中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：一元二次方程知識(shí)歸納與題型突破（12類題型清單）原卷版

一元二次方程知識(shí)歸納與題型突破(12類題型)

01思維導(dǎo)圖

一元二次方程的定義

一元二次方程一元二次方程的一般形式

一元二次方程的解

直接開平方

配方法

一元二次方程解一元二次方程

公式法

因式分解法

數(shù)字問題

一元二次方程的應(yīng)用增長(zhǎng)率問題

形積問題

02知識(shí)速記

一、一元二次方程的定義

(1)一元二次方程的定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程.

(2)概念解析：

一元二次方程必須同時(shí)滿足三個(gè)條件：

①整式方程，即等號(hào)兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無未知數(shù)；

②只含有一個(gè)未知數(shù)；

③未知數(shù)的最高次數(shù)是2.

(3)判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程應(yīng)注意抓住5個(gè)方面：“化簡(jiǎn)后”；“一個(gè)未知數(shù)”；“未知數(shù)的最高

次數(shù)是2"；“二次項(xiàng)的系數(shù)不等于0"；“整式方程”.

二、一元二次方程的一般形式

(1)一般地，任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程經(jīng)過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a#0).這種形

式叫一元二次方程的一般形式.

其中ax?叫做二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)；bx叫做一次項(xiàng)；c叫做常數(shù)項(xiàng).一次項(xiàng)系數(shù)b和常數(shù)項(xiàng)c可取任

意實(shí)數(shù)，二次項(xiàng)系數(shù)a是不等于0的實(shí)數(shù)，這是因?yàn)楫?dāng)a=0時(shí)，方程中就沒有二次項(xiàng)了，所以，此方程就

不是一元二次方程了.

(2)要確定二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，必須先把一元二次方程化成一般形式.

三、一元二次方程的解

(1)一元二次方程的解(根)的意義：

能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解.又因?yàn)橹缓幸粋€(gè)未知數(shù)的方程的解

也叫做這個(gè)方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根.

(2)一元二次方程一定有兩個(gè)解，但不一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)解.這X"X?是一元二次方程ax2+bx+c=0(aHO)

的兩實(shí)數(shù)根，則下列兩等式成立，并可利用這兩個(gè)等式求解未知量.

2

ax/+bxi+c=O(aWO),ax2+bx2+c=0(a#0).

四、解一元二次方程-直接開平方

形如x2=p或(nx+m)2=p(p>0)的一元二次方程可采用直接開平方的方法解一元二次方程.

如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=土丘；

如果方程能化成(nx+m)2=p(p>0)的形式，那么nx+m=±Vp.

注意：①等號(hào)左邊是一個(gè)數(shù)的平方的形式而等號(hào)右邊是一個(gè)非負(fù)數(shù).

②降次的實(shí)質(zhì)是由一個(gè)二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程.

③方法是根據(jù)平方根的意義開平方.

五、解一元二次方程-配方法

(1)將一元二次方程配成(x+m),^的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配

方法.

(2)用配方法解一元二次方程的步驟：

①把原方程化為ax2+bx+c=0(a#0)的形式；

②方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)，使二次項(xiàng)系數(shù)為1,并把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊；

③方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；

④把左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊化為一個(gè)常數(shù)；

⑤如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以進(jìn)一步通過直接開平方法來求出它的解，如果右邊是一個(gè)負(fù)數(shù)，則判定此方

程無實(shí)數(shù)解.

六、解一元二次方程-公式法

_b+J/_4ac

(1)把x=---=----------(b2-4ac^0)叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(aWO)的求根公式.

2a

(2)用求根公式解一元二次方程的方法是公式法.

(3)用公式法解一元二次方程的一般步驟為：

①把方程化成一般形式，進(jìn)而確定a,b,c的值(注意符號(hào))；

②求出b2-4ac的值(若b2-4ac<0,方程無實(shí)數(shù)根)；

③在b2-4ac20的前提下，把a(bǔ)、b、c的值代入公式進(jìn)行計(jì)算求出方程的根.

注意：用公式法解一元二次方程的前提條件有兩個(gè)：①aWO；②b2-4acN0.

七、解一元二次方程-因式分解法

(1)因式分解法解一元二次方程的意義

因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡(jiǎn)便易用，是解一元二次方程最常用的方法.

因式分解法就是先把方程的右邊化為0,再把左邊通過因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形式，那么這兩個(gè)

因式的值就都有可能為0,這就能得到兩個(gè)一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二

次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了(數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想).

