中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)-解析版

專題02二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)

★知識(shí)點(diǎn)1:v=ax?的圖像和性質(zhì)

a的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)

x>。時(shí)，y隨x的增大而增大；x<。時(shí)，y隨X的增大而減

a>0向上（0,0）y軸

??；x=0時(shí)，y有最小值0.

x>0時(shí)，y隨x的增大而減小；x<0時(shí)，y隨x的增大而增

a<0向下（0.0）y軸

大；x=。時(shí)，y有最大值0.

典例分析

【例1】（2023秋?海南省直轄縣級(jí)單位?九年級(jí)統(tǒng)考期末）關(guān)于拋物線夕=-3/,下列說法

錯(cuò)誤的是（）

A.圖象關(guān)于直線x=0對(duì)稱B.拋物線開口向下

C.?隨著x的增大而減小D.圖象的頂點(diǎn)為原點(diǎn)

【答案】C

【分析】由拋物線解析式可得到開口方向、對(duì)稱軸、增減性、頂點(diǎn)坐標(biāo)，可求得答案.

【詳解】解：?；y=-3x2,

???拋物線開口向下，對(duì)稱軸為了軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（o,o）,

???A、B、D選項(xiàng)說法正確，

a=3>0,對(duì)稱軸為x=0,

.?.當(dāng)x>0時(shí)，了隨x的增大而減小，

??.C選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【例2】（2022秋?天津?qū)氃g?九年級(jí)?？计谥校┮阎鐖D各拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式分別

為①y二次:②^=<&2③y=bx2④y=ax?則比較0、△、。、”的大小為（）

A.c>d>a>bB.d>c>a>bC.c<d<b<aD.d<c<b<a

【答案】A

【分析】根據(jù)開口判斷。、b、c、d與0的關(guān)系，在根據(jù)張口的大小關(guān)系判斷a、b、c、d絕

對(duì)值的大小即可得到答案.

【詳解】解：由圖像開口方向可得，

c>0,d>0,b<0,a<0,

根據(jù)張口大小可得，

|c|>\d\,|Z)|>\a\,

：-c>d>a>b,

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的性質(zhì)：開口向上，”。開口向下，|。|的絕對(duì)值越大張口越

小.

【即學(xué)即練】

1.Q023?浙江?九年級(jí)假期作業(yè))已知二次函數(shù)了=(2-0%1-3有最大值，則。的值為()

A.V5B.±V5C.-V5D.0

【答案】A

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義條件列出方程求解，再根據(jù)二次函數(shù)了=(2-a)x『-3有最大值

就說明圖象開口向下，2-a<0,分別解得即可.

【詳解】解：由二次函數(shù)定義可知/_3=2,

解得a=±V5,

???二次函數(shù)丁=(2-有最大值，

???2-Q<0,

a>2,

a—Vs-

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的定義及二次函數(shù)的最值，熟知二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

2.（2023?全國?九年級(jí)假期作業(yè)）對(duì)于函數(shù)y=3-，下列說法正確的是（）

A.y的值總為正B.圖像開口向下C.圖像頂點(diǎn)在原點(diǎn)D.y隨x的增大而增大

【答案】C

【分析】由二次函數(shù)解析式可得拋物線開口方向，頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求解.

【詳解】解：=

二拋物線開口向上，頂點(diǎn)在原點(diǎn)上，了20,當(dāng)xVO時(shí)，y隨x增大而減小，當(dāng)x>0時(shí)，y

隨x增大而增大，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.

★知識(shí)點(diǎn)2:y=ax2+c的圖像和性質(zhì)

a的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)

x>。時(shí)，y隨x的增大而增大；x<0時(shí)，y隨x的增大而減

a>0向上（0,C）y軸

小；x=。時(shí)，y有最小值c.

x>。時(shí)，y隨x的增大而減?。粁<0時(shí)，y隨x的增大而增

a<0向下（°，Jy軸

大；x=0時(shí)，y有最大值c.

典例分析

【例1】（2023秋?浙江?九年級(jí)專題練習(xí)）關(guān)于二次函數(shù)y=-2x2+l的圖象，下列說法中，

正確的是（）.

A.對(duì)稱軸為直線x=lB.頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-2,1）

C.可以由二次函數(shù)y=-2x2的圖象向左平移1個(gè)單位得到

D.在y軸的左側(cè)，圖象上升，在y軸的右側(cè)，圖象下降

【答案】D

【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】解：A.二次函數(shù)y=-2x2+l的對(duì)稱軸為直線x=0,故A選項(xiàng)不符合題意；

B.二次函數(shù)y=-2x2+l的頂點(diǎn)坐標(biāo)（0,1）,故B選項(xiàng)不符合題意；

C.二次函數(shù)y=-2x2+l的圖像可以由二次函數(shù)了=-2/的圖像向上平移1個(gè)單位得到,

故C選項(xiàng)不符合題意；

D.二次函數(shù)了=-2/+1的圖像開口向下，在對(duì)稱軸左側(cè)，圖像上升，在對(duì)稱軸右側(cè)，圖

像下降，故D選項(xiàng)符合題意.

