平距離x（米）之間具有函數關系，則小明這次實心球訓練的成績?yōu)椋ǎ〢． B．3 C．8 D．1029．一個球從地面豎直向上彈起，球距離地面的高度h（米）與經過時間t（秒）的關系式為h＝12t﹣6t2，那么球從彈起后又回到地面所經過的總路程是（）A．4米 B．6米 C．8米 D．12米30．如圖是某拋物線型的拱橋示意圖，已知該拋物線的函數表達式為y＝﹣x2+10，為了給行人提供生命保障，在該拱橋上距水面AB高為8米的點E、F處懸掛了兩個救生圈，則這兩個救生圈間的水平距離EF為米．31．“一河詩畫，滿城煙花”，每逢過年過節(jié)，人們會在美麗的瀏陽河邊上手持網紅煙花加特林進行燃放，當發(fā)射角度與水平面成45度角時，煙花在空中的高度y（米）與水平距離x（米）接近于拋物線y＝﹣0.5x2+10x﹣38，煙花可以達到的最大高度是米．32．已知某品牌汽車在進行剎車測試時發(fā)現，該品牌某款汽車剎車后行駛的距離S（單位：米）與行駛時間t（單位：秒）滿足下面的函數關系：S＝12t﹣4t2（t≥0）．那么測試實驗中該汽車從開始剎車到完全停止，共行駛了米．33．如圖是公園的一座拋物線型拱橋，建立坐標系得到函數，當拱頂到水面的距離為4米時，水面寬AB＝米．34．某商品進價為50元，現在的售價為每件60元，每星期可賣出300件，經市場調查反映，每漲價1元，每星期要少賣出10件，則在漲價的情況下，可獲得最大利潤元．35．某日6時至10時，某交易平臺上一種水果的每千克售價、每千克成本與交易時間之間的關系分別如圖1、圖2所示（圖1、圖2中的圖象分別是線段和拋物線，其中點P是拋物線的頂點）．在這段時間內，出售每千克這種水果收益最大的時刻是，此時每千克的收益是．36．2023年成都大運會期間，吉祥物“蓉寶”受到人們的廣泛喜愛，某網店以每個32元的價格購進了一批蓉寶吉祥物，由于銷售火爆，銷售單價經過兩次的調整，從每個50元上漲到每個72元，此時每天可售出200個蓉寶吉祥物．（1）若銷售價格每次上漲的百分率相同，求每次上漲的百分率；（2）經過市場調查發(fā)現：銷售單價每降價1元，每天多賣出10個，網店每個應降價多少元？才能使每天利潤達到最大，最大利潤為多少元？37．如圖1，某公園一個圓形噴水池，在噴水池中心O處豎直安裝一根高度為1.25m的水管OA，A處是噴頭，噴出水流沿形狀相同的曲線向各個方向落下，噴出水流的運動路線可以看作是拋物線的一部分．建立如圖2所示的平面直角坐標系，測得噴出水流距離噴水池中心O的最遠水平距離OB為2.5m，水流豎直高度的最高處位置C距離噴水池中心O的水平距離OD為1m．（1）求噴出水流的豎直高度y（m）與距離水池中心O的水平距離x（m）之間的關系式，并求水流最大豎直高度CD的長；（2）安裝師傅調試時發(fā)現，噴頭豎直上下移動時，拋物線形水流隨之豎直上下移動（假設拋物線水流移動時，保持對稱軸及形狀不變），若水管OA的高度增加0.64m時，則水流離噴水池中心O的最遠水平距離為m．38．某超市銷售一種商品，成本價為30元/千克，經市場調查，每天銷售量y（千克）與銷售單價x（元/千克）之間的關系如圖所示，規(guī)定每千克售價不能低于30元，且不高于80元．（1）直接寫出y與x之間的函數關系式：（2）如果該超市銷售這種商品每天獲得3600元的利潤，那么該商品的銷售單價為多少元？（3）設每天的總利潤為w元，當銷售單價定為多少元時，該超市每天的利潤最大？最大利潤是多少元？39．為了節(jié)省材料，某水產養(yǎng)殖戶利用水庫的岸堤（岸堤足夠長）為一邊，用總長為160m的圍網在水庫中圍成了如圖所示的①②③三塊矩形區(qū)域，而且這三塊矩形區(qū)域的面積相等．設BC的長度為xm，矩形區(qū)域ABCD的面積為ym2（1）是否存在x的值，使得矩形ABCD的面積是1500m2；（2）x為何值時，y有最大值？最大值是多少？40．某一拋物線形隧道，一側建有垂直于地面的隔離墻，其橫截面如圖所示，并建立平面直角坐標系．已知拋物線經過（0，3），，三點．（1）求拋物線的解析式（不考慮自變量的取值范圍）；（2）有一輛高5m，頂部寬4m的工程車要通過該隧道，該車能否正常通過？并說明理由；（3）現準備在隧道上A處安裝一個直角形鋼架BAC，對隧道進行維修．B，C兩點分別在隔離墻和地面上，且AB與隔離墻垂直，AC與地面垂直，求鋼架BAC的最大長度．41．北京冬奧會的召開燃起了人們對冰雪運動的極大熱情，如圖是某小型跳臺滑雪訓練場的橫截面示意圖，取某一位置的水平線為x軸，過跳臺終點A作水平線的垂線為y軸，建立平面直角坐標系，圖中的拋物線C1：y＝﹣近似表示滑雪場地上的一座小山坡，小雅從點O正上方4米處的A點滑出，滑出后沿一段拋物線C2：y＝ax2+x+c運動．（1）當小雅滑到離A處的水平距離為6米時，其滑行達到最高位置為米．求出a，c的值；（2）小雅若想滑行到坡頂正上方時，與坡頂距離不低于米，請求出a的取值范圍．42．某公司生產A型活動板房成本是每個425元．圖①表示A型活動板房的一面墻，它由長方形和拋物線構成，長方形的長AD＝4m，寬AB＝3m，拋物線的最高點E到BC的距離為4m．（1）按如圖①所示的直角坐標系，拋物線可以用y＝kx2+m（k≠0）表示．求該拋物線的函數表達式；（2）現將A型活動板房改造為B型活動板房．如圖②，在拋物線與AD之間的區(qū)域內加裝一扇長方形窗戶FGMN，點G，M在AD上，點N，F在拋物線上，窗戶的成本為50元/m2．已知GM＝2m，求每個B型活動板房的成本是多少？（每個B型活動板房的成本＝每個A型活動板房的成本+一扇窗戶FGMN的成本）（3）根據市場調查，以單價650元銷售（2）中的B型活動板房，每月能售出100個，而單價每降低10元，每月能多售出20個．公司每月最多能生產160個B型活動板房．不考慮其他因素，公司將銷售單價n（元）定為多少時，每月銷售B型活動板房所獲利潤w（元）最大？最大利潤是多少？九．二次函數綜合題（共8小題）43．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A，B兩點（A在B的左側），與y軸交于點N，過A點的直線l：y＝﹣x﹣1與y軸交于點C，與拋物線y＝﹣x2+bx+c的另一個交點為D（5，﹣6），已知P點為拋物線y＝﹣x2+bx+c上一動點（不與A、D重合）．（1）求拋物線的解析式；（2）當點P在直線l上方的拋物線上時，過P點作PE∥x軸交直線l于點E，作PF∥y軸交直線l于點F，求PE+PF的最大值；（3）設M為直線l上的動點，以NC為一邊且頂點為N，C，M，P的四邊形是平行四邊形，求所有符合條件的M點坐標．44．如圖1，拋物線y1＝ax2﹣3x+c的圖象與x軸的交點為A和B，與y軸交點為D（0，4），與直線y2＝﹣x+b交點為A和C，且OA＝OD．（1）求拋物線的解析式和b值；（2）在直線y2＝﹣x+b上是否存在一點P，使得△ABP是等腰直角三角形，如果存在，求出點P的坐標，如果不存在，請說明理由；（3）將拋物線y1圖象x軸上方的部分沿x軸翻折得一個“M”形狀的新圖象（如圖2），若直線y3＝﹣x+n與該新圖象恰好有四個公共點，請求出此時n的取值范圍．45．