(2)因式分解法解一元二次方程的一般步驟：

①移項(xiàng)，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個(gè)一次因式的乘積；③令每個(gè)因式分別為零，得

到兩個(gè)一元一次方程；④解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就都是原方程的解.

八、由實(shí)際問題抽象出一元二次方程

在解決實(shí)際問題時(shí)，要全面、系統(tǒng)地申清問題的已知和未知，以及它們之間的數(shù)量關(guān)系，找出并全面表示

問題的相等關(guān)系，設(shè)出未知數(shù)，用方程表示出已知量與未知量之間的等量關(guān)系，即列出一元二次方程.

九、一元二次方程的應(yīng)用

1、列方程解決實(shí)際問題的一般步驟是：審清題意設(shè)未知數(shù)，列出方程，解所列方程求所列方程的解，檢驗(yàn)

和作答.

2、列一元二次方程解應(yīng)用題中常見問題：

(1)數(shù)字問題：個(gè)位數(shù)為a,十位數(shù)是b,則這個(gè)兩位數(shù)表示為10b+a.

(2)增長(zhǎng)率問題：增長(zhǎng)率=增長(zhǎng)數(shù)量/原數(shù)量X100%.如：若原數(shù)是a,每次增長(zhǎng)的百分率為x,則第一次

增長(zhǎng)后為a(1+x)；第二次增長(zhǎng)后為a(1+x)2,即原數(shù)X(1+增長(zhǎng)百分率)2=后來數(shù).

(3)形積問題：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的邊長(zhǎng).②利用三角形、矩形、菱形、

梯形和圓的面積，以及柱體體積公式建立等量關(guān)系列一元二次方程.③利用相似三角形的對(duì)應(yīng)比例關(guān)系，

列比例式，通過兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積，得到一元二次方程.

【規(guī)律方法】列一元二次方程解應(yīng)用題的“六字訣”

1.審：理解題意，明確未知量、已知量以及它們之間的數(shù)量關(guān)系.

2.設(shè)：根據(jù)題意，可以直接設(shè)未知數(shù)，也可以間接設(shè)未知數(shù).

3.歹!I：根據(jù)題中的等量關(guān)系，用含所設(shè)未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知量，從而列出方程.4.解：準(zhǔn)確求

出方程的解.

5.驗(yàn)：檢驗(yàn)所求出的根是否符合所列方程

03題型歸納

題型一利用一元二次方程的定義判斷是否是一元二次方程

例1.（23-24八年級(jí)下?黑龍江哈爾濱?階段練習(xí)）下列方程是關(guān)于x的一元二次方程的是（）

12

A.ax2+ftx+c=0B.—+x=2C.x2+x=y2+1D.2（x+l）=3（x+l）

鞏固訓(xùn)練

1.（2023?江蘇鹽城?模擬預(yù)測(cè)）下列方程是一元二次方程的是（）

A.ax2+bx+c=0B.y/x2-4=xC.2x2H----1-2=0D.+l）x2-3x=4

2.（23-24八年級(jí)下?山東煙臺(tái)?期中）下列方程中，關(guān)于x的一元二次方程是（）

A.x-y=7B.X2+X+2=0

C.2x+—=0D.x(x-3)=2+x2

x

2

3.(23-24八年級(jí)下?山東煙臺(tái)?期中)下列方程中：①R2_2X+1=0；②G?+區(qū)+。=0；③—^+3%-5=0；

x

④*=0；⑤（x—iy+v；⑥（2x—1）（%-3）=2-,一元二次方程的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

題型二一元二次方程的一般形式

例2.（23?24八年級(jí)下?黑龍江哈爾濱?階段練習(xí)）方程（x+3）（x-2）=0化為一元二次方程的一般形式是

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24八年級(jí)下?廣西崇左?期中）把方程（3x+2『=4（x-3）2化為一元二次方程的一般形式是.

2.（23-24八年級(jí)下?山東東營(yíng)?階段練習(xí)）把一元二次方程（x+l）（l-x）=2x化成一般形式后得到二次項(xiàng)系數(shù)

是，一次項(xiàng)系數(shù)是,常數(shù)項(xiàng)是.

3.（23-24九年級(jí)上?四川南充?階段練習(xí)）方程（2》+1）。-3）=/_1化為一般形式為,二次項(xiàng)系

數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)的和為.