故答案為：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，理解二次函數(shù)圖象與解析式系數(shù)的關(guān)系是解

答本題的關(guān)鍵.

【例2】（2022秋?安徽滁州?九年級(jí)?？计谥校?duì)于二次函數(shù)昨3+3,下列說法，不正

確的是（）

A.拋物線的開口向下B.當(dāng)x<0時(shí)，歹隨x的增大而減小

C.圖象是軸對(duì)稱圖形D.當(dāng)x=0時(shí)，了有最大值3

【答案】B

【分析】根據(jù)二次函數(shù)二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)可判斷A；利用對(duì)稱性左側(cè)的增減性可判斷B；利

用二次函數(shù)的對(duì)稱軸可判斷C,利用二次函數(shù)開口向下，函數(shù)有最大值可判斷D.

【詳解】解A、?.?二次函數(shù)”一+3中，。=-1<0,??.此拋物線開口向下，故本選項(xiàng)正確,

不符合題意；

B、?.?拋物線的對(duì)稱軸x=-3=0,.?.當(dāng)x<0時(shí)函數(shù)圖象在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增

2a

大，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；

C、二次函數(shù)的圖象是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)正確，不符合題意；

D、,?,拋物線開口向下，,此函數(shù)有最大值，當(dāng)x=0時(shí)，y有最大值是3,故本選項(xiàng)正確，不

符合題意.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，開口方向，增減性，對(duì)稱軸，最值，掌握二次函數(shù)的性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

即學(xué)即練

1.（2022秋?廣東廣州?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）己知（-1，%）,（2,%），（-3,%）都在函數(shù)

y=/+c圖象上，貝I]%，%,%的大小關(guān)系為（）.

A.必<%<%B.y2cMC.<必D.必<%<力

【答案】A

【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，把三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入二次函數(shù)解析式，計(jì)

算出M，為，%的值，然后比較它們的大小.

【詳解】解：當(dāng)X=-1時(shí)，%=/+c=l+c；

2

當(dāng)x=2時(shí)，y2=X+C=4+C；

2

當(dāng)x=-3時(shí)，y3=x+c=9+c,

所以必<%<%.

故選：A.

【點(diǎn)睛】此題考查二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題關(guān)鍵在于把坐標(biāo)代入解析式.

2.（2023?浙江?九年級(jí)假期作業(yè)）關(guān)于二次函數(shù)^=-1工2-1的圖像，下列說法錯(cuò)誤的是

（）

A.拋物線開口向下B.對(duì)稱軸為直線x=0C.頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0,-1）

D.當(dāng)x<0時(shí)，了隨X的增大而減小，當(dāng)x>0時(shí)，y隨X的增大而增大

【答案】D

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)依次判斷.

【詳解】解：

拋物線開口向下，對(duì)稱軸為直線x=0,頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0,-1）,

當(dāng)x<0時(shí)，了隨x的增大而增大，當(dāng)x>0時(shí)，了隨x的增大而減小，

:.A,B,C正確，D錯(cuò)誤，

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)>=a/+c的性質(zhì)，熟記二次函數(shù)y=a/+c的性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

★知識(shí)點(diǎn)3:y=a（x-h）2的圖像和性質(zhì)

開口方頂點(diǎn)坐對(duì)稱

a的符號(hào)性質(zhì)

向標(biāo)軸

X>h時(shí)，y隨X的增大而增大；X<h時(shí)，y隨X的增

a>0向上(h,0)X=h

大而減??；x=h時(shí)，y有最小值0.

x>h時(shí)，y隨x的增大而減小；x<h時(shí)，y隨x的增

a<0向下(h,o)X=h

大而增大；x=h時(shí)，y有最大值0.

典例分析

【例1】（2023?浙江?九年級(jí)假期作業(yè)）二次函數(shù)y=-2（x-3）2的圖像的對(duì)稱軸是（）

A.直線x=-2B.直線x=-3C.直線x=3D.直線x=l

【答案】C

【分析】根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)式可直線得出拋物線的對(duì)稱軸.

【詳解】解：???y=-2（x-3）2,

???拋物線對(duì)稱軸為直線x=3.

故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的頂點(diǎn)式，掌握拋物線頂點(diǎn)式方程是解題的關(guān)鍵，即在

y=+左中其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（瓦k）.

【例2】.（2023?浙江?九年級(jí)假期作業(yè)）設(shè)函數(shù)9=卜-°了，％=卜-生），

2%，力的圖象分別交于點(diǎn)/他心），B（b,c）,

y3=（X-6Z3）.直線x=b的圖象與函數(shù)乂，2

)

A.若6＜a＜。2＜。3,貝1B.若為＜6＜。2＜。3,貝！

C.若為＜。2＜6＜。3,則D.若則

【答案】D

【分析】按照題意，畫出滿足題意的圖象，根據(jù)直線X=b與二次函數(shù)圖象的交點(diǎn)進(jìn)行判斷

即可.