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+4與x軸交于A（﹣3，0），B兩點，與y軸交于點C．（1）求拋物線解析式及B，C兩點坐標；（2）以A，B，C，D為頂點的四邊形是平行四邊形，求點D坐標；（3）該拋物線對稱軸上是否存在點E，使得∠ACE＝45°，若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．46．如圖1，拋物線y＝ax2+bx+3交x軸于點A（3，0）和點B（﹣1，0），交y軸于點C．（1）求拋物線的表達式；（2）若點D是直線AC上方拋物線上一動點，連接BC，AD和BD，BD交AC于點M，設△ADM的面積為S1，△BCM的面積為S2，當S1﹣S2＝1時，求點D的坐標；（3）如圖2，若點P是拋物線上一動點，過點P作PQ⊥x軸交直線AC于Q點，請問在y軸上是否存在點E，使以P，Q，E，C為頂點的四邊形是菱形，若存在，請直接寫出點E的坐標；若不存在，請說明理由．47．如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，其中A（﹣3，0），∠ACB＝90°．（1）求該拋物線的函數解析式；（2）點P是直線AC上方拋物線上的一動點，過P作PM⊥AC于M點，在射線MA上取一點N，使得2MN＝AC，連接PN，求△PMN面積的最大值及此時點P的坐標；（3）如圖2，在（2）中△PMN面積取得最大值的條件下，將拋物線向左平移，當平移后的拋物線過點P時停止平移，平移后點C的對應點為C'，D為原拋物線上一點，E為直線AC上一點，若以O、C′、D、E為頂點的四邊形為平行四邊形，求符合條件的D點橫坐標．48．如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸正半軸交于點A（4，0），與y軸交于點B（0，2），點C在該拋物線上且在第一象限．（1）求該拋物線的表達式；（2）將該拋物線向下平移m個單位，使得點C落在線段AB上的點D處，當AD＝3BD時，求m的值；（3）連接BC，當∠CBA＝2∠BAO時，求點C的坐標．49．如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2+bx﹣4與x軸交于A，B兩點（B在A的右側），與y軸交于點C，已知OA＝1，OB＝4OA，連接BC．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，點P為BC下方拋物線上一動點，連接BP、CP，當S△BCP＝S△BOC時，求點P的坐標；（3）如圖2，點N為線段OC上一點，求AN+CN的最小值．50．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0）和點B，與y軸交于點C（0，﹣5），連接BC．N是線段BC上方拋物線上一點，過點N作NM⊥BC于M．（1）求拋物線的解析式和點B的坐標；（2）求線段NM的最大值；（3）若點P是y軸上的一點，是否存在點P，使以B，C，P為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，求點P的坐標，若不存在，請說明理由．

專題07二次函數（易錯必刷50題9種題型專項訓練）二次函數的圖象二次函數的性質二次函數圖象與系數的關系二次函數圖象上點的坐標特征二次函數圖象與幾何變換拋物線與x軸的交點二次函數與不等式（組）二次函數的應用二次函數綜合題一．二次函數的圖象（共2小題）1．在同一平面直角坐標系中，一次函數y＝ax+c和二次函數y＝ax2+c的圖象大致為（）A．B． C．D．【答案】D【解答】解：∵一次函數和二次函數都經過y軸上的（0，c），∴兩個函數圖象交于y軸上的同一點，故B選項錯誤；當a＞0時，二次函數開口向上，一次函數經過一、三象限，故C選項錯誤；當a＜0時，二次函數開口向下，一次函數經過二、四象限，故A選項錯誤；故選：D．2．函數y＝與y＝﹣kx2+k（k≠0）在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（）A．B． C．D．【答案】B【解答】解：解法一：由解析式y(tǒng)＝﹣kx2+k可得：拋物線對稱軸x＝0；A、由雙曲線的兩支分別位于二、四象限，可得k＜0，則﹣k＞0，拋物線開口方向向上、拋物線與y軸的交點為y軸的負半軸上；本圖象與k的取值相矛盾，故A錯誤；B、由雙曲線的兩支分別位于一、三象限，可得k＞0，則﹣k＜0，拋物線開口方向向下、拋物線與y軸的交點在y軸的正半軸上，本圖象符合題意，故B正確；C、由雙曲線的兩支分別位于一、三象限，可得k＞0，則﹣k＜0，拋物線開口方向向下、拋物線與y軸的交點在y軸的正半軸上，本圖象與k的取值相矛盾，故C錯誤；D、由雙曲線的兩支分別位于一、三象限，可得k＞0，則﹣k＜0，拋物線開口方向向下、拋物線與y軸的交點在y軸的正半軸上，本圖象與k的取值相矛盾，故D錯誤．解法二：①k＞0，雙曲線在一、三象限，﹣k＜0，拋物線開口向下，頂點在y軸正半軸上，選項B符合題意；②K＜0時，雙曲線在二、四象限，﹣k＞0，拋物線開口向上，頂點在y軸負半軸上，選項B符合題意；故選：B．二．二次函數的性質（共5小題）3．小明在學習函數后，在“幾何畫板”軟件中繪制了函數y＝x2（x﹣3）的圖象，如圖所示．通過觀察此圖象，下列說法錯誤的是（）A．點（2，﹣4）在y＝x2（x﹣3）的圖象上 B．若x＜3，則y＜0 C．x3﹣3x2﹣kx+2k＝0最多有三個實數根 D．當0＜x＜2時，y隨x的增大而減小【答案】B【解答】解：由題意，對于A，當x＝2時，y＝﹣4，∴點（2，﹣4）在y＝x2（x﹣3）的圖象上，故A正確，不合題意；對于B，結合圖象可得若x＜3，則y≤0，∴B錯誤，符合題意；對于C，∵函數y＝x3﹣3x2與直線y＝kx﹣2k＝k（x﹣2）的交點如圖所示，∴函數y＝x3﹣3x2與直線y＝kx﹣2k＝k（x﹣2）的交點最多3個．∴方程x3﹣3x2﹣kx+2k＝0最多有三個實數根，故C正確，不符合題意；對于D，結合圖象可得，當0＜x＜2時，y隨x的增大而減小，∴D正確，不合題意．故選：B．4．對于拋物線y＝3（x﹣2）2﹣1，下列說法正確的是（）A．y隨x的增大而減小 B．當x＝2時，y有最大值﹣1 C．若點A（3，y1），B（1，y2）都在拋物線y＝3（x﹣2）2﹣1上，則y1＞y2 D．經過第一、二、四象限【答案】D【解答】解：由題意，∵拋物線y＝3（x﹣2）2﹣1，又a＝3＞0，∴當x＜2時，y隨x的增大而減??；當x＞2時，y隨x的增大而增大，故A錯誤，不合題意．∵拋物線開口向上，∴當x＝2時，y取最小值為﹣1，故B錯誤，不合題意．由題意得，拋物線上的點離對稱軸越近函數值越?。邟佄锞€的對稱軸是直線x＝2，又|3﹣2|＝|1﹣2|，∴y1＝y(tǒng)2，故C錯誤，不合題意．∵當x＜2時，y隨x的增大而減小，且當x＝0時，y＝11，∴當x＜0時，y＞11，故圖象不經過三象限，故D正確，符合題意．故選：D．5．如圖，“愛心”圖案是由函數y＝﹣x2+10的部分圖象與其關于直線y＝x的對稱圖形組成．