題型三利用一元二次方程的定義求參數(shù)

例3.（23-24八年級(jí)下?安徽六安?階段練習(xí)）若關(guān)于x的方程（m+l）x”“+4x-5=0是一元二次方程，則相

的值是（）

A.0B.-1C.1D.±1

鞏固訓(xùn)練

1.（2024八年級(jí)下?安徽?專題練習(xí)）關(guān)于x的方程（加-2）/+“+2=3是一元二次方程，則加值為（）

A.2或一2B.2C.-2D.m>0>m#2

2.（23-24八年級(jí)下?安徽亳州?期中）若（加-2）y"J-〃?x+l=0是一元二次方程，則用的值為（）

A.2B.-2C.2或-2D.-41

3.（23-24八年級(jí)下?安徽池州?期末）若關(guān)于x的方程（后-2）X，2+4X-3=0是一元二次方程，則-.

題型四一元二次方程的解求參數(shù)的值

例4.（2024?江蘇鎮(zhèn)江?二模）已知x=2是方程/一3x+c=0的一個(gè)根，則實(shí)數(shù)c的值是.

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24八年級(jí)下?浙江杭州?期中）關(guān)于x的一元二次方程，+3丫+優(yōu)一2=0有一個(gè)根為0,則〃?的值是

（）

A.1B.±1C.2D.±2

2.（2024?山東濟(jì)南?三模）關(guān)于x的一元二次方程/一4》+2%=0的一個(gè)根玉=4,貝1]%=.

3.（2024?山東濟(jì)南?二模）已知關(guān)于x的一元二次方程2/+加x-6=0的一個(gè)根是3,則小的值是.

題型五一元二次方程的解求代數(shù)式的值

例5.（2024?青海玉樹?三模）若x=3是關(guān)于x的方程辦2-樂=6的解，則2024-9a+3b的值為.

鞏固訓(xùn)練

1.（2024?四川南充?中考真題）已知加是方程前+4尤一1=0的一個(gè)根,則（加+5）（加-1）的值為

2.（2024?江蘇常州?二模）已知加為方程尤2-3工-6=0的一個(gè)根，則代數(shù)式-蘇+3切-6的值是.

3.（2024?福建?模擬預(yù)測(cè)）已知外為方程x?+3x-2024=0的根,那么燒3+2罐一2027加+2024的值為

題型六一元二次方程的解的估算

例6.（23-24八年級(jí)下?黑龍江大慶?階段練習(xí)）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)：估計(jì)一元二次方程ax2+bx+c=0（。，

b,c為常數(shù)，。*0）一個(gè)解x的范圍為（）

X0.511.523

ax2+bx+c2818104-2

A.0.5<x<lB.Kx<1.5C.1.5<x<2D.2<x<3

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24八年級(jí)下?浙江杭州?階段練習(xí)）已知X2-3X+1=0,依據(jù)下表，它的一個(gè)解的范圍是（）

X2.52.62.72.8

—3x+1-0.25-0.040.190.44

A.2.5<x<2.6B.2.6<x<2.7C.2.7<x<2.8D.不確定

2.（23-24八年級(jí)下?江蘇蘇州?期中）觀察表格，一元二次方程f-2x-1.1=0的一個(gè)解的取值范圍

是.

X1.31.41.51.61.71.81.9

%?-2x-1.1-0.71-0.54-0.35-0.140.090.340.61

題型七用配方法配一元二次方程

例7.（23-24八年級(jí)下?浙江金華?期中）用配方法解一元二次方程V-2x=l,配方后得到的方程是（）

A.（x-1）2=2B.（x+1）2=2C.（x+iy=0D.（x-1）2=0

鞏固訓(xùn)練

1.（2024?山西陽泉?三模）用配方法解一元二次方程V-8x+10=0配方后得到的方程是（）

+W

2.（2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?模擬預(yù)測(cè)）用配方法解一元二次方程2x2-5x-1=0,配方正確的是（）

4（T哈瓦［T。?卜=Tn（5丫29

D.x——=——

12J4

3.（23-24八年級(jí)下?安徽淮北?階段練習(xí)）用配方法解方程3/一代-3=0,應(yīng)把它先變形為（）

比卜-3=v叫T=°c[T=|"?IT

題型八解一元二次方程

例8.（23-24九年級(jí)?江蘇?假期作業(yè)）解關(guān)于x的方程（因式分解方法）：

⑴3./-后=0;(2)7x(%-3)=3%-9.