【詳解】解：如圖所示，

A.由圖象可知，若6＜見＜。2＜。3,當(dāng)X=b時(shí)，cx＜c2＜c3,故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

B.由圖象可知，若為＜6＜。2＜。3,,當(dāng)X=b時(shí)，不一定成立，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不

符合題意；

C.由圖象可知，若a1＜。2＜b＜ci3,當(dāng)x=b時(shí)，。3＜。2＜。1不一定成立，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符

合題意；

D.由圖象可知，若為＜見＜見＜6,當(dāng)X=b時(shí)，故選項(xiàng)正確，符合題意；

故選：D

【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

即學(xué)即練

1.(2023秋?安徽六安?九年級(jí)校考期末)將拋物線y=(x+l)2向右平移3個(gè)單位，再向上

平移1個(gè)單位，則平移后的拋物線的解析式是()

A.y=(x+4)2+lB.y=(x+4)2-lC.=(x-2)2-ID.y=(x-2)2+l

【答案】D

【分析】由拋物線平移不改變二次項(xiàng)系數(shù)。的值，根據(jù)點(diǎn)的平移規(guī)律“左移減，右移加，上

移加，下移減”可知移動(dòng)后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再由頂點(diǎn)式可求移動(dòng)后的函數(shù)表達(dá)式.

【詳解】解y=(x+iy的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(TO),把點(diǎn)(TO)向右平移3個(gè)單位，再向上平移1

個(gè)單位得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,1),

所以平移后的拋物線的解析式是y=(X-2)2+1.

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)圖象的平移與幾何變換，利用拋物線解析式的變化規(guī)律：“左

移減，右移加，上移加，下移減”是解題的關(guān)鍵.

2.(2023?浙江?九年級(jí)假期作業(yè))已知某二次函數(shù)，當(dāng)x<l時(shí)，y隨x的增大而增大當(dāng)x>l

時(shí)，y隨x的增大而減小，則該二次函數(shù)的解析式可以是()

A.y=2(x+l『B.y=C.y=-2(x+l)2D.y=-2(x-l)2

【答案】D

【分析】先利用二次函數(shù)的性質(zhì)得到拋物線開口向下，對(duì)稱軸為直線x=l,然后對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)

行判斷.

【詳解】解：,??當(dāng)X<1時(shí)，y隨X的增大而增大；當(dāng)x>l時(shí)，y隨X的增大而減小，

拋物線開口向下，對(duì)稱軸為直線x=l,

.?.了=-2(x-符合條件，

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)題意得到拋物線開口向下，對(duì)稱軸為直線x=l是

解題的關(guān)鍵.

★知識(shí)點(diǎn)4y=a(x-h/+k的圖像和性質(zhì)

開口頂點(diǎn)坐對(duì)稱

a的符號(hào)性質(zhì)

方向標(biāo)軸

X>h時(shí)，y隨X的增大而增大；X<h時(shí)，y隨X的

a>0向上(h,kX=h

增大而減??；x=h時(shí)，y有最小值k.

x>h時(shí)，y隨x的增大而減??；x<h時(shí)，y隨x的

a<0向下(h,kX=h

增大而增大；x=h時(shí)，y有最大值k.

【例1】（2023秋?湖南長沙?九年級(jí)統(tǒng)考期末）關(guān)于拋物線y=2（x-l）2+3的特征，下列說

法錯(cuò)誤的是（）

A.開口向上B.對(duì)稱軸為直線x=l

C.頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1,3）D.當(dāng)x<l時(shí)，V隨X的增大而增大

【答案】D

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得拋物線開口向上，對(duì)稱軸為直線x=l,頂點(diǎn)坐標(biāo)為

（1,3）,逐項(xiàng)分析判斷即可求解.

【詳解】解關(guān)于拋物線>=2（x-l『+3的特征，拋物線開口向上，對(duì)稱軸為直線x=l,頂

點(diǎn)坐標(biāo)為（,3）,

??.A,B,C選項(xiàng)正確，

當(dāng)x<l時(shí)，了隨x的增大而減小，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【例2】（2023?安徽?九年級(jí)專題練習(xí)）二次函數(shù)y=a（x+機(jī)）2-〃的圖象如圖所示，則一次

函數(shù)了=加工+〃的圖象經(jīng)過（）

A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限

C.第二、三、四象限D(zhuǎn).第一、三、四象限

【答案】B

【分析】由二次函數(shù)解析式表示出頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)圖形得到頂點(diǎn)在第四象限，求出與〃

的正負(fù)，即可作出判斷.

【詳解】解：由題意得拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-辦-力），

由函數(shù)圖象得拋物線的頂點(diǎn)在第四象限，

[—m>0

,?jf<0，

[m<0

>0，

???一次函數(shù)y=〃zx+〃的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，

故選B.

【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握二次函數(shù)及一次函數(shù)

的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

即學(xué)即練

1.（2023?陜西?統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=M+加工+加之一加（加為

常數(shù)）的圖像經(jīng)過點(diǎn)（0,6）,其對(duì)稱軸在V軸左側(cè)，則該二次函數(shù)有（）

A.最大值5B.最大值與C.最小值5D.最小值?