點A是直線y＝x上方“愛心”圖案上的任意一點，點B是其對稱點．若，則點A的坐標是（﹣2，6）或（1，9）．【答案】（﹣2，6）或（1，9）．【解答】解：如圖，過點A作AD⊥x軸，交x軸于點E，交直線y＝x于點D，連接BD．∵A、B關于直線y＝x對稱，設A（a，b），∴△ABD是等腰直角三角形，四邊形OEDF是正方形．∴B（b，a）．∵AB＝．∴8＝．∴（8）2＝（b﹣a）2+（b﹣a）2．∴128＝2（b﹣a）2．∴（b﹣a）2＝64．∴b﹣a＝8或b﹣a＝﹣8（舍去），∴b＝a+8．又∵A（a，b）在y＝﹣x2+10上，∴b＝﹣a2+10．∴a+8＝﹣a2+10．∴a2+a﹣2＝0．∴a1＝﹣2，a2＝1．①當a1＝﹣2時，b＝a+8＝﹣2+8＝6，∴點A的坐標為（﹣2，6）．②當a2＝1時，b＝a+8＝1+8＝9，∴點A的坐標為（1，9）．故答案為：（﹣2，6）或（1，9）．6．已知關于x的二次函數y＝﹣（x﹣5）2+1，當1≤x≤4時，函數的最大值為0．【答案】0．【解答】解：∵a＝﹣1，拋物線對稱軸是直線x＝5，∴x＜5時，y隨著x的增大而增大，∵1≤x≤4，∴x＝4時，y有最大值＝0；故答案為：0．7．對任意實數a，b，記min{a，b}＝已知實數t＞0，若定義函數：f（x）＝min{x2，x2﹣x+t}．（1）求使得等式f（x）＝x2﹣x+t成立的x的取值范圍；（2）求函數f（x）的最小值；（3）求函數f（x）當﹣1≤x≤1時的最大值．【答案】（1）x≥t；（2）當x＞t時，f（x）最小值為，當x≤t時，f（x）最小值為0；（3）1．【解答】解：（1）由題可知：x2＞x2﹣x+t，解得x＞t；（2）當x≤t時，f（x）＝x2，∵t＞0，∴當x＝0時，f（x）有最小值0；當x＞t時，f（x）＝，∴當x＝時，f（x）＝，∴當x＞t時，f（x）最小值為，當x≤t時，f（x）最小值為0；（3）由題可知﹣1≤x≤1，當0＜t≤時，有兩種情況如下：當﹣1≤x≤t時，f（x）＝x2，當x＝﹣1時，f（x）有最大值為1；當t＜x≤1時，f（x）＝x2﹣x+t，當x＝1時，f（x）有最大值為t＜1．∴當﹣1≤x≤1時，f（x）最大值為1．三．二次函數圖象與系數的關系（共5小題）8．二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖，圖象過點（﹣1，0），下列結論：①b2＞4ac；②4a+b＝0；③4a+c＞2b，④﹣3b+c＞0，⑤若頂點坐標為（2，4），則方程ax2+bx+c＝5沒有實數根．其中正確的結論有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【解答】解：由題意，∵拋物線的對稱軸是直線x＝2，且拋物線過（﹣1，0），∴拋物線必過點（2+3，0），即（5，0）．∴拋物線與x軸有兩個交點．∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故①正確．∵拋物線的對稱軸是直線x＝2＝﹣，∴b＝﹣4a，則4a+b＝0，故②正確．∵由圖象可得當x＝﹣2時，y＝4a﹣2b+c＜0，∴4a+c＜2b，故③錯誤．∵當x＝﹣1時，y＝a﹣b+c＝0，∴b＝a+c又b＝﹣4a，∴﹣4a＝a+c，故c＝﹣5a．∴﹣3b+c＝﹣3×（﹣4a）﹣5a＝7a，∵拋物線的開口向下，a＜0，∴7a＜0，故④錯誤．∵頂點坐標為（2，4），又拋物線開口向下，∴拋物線y＝ax2+bx+c有最大值為4．∴直線y＝5與拋物線y＝ax2+bx+c沒有交點．∴方程ax2+bx+c＝5沒有實數根，故⑤正確．綜上，正確的有3個．故選：B．9．二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖所示，其對稱軸為直線x＝﹣，且與x軸的一個交點坐標為（﹣2，0）．下列結論：①abc＞0；②a＝b；③a﹣b+c＞0；④關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有兩個不相等的實數根．其中正確結論的個數是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【解答】解：由題意，由圖象可得，a＞0，c＜0．又﹣＝﹣，∴b＝a＞0．∴abc＜0，故①錯誤，②正確．又由圖象知，當x＝﹣1時，y＜0，∴a﹣b+c＜0，故③錯誤．∵二次函數y＝ax2+bx+c與x軸有兩個不同的交點，∴關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有兩個不相等的實數根，故④正確．綜上，正確的有：②④．故選：B．10．在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y＝x2﹣2mx+m2﹣1，直線y＝﹣x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，過點B作垂直于y軸的直線l與拋物線y＝x2﹣2mx+m2﹣1有兩個交點，在拋物線對稱軸右側的交點記為P，當△OAP為銳角三角形時，則m的取值范圍是（）A．m＞﹣1 B．m＜﹣2 C．m＜﹣2或m＞1 D．﹣2＜m＜1【答案】D【解答】解：當y＝0時，﹣x+3＝0，解得x＝3；當x＝0時，y＝3，由題意，如圖．當y＝3時，y＝x2﹣2mx+m2﹣1＝3，則x＝m±2，則點P（m+2，3），當△OAP為銳角三角形時，∴0＜m+2＜3．∴﹣2＜m＜1．故選：D．11．已知二次函數y＝x2+2x+2m﹣1的圖象只經過三個象限，則m的取值范圍是（）A．m＜1 B．m≥ C．＜m＜1 D．≤m＜1【答案】D【解答】解：∵二次函數y＝x2+2x+2m﹣1的圖象只經過三個象限，∴開口方向向上，其對稱軸為x＝﹣1，則＜0，2m﹣1≥0，解得≤m＜1．如圖：故選：D．12．已知二次函數y＝ax2+bx+c的圖象經過（﹣1，3），（1，﹣1）兩點．（1）求b的值；（2）求證該二次函數的圖象與x軸的總有兩個公共點；（3）設該函數圖象與x軸的兩個公共點分別為（m，0）、（n，0）．當mn＜0時，直接寫出a的取值范圍．【答案】（1）b＝﹣2；（2）證明見過程；（3）a＜0或a＞1．【解答】解：（1）由題意，∵二次函數圖象經過（﹣1，3），（1，﹣1）兩點，∴a﹣b+c＝3①，a+b+c＝﹣1②．∴②﹣①得，2b＝﹣4．∴b＝﹣2．（2）由（1）得，b＝﹣2，又a﹣b+c＝3，∴a+c＝1．∴c＝1﹣a．∴Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4a（1﹣a）＝4﹣4a+4a2＝（2a﹣1）2+3．∵對于任意的a都有（2a﹣1）2≥0，∴Δ＝（2a﹣1）2+3≥3＞0．∴該二次函數的圖象與x軸的總有兩個公共點．（3）由題意，∵該函數圖象與x軸的兩個公共點分別為（m，0）、（n，0），∴mn＝＝．又mn＜0，∴＜0．①當a＜0時，∴1﹣a＞0．∴a＜1．∴a＜0．②當a＞0時，∴1﹣a＜0．∴a＞1．綜上，a＜0或a＞1．四．二次函數圖象上點的坐標特征（共2小題）13．