鞏固訓(xùn)練

1.（2024八年級(jí)下?浙江?專題練習(xí)）解方程:

(1)X2-49=0；(2)2(x+l)-49=1.

2.（23-24九年級(jí)上?安徽蕪湖?期中）用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋海╔-3『=（2X+5）2

3.（23-24八年級(jí)下?廣西崇左?期中）解方程:

(1)X2-2X-35=0；(2)(x+3)~=2x+6.

4.(23-24八年級(jí)下?全國(guó)?假期作業(yè))用公式法解下列方程:

(l)x2-x-12=0;

(2)2X2+5X-3=0;

(3)2X2-7X+7=0.

5.（23-24九年級(jí)上?海南省直轄縣級(jí)單位?期末）用配方法解方程:

,7

(l)x2+4x=2；(2)x-3x———0；

(3)4X2-8X=-3；(4)4X2+4X+10=1-8X

題型九解一元二次方程中錯(cuò)解復(fù)原問題

例9：（2024?江西吉安?三模）小明解一元二次方程2/+5x+3=0的過程如下，請(qǐng)你仔細(xì)閱讀，并回答問題:

53

解：原方程可變形為/+7X+7=0,（第一步）

22

53

:,x2+—X=――,（第二步）

.-.X2+-X+^5=--+—,(第三步)

2424

:+號(hào)‘（第四步）

.5+3=±巫，（第五步）

22

-5+V19-5-V19

（第六步）

"xi2，"2.

（1）小明解此方程使用的是法；小明的解答過程是從第步開始出錯(cuò)的.

（2）請(qǐng)寫出此題正確的解答過程.

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24八年級(jí)下?全國(guó)?假期作業(yè)）解方程岳2+4后=2&,某位同學(xué)的解答過程如下:

解：:a=V2，b=4^/3,c=2^/2，

???△=62-4ac=（4@2-4x啦x2夜=32>0,

平3，±2,

2xV2

—

X]-—A/6+2,%2—^6—2.

請(qǐng)你分析以上解答過程有無錯(cuò)誤，如有錯(cuò)誤，指出錯(cuò)誤的地方，并寫出正確的結(jié)果.

2.(23-24八年級(jí)下?廣西百色?期中)小涵與小彤兩位同學(xué)解方程3x(x-6)=(x-6『的過程如下:

小涵的解題過程：

第1步：兩邊同時(shí)除以(x-6)得3x=x-6,

第2步：移項(xiàng)，得3x=x-6,

第3步：解得x=-2.

小彤的解題過程：

第1步：移項(xiàng)，得3Mx-6)-26)2=0,

第2步：提取公因式，得(x-6)(3xr-6)=0.

第3步：則1-6=0或3%-工-6=0,

第4步：解得占=6,毛=2.

(1)小涵和小彤的解法都不正確，小涵第一次出錯(cuò)在第步，小彤第一次出錯(cuò)在第步;

(2)請(qǐng)你給出正確的解法，并結(jié)合你的經(jīng)驗(yàn)提出一條解題注意事項(xiàng).

題型十根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況

例10.(23-24九年級(jí)下?云南昆明?階段練習(xí))已知關(guān)于x的一元二次方程，-5x+5=0的根的情況，下列說

法正確的是()

A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C.沒有實(shí)數(shù)根D無法確定

鞏固訓(xùn)練

1.(2024?河南周口?三模)關(guān)于x的一元二次方程f+2加x-2=0的根的情況是()

A.沒有實(shí)數(shù)根B.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根

C.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根D.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

2.（2024?上海?中考真題）以下一元二次方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根的是（）

A.x2—6x=0B.%2-9=0

C.%?—6%+6=0D.x2—6x+9=0

3.（23-24八年級(jí)下?安徽六安?階段練習(xí)）下列方程中，沒有實(shí)數(shù)根的是（）

A.2x2=xB.x2-2x+1=0

C.x2—x-6=0D,x2=2x—4

題型十一利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求值

例11.（2024?江西宜春?模擬預(yù)測(cè)）一元二次方程/一3尤-1=0的兩根分別為a,，，則3（a+/7）=.

鞏固訓(xùn)練

1.（2024?江西吉安?一模）已知方程，-4x-3=0的兩個(gè)根分別為%1，x2,則再七的值為.

2.（2024?廣東深圳?模擬預(yù)測(cè)）若X],&是方程「-2x-l=0的兩個(gè)根,則2再+2芍-再々的值為一.

3.（2024?江蘇南京?三模）設(shè)再、馬是方程