上海市奉賢區(qū)2025屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

上海市奉賢區(qū)2025屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.函數(shù)在上的最大值和最小值分別為()A.,-2 B.,-9 C.-2,-9 D.2,-22.已知是的共軛復數(shù),則()A. B. C. D.3.如圖是國家統(tǒng)計局公布的年入境游客(單位:萬人次)的變化情況,則下列結論錯誤的是()A.2014年我國入境游客萬人次最少B.后4年我國入境游客萬人次呈逐漸增加趨勢C.這6年我國入境游客萬人次的中位數(shù)大于13340萬人次D.前3年我國入境游客萬人次數(shù)據(jù)的方差小于后3年我國入境游客萬人次數(shù)據(jù)的方差4.函數(shù)在上單調遞減的充要條件是()A. B. C. D.5.已知復數(shù)滿足,則()A. B. C. D.6.集合,,則()A. B. C. D.7.已知函數(shù),集合,,則()A. B.C. D.8.已知函數(shù),則的最小值為()A. B. C. D.9.金庸先生的武俠小說《射雕英雄傳》第12回中有這樣一段情節(jié),“……洪七公道:肉只五種,但豬羊混咬是一般滋味,獐牛同嚼又是一般滋味,一共有幾般變化,我可算不出了”.現(xiàn)有五種不同的肉,任何兩種(含兩種)以上的肉混合后的滋味都不一樣,則混合后可以組成的所有不同的滋味種數(shù)為()A.20 B.24 C.25 D.2610.已知集合,,若,則實數(shù)的值可以為()A. B. C. D.11.《算數(shù)書》竹簡于上世紀八十年代在湖北省江陵縣張家山出土,這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學典籍.其中記載有求“囷蓋”的術:“置如其周,令相承也.又以高乘之,三十六成一”.該術相當于給出了由圓錐的底面周長與高,計算其體積的近似公式.它實際上是將圓錐體積公式中的圓周率近似取為3.那么近似公式相當于將圓錐體積公式中的圓周率近似取為()A. B. C. D.12.不等式組表示的平面區(qū)域為,則()A., B.,C., D.,二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在平面直角坐標系中,曲線在點處的切線與x軸相交于點A,其中e為自然對數(shù)的底數(shù).若點,的面積為3,則的值是______.14.若,則的展開式中含的項的系數(shù)為_______.15.若實數(shù)滿足不等式組,則的最小值是___16.在中,,,則_________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知,,為正數(shù),且,證明:(1);(2).18.(12分)在國家“大眾創(chuàng)業(yè),萬眾創(chuàng)新”戰(zhàn)略下,某企業(yè)決定加大對某種產(chǎn)品的研發(fā)投入.為了對新研發(fā)的產(chǎn)品進行合理定價,將該產(chǎn)品按事先擬定的價格試銷,得到一組檢測數(shù)據(jù)如表所示:試銷價格(元)產(chǎn)品銷量(件)已知變量且有線性負相關關系,現(xiàn)有甲、乙、丙三位同學通過計算求得回歸直線方程分別為:甲;乙;丙,其中有且僅有一位同學的計算結果是正確的.(1)試判斷誰的計算結果正確?(2)若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與檢測數(shù)據(jù)的誤差不超過,則稱該檢測數(shù)據(jù)是“理想數(shù)據(jù)”,現(xiàn)從檢測數(shù)據(jù)中隨機抽取個,求“理想數(shù)據(jù)”的個數(shù)為的概率.19.(12分)已知函數(shù),其中.(1)函數(shù)在處的切線與直線垂直,求實數(shù)的值;(2)若函數(shù)在定義域上有兩個極值點,且.①求實數(shù)的取值范圍;②求證:.20.(12分)如圖,點是以為直徑的圓上異于、的一點,直角梯形所在平面與圓所在平面垂直,且,.(1)證明:平面;(2)求點到平面的距離.21.(12分)在平面直角坐標系中,已知橢圓的左頂點為,右焦點為,為橢圓上兩點,圓.(1)若軸,且滿足直線與圓相切,求圓的方程;(2)若圓的半徑為,點滿足,求直線被圓截得弦長的最大值.22.(10分)已知a>0,證明:1.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

由函數(shù)解析式中含絕對值,所以去絕對值并畫出函數(shù)圖象,結合圖象即可求得在上的最大值和最小值.【詳解】依題意,,作出函數(shù)的圖象如下所示;由函數(shù)圖像可知,當時,有最大值,當時,有最小值.故選:B.【點睛】本題考查了絕對值函數(shù)圖象的畫法,由函數(shù)圖象求函數(shù)的最值,屬于基礎題.2、A【解析】

先利用復數(shù)的除法運算法則求出的值,再利用共軛復數(shù)的定義求出a+bi,從而確定a,b的值,求出a+b.【詳解】i,∴a+bi=﹣i,∴a=0,b=﹣1,∴a+b=﹣1,故選:A.【點睛】本題主要考查了復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算,考查了共軛復數(shù)的概念,是基礎題.3、D【解析】