若A（﹣1，y1），B（﹣5，y2），C（0，y3）為二次函數y＝x2+4x﹣m的圖象上的三點，則y1，y2，y3的大小關系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3【答案】B【解答】解：由題意，∵拋物線為y＝x2+4x﹣m＝（x+2）2﹣4﹣m，∴拋物線的對稱軸是直線x＝﹣2，且拋物線開口向上．∴拋物線上的點離對稱軸越近函數值越?。逜（﹣1，y1），B（﹣5，y2），C（0，y3），且﹣1﹣（﹣2）＝1＜0﹣（﹣2）＝2＜﹣2﹣（﹣5）＝3，∴y1＜y3＜y2．故選：B．14．在直角坐標系中，點A的坐標為（3，0），若拋物線y＝x2﹣2x+n﹣1與線段OA有且只有一個公共點，則n的取值范圍為﹣2≤n＜1或n＝2．【答案】見試題解答內容【解答】解：∵點A的坐標為（3，0），拋物線y＝x2﹣2x+n﹣1＝（x﹣1）2+n﹣2與線段OA有且只有一個公共點，∴n﹣2＝0或，解得，﹣2≤n＜1或n＝2，故答案為：﹣2≤n＜1或n＝2．五．二次函數圖象與幾何變換（共2小題）15．在平面直角坐標系中，將拋物線y＝x2﹣4先向右平移2個單位，再向上平移2個單位，得到的拋物線的解析式是（）A．y＝（x+2）2+2 B．y＝（x﹣2）2﹣2 C．y＝（x﹣2）2+2 D．y＝（x+2）2﹣2【答案】B【解答】解：將拋物線y＝x2﹣4先向右平移2個單位，再向上平移2個單位，得到的拋物線的解析式是y＝（x﹣2）2﹣4+2，即y＝（x﹣2）2﹣2．故答案為：y＝（x﹣2）2﹣2．故選：B．16．一位同學在畫二次函數y＝2x2﹣bx+3的圖象時，把﹣b看成了+b，結果所畫圖象是由原圖象向左平移6個單位長度所得的圖象，則b的值為（）A．24 B．﹣24 C．﹣12 D．12【答案】D【解答】解：由題意，∵二次函數y＝2x2﹣bx+3＝2（x2﹣x+）+3﹣＝2（x﹣）2+3﹣，又向左平移6個單位長度，∴所得的解析式為y＝2（x﹣+6）2+3﹣．又結合畫錯的解析式y(tǒng)＝2x2+bx+3＝2（x+）2+3﹣，∴﹣+6＝．∴b＝12．故選：D．六．拋物線與x軸的交點（共8小題）17．已知拋物線y＝ax2+bx+c上的某些點的橫坐標x與縱坐標y的對應值如下表：x…﹣7.21﹣7.20﹣7.19﹣7.18﹣7.17…y…﹣0.04﹣0.030.010.020.03…則該函數與x軸的其中一個交點的橫坐標的范圍是（）A．﹣7.21＜x＜﹣7.20 B．﹣7.20＜x＜﹣7.19 C．﹣7.19＜x＜﹣7.18 D．﹣7.18＜x＜﹣7.17【答案】B【解答】解：由題意，拋物線隨x的增大而增大，又∵當x＝﹣7.20時，y＝﹣0.03＜0，而當x＝﹣7.19時，y＝0.01＞0，∴在﹣7.20＜x＜﹣7.19時，必有有一個x的值使得y＝0．∴該函數與x軸的其中一個交點的橫坐標的范圍是﹣7.20＜x＜﹣7.19．故選：B．18．拋物線y＝﹣x2+bx+c上部分點的橫坐標x，縱坐標y的對應值如表所示：x…﹣2﹣1012…y…04664…從表可知，下列說法中，錯誤的是（）A．拋物線與x軸的一個交點坐標為（﹣2，0） B．拋物線與y軸的交點坐標為（0，6） C．拋物線的對稱軸是直線 D．拋物線在對稱軸左側部分y隨x的增大而減小【答案】D【解答】解：由題意，拋物線過（﹣2，0），（0，6），∴拋物線與x軸的一個交點坐標為（﹣2，0），與y軸交于點（0，6），故A、B正確．根據表格數據可得拋物線對稱軸是直線x＝＝，故C正確．∵a＝﹣1＜0，∴當x＜時，y隨x的增大而增大，故D錯誤．綜上，錯誤的是D．故選：D．19．已知函數y＝（k﹣3）x2+2x+1的圖象與x軸有交點，則k的取值范圍是（）A．k≤4且k≠3 B．k＜4且k≠3 C．k＜4 D．k≤4【答案】D【解答】解：當k＝3時，函數y＝2x+1是一次函數，它的圖象與x軸有一個交點；當k≠3，函數y＝（k﹣3）x2+2x+1是二次函數，當22﹣4（k﹣3）≥0，k≤4即k≤4時，函數的圖象與x軸有交點．綜上k的取值范圍是k≤4．故選：D．20．如圖一段拋物線y＝x2﹣3x（0≤x≤3），記為C1，它與x軸于點O和A1：將C1繞A1旋轉180°得到C2，交x軸于A2；將C2繞旋轉180°得到C3，交x軸于A3，如此進行下去，若點P（2020，m）在某段拋物線上，則m的值為（）A．0 B．﹣ C．2 D．﹣2【答案】C【解答】解：當y＝0時，x2﹣3x＝0，解得：x1＝0，x2＝3，∴點A1的坐標為（3，0）．由旋轉的性質，可知：點A2的坐標為（6，0）．∵2020＝336×6+4，∴當x＝4時，y＝m．由圖象可知：當x＝2時的y值與當x＝4時的y值互為相反數，∴m＝﹣（2×2﹣3×2）＝2．故選：C．21．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸是直線x＝1，關于x的方程ax2+bx+c＝0的一個根為x＝4，則另一個根為x＝﹣2．【答案】x＝﹣2．【解答】解：∵拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x＝1，∴﹣＝1，即b＝﹣2a，根據根與系數的關系得4+x＝﹣＝﹣＝2，解得x＝﹣2，即方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的另一個根為x＝﹣2．故答案為：x＝﹣2．22．我們定義一種新函數：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函數叫做“鵲橋”函數．小蕾同學畫出“鵲橋”函數y＝|x2﹣2x﹣3|的圖象（如圖所示），并寫出下列四個結論：①圖象與坐標軸的交點為（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；②當x＝1時，函數有最大值4；③當﹣1≤x≤1或x≥3時，函數值y隨x值的增大而增大；④函數與直線y＝m有4個公共點，則m的取值范圍是0＜m≤4．其中所有正確結論的序號是①③．【答案】①③．【解答】解：令y＝|x2﹣2x﹣3|＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，即圖象與x軸有兩個交點（﹣1，0），（3，0），令x＝0，得y＝3，即圖象與y軸的交點為（0，3），即圖象與坐標軸的交點（﹣1，0），（3，0）和（0，3），故①正確．由圖象可知，當x＜﹣1時，函數值隨x的減小而增大，當x＞3時，函數值隨x的增大而增大，均存在大于頂點坐標的函數值，故當x＝1時的函數值4并非最大值，故②錯誤．根據函數的圖象和性質，發(fā)現當﹣1≤x≤1或x≥3時，函數值y隨x值的增大而增大，故③正確．由圖象可知，函數與直線y＝m有4個公共點，則m的取值范圍是0＜m＜4，故④錯誤．故答案為：①③．23．如圖，拋物線y＝x2﹣4x+3與y軸交于點C，與x軸交于A、B兩點（A在B的左側），點C關于拋物線對稱軸的對稱點為點D，動點E在y軸上，點F在以點B為圓心，半徑為1的圓上，則DE+EF的最小值是﹣1．