44

【答案】D

【分析】將（。，6）代入二次函數(shù)解析式，進(jìn)而得出機(jī)的值，再利用對(duì)稱軸在了軸左側(cè)，得出

m=3,再利用二次函數(shù)的頂點(diǎn)式即可求出二次函數(shù)最值.

【詳解】解：將（0,6）代入二次函數(shù)解析式了=/+加x+得：6=m2-3m,解得：

加1=3,m2=-2,

bvvi

??,二次函數(shù)歹=，+加工+加2一加,對(duì)稱軸在歹軸左側(cè)，即1=-----=-----<0,

2a2

m>0,

m=3,

._223丫15

,?y—x+3x+6—xH—,

I2J4

.??當(dāng)％=-彳2時(shí)，二次函數(shù)有最小值，最小值為135，

34

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)的最值，正確得出加的值是解題關(guān)

鍵.

2.(2023秋?遼寧葫蘆島?九年級(jí)統(tǒng)考期末)拋物線了=3(尤-2)2-1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為()

A.(2,-1)B.(-2,-1)C.(-2,1)D.(-1,2)

【答案】A

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式解析式的特點(diǎn)即可求解.

【詳解】解：,??拋物線>=a(x-//)2+左的頂點(diǎn)坐標(biāo)是("k),

???拋物線y=3(x-2)2-1的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(2--1),

故選:A.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的頂點(diǎn)式解析式，對(duì)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)的理解是解題的關(guān)

鍵.

★知識(shí)點(diǎn)5二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像和性質(zhì)

用配方法可化成：y=。(冗一九)2+九的形式，其中九=一4，fc=4ac-b2

二次函數(shù)/二司臣+民+0(a豐0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-~,對(duì)稱軸直線x=-

2a4a

上~,二次函數(shù)y=a*+bA+c(a手0)的圖象具有如下性質(zhì)：

2a

①當(dāng)a>0時(shí)，拋物線y=axL+bx^c(a#=0)的開口向上，x<-上■時(shí)，y隨x的增大而減小;

2a

X>-互時(shí)，y隨X的增大而增大；x=-互時(shí)，y取得最小值4ac-b,即頂點(diǎn)是拋物線

2a2a4a

的最低點(diǎn).

②當(dāng)a<0時(shí)，拋物線y=a^+bx^c(a*0)的開口向下，x<-上"時(shí)，y隨x的增大而增大;

2a

X>-互時(shí)，y隨X的增大而減?。粁=--L時(shí)，V取得最大值4ac-b,即頂點(diǎn)是拋物線

2a2a4a

的最高點(diǎn).

③拋物線y=a*+b/c(5#=0)的圖象可由拋物線y=a上的圖象向右或向左平移|-上二|個(gè)

2a

單位，再向上或向下平移個(gè)單位得到的.

4a

典例分析

【例1】(2023?湖南長沙?長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學(xué)校?？既?關(guān)于二次函數(shù)

y=*+2x+2的最值，說法正確的是()

A.最小值為1B.最小值為2C.最大值為3D.最大值為-1

【答案】C

【分析】將二次函數(shù)解析式一般式化為頂點(diǎn)式即〉=-/+2X+2=-(X-1)2+3,再根據(jù)二次

函數(shù)的性質(zhì)即可解答.

【詳解】解：???二次函數(shù)的解析式為》=-^+2無+2,

y=—%2+2無+2=—(x-1)+3,

a--1<0,

.-.y=-x2+2x+2有最大值為3；

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

【例2】(2021?浙江杭州?校考一模)已知函數(shù)了='])：二若使>=后成立的x值

[(x—5)-l(x>3)

恰好有三個(gè)，則左的值為()

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

-l(x<3)

【分析】首先在坐標(biāo)系中畫出已知函數(shù)>=2,的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法

(x-5)-l(x>3)

即可找到使y=k成立的x值恰好有三個(gè)的左值.

(x-1)2-1(%<3)

【詳解】解：函數(shù)夕=)；2〉的圖象如圖：

根據(jù)圖象知道當(dāng)y=3時(shí)，對(duì)應(yīng)成立的x值恰好有三個(gè)，

■?■k=3.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了利用二次函數(shù)的圖象解決交點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是把解方程的問題

轉(zhuǎn)換為根據(jù)函數(shù)圖象找交點(diǎn)的問題.

即學(xué)即練

1.（2023?河南駐馬店?統(tǒng)考一模）下列關(guān)于二次函數(shù)>=-3無2+3》+6的圖象和性質(zhì)的敘述

中，正確的是（）

A.點(diǎn)（-1,4）在函數(shù)圖象上B.開口方向向上

C.對(duì)稱軸是直線x=lD.當(dāng)尤>1時(shí)，了隨x的增大而減小

【答案】D

【分析】將x=-l代入解析式，得出（T，。）在函數(shù)圖象上，即可判斷A選項(xiàng)，根據(jù)

?=-3<0,可得拋物線開口向下，即可判斷B選項(xiàng)，根據(jù)對(duì)稱軸公式可得拋物線的對(duì)稱軸

為x=1,即可判斷C,D選項(xiàng).