ABD可通過統(tǒng)計圖直接分析得出結論,C可通過計算中位數(shù)判斷選項是否正確.【詳解】A.由統(tǒng)計圖可知:2014年入境游客萬人次最少,故正確;B.由統(tǒng)計圖可知:后4年我國入境游客萬人次呈逐漸增加趨勢,故正確;C.入境游客萬人次的中位數(shù)應為與的平均數(shù),大于萬次,故正確;D.由統(tǒng)計圖可知:前年的入境游客萬人次相比于后年的波動更大,所以對應的方差更大,故錯誤.故選:D.【點睛】本題考查統(tǒng)計圖表信息的讀取以及對中位數(shù)和方差的理解,難度較易.處理問題的關鍵是能通過所給統(tǒng)計圖,分析出對應的信息,對學生分析問題的能力有一定要求.4、C【解析】

先求導函數(shù),函數(shù)在上單調遞減則恒成立,對導函數(shù)不等式換元成二次函數(shù),結合二次函數(shù)的性質和圖象,列不等式組求解可得.【詳解】依題意,,令,則,故在上恒成立;結合圖象可知,,解得故.故選:C.【點睛】本題考查求三角函數(shù)單調區(qū)間.求三角函數(shù)單調區(qū)間的兩種方法:(1)代換法:就是將比較復雜的三角函數(shù)含自變量的代數(shù)式整體當作一個角(或),利用基本三角函數(shù)的單調性列不等式求解;(2)圖象法:畫出三角函數(shù)的正、余弦曲線,結合圖象求它的單調區(qū)間.5、A【解析】

根據(jù)復數(shù)的運算法則,可得,然后利用復數(shù)模的概念,可得結果.【詳解】由題可知:由,所以所以故選:A【點睛】本題主要考查復數(shù)的運算,考驗計算,屬基礎題.6、A【解析】

計算,再計算交集得到答案.【詳解】,,故.故選:.【點睛】本題考查了交集運算,屬于簡單題.7、C【解析】

分別求解不等式得到集合,再利用集合的交集定義求解即可.【詳解】,,∴.故選C.【點睛】本題主要考查了集合的基本運算,難度容易.8、C【解析】

利用三角恒等變換化簡三角函數(shù)為標準正弦型三角函數(shù),即可容易求得最小值.【詳解】由于,故其最小值為:.故選:C.【點睛】本題考查利用降冪擴角公式、輔助角公式化簡三角函數(shù),以及求三角函數(shù)的最值,屬綜合基礎題.9、D【解析】

利用組合的意義可得混合后所有不同的滋味種數(shù)為,再利用組合數(shù)的計算公式可得所求的種數(shù).【詳解】混合后可以組成的所有不同的滋味種數(shù)為(種),故選:D.【點睛】本題考查組合的應用,此類問題注意實際問題的合理轉化,本題屬于容易題.10、D【解析】

由題意可得,根據(jù),即可得出,從而求出結果.【詳解】,且,,∴的值可以為.故選:D.【點睛】考查描述法表示集合的定義,以及并集的定義及運算.11、C【解析】

將圓錐的體積用兩種方式表達,即,解出即可.【詳解】設圓錐底面圓的半徑為r,則,又,故,所以,.故選:C.【點睛】本題利用古代數(shù)學問題考查圓錐體積計算的實際應用,考查學生的運算求解能力、創(chuàng)新能力.12、D【解析】

根據(jù)題意,分析不等式組的幾何意義,可得其表示的平面區(qū)域,設,分析的幾何意義,可得的最小值,據(jù)此分析選項即可得答案.【詳解】解:根據(jù)題意,不等式組其表示的平面區(qū)域如圖所示,其中,,

設,則,的幾何意義為直線在軸上的截距的2倍,

由圖可得:當過點時,直線在軸上的截距最大,即,當過點原點時,直線在軸上的截距最小,即,故AB錯誤;

設,則的幾何意義為點與點連線的斜率,由圖可得最大可到無窮大,最小可到無窮小,故C錯誤,D正確;故選:D.【點睛】本題考查本題考查二元一次不等式的性質以及應用,關鍵是對目標函數(shù)幾何意義的認識,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

對求導,再根據(jù)點的坐標可得切線方程,令,可得點橫坐標,由的面積為3,求解即得.【詳解】由題,,切線斜率,則切線方程為,令,解得,又的面積為3,,解得.故答案為:【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的切線,難度不大.14、【解析】

首先根據(jù)定積分的應用求出的值,進一步利用二項式的展開式的應用求出結果.【詳解】,根據(jù)二項式展開式通項:,令,解得,所以含的項的系數(shù).故答案為:【點睛】本題考查定積分,二項式的展開式的應用,主要考查學生的運算求解能力,屬于基礎題.15、-1【解析】作出可行域,如圖:由得,由圖可知當直線經(jīng)過A點時目標函數(shù)取得最小值,A(1,0)所以-1故答案為-116、【解析】