【答案】見試題解答內容【解答】解：對于y＝x2﹣4x+3，令x＝0，則y＝3，令y＝0，解得x＝1或3，故點A、B、C的坐標分別為（0，3）、（1，0）、（3，0），函數的對稱軸為直線x＝﹣＝2，則點D（4，3），過點D作y軸的對稱點H（﹣4，3），連接BH交y軸于點E，交圓B于點F，則點E、F為所求點，理由：∵點H、D關于y軸對稱，則EH＝ED，則DE+EF＝HE+EF＝HF為最小，則DE+EF最?。紿F＝HB﹣1＝﹣1＝﹣1．故答案為：﹣1．24．已知函數y＝|x2﹣2x﹣3|的大致圖象如圖所示，如果方程|x2﹣2x﹣3|＝m（m為實數）有2個不相等的實數根，則m的取值范圍是m＝0或m＞4．【答案】見試題解答內容【解答】解：從圖象可以看出當y＝0時，y＝|x2﹣2x﹣3|的x值對應兩個不等實數根，即m＝0時，方程|x2﹣2x﹣3|＝m（m為實數）有2個不相等的實數根；從圖象可出y的值取其拋物線部分的頂點處縱坐標值時，在整個函數圖象上對應的x的值有三個，當y的值比拋物線頂點處縱坐標的值大時，對于整個函數圖象上對應的x值有兩個不相等的實數根．|x2﹣2x﹣3|＝|（x﹣1）2﹣4|，其最大值為4，所以當m＞4時，方程|x2﹣2x﹣3|＝m（m為實數）有2個不相等的實數根，綜上所述當m＝0或m＞4時，方程|x2﹣2x﹣3|＝m（m為實數）有2個不相等的實數根．故答案為m＝0或m＞4．七．二次函數與不等式（組）（共3小題）25．如圖，拋物線y＝ax2+c與直線y＝kx+m交于A（﹣3，y1）、B（1，y2）兩點，則關于x的不等式ax2+c≥﹣kx+m的解集是﹣1≤x≤3．【答案】﹣1≤x≤3．【解答】解：∵y＝kx+m與y＝﹣kx+m的圖象關于y軸對稱，∴直線y＝﹣kx+m與拋物線y＝ax2+c的交點A′、B′與點A、B也關于y軸對稱，如圖所示：∵A（﹣3，y1），B（1，y2），∴A′（3，y1），B′（﹣1，y2），根據函數圖象得：不等式ax2+c≥﹣kx+m的解集是﹣1≤x≤3，故答案為：﹣1≤x≤3．26．如圖是二次函數y＝ax2+bx+c圖象的一部分，對稱軸為直線x＝1，若其與x軸一交點為A（3，0），則由圖象可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜3．【答案】﹣1＜x＜3．【解答】解：由圖象得：對稱軸是直線x＝1，其中一個點的坐標為（3，0），∴圖象與x軸的另一個交點坐標為（﹣1，0）．利用圖象可知：ax2+bx+c＞0的解集即是y＞0的解集，∴﹣1＜x＜3．故答案為：﹣1＜x＜3．27．如圖，直線y＝x+m和拋物線y＝x2+bx+c都經過點A（1，0）和B（3，2），不等式x2+bx+c＞x+m的解集為x＜1或x＞3．【答案】見試題解答內容【解答】解：∵直線y＝x+m和拋物線y＝x2+bx+c都經過點A（1，0）和B（3，2），∴根據圖象可知，不等式x2+bx+c＞x+m的解集為x＜1或x＞3；故答案為：x＜1或x＞3．八．二次函數的應用（共15小題）28．擲實心球是中學生體質健康檢測中的一項，體育老師給出標準示范圖，小明發(fā)現實心球飛行路線是一條拋物線，若不考慮空氣阻力，實心球的飛行高度y（米）與飛行的水平距離x（米）之間具有函數關系，則小明這次實心球訓練的成績?yōu)椋ǎ〢． B．3 C．8 D．10【答案】D【解答】解：由題意，當y＝0時，則﹣x2+x+＝0，解得x＝﹣2（舍去）或x＝10．故選：D．29．一個球從地面豎直向上彈起，球距離地面的高度h（米）與經過時間t（秒）的關系式為h＝12t﹣6t2，那么球從彈起后又回到地面所經過的總路程是（）A．4米 B．6米 C．8米 D．12米【答案】D【解答】解：由題意，h＝12t﹣6t2＝﹣6（t﹣1）2+6．又∵﹣6＜0，∴當t＝1時，h有最大值，最大值是6．∴球距離地面的最大高度是6米．∴球從彈起后又回到地面所經過的總路程是12米．故選：D．30．如圖是某拋物線型的拱橋示意圖，已知該拋物線的函數表達式為y＝﹣x2+10，為了給行人提供生命保障，在該拱橋上距水面AB高為8米的點E、F處懸掛了兩個救生圈，則這兩個救生圈間的水平距離EF為10米．【答案】見試題解答內容【解答】解：由題意，由“在該拋物線上距水面AB高為8米的點”，可知y＝8，把y＝8代入y＝﹣x2+10，得：8＝﹣x2+10，∴x＝±5．∴由兩點間距離公式可求出EF＝10（米）．故答案為：10．31．“一河詩畫，滿城煙花”，每逢過年過節(jié)，人們會在美麗的瀏陽河邊上手持網紅煙花加特林進行燃放，當發(fā)射角度與水平面成45度角時，煙花在空中的高度y（米）與水平距離x（米）接近于拋物線y＝﹣0.5x2+10x﹣38，煙花可以達到的最大高度是12米．【答案】12．【解答】解：由題意，∵y＝﹣0.5x2+10x﹣38＝﹣0.5（x﹣10）2+12，又a＝﹣0.5＜0，∴當x＝10時，煙花可以達到的最大高度，最大高度是12米．故答案為：12．32．已知某品牌汽車在進行剎車測試時發(fā)現，該品牌某款汽車剎車后行駛的距離S（單位：米）與行駛時間t（單位：秒）滿足下面的函數關系：S＝12t﹣4t2（t≥0）．那么測試實驗中該汽車從開始剎車到完全停止，共行駛了9米．【答案】9．【解答】解：由題意，∵s＝12t﹣4t2＝﹣4（t﹣）2+9，∵a＝﹣4，∴當t＝時，前行的距離最大，最大距離為9米，∴汽車從開始剎車到完全停下這段時間的行駛的距離為：9米．故答案為：9．33．如圖是公園的一座拋物線型拱橋，建立坐標系得到函數，當拱頂到水面的距離為4米時，水面寬AB＝8米．【答案】8．【解答】解：由題意，當拱頂到水面的距離為4米時，∴令y＝﹣4，得﹣4＝﹣x2．∴x＝±4．∴A（﹣4，﹣4），B（4，﹣4）．∴AB＝4﹣（﹣4）＝8（米）．故答案為：8．34．某商品進價為50元，現在的售價為每件60元，每星期可賣出300件，經市場調查反映，每漲價1元，每星期要少賣出10件，則在漲價的情況下，可獲得最大利潤4000元．【答案】4000．【解答】解：設漲價x時，∴每星期售出商品的利潤為y＝（60﹣50+x）（300﹣10x）＝﹣10x2+200x+3000＝﹣10（x﹣10）2+4000．∴當x＝10時，y有最大值，最大值為4000．∴定價為60+10＝70（元）．答：每件商品定價為70元時利潤最大，最大利潤為4000元．故答案為：4000．35．某日6時至10時，某交易平臺上一種水果的每千克售價、每千克成本與交易時間之間的關系分別如圖1、圖2所示（圖1、圖2中的圖象分別是線段和拋物線，其中點P是拋物線的頂點）．在這段時間內，出售每千克這種水果收益最大的時刻是9時，此時每千克的收益是元．【答案】見試題解答內容【解答】解：設圖1中交易時間y1與每千克售價x1的函數關系式為：y1＝kx1+b，將（5，10）（6，8）代入解得k＝﹣2，b＝20，所以y1＝﹣2x1+20設每千克成本y2與交易時間x2的函數關系式為：y2＝a（x2﹣10）2+3將（6，7）代入，解得a＝所以y2＝（x2﹣10）2+3＝x22﹣5x2+28設在這段時間內，出售每千克這種水果的收益為w元，根據題意，得y2＝x22﹣5x2+28＝（﹣2x1+20）2﹣5（﹣2x1+20）+28＝x12﹣10x1+28w＝x1﹣y2＝x1﹣（x12﹣10x1+28）＝﹣x12+11x1﹣28＝﹣（x1﹣）2+當x1＝時，y1＝﹣11+20＝9，w取得最大值，最大值為．