2

【詳解】解：A.當(dāng)x=-l時(shí)，y=-3-3+6=0,則點(diǎn)（-1,0）不在函數(shù)圖象上，故該選項(xiàng)不

正確，不符合題意；

B.,.,a=-3<0,.?.拋物線開口方向向下，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

,b31

C.???了=-3尤2+3無+6的對(duì)稱軸是直線無=-五=-K：河=5，故該選項(xiàng)不正確，不符合

題意；

D.???拋物線對(duì)稱軸為直線x=1,開口向下，則當(dāng)x>l時(shí)，》隨x的增大而減小，故該選

項(xiàng)正確，符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.（2023?全國?九年級(jí)專題練習(xí)）已知二次函數(shù)y=-2/+fcc+c（其中6<0,c為常數(shù)），

則該函數(shù)的圖象可能為（）

【答案】D

【分析】根據(jù)。=-2<0,b<0,即可得出拋物線開口向下，對(duì)稱軸再y軸的左側(cè)，據(jù)此可

得出答案.

【詳解】解：=-2<0,b<0,

bb

拋物線開口向下，對(duì)稱軸苫=-五=一兩罰<°，

選項(xiàng)A、B、C不符合題意，D符合題意

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)圖象與三個(gè)系數(shù)之間的關(guān)系是

解題的關(guān)鍵.

★知識(shí)點(diǎn)6:二次函數(shù)的圖像與各系數(shù)的符號(hào)關(guān)系

字母的符號(hào)圖象的特征

a>0開口向上

a

水0開口向下

b=0對(duì)稱軸為卜軸

b36>0（a與6同號(hào)）對(duì)稱軸在V軸左側(cè)

石灰0（a與6異號(hào)）對(duì)稱軸在JZ軸右側(cè)

經(jīng)過原點(diǎn)

cc>0與JZ軸正半軸相交

c<0與P軸負(fù)半軸相交

N-4石°二0與X軸有唯一交點(diǎn)（頂點(diǎn)）

"-4ac按-4ac>0與X軸有兩個(gè)交點(diǎn)

5-4ac<0與X軸沒有交點(diǎn)

典例分析

［例1］Q022秋?吉林松原?九年級(jí)校聯(lián)考期中）二次函數(shù)、=-2/+bx+c的圖象如圖所示,

下列說法正確的是（）

A.b<0,c<0B.b>0,c>0C.6>0,c<0D.b<0,c>0

【答案】D

【分析】由拋物線對(duì)稱軸位置，拋物線與y軸交點(diǎn)位置可判斷6,c的符號(hào).

［詳解】???拋物線對(duì)稱軸在7軸左側(cè)，

???拋物線與y軸交點(diǎn)在X軸上方，

??.當(dāng)x=0時(shí)，y=c>Of

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，注意數(shù)形

結(jié)合思想的運(yùn)用.

【例2】（2022秋?山西呂梁?九年級(jí)校考階段練習(xí)）已知二次函數(shù)了="2+法+。（。20）的

圖象如圖所示，該函數(shù)對(duì)稱軸為x=l,且經(jīng)過點(diǎn)（-1,0）下列結(jié)論中不正確的是（）

A.abc>0B.函數(shù)最大值為a+6+cC.當(dāng)-1W3時(shí)，y>QD.4a-2b+c<0.

【答案】A

【分析】根據(jù)二次函數(shù)開口向下，與y軸交于正半軸，得到。<0,oO,再由二次函數(shù)對(duì)

稱軸為直線x=l,得到6=-2a>0,由此即可判斷①；二次函數(shù)開口向下，對(duì)稱軸為直線

x=l,則當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)有最大值，最大值為a+b+c,由此即可判斷②；求出二次函數(shù)

與X軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（3,0）,根據(jù)函數(shù)圖象即可判斷③；根據(jù)當(dāng)x=-2時(shí)，y<0,即

可判斷④.

【詳解】解：???二次函數(shù)開口向下，與夕軸交于正半軸，

???Q<0,C>0,

???二次函數(shù)對(duì)稱軸為直線％=1,

._±1

一2a=，

b=-2a>0,

故A結(jié)論錯(cuò)誤，符合題意；

???二次函數(shù)開口向下，對(duì)稱軸為直線x=l,

??.當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)有最大值，最大值為Q+6+C,故B結(jié)論正確，不符合題意；

???二次函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)（T,。），

???二次函數(shù)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（3,0）,

.?.當(dāng)TVxW3時(shí)，^>0,故C結(jié)論正確，不符合題意；

,?,當(dāng)工二一2時(shí)，歹<0,

???4Q-2b+c<0,故D結(jié)論正確，不符合題意；

故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)與不等式之間的關(guān)系，二次

函數(shù)的性質(zhì)等等，熟知二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

即學(xué)即練

1.（2020秋?廣東廣州?九年級(jí)廣州市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知二次函數(shù)

y=ax2+bx+c（a/0）的圖象如圖所示，有下列結(jié)論：

①”，b同號(hào)；②當(dāng)x=l和x=3時(shí)，函數(shù)值相等；③4c=56；④-l<x<5時(shí)，y<0.