先由題意得:,再利用向量數(shù)量積的幾何意義得,可得結果.【詳解】由知:,則在方向的投影為,由向量數(shù)量積的幾何意義得:,∴故答案為【點睛】本題考查了投影的應用,考查了數(shù)量積的幾何意義及向量的模的運算,屬于基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析;(2)證明見解析.【解析】

(1)利用均值不等式即可求證;(2)利用,結合,即可證明.【詳解】(1)∵,同理有,,∴.(2)∵,∴.同理有,.∴.【點睛】本題考查利用均值不等式證明不等式,涉及的妙用,屬綜合性中檔題.18、(1)乙同學正確;(2).【解析】

(1)根據(jù)變量且有線性負相關關系判斷甲不正確.根據(jù)回歸直線方程過樣本中心點,判斷出乙正確.(2)由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù),計算出誤差,求得“理想數(shù)據(jù)”的個數(shù),由此利用古典概型概率計算公式,求得所求概率.【詳解】(1)已知變量具有線性負相關關系,故甲不正確,,代入兩個回歸方程,驗證乙同學正確,故回歸方程為:(2)由(1)得到的回歸方程,計算估計數(shù)據(jù)如下表:021212由上表可知,“理想數(shù)據(jù)”的個數(shù)為.用列舉法可知,從個不同數(shù)據(jù)里抽出個不同數(shù)據(jù)的方法有種.從符合條件的個不同數(shù)據(jù)中抽出個,還要在不符合條件的個不同數(shù)據(jù)中抽出個的方法有種.故所求概率為【點睛】本小題主要考查回歸直線方程的判斷,考查古典概型概率計算,考查數(shù)據(jù)處理能力,屬于中檔題.19、(1);(2)①;②詳見解析.【解析】

(1)由函數(shù)在處的切線與直線垂直,即可得,對其求導并表示,代入上述方程即可解得答案;(2)①已知要求等價于在上有兩個根,且,即在上有兩個不相等的根,由二次函數(shù)的圖象與性質構建不等式組,解得答案,最后分析此時單調性推及極值說明即可;②由①可知,是方程的兩個不等的實根,由韋達定理可表達根與系數(shù)的關系,進而用含的式子表示,令,對求導分析單調性,即可知道存在常數(shù)使在上單調遞減,在上單調遞增,進而求最值證明不等式成立.【詳解】解:(1)依題意,,,故,所以,據(jù)題意可知,,解得.所以實數(shù)的值為.(2)①因為函數(shù)在定義域上有兩個極值點,且,所以在上有兩個根,且,即在上有兩個不相等的根.所以解得.當時,若或,,,函數(shù)在和上單調遞增;若,,,函數(shù)在上單調遞減,故函數(shù)在上有兩個極值點,且.所以,實數(shù)的取值范圍是.②由①可知,是方程的兩個不等的實根,所以其中.故,令,其中.故,令,,在上單調遞增.由于,,所以存在常數(shù),使得,即,,且當時,,在上單調遞減;當時,,在上單調遞增,所以當時,,又,,所以,即,故得證.【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義、兩直線的位置關系、由極值點個數(shù)求參數(shù)范圍問題,還考查了利用導數(shù)證明不等式成立,屬于難題.20、(1)見解析;(2)【解析】

(1)取的中點,證明,則平面平面,則可證平面.(2)利用,是平面的高,容易求.,再求,則點到平面的距離可求.【詳解】解:(1)如圖:取的中點,連接、.在中,是的中點,是的中點,平面平面,故平面在直角梯形中,,且,∴四邊形是平行四邊形,,同理平面又,故平面平面,又平面平面.(2)是圓的直徑,點是圓上異于、的一點,又∵平面平面,平面平面平面,可得是三棱錐的高線.在直角梯形中,.設到平面的距離為,則,即由已知得,由余弦定理易知:,則解得,即點到平面的距離為故答案為:.【點睛】考查線面平行的判定和利用等體積法求距離的方法,是中檔題.21、(1)(2)【解析】試題分析:(1)確定圓的方程,就是確定半徑的值,因為直線與圓相切,所以先確定直線方程,即確定點坐標:因為軸,所以,根據(jù)對稱性,可取,則直線的方程為,根據(jù)圓心到切線距離等于半徑得(2)根據(jù)垂徑定理,求直線被圓截得弦長的最大值,就是求圓心到直線的距離的最小值.設直線的方程為,則圓心到直線的距離,利用得,化簡得,利用直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組并結合韋達定理得,因此,當時,取最小值,取最大值為.試題解析:解:(1)因為橢圓的方程為,所以,.因為軸,所以,而直線與圓相切,根據(jù)對稱性,可取,則直線的方程為,即.由圓與直線相切,得,所以圓

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