答：在這段時間內，出售每千克這種水果收益最大的時刻為9時，此時每千克的收益是元．故答案為：9時，元．36．2023年成都大運會期間，吉祥物“蓉寶”受到人們的廣泛喜愛，某網店以每個32元的價格購進了一批蓉寶吉祥物，由于銷售火爆，銷售單價經過兩次的調整，從每個50元上漲到每個72元，此時每天可售出200個蓉寶吉祥物．（1）若銷售價格每次上漲的百分率相同，求每次上漲的百分率；（2）經過市場調查發(fā)現：銷售單價每降價1元，每天多賣出10個，網店每個應降價多少元？才能使每天利潤達到最大，最大利潤為多少元？【答案】（1）20%；（2）網店每個應降價10元，才能使每天利潤達到最大，最大利潤為9000元．【解答】解：（1）由題意，設每次上漲的百分率為m，依題意，得：50（1+m）2＝72，解得：m1＝0.2＝20%，m2＝﹣2.2（不合題意，舍去）．答：每次上漲的百分率為20%．（2）由題意，設每個售價為x元，∴每天的利潤w＝（x﹣32）[200+10（72﹣x）]＝﹣10x2+1240x﹣29440＝﹣10（x﹣62）2+9000．∴當x＝62時，每天的最大利潤為9000．∴網店每個應降價（72﹣62）元，即網店每個應降價10元．答：網店每個應降價10元，才能使每天利潤達到最大，最大利潤為9000元．37．如圖1，某公園一個圓形噴水池，在噴水池中心O處豎直安裝一根高度為1.25m的水管OA，A處是噴頭，噴出水流沿形狀相同的曲線向各個方向落下，噴出水流的運動路線可以看作是拋物線的一部分．建立如圖2所示的平面直角坐標系，測得噴出水流距離噴水池中心O的最遠水平距離OB為2.5m，水流豎直高度的最高處位置C距離噴水池中心O的水平距離OD為1m．（1）求噴出水流的豎直高度y（m）與距離水池中心O的水平距離x（m）之間的關系式，并求水流最大豎直高度CD的長；（2）安裝師傅調試時發(fā)現，噴頭豎直上下移動時，拋物線形水流隨之豎直上下移動（假設拋物線水流移動時，保持對稱軸及形狀不變），若水管OA的高度增加0.64m時，則水流離噴水池中心O的最遠水平距離為2.7m．【答案】（1）y＝﹣（x﹣1）2+2.25（0≤x≤2.5）；2.25m；（2）2.7．【解答】解：（1）由題意，A點坐標為（0，1.25），B點坐標為（2.5，0）．設拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）2+k（a≠0），∵拋物線經過點A，點B，∴．∴．∴y＝﹣（x﹣1）2+2.25（0≤x≤2.5）．∴x＝1時，y＝2.25．∴水流噴出的最大高度為2.25m．（2）由題意，∵拋物線水流移動時，保持對稱軸及形狀不變，∴可設拋物線為y＝﹣（x﹣1）2+m．又此時A為（0，1.89），∴1.89＝﹣1+m．∴m＝2.89．∴拋物線為y＝﹣（x﹣1）2+2.89．令y＝0，∴x＝2.7或x＝﹣0.7（x＜0，不合題意）．∴水流離噴水池中心O的最遠水平距離為2.7m．故答案為：2.7．38．某超市銷售一種商品，成本價為30元/千克，經市場調查，每天銷售量y（千克）與銷售單價x（元/千克）之間的關系如圖所示，規(guī)定每千克售價不能低于30元，且不高于80元．（1）直接寫出y與x之間的函數關系式：（2）如果該超市銷售這種商品每天獲得3600元的利潤，那么該商品的銷售單價為多少元？（3）設每天的總利潤為w元，當銷售單價定為多少元時，該超市每天的利潤最大？最大利潤是多少元？【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）設y與x之間的函數關系式為y＝kx+b（k≠0），將（30，150）；（80，100）分別代入得：，解得：，∴y與x之間的函數關系式為y＝﹣x+180；（2）設利潤為w元，由題意得：w＝（x﹣30）（﹣x+180）＝﹣x2+210x﹣5400，∴w＝﹣x2+210x﹣5400（30≤x≤80）；令﹣x2+210x﹣5400＝3600，解得x＝60或x＝150（舍），∴如果該超市銷售這種商品每天獲得3600元的利潤，那么該商品的銷售單價為60元；（3）由（2）知，w＝﹣（x﹣105）2+5625，∵﹣1＜0，∴當x≤105時，w隨x的增大而增大，∵30≤x≤80，∴當x＝80時，w最大，最大為5000元．∴當銷售單價定為80元時，該超市每天的利潤最大，最大利潤是5000元．39．為了節(jié)省材料，某水產養(yǎng)殖戶利用水庫的岸堤（岸堤足夠長）為一邊，用總長為160m的圍網在水庫中圍成了如圖所示的①②③三塊矩形區(qū)域，而且這三塊矩形區(qū)域的面積相等．設BC的長度為xm，矩形區(qū)域ABCD的面積為ym2（1）是否存在x的值，使得矩形ABCD的面積是1500m2；（2）x為何值時，y有最大值？最大值是多少？【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）設AE＝a，由題意得：AE?AD＝2BE?BC∵AD＝BC∴BE＝a，AB＝由題意可得：2x+3a+2×a＝160∴a＝40﹣x∴y＝AB?BC＝ax＝（40﹣x）x∴y＝﹣x2+60x（0＜x＜80）令y＝1500得：﹣x2+60x＝1500化簡得：x2﹣80x+2000＝0∵△＝802﹣4×2000＝6400﹣8000＜0∴方程無解答：不存在x的值，使得矩形ABCD的面積是1500m2（2）∵y＝﹣x2+60x＝﹣（x﹣40）2+1200∴當x＝40時，y有最大值，最大值是1200m2．40．某一拋物線形隧道，一側建有垂直于地面的隔離墻，其橫截面如圖所示，并建立平面直角坐標系．已知拋物線經過（0，3），，三點．（1）求拋物線的解析式（不考慮自變量的取值范圍）；（2）有一輛高5m，頂部寬4m的工程車要通過該隧道，該車能否正常通過？并說明理由；（3）現準備在隧道上A處安裝一個直角形鋼架BAC，對隧道進行維修．B，C兩點分別在隔離墻和地面上，且AB與隔離墻垂直，AC與地面垂直，求鋼架BAC的最大長度．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）不能正常通過；（3）鋼架BAC的最大長度為9m．【解答】解：（1）由題意，設拋物線的解析式為y＝ax2+bx+c，∴．∴．∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3．（2）工程車不能正常通過．理由如下：∵工程車高5m，∴令y＝5，即5＝﹣x2+2x+3．∴x＝3±．∴縱坐標為5時，兩點的距離為3+﹣（3﹣）＝2≈3.46＜4．故高5m，頂部寬4m的工程車不能正常通過．（3）由題意，如圖，設A（m，﹣m2+2m+3）．當OB＝3時，令y＝3＝﹣m2+2m+3，∴m＝0或m＝6．∴B（0，﹣m2+2m+3）．∵B在墻面上，∴m≥6．由AB+AC＝m﹣m2+2m+3＝﹣m2+3m+3＝﹣（m﹣）2+，又當m＞時，（AB+AC）的值隨m的增大而減小，∴當m＝6時，（AB+AC）取最大值，最大值為9．