其中正確的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根據(jù)拋物線開口向上，得到。>0,再由拋物線對(duì)稱軸為直線x=2,可得當(dāng)x=l和

x=3時(shí)，函數(shù)值相等，b=-4a<0,由此可判斷①②；根據(jù)當(dāng)x=-l時(shí)，y=0,可得

c=5b,即可判斷③；求出當(dāng)x=5時(shí)，y=0,即可判斷④.

【詳解】解：???拋物線開口向上，

■■.a>Q,

???拋物線對(duì)稱軸為直線x=2,

當(dāng)x=l和x=3時(shí)，函數(shù)值相等，故②正確；

2a

:'b=-4a<0,

■■-a,6異號(hào)，故①錯(cuò)誤；

?.?當(dāng)x=-l時(shí)，y=o,

■■-a-b+c-Q,

-4b-b+c=O,

:.c=5b,故③錯(cuò)誤；

??,拋物線對(duì)稱軸為直線x=2,當(dāng)x=-l時(shí)，y=0,

二當(dāng)x=5時(shí)，y=0,

."l<x<5時(shí)，y<0,故④正確.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的對(duì)稱軸，二次函數(shù)與不等

式的關(guān)系等等，熟知二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

2.（2023?貴州?統(tǒng)考中考真題）已知，二次數(shù)了="無2+云+。的圖象如圖所示，則點(diǎn)尸（。力）

所在的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【分析】首先根據(jù)二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)判斷。和6的符號(hào)，從而得出點(diǎn)尸（。力）所在象

限.

【詳解】解：由圖可知二次函數(shù)的圖象開口向上，對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，

a>0,----->0,

2a

b<0,

???尸（。,6）在第四象限,

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，以及判斷點(diǎn)所在象限，解題的關(guān)鍵是根據(jù)

二次函數(shù)的圖象判斷出。和方的符號(hào).

★知識(shí)點(diǎn)7:一次函數(shù)與二次函數(shù)圖像的綜合判斷

典例分析

【例1】.2023秋?全國?九年級(jí)專題練習(xí)）下列圖象中，當(dāng)仍>0時(shí)，函數(shù)1一與了=辦+6

【分析】分別根據(jù)四個(gè)選項(xiàng)中一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象判斷出。和6的正負(fù)，然后通過比

較求解即可.

【詳解】解：A、對(duì)于直線〉=辦+6,得。>0,6<0,與〃6>0矛盾，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、由拋物線y=a/開口向上得到。>0,而由直線>=辦+6經(jīng)過第二、四象限得到a<0,

所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、由拋物線開口向下得到a<0,而由直線V=辦+6經(jīng)過第一、三象限得到a>0,

所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、由拋物線>=如2開口向下得到a<0,則直線y=辦+6經(jīng)過第二、四象限，由于浦>0,

則6<0,所以直線與y軸的交點(diǎn)在x軸下方，所以D選項(xiàng)正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖像和一次函數(shù)圖像的性質(zhì)，掌握函數(shù)關(guān)系式的系數(shù)與圖

像的位置之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【例2】（2023?安徽?九年級(jí)專題練習(xí)）已知二次函數(shù)0）和一次函數(shù)

y=6x+c（6w0）的圖象如圖所示，則函數(shù)了="2+法-。的圖象可能是（）

【答案】D

【分析】根據(jù)題干中的函數(shù)圖象，可知。＞0）＜0,。＞0,然后即可得到函數(shù)＞=加+云-。

的圖象的開口方向，對(duì)稱軸所在的位置和與y軸的交點(diǎn)位置，從而可以判斷哪個(gè)選項(xiàng)符合題

【詳解】解：由圖象得，

二次函數(shù)）="2（小0）圖象開口向上，

二二次項(xiàng)系數(shù)。＞0,

一次函數(shù)y=6x+c（6w0）的圖象過第一、二、四象限，

6＜0,c＞0,

---＞0,—c＜0

2a

函數(shù)＞=辦2+區(qū)-。的圖象開口向上，對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，與y軸交于負(fù)半軸，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象、一次函數(shù)的圖象，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，判斷

。、6、c的符號(hào)，利用一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)解答.

即學(xué)即練

1.2023秋?浙江?九年級(jí)專題練習(xí)）同一坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=（x-a）2與一次函數(shù)＞=0+◎

的圖象可能是（）

【答案】D

【分析】可先根據(jù)一次函數(shù)的圖象判斷4,6的符號(hào)，再判斷二次函數(shù)圖象與實(shí)際是否相符,

判斷正誤.

【詳解】解：A、由一次函數(shù)>=〃+◎的圖象可得：兩個(gè)。的符號(hào)不一致，故錯(cuò)誤；

B、由一次函數(shù)V=。+"的圖象可得：a<0,此時(shí)二次函數(shù)y=（x-a）?的頂點(diǎn)（。,0）,a>0,

矛盾，故錯(cuò)誤；

C、由一次函數(shù)了=?+◎的圖象可得：a<0,由其與y軸的交點(diǎn)可知。>0,矛盾，故錯(cuò)誤；

D、由一次函數(shù)>+"的圖象可得：a>0,此時(shí)二次函數(shù)y=（x-a）2的頂點(diǎn)（。,0）,

a>0,故正確；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象和一次函數(shù)的圖象，應(yīng)該熟記一次函數(shù)在不同情況下所

在的象限，以及熟練掌握二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)：開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)等.

2.（2022秋?安徽銅陵?九年級(jí)統(tǒng)考期末）一次函數(shù)y=cx+6與二次函數(shù)'="2+反+。在

【答案】B

【分析】根據(jù)一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)，分析解析式中的仇。的符合，即可求解.

【詳解】解：A.一次函數(shù)^=<^+6中c>0,6>0,二次函數(shù)ysf+bx+c中，

a>0,b<0,c>0,矛盾，不合題意；

B.一次函數(shù)了=cx+6中c>0,b<0,二次函數(shù)了=辦2+法+。中，a>0,b<Q,c>0,符合題

忌；

C.一次函數(shù)了=。*+6中c>0,Z?>0,二次函數(shù)y=ax2+Z?x+c中，a<Q,b>0,c<0,矛盾，

不合題意；

D.一次函數(shù)卜=，苫+6中c>0,6>0,二次函數(shù)y=辦2+樂+。中，a<0,b<Q,c>0,矛盾，

不合題意；

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.

★知識(shí)點(diǎn)8:反比例函數(shù)與二次函數(shù)圖像的綜合判斷

典例分析

【例1】（2023?山東東營?統(tǒng)考二模）二次函數(shù)>=辦2+*+。（。*0）的圖象如圖所示，

則一次函數(shù)>=依-6（。*0）與反比例函數(shù)_y=￡（cr0）在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖

x

【答案】A

【分析】由二次函數(shù)的圖象可得：a>0,b>0,c<0,可得一次函數(shù)y=的圖象經(jīng)過

一，三，四象限，>=￡的圖象在二，四象限，從而可得答案.

x

【詳解】解：由二次函數(shù)的圖象可得：a>Q,b>Q,c<0,

???一次函數(shù)P=^-6的圖象經(jīng)過一，三，四象限，

>=￡的圖象在二，四象限，

x

??.B,C,D不符合題意，A符合題意；

故選A

【點(diǎn)睛】本題考查的是由二次函數(shù)的圖象判斷各項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖

象，熟記一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

【例2】（2023?遼寧朝陽??？家荒＃┒魏瘮?shù)廣分+云+c的圖象如圖所示，則反比例函

數(shù)〉=竺與一次函數(shù)）=-◎+二在同一坐標(biāo)系內(nèi)的大致圖象是（）

x2a

【答案】A

【分析】首先利用二次函數(shù)圖象得出。，從c的取值范圍，進(jìn)而結(jié)合反比例函數(shù)以及一次函

數(shù)的性質(zhì)得出答案.

【詳解】解：由二次函數(shù)開口向上可得：a>0,

對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，故a,6同號(hào)，貝!Jb>0,

與V軸的交點(diǎn)在原點(diǎn)下方，貝h<0，

*'?uc<0，—a<0,—>0,

2a

故反比例函數(shù)>=上的圖象分布在第二、四象限，

x

一次函數(shù)丁=-"+二的圖象經(jīng)過第一、二、四象限.

2a

觀察四個(gè)選項(xiàng)，只有選項(xiàng)A符合題意，

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖象，正確得出a,b,c的取

值范圍是解題的關(guān)鍵.

即學(xué)即練

k

1.（2023?貴州銅仁?校考一模）函數(shù)》=—與左=0）在同一直角坐標(biāo)系中的圖象大

y

Ox

【答案】A

【分析】根據(jù)左<0,k>0,結(jié)合兩個(gè)函數(shù)的圖象及其性質(zhì)分類討論.

【詳解】解：分兩種情況討論：

k

①當(dāng)％<0時(shí)，反比例函數(shù)V=—,在二、四象限，而二次函數(shù)了=息2-無開口向下，與丁軸

交點(diǎn)在原點(diǎn)上方，故選項(xiàng)B、C、D都不符合題意，選項(xiàng)A符合題意；

k

②當(dāng)先>0時(shí)，反比例函數(shù)y=—,在一、三象限，而二次函數(shù)》=近2-左開口向上，與y軸

x

交點(diǎn)在原點(diǎn)下方，故選項(xiàng)A、B、C、D都不符合題意，

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)及反比例函數(shù)和圖象，解決此類問題步驟一般為：（1）

先根據(jù)圖象的特點(diǎn)判斷左取值是否矛盾；（2）根據(jù)二次函數(shù)圖象判斷拋物線與夕軸的交點(diǎn)

是否符合要求.

2.（2022秋?新疆昌吉?九年級(jí)?？计谀┒魏瘮?shù)了="2+加+。的圖象如圖，反比例函數(shù)

了=區(qū)與正比例函數(shù)了=加在同一坐標(biāo)系內(nèi)的大致圖象是（）.

【答案】c

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的開口方向，對(duì)稱軸，可得。、6的值，根據(jù)。、6的值，可得相應(yīng)

的函數(shù)圖象.

【詳解】

解：由y=辦2+6x+c的圖象開口向下，得a<0.