∴鋼架BAC的最大長度為9m．41．北京冬奧會的召開燃起了人們對冰雪運動的極大熱情，如圖是某小型跳臺滑雪訓練場的橫截面示意圖，取某一位置的水平線為x軸，過跳臺終點A作水平線的垂線為y軸，建立平面直角坐標系，圖中的拋物線C1：y＝﹣近似表示滑雪場地上的一座小山坡，小雅從點O正上方4米處的A點滑出，滑出后沿一段拋物線C2：y＝ax2+x+c運動．（1）當小雅滑到離A處的水平距離為6米時，其滑行達到最高位置為米．求出a，c的值；（2）小雅若想滑行到坡頂正上方時，與坡頂距離不低于米，請求出a的取值范圍．【答案】（1）a＝﹣，c＝4；（2）﹣≤a＜0．【解答】解：（1）由題意可知拋物線C2：y＝ax2+x+c過點（0，4）和（6，），將其代入得：，解得，．∴a＝﹣，c＝4；（2）∵拋物線C2經過點（0，4），∴c＝4，拋物線C1：y＝﹣＝﹣（x﹣8）2+，當x＝8時，運動員到達坡頂，即82a+8×+4＞+，解得a≥﹣，∴﹣≤a＜0．42．某公司生產A型活動板房成本是每個425元．圖①表示A型活動板房的一面墻，它由長方形和拋物線構成，長方形的長AD＝4m，寬AB＝3m，拋物線的最高點E到BC的距離為4m．（1）按如圖①所示的直角坐標系，拋物線可以用y＝kx2+m（k≠0）表示．求該拋物線的函數表達式；（2）現將A型活動板房改造為B型活動板房．如圖②，在拋物線與AD之間的區(qū)域內加裝一扇長方形窗戶FGMN，點G，M在AD上，點N，F在拋物線上，窗戶的成本為50元/m2．已知GM＝2m，求每個B型活動板房的成本是多少？（每個B型活動板房的成本＝每個A型活動板房的成本+一扇窗戶FGMN的成本）（3）根據市場調查，以單價650元銷售（2）中的B型活動板房，每月能售出100個，而單價每降低10元，每月能多售出20個．公司每月最多能生產160個B型活動板房．不考慮其他因素，公司將銷售單價n（元）定為多少時，每月銷售B型活動板房所獲利潤w（元）最大？最大利潤是多少？【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）∵長方形的長AD＝4m，寬AB＝3m，拋物線的最高點E到BC的距離為4m．∴OH＝AB＝3，∴EO＝EH﹣OH＝4﹣3＝1，∴E（0，1），D（2，0），∴該拋物線的函數表達式為：y＝kx2+1，把點D（2，0）代入，得k＝﹣，∴該拋物線的函數表達式為：y＝﹣x2+1；（2）∵GM＝2，∴OM＝OG＝1，∴當x＝1時，y＝，∴N（1，），∴MN＝，∴S矩形MNFG＝MN?GM＝×2＝，∴每個B型活動板房的成本是：425+×50＝500（元）．答：每個B型活動板房的成本是500元；（3）根據題意，得w＝（n﹣500）[100+]＝﹣2（n﹣600）2+20000，∵每月最多能生產160個B型活動板房，∴100+≤160，解得n≥620，∵﹣2＜0，∴n≥620時，w隨n的增大而減小，∴當n＝620時，w有最大值為19200元．答：公司將銷售單價n（元）定為620元時，每月銷售B型活動板房所獲利潤w（元）最大，最大利潤是19200元．九．二次函數綜合題（共8小題）43．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A，B兩點（A在B的左側），與y軸交于點N，過A點的直線l：y＝﹣x﹣1與y軸交于點C，與拋物線y＝﹣x2+bx+c的另一個交點為D（5，﹣6），已知P點為拋物線y＝﹣x2+bx+c上一動點（不與A、D重合）．（1）求拋物線的解析式；（2）當點P在直線l上方的拋物線上時，過P點作PE∥x軸交直線l于點E，作PF∥y軸交直線l于點F，求PE+PF的最大值；（3）設M為直線l上的動點，以NC為一邊且頂點為N，C，M，P的四邊形是平行四邊形，求所有符合條件的M點坐標．【答案】（1）拋物線的解析式為：y＝﹣x2+3x+4．（2）當x＝2時，PE+PF取得最大值，最大值為18．（3）符合條件的M點有三個：，．【解答】解：（1）∵直線l：y＝﹣x﹣1過點A，∴A（﹣1，0），又∵D（5，﹣6），將點A，D的坐標代入拋物線表達式可得：，解得．∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+3x+4．（2）如圖，設點P（x，﹣x2+3x+4），∵PE∥x軸，PF∥y軸，則E（x2﹣3x﹣5，﹣x2+3x+4），F（x，﹣x﹣1），∵點P在直線l上方的拋物線上，∴﹣1＜x＜5，∴PE＝|x﹣（x2﹣3x﹣5）|＝﹣x2+4x+5，PF＝|﹣x2+3x+4﹣（﹣x﹣1）|＝﹣x2+4x+5，∴PE+PF＝2（﹣x2+4x+5）＝﹣2（x﹣2）2+18．∵﹣1＜x＜5，∴當x＝2時，PE+PF取得最大值，最大值為18．（3）由（1）可求NC＝5，∵NC是所求平行四邊形的一邊，∴NC∥PM，設點p（t，﹣t2+3t+4），則M（t，﹣t﹣1），由題意知：|yP﹣yM|＝5，即|﹣t2+3t+4+t+1|＝5．化簡得：t2﹣4t＝0或t2﹣4t﹣10＝0，解得：t1＝0（舍去），t2＝4，，．則符合條件的M點有三個：，．44．如圖1，拋物線y1＝ax2﹣3x+c的圖象與x軸的交點為A和B，與y軸交點為D（0，4），與直線y2＝﹣x+b交點為A和C，且OA＝OD．（1）求拋物線的解析式和b值；（2）在直線y2＝﹣x+b上是否存在一點P，使得△ABP是等腰直角三角形，如果存在，求出點P的坐標，如果不存在，請說明理由；（3）將拋物線y1圖象x軸上方的部分沿x軸翻折得一個“M”形狀的新圖象（如圖2），若直線y3＝﹣x+n與該新圖象恰好有四個公共點，請求出此時n的取值范圍．【答案】（1）y1＝﹣x2﹣3x+4，b＝﹣4；（2）在直線y2＝﹣x﹣4上存在點P使得△ABP是等腰直角三角形，點P的坐標為（﹣，﹣）或（1，﹣5）；（3）﹣8＜n＜﹣4．【解答】解：（1）∵D（0，4），∴OD＝4，∵OA＝OD，點A在x的負半軸上，∴A（﹣4，0），把A（﹣4，0），D（0，4）分別代入y1＝ax2﹣3x+c，得，解得：，∴該拋物線的解析式為y1＝﹣x2﹣3x+4，把A（﹣4，0）代入y2＝﹣x+b，得4+b＝0，解得：b＝﹣4；（2）存在．在y1＝﹣x2﹣3x+4中，令y1＝0，得﹣x2﹣3x+4＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝1，∴B（1，0），如圖1，設直線y2＝﹣x﹣4與y軸交于點G，則G（0，﹣4），∴OG＝4，∵A（﹣4，0），∴OA＝4，∴OA＝OG，∴△AOG是等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°，當∠APB＝90°時，如圖1，過點P作PH⊥x軸于點H，∵∠BAP＝45°，∠APB＝90°，∴∠ABP＝45°＝∠BAP，∴PA＝PB，即△ABP是等腰直角三角形，∵PH⊥AB，∴AH＝BH，即H是AB的中點，∴H（﹣，0），∴點P的橫坐標為﹣，當x＝﹣時，y2＝﹣（﹣）﹣4＝﹣，∴P1（﹣，﹣）；當∠ABP＝90°時，則∠APB＝∠BAP＝45°，∴BP＝AB＝5，∴P2（1，﹣5）；綜上所述，在直線y2＝﹣x﹣4上存在點P使得△ABP是等腰直角三角形，點P的坐標為（﹣，﹣）或（1，﹣5）；（3）∵y1＝﹣x2﹣3x+4＝﹣（x+）2+，∴拋物線y1＝﹣x2﹣3x+4的頂點為（﹣，），沿x軸翻折后的解析式為y＝（x+）2﹣，把A（﹣4，0）代入y3＝﹣x+n，得4+n＝0，解得：n＝﹣4，聯(lián)立拋物線y＝（x+）2﹣與直線y3得：（x+）2﹣＝﹣x+n，整理得：x2+4x﹣（n+4）＝0，當Δ＝16+4（n+4）＝0時，n＝﹣8，∴當直線y3＝﹣x+n與該新圖象恰好有四個公共點時，﹣8＜n＜﹣4．