由圖象，得對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，則-鄉(xiāng)>0.

由不等式的性質(zhì)，得b>0.

a<0,則圖象位于二、四象限，

b>0,則y=6x圖象位于一、三象限，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)圖象的開口方向，對(duì)稱軸得出a、b的值是

解題關(guān)鍵.

★知識(shí)點(diǎn)9:根據(jù)圖像判斷式子的符號(hào)

常用公式及方法：

（1）二次函數(shù)三種表達(dá)式：

表達(dá)式頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸

（772、

b44ac-bb

一般式y(tǒng)=ax2+Zzx+cx=---

、2?！?a,2a

頂點(diǎn)式y(tǒng)=a{x-hf+k（h,k）x=h

X]+%2Q（X]一%2）_Xi+X2

交點(diǎn)式J=6Z（X-X）（X-X）12，4Jx

122

（2）韋達(dá)定理：若二次函數(shù)y=+及+。圖象與X軸有兩個(gè)交點(diǎn)且交點(diǎn)坐標(biāo)為（X],

bc

0）和（X,0）,貝[JX]+=---，X]?/=1°

2__aa

（3）賦值法：在二次函數(shù)y=+bx+c中，令％=則天=。+6+。；令％=一1,貝”

y=a-b+c；令x=2,則y=4〃+2b+c；令％=—2,則y=4a-26+c；利用圖象上

對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置來判斷含有a、b>。的關(guān)系式的正確性。

英柯芬訴

[例1]（2023?全國?九年級(jí)專題練習(xí)）某二次函數(shù)丁="2+區(qū)+°（。/0）的部分圖象如圖所

示，下列結(jié)論中一定成立的有（）

（T）abc>0；（2）a-b+c<0；@a=;（4）8a+c>0.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【分析】由拋物線的開口方向判斷。與0的關(guān)系，由拋物線與了軸的交點(diǎn)判斷丁與0的關(guān)系，

然后根據(jù)對(duì)稱軸及拋物線與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行判斷.

【詳解】解：①函數(shù)的對(duì)稱軸在V軸右側(cè)，則。6<0,拋物線與了軸交于負(fù)半軸，則c<0,

則a6c>0,故①正確;

②函數(shù)的對(duì)稱軸為x=l,函數(shù)和x軸的一個(gè)交點(diǎn)是（3,0）,則另外一個(gè)交點(diǎn)為（-1,0）,當(dāng)

x=-l時(shí)，y=a-b+c=Q,故②錯(cuò)誤；

③函數(shù)的對(duì)稱軸為》=-3=1,即。=-2，故③錯(cuò)誤；

2a2

④由②③得，b=-2a,a-b+c=0,故3a+c=0,而拋物線開口向上，則a>0,即

5a>0,故8a+c>0,故④正確；

故選：B.

【點(diǎn)睛】主要考查圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，會(huì)利用對(duì)稱軸的范圍求2a與6的關(guān)系,

以及二次函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵.

【例2】（2020秋?廣東東莞?九年級(jí)校聯(lián)考期中）二次函數(shù)>=如2+云+以。*0）圖象如圖,

下列結(jié)論(T)abc>0；②2a+6=0；③4a+26+c>0；④a-6+c>0.其中正確的是()

A.②③④B.①②④C.②③D.①②③④

【答案】C

【分析】由二次函數(shù)圖象可知，"0,b>o,c>0即可判斷①；由二次函數(shù)的對(duì)稱軸為

直線》=-3=1即可判斷②；將x=2代入>=姓2+加+。（。*0）即可判斷③；將x=-l代入

2a

y=ax2+bx+c[aw0）即可判斷④.

【詳解】解：①???開口向下，

???a<0,

??,對(duì)稱軸為x=一一—=1>0

2a

/.Z?>0,

???二次函數(shù)圖象與y軸交于正半軸

???c〉0

??.abc<0,

故①錯(cuò)誤；

???對(duì)稱軸為X=-g=l

2a

■-b--2a,即2。+6=0,故②正確；

由圖象可得，

當(dāng)x=2時(shí)，y=4a+2b+c>0,故③正確；

由圖象可得，

當(dāng)x=_]時(shí)，y=a-b+c<0,故④錯(cuò)誤.

綜上所述，正確的有②③.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

即學(xué)即練

1（2023?安徽蕪湖?蕪湖市第二十九中學(xué)?？级＃┤鐖D所示，點(diǎn)4,B,C是拋物線

y=ax2+bx+c（a^0）（x為任意實(shí)數(shù)）上三點(diǎn)，則下列結(jié)論：

①-3=2；②函數(shù)y=a/+6x+c最大值大于4；③a+b+c>2；其中正確的有（）

2a

九1

5-

4----------B

3

2

1

JI-.-c--

-102345x

-1

A.②③B.②③C.①③D.①②

【答案】B

【分析】由圖可得：拋物線的開口方向向下，當(dāng)x=l,y>2,即°+b+c>2,可判斷結(jié)

論③正確；當(dāng)x=1與x=3時(shí),函數(shù)值不相等，可得拋物線的對(duì)稱軸不是直線x=2,即-3N2,

函