45．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+4與x軸交于A（﹣3，0），B兩點，與y軸交于點C．（1）求拋物線解析式及B，C兩點坐標；（2）以A，B，C，D為頂點的四邊形是平行四邊形，求點D坐標；（3）該拋物線對稱軸上是否存在點E，使得∠ACE＝45°，若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣x+4，點C的坐標為（0，4），點B的坐標為（1，0）．（2）點D的坐標為（﹣4，4）或（﹣2，﹣4）或（4，4），（3）E的坐標為（﹣1，）．【解答】解：（1）把點A的坐標代入解析式得b＝，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣x+4，∴點C的坐標為（0，4），點B的坐標為（1，0）．（2）以A，B，C，D為頂點的四邊形是平行四邊形，分三種情況：①若AC為對角線，設AC的中點為F，則根據中點坐標公式可得F的坐標為（﹣，2），設點D的坐標為（a，b），則有，解得a＝﹣4，b＝4，此時點D的坐標為（﹣4，4），②若以AB為對角線，設AB的中點為F，則F的坐標為（﹣1，0），設點D的坐標為（a，b），則有，解得a＝﹣2，b＝﹣4，此時點D的坐標為（﹣2，﹣4），③若以BC為對角線，設BC的中點為F，則點F的坐標為（，2），設點D的坐標為（a，b），則有，解得a＝4，b＝4，此時點D的坐標為（4，4），綜上所述，點D的坐標為（﹣4，4）或（﹣2，﹣4）或（4，4）；（3）存在，理由如下：∵tan∠ACO＝＝＜1，∴∠ACO＜45°，∴E不可能出現在直線AC下方，也不可能在直線AC上，當點E在直線AC上方時，∠ACE＝45°，過點E作EM⊥AC，如圖：根據點A（﹣3，0）和點C（0，4）可得直線AC的解析式為y＝，設直線AC與對稱軸交于點H，∴點H（﹣1，），HC＝，∵EH∥y軸，∴∠EHM＝∠HCO，∴tan∠EHM＝tan∠HCO＝＝，∴EM＝HM，∵∠ACE＝45°，∴EM＝CM，∴HC＝HM+CM，即＝HM+HM，解得HM＝，∴EM＝，在Rt△EMH中，EH＝，解得EH＝，∴E的縱坐標為＝，∴點E的坐標為（﹣1，）．46．如圖1，拋物線y＝ax2+bx+3交x軸于點A（3，0）和點B（﹣1，0），交y軸于點C．（1）求拋物線的表達式；（2）若點D是直線AC上方拋物線上一動點，連接BC，AD和BD，BD交AC于點M，設△ADM的面積為S1，△BCM的面積為S2，當S1﹣S2＝1時，求點D的坐標；（3）如圖2，若點P是拋物線上一動點，過點P作PQ⊥x軸交直線AC于Q點，請問在y軸上是否存在點E，使以P，Q，E，C為頂點的四邊形是菱形，若存在，請直接寫出點E的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3；（2）點D的坐標系為（1+，）或（1﹣，）；（3）符合條件的點E有三個，坐標分別為：（0，1）或（0，1﹣3）或（0，1+3）．【解答】解：（1）把點A（3，0）和B（﹣1，0）代入得：，解得：，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3；（2）設D（x，y），對于y＝﹣x2+2x+3，令x＝0，則y＝3，∴C（0，3），∵S1﹣S2＝1，∴S1＝S2+1，∴S1+S△ABM＝S2+S△ABM+1，即S△ABD＝S△ABC+1，∴×4×y＝×4×3+1，∴y＝，∴﹣x2+2x+3＝，解得x＝1+或x＝1﹣；∴點D的坐標為（1+，）或（1﹣，）；（3）存在，理由如下：設直線AC的解析式為：y＝kx+b′，∴，解得，∴直線AC的解析式為：y＝﹣x+3；①當CQ為菱形的對角線時，如圖，PE垂直平分CQ，∵A（3，0），C（0，3），∴OA＝OC＝3，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，此時四邊形CEQP是正方形．∴PQ＝EQ．設P（m，﹣m2+2m+3），則Q（m，﹣m+3），∴PQ＝﹣m2+3m，∴﹣m2+3m＝m，解得m＝0（不合題意舍去）或m＝2，此時OE＝OC﹣m＝3﹣2＝1，∴E（0，1）．②當CQ為菱形的邊時，作QH⊥OC于點H，設P（m，﹣m2+2m+3），則Q（m，﹣m+3），∴HQ＝|m|，PQ＝|﹣m2+3m|，∵∠OCA＝45°，∴CQ＝HQ＝|m|，CE＝PQ＝|﹣m2+3m|＝|m|，解得：m1＝3﹣，m2＝3+或m＝0（舍）．∴E1（0，1﹣3），E2（0，1+3），綜上所述，符合條件的點E有三個，坐標分別為：（0，1）或（0，1﹣3）或（0，1+3）．47．如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，其中A（﹣3，0），∠ACB＝90°．（1）求該拋物線的函數解析式；（2）點P是直線AC上方拋物線上的一動點，過P作PM⊥AC于M點，在射線MA上取一點N，使得2MN＝AC，連接PN，求△PMN面積的最大值及此時點P的坐標；（3）如圖2，在（2）中△PMN面積取得最大值的條件下，將拋物線向左平移，當平移后的拋物線過點P時停止平移，平移后點C的對應點為C'，D為原拋物線上一點，E為直線AC上一點，若以O、C′、D、E為頂點的四邊形為平行四邊形，求符合條件的D點橫坐標．【答案】（1）拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣x+；（2）S△PMN最大值為×＝，點P的坐標為（﹣，）；（3）滿足條件的點D坐標為（，）或（，）或（1，0）或（﹣4，﹣）．【解答】解：（1）當x＝0時，y＝，則C（0，），OC＝，∵A（﹣3，0），∴OA＝3，則tan∠OAC＝＝，∴∠OAC＝30°，又∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°，∴OB＝＝1，則B（1，0），設拋物線的解析式為y＝a（x+3）（x﹣1），將C（0，）代入，得﹣3a＝，解得a＝﹣，∴拋物線的解析式為y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣x+；（2）如圖1，過P作PH∥y軸交AC于H，則∠PHM＝∠ACO＝90°﹣∠OAC＝60°，∵PM⊥AC，∴PM＝PH?sin∠PHM＝PH